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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效;在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4.作圖可先使用鉛筆畫(huà)出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,正四面體的體積為,底面積為,是高的中點(diǎn),過(guò)的平面與棱、、分別交于、、,設(shè)三棱錐的體積為,截面三角形的面積為,則()A., B.,C., D.,2.已知向量,,設(shè)函數(shù),則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A.關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.周期為 D.在上是增函數(shù)3.設(shè),若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上,平面,,若球的表面積為,則三棱錐的體積的最大值為()A. B. C. D.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的對(duì)稱中心是D.函數(shù)的對(duì)稱軸是6.若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則()A.3 B.5 C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,若F到直線的距離為,則E的離心率為()A. B. C. D.8.斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),則的最大值為A.2 B. C. D.9.已知等差數(shù)列滿足,公差,且成等比數(shù)列,則A.1 B.2 C.3 D.410.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的()A.2 B.3 C. D.11.等差數(shù)列中,已知,且,則數(shù)列的前項(xiàng)和中最小的是()A.或 B. C. D.12.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,橢圓:的離心率為,F(xiàn)是的右焦點(diǎn),點(diǎn)P是上第一角限內(nèi)任意一點(diǎn),,,若,則的取值范圍是_______.14.已知,是互相垂直的單位向量,若與λ的夾角為60°,則實(shí)數(shù)λ的值是__.15.曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為_(kāi)___.16.已知函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程是_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓的焦距為2,且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)為的左焦點(diǎn),點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線交于兩點(diǎn),(?。┳C明:平分線段(其中為坐標(biāo)原點(diǎn));(ⅱ)當(dāng)取最小值時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo).18.(12分)本小題滿分14分)已知曲線的極坐標(biāo)方程為,以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),求直線被曲線截得的線段的長(zhǎng)度19.(12分)2019年底,北京2022年冬奧組委會(huì)啟動(dòng)志愿者全球招募,僅一個(gè)月內(nèi)報(bào)名人數(shù)便突破60萬(wàn),其中青年學(xué)生約有50萬(wàn)人.現(xiàn)從這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中,按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語(yǔ)水平測(cè)試,所得成績(jī)(單位:分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下:(Ⅰ)試估計(jì)在這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中,英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的女生人數(shù);(Ⅱ)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人,記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為X,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(Ⅲ)為便于聯(lián)絡(luò),現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000),并在每組中隨機(jī)選取個(gè)人作為聯(lián)絡(luò)員,要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù),以頻率作為概率,給出的最小值.(結(jié)論不要求證明)20.(12分)已知圓M:及定點(diǎn),點(diǎn)A是圓M上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)B在上,點(diǎn)G在上,且滿足,,點(diǎn)G的軌跡為曲線C.(1)求曲線C的方程;(2)設(shè)斜率為k的動(dòng)直線l與曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),與直線和分別交于P、Q兩點(diǎn).當(dāng)時(shí),求(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍.21.(12分)橢圓:的離心率為,點(diǎn)為橢圓上的一點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若斜率為的直線過(guò)點(diǎn),且與橢圓交于兩點(diǎn),為橢圓的下頂點(diǎn),求證:對(duì)于任意的實(shí)數(shù),直線的斜率之積為定值.22.(10分)如圖,在四面體中,.(1)求證:平面平面;(2)若,求四面體的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
設(shè),取與重合時(shí)的情況,計(jì)算出以及的值,利用排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】如圖所示,利用排除法,取與重合時(shí)的情況.不妨設(shè),延長(zhǎng)到,使得.,,,,則,由余弦定理得,,,又,,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除B、D選項(xiàng);因?yàn)椋?,此時(shí),,當(dāng)平面平面時(shí),,,排除C選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計(jì)算公式、排除法,考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.2、D【解析】
當(dāng)時(shí),,∴f(x)不關(guān)于直線對(duì)稱;當(dāng)時(shí),,∴f(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;f(x)得周期,當(dāng)時(shí),,∴f(x)在上是增函數(shù).本題選擇D選項(xiàng).3、D【解析】令,可得.在坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)的圖象(如圖所示).當(dāng)時(shí),.由得.設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象切于點(diǎn),則有,解得.所以當(dāng)直線與函數(shù)的圖象切時(shí).又當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),有,解得.結(jié)合圖象可得當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.即函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)時(shí),實(shí)數(shù)的取值范圍是.選D.點(diǎn)睛:已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)(方程根的個(gè)數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)的方法(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對(duì)解析式變形,在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫(huà)出函數(shù)的圖象,然后數(shù)形結(jié)合求解,對(duì)于一些比較復(fù)雜的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題常用此方法求解.4、B【解析】
由題意畫(huà)出圖形,設(shè)球0得半徑為R,AB=x,AC=y,由球0的表面積為20π,可得R2=5,再求出三角形ABC外接圓的半徑,利用余弦定理及基本不等式求xy的最大值,代入棱錐體積公式得答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,,,由,得.如圖:設(shè)三角形的外心為,連接,,,可得,則.在中,由正弦定理可得:,即,由余弦定理可得,,.則三棱錐的體積的最大值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、體積,基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,是中檔題.5、B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的周期,所以.將點(diǎn)代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;令,得,故函數(shù)的對(duì)稱中心是,故C正確;令,得,故函數(shù)的對(duì)稱軸是,故D正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式,同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性的判斷,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.6、C【解析】
先由已知,求出,進(jìn)一步可得,再利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算即可【詳解】由z是純虛數(shù),得且,所以,.因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的運(yùn)算,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.7、A【解析】
由已知可得到直線的傾斜角為,有,再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為,得直線的傾斜角為,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的問(wèn)題,一般求橢圓離心率的問(wèn)題時(shí),通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式,本題是一道容易題.8、C【解析】
設(shè)出直線的方程,代入橢圓方程中消去y,根據(jù)判別式大于0求得t的范圍,進(jìn)而利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|的表達(dá)式,利用t的范圍求得|AB|的最大值.【詳解】解:設(shè)直線l的方程為y=x+t,代入y2=1,消去y得x2+2tx+t2﹣1=0,由題意得△=(2t)2﹣1(t2﹣1)>0,即t2<1.弦長(zhǎng)|AB|=4.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的應(yīng)用,直線與橢圓的關(guān)系.常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理,判別式找到解決問(wèn)題的突破口.9、D【解析】
先用公差表示出,結(jié)合等比數(shù)列求出.【詳解】,因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以,解得.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.屬于簡(jiǎn)單題,化歸基本量,尋求等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.10、B【解析】
運(yùn)行程序,依次進(jìn)行循環(huán),結(jié)合判斷框,可得輸出值.【詳解】起始階段有,,第一次循環(huán)后,,第二次循環(huán)后,,第三次循環(huán)后,,第四次循環(huán)后,,所有后面的循環(huán)具有周期性,周期為3,當(dāng)時(shí),再次循環(huán)輸出的,,此時(shí),循環(huán)結(jié)束,輸出,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的相關(guān)知識(shí),經(jīng)過(guò)幾次循環(huán)找出規(guī)律是關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題型.11、C【解析】
設(shè)公差為,則由題意可得,解得,可得.令
,可得
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,由此可得數(shù)列前項(xiàng)和中最小的.【詳解】解:等差數(shù)列中,已知,且,設(shè)公差為,
則,解得
,.
令
,可得,故當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,
故數(shù)列前項(xiàng)和中最小的是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用,屬于中檔題.12、A【解析】
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,同增異減以及采用排除法,可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí),,由在遞增,所以在遞增又是增函數(shù),所以在遞增,故排除B、C當(dāng)時(shí),若,則所以在遞減,而是增函數(shù)所以在遞減,所以A正確,D錯(cuò)誤故選:A【點(diǎn)睛】本題考查具體函數(shù)的大致圖象的判斷,關(guān)鍵在于對(duì)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的理解,記住常用的結(jié)論:增+增=增,增-減=增,減+減=減,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減,屬中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由于點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),與軸的正方向的夾角在變,所以先設(shè),又由,可知,從而可得,而點(diǎn)在橢圓上,所以將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】設(shè),,,則,由,得,代入橢圓方程,得,化簡(jiǎn)得恒成立,由此得,即,故.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查的是利用橢圓中相關(guān)兩個(gè)點(diǎn)的關(guān)系求離心率,綜合性強(qiáng),屬于難題.14、【解析】
根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義,列出方程解方程即可求出λ的值.【詳解】解:由題意,設(shè)(1,0),(0,1),則(,﹣1),λ(1,λ);又夾角為60°,∴()?(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【點(diǎn)睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題,是中檔題.15、【解析】
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解:∵,
∴,
則,
又,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),
則函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為,
即,
故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.16、【解析】
求導(dǎo),x=0代入求k,點(diǎn)斜式求切線方程即可【詳解】則又故切線方程為y=x+1故答案為y=x+1【點(diǎn)睛】本題考查切線方程,求導(dǎo)法則及運(yùn)算,考查直線方程,考查計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)(?。┮?jiàn)解析(ⅱ)點(diǎn)的坐標(biāo)為.【解析】
(1)由題意得,再由的關(guān)系求出,即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)(i)設(shè),的中點(diǎn)為,,設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程中,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,結(jié)合三點(diǎn)共線的方法:斜率相等,即可得證;(ii)利用兩點(diǎn)間的距離公式及弦長(zhǎng)公式將表示出來(lái),由換元法的對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性,可得取最小值時(shí)的條件獲得等量關(guān)系,從而確定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】解:(1)由題意得,,所以,所以橢圓方程為(2)設(shè),的中點(diǎn)為,(?。┳C明:由,可設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程,得,所以,所以,則直線的斜率為,因?yàn)?,所以,所以三點(diǎn)共線,所以平分線段;(ii)由兩點(diǎn)間的距離公式得由弦長(zhǎng)公式得所以,令,則,由在上遞增,可得,即時(shí),取得最小值4,所以當(dāng)取最小值時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】此題考那可是橢圓方程和性質(zhì),主要考查橢圓方程的運(yùn)用,運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式,同時(shí)考查弦長(zhǎng)公式,屬于較難題.18、【解析】解:解:將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為,即,它表示以為圓心,2為半徑圓,………4分直線方程的普通方程為,………8分圓C的圓心到直線l的距離,……………10分故直線被曲線截得的線段長(zhǎng)度為.……………14分19、(Ⅰ)萬(wàn);(Ⅱ)分布列見(jiàn)解析,;(Ⅲ)【解析】
(Ⅰ)根據(jù)比例關(guān)系直接計(jì)算得到答案.(Ⅱ)的可能取值為,計(jì)算概率得到分布列,再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.(Ⅲ)英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為,故,解得答案.【詳解】(Ⅰ)樣本中女生英語(yǔ)成績(jī)?cè)诜忠陨系挠腥?,故人?shù)為:萬(wàn)人.(Ⅱ)8名男生中,測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的有人,的可能取值為:.,,.故分布列為:.(Ⅲ)英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為,故,故.故的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了樣本估計(jì)總體,分布列,數(shù)學(xué)期望,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)題意得到GB是線段的中垂線,從而為定值,根據(jù)橢圓定義可知點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,即可求出曲線C的方程;(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,表示處的面積代入韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即可求范圍.【詳解】(1)為的中點(diǎn),且是線段的中垂線,,又,∴點(diǎn)G的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓,設(shè)橢圓方程為(),則,,,所以曲線C的方程為.(2)設(shè)直線l:(),由消去y,可得.因?yàn)橹本€l總與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn),所以,.①又由可得;同理可得.由原點(diǎn)O到直線的距離為和,可得.②將
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