福建省龍巖市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省龍巖市2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．考生將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)及所有的〖答案〗均填寫在答題卡上．2．答題要求見答題卡上的“填涂樣例”和“注意事項(xiàng)”．第I卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡上．1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，則.故選：A2.投擲一個(gè)骰子，記事件，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得，，，則，所以.故選：D3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所以，令，所以該函?shù)在，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)；故函數(shù)有兩個(gè)極大值，一個(gè)極小值，所以〖答案〗為D.故選：D4.如圖，在平行六面體中，M為的交點(diǎn)．若，，，則向量＝（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗∵在平行六面體中，M為的交點(diǎn)．若，，，∴向量.故選：A．5.已知直三棱柱中，，，，D是的中點(diǎn)，則異面直線與CD所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取中點(diǎn)，連接，在直三棱柱中，，因?yàn)榉謩e為，的中點(diǎn)，所以，，即四邊形為平行四邊形，所以，為異面直線與所成的角，因?yàn)?，，所以，，，在直三棱柱中，，所以，，在中，由余弦定理可得?故選：B6.已知甲、乙盒子各裝有形狀大小完全相同的小球，其中甲盒子內(nèi)有2個(gè)紅球，1個(gè)白球；乙盒子內(nèi)有3個(gè)紅球，2個(gè)白球．若第一次先從甲盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球放入乙盒子中，則第二次從乙盒子中抽1個(gè)球是紅球的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗記為從甲盒子中取出一個(gè)紅球，為從甲盒子中取出一個(gè)紅球，為從乙盒子中取出一個(gè)紅球，所以，，，，所以.故選：C7.，，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)，則，根據(jù)題干條件，，即，故，為常數(shù)，即，于是，整理可得，令，整理可得，解得.故選：D8.若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，令且，則，故上，此時(shí)單調(diào)遞增，故，所以，令且，則，即此時(shí)單調(diào)遞增，所以，則，令得：，故，則，綜上．故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．請(qǐng)把〖答案〗填涂在答題卡上．9.下列說(shuō)法正確的是（）A.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1B.運(yùn)用最小二乘法求得的回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心C.在一個(gè)列聯(lián)表中，計(jì)算得到的值，若的值越小，則可以判斷兩個(gè)變量有關(guān)的概率越大D.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷“與是否有關(guān)”，根據(jù)數(shù)據(jù)算得,已知，，則有超過(guò)的把握認(rèn)為與無(wú)關(guān)〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A：兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于，故A正確；對(duì)于B：運(yùn)用最小二乘法求得的回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心，故B正確；對(duì)于C：在一個(gè)列聯(lián)表中，計(jì)算得到的值，若的值越小，則可以判斷兩個(gè)變量有關(guān)的概率越小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以有超過(guò)的把握認(rèn)為與有關(guān)，故D錯(cuò)誤；故選：AB10.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)m的取值可能為（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗已知，函數(shù)定義域?yàn)椋傻?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最小值，此時(shí)，解得，當(dāng)，即時(shí)，整理得，解得或，所以，綜上，滿足條件的取值范圍為，．故選：CD．11.已知函數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.函數(shù)的值域?yàn)锽.函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，C.若關(guān)于x的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是D.若關(guān)于x的方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，且漸近線為和，當(dāng)時(shí)，，，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且，時(shí)，當(dāng)時(shí)，，作出圖象如下圖所示，對(duì)于A，函數(shù)的值域?yàn)椋蔄正確；對(duì)于B，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，，故B正確；對(duì)于C，若關(guān)于x的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則或共有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又因?yàn)榻獾没?，所以與有1個(gè)公共點(diǎn)，所以或，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，若關(guān)于x的方程有6個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即或有6個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，又因?yàn)榻獾没?，所以與有4個(gè)公共點(diǎn)，作出圖象如下圖所示，顯然實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故D正確.故選：ABD12.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)N滿足，其中，，異面直線BN與所成角為，點(diǎn)M滿足，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.當(dāng)線段MN取最小值時(shí)，D.當(dāng)時(shí)，與AM垂直的平面截正方體所得的截面面積最大值為〖答案〗BCD〖解析〗因?yàn)辄c(diǎn)N滿足，其中，，則點(diǎn)N在正方形內(nèi)（包括邊界），又因?yàn)椤危瑒t異面直線BN與所成角即為，可得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，所以A錯(cuò)誤；因?yàn)榍遥渣c(diǎn)M在線段上（包括端點(diǎn)），因?yàn)槠矫?，平面，則，又因?yàn)闉檎叫危瑒t，，平面，所以平面，且平面，所以，所以B正確；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)是的中點(diǎn)時(shí)，結(jié)合對(duì)稱性可知：當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，也為圓弧的中點(diǎn)時(shí)，則，所以，即，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，則，即與重合，與垂直的平面，即與體對(duì)角線垂直的平面，因?yàn)槠矫妫移矫?，所以，同理可證：，且，平面，所以平面，而與平面平行且面積最大的截面應(yīng)當(dāng)過(guò)正方體的中心，此時(shí)截面為邊長(zhǎng)是的正六邊形，所以截面面積的最大值為，故D正確．故選：BCD.第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間向量，，若，則________．〖答案〗〖解析〗空間向量，，且即，故〖答案〗為：.14.英國(guó)數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)貝葉斯統(tǒng)計(jì)理論，隨機(jī)事件A，B有如下關(guān)系：．某地有A，B兩個(gè)游泳館，甲同學(xué)決定周末兩天都去游泳館游泳，周六選擇A，B游泳館的概率均為0.5．如果甲同學(xué)周六去A館，那么周日還去A館的概率為0.4；如果周六去B館，那么周日去A館的概率為0.8．如果甲同學(xué)周日去A館游泳，則他周六去A館游泳的概率為________．〖答案〗〖解析〗設(shè)事件為“甲同學(xué)周日去A館”，事件為“甲同學(xué)周六去A館”，即求，根據(jù)題意得，，，則.故〖答案〗：.15.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，P是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，則的最小值為________．〖答案〗〖解析〗以為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè).則，故，，由可得，解得，故的軌跡是線段，則的最小值為到線段的距離.故〖答案〗為：16.函數(shù)，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________．〖答案〗〖解析〗法一：依題意：在上恒成立，設(shè)，，則，令，，則在上單調(diào)遞增，又，，所以使，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，所以，由得，，設(shè)，，則，，所以上單調(diào)遞增，所以，即，，故，所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；法二：，令，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，令，，即，，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)不等式恒成立；當(dāng)，即時(shí)，設(shè)，在上單調(diào)遞增，，，，使，即，所以與恒成立矛盾，故舍去，綜上可得．故〖答案〗為：四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間.解：（1）因?yàn)樗?，所以，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：；（2）由函數(shù)在處取得極值可知：，即，解得：，此時(shí)，，，當(dāng)，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以符合題意.綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間為，，的單調(diào)遞減區(qū)間為.18.如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．（1）求證：平面PAD；（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值．解：（1）如圖所示，取中點(diǎn)，連接．因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且．又由已知，可得且，所以四邊形為平行四邊形，所以又因?yàn)槠矫妫矫妫云矫妫?）如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則．由為棱的中點(diǎn)，得．向量，．設(shè)為平面的法向量，則．不妨令，得，即為平面的一個(gè)法向量．又向量，設(shè)直線與平面所成角為，所以．所以直線與平面所成角的正弦值為．19.第22屆亞運(yùn)會(huì)將于2023年9月23日至10月8日在我國(guó)杭州舉行．為了讓中學(xué)生了解亞運(yùn)會(huì)，某市舉辦了一次亞運(yùn)會(huì)知識(shí)競(jìng)賽，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)抽取100人的預(yù)賽成績(jī)作為樣本，得到頻率分布表（見表）．分組（百分制）頻數(shù)頻率100.1200.2300.3250.25150.15合計(jì)1001（1）由頻率分布表可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績(jī)X服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且．利用該正態(tài)分布，求；（2）預(yù)賽成績(jī)不低于80分的學(xué)生將參加復(fù)賽，現(xiàn)用樣本估計(jì)總體，將頻率視為概率．從該市參加預(yù)賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，記進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)為Y，求Y的概率分布列和數(shù)學(xué)期望．附：若，則，，；．解：（1）由題意知樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績(jī)的平均值為：，又由，，．（2）由題意，抽取2人進(jìn)入復(fù)賽的人數(shù)，的概率分布列為012的數(shù)學(xué)期望為．20.如圖，在直三棱柱中，，E為的中點(diǎn)，平面平面．（1）求證：；（2）若的面積為，試判斷在線段上是否存在點(diǎn)D，使得二面角的大小為．若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由．解：（1）,E是的中點(diǎn)，又平面平面，平面平面，且平面．平面．又平面，．（2）在直三棱柱中，平面．又平面，．又，平面且，平面．又平面平面．平面，、從而可得兩兩垂直．所以如圖以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．的面積為，且矩形中可得解得．則，．設(shè)，．又，設(shè)平面的法向量，則，不妨取，則，∴，由（1）平面，∴平面的一個(gè)法向量，．解得,又可知又由圖可知當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，二面角為鈍二面角符合題意，綜上，在上存在一點(diǎn)D，此時(shí)，使得二面角的大小為．21.三年疫情對(duì)我們的學(xué)習(xí)生活以及各個(gè)行業(yè)都產(chǎn)生了影響，某房地產(chǎn)開發(fā)公司為了回籠資金，提升銷售業(yè)績(jī)，公司旗下的某個(gè)樓盤統(tǒng)一推出了為期7天的優(yōu)惠活動(dòng)．負(fù)責(zé)人用表格記錄了推出活動(dòng)以后每天售樓部到訪客戶的人次，表格中x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天來(lái)訪的人次，根據(jù)表格繪制了以下散點(diǎn)圖．x（天）1234567y（人次）122242681322023924.248705070134.821406.961.78表中，．（1）（i）請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，以下兩個(gè)函數(shù)模型與（a，b，c，d均為大于零的常數(shù)）哪一個(gè)適宜作為人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；（ii）根據(jù)（i）的判斷結(jié)果以及表中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程．（2）此樓盤共有N套房，其中200套特價(jià)房，活動(dòng)期間共賣出300套房，其中50套特價(jià)房，試給出N的估計(jì)值（以使得最大的N的值作為N的估計(jì)值，X表示賣出的300套房中特價(jià)房的數(shù)目）．附：對(duì)于樣本（，2，…，n），其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：．解：（1）（?。└鶕?jù)散點(diǎn)圖可得隨的增大，增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，不滿足線性回歸，故判斷適合作為人次關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)的回歸方程類型．（ⅱ）由（?。┲?，，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，令．則由題意知，又，所以，所以，所以，，，則關(guān)