變量的相關(guān)性

編號031§9.1.1變量的相關(guān)性

目標(biāo)要求

1、結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

2、結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.

3、結(jié)合實(shí)例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.

學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

本章內(nèi)容是在學(xué)生己經(jīng)學(xué)習(xí)過必修課程中的統(tǒng)計(jì)知識和概率知識的基礎(chǔ)上，通過對典型

案例的研究，了解和使用一些常用統(tǒng)計(jì)分析方法，進(jìn)一步體會運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的

基本思想，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用，從而形成運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)認(rèn)識客觀事物的習(xí)慣.

在本章教學(xué)中，應(yīng)突出對學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng)，不能只限于要求學(xué)生會解書本上的習(xí)題,

還要關(guān)注學(xué)生應(yīng)用與解決實(shí)際問題的能力.應(yīng)引導(dǎo)、鼓勵學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題，并能

自覺地運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)方法加以理解，應(yīng)盡量給學(xué)生提供一定的實(shí)踐活動機(jī)會，可結(jié)合數(shù)學(xué)

建模活動，選擇一個案例，要求學(xué)生親自實(shí)踐.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：借助概率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征；

難點(diǎn)：正態(tài)分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、方差及其含義.

教學(xué)過程

基礎(chǔ)知識點(diǎn)

1.變量的相關(guān)關(guān)系

(1)兩個變量的關(guān)系

分類函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系

兩個變量之間具有一定的聯(lián)系，但又沒有________函數(shù)

特征兩個變量有_______關(guān)系

關(guān)系

(2)散點(diǎn)圖：建立平面直角坐標(biāo)系.將樣本中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)在標(biāo)出得到的統(tǒng)計(jì)

圖.

(3)線性相關(guān)關(guān)系：散點(diǎn)落在附近，則稱這兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系.

(4)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)

正相關(guān)負(fù)相關(guān)

具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的散點(diǎn)圖呈具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的散點(diǎn)圖呈

_________________方向發(fā)展的趨勢_________________方向發(fā)展的趨勢

2.相關(guān)系數(shù)

(1)樣本相關(guān)系數(shù)廠的計(jì)算公式

我們可以利用相關(guān)系數(shù)來定量地衡量兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算公式為r=

(2)樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)

①?；

②r_0時(shí)y與x呈正相關(guān)關(guān)系，r___0時(shí)y與x呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；

③切越接近1,y與X相關(guān)的程度就,用越接近0,y與X相關(guān)的程度就—；

通常情況下，當(dāng)”>0.5時(shí)，認(rèn)為線性相關(guān)關(guān)系；當(dāng)舊〈0.3時(shí)，認(rèn)為線

性相關(guān)關(guān)系.

【課前小題演練】

題1.對變量X,y有觀測數(shù)據(jù)（如y）（j=l,2,10）,得散點(diǎn)圖①；對變量小口有觀

測數(shù)據(jù)（如，v,）G=l,2,10）,得散點(diǎn)圖②.由這兩個散點(diǎn)圖可以判斷（）

A.變量區(qū)與y正相關(guān)，〃與u正相關(guān)

B.變量x與y正相關(guān)，"與u負(fù)相關(guān)

C.變量x與y負(fù)相關(guān)，〃與u正相關(guān)

D.變量x與y負(fù)相關(guān)，〃與廿負(fù)相關(guān)

3060

2550

2040

1530

102()

510

01234567》01234567〃

①

題2.下列兩個變量間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）

A.圓的半徑與周長

B.角的度數(shù)與它的正切值

C.單產(chǎn)為常數(shù)時(shí)，土地面積與糧食總產(chǎn)量

D.日照時(shí)間與水稻的單位產(chǎn)量

題3.對于給定的兩個變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）

A.都可以分析出兩個變量的關(guān)系

B,都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系

C.都可以作出散點(diǎn)圖

D.都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系

題4.對兩個變量x,y的幾組觀測數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表，則這兩個相關(guān)變量的關(guān)系是（）

X1098765

y233.544.85

4負(fù)相關(guān)B.正相關(guān)

C.先正后負(fù)相關(guān)D.先負(fù)后正相關(guān)

題5.變量達(dá)y的散點(diǎn)圖如圖所示，那么居y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，?最接近的值為（）

y

0」

A.1B.-0.5C.0D.0.5

題6.下列反映兩個變量的相關(guān)關(guān)系中，不同于其他三個的是()

A.名師出高徒B.水漲船高

C.月明星稀D.登高望遠(yuǎn)

題7.現(xiàn)隨機(jī)抽取了某校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績(x)與入學(xué)后的第一次考試數(shù)學(xué)

成績(y),數(shù)據(jù)如表：

學(xué)生號12345678910

X12010811710410311010410599108

y84648468696869465771

請問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績是否具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系？

【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】

題8.某統(tǒng)計(jì)部門對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比

較，其中正確的是()

51015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為門相關(guān)系數(shù)為門

(1)

35

30

75

50

T5

10

5

5

1015202530355101520253035

相關(guān)系數(shù)為小相關(guān)系數(shù)為〃

(3)(4)

A.n<r2<0<ri<r3B.r2<ri<0<ri<r3

C.r2<ri<0<r3<riD.ri<r2<0<r3<ri

題9.已知x,y是兩個變量，下列四個散點(diǎn)圖中，x,y呈負(fù)相關(guān)趨勢的是()

題10.某商家今年上半年各月的人均銷售額（單位：千元）與利潤率統(tǒng)計(jì)表如下:

月份123456

人均銷售額658347

利潤率閭12.610.418.53.08.116.3

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）

A.利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系

B.利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系

C.利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系

D.利潤率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系

題11.對兩個變量x,y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)為=0.7859,對兩個變量〃,

v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)〃=-0.9568,則下列判斷正確的是（）

A.變量x與〉正相關(guān)，變量〃與v負(fù)相關(guān)，變量x與｝，的線性相關(guān)性較強(qiáng)

B.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量“與v正相關(guān)，變量x與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

C.變量x與y正相關(guān)，變量w與v負(fù)相關(guān)，變量〃與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)

D.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量“與v正相關(guān)，變量“與v的線性相關(guān)性較強(qiáng)

題12.在一組樣本數(shù)據(jù)（X”》），（如熟），…，（X",州）（"N2,X1,X2,Xn不全相等）

…，〃）都在直線尸一卜+1上，則這組樣本

的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（如2,

數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

A.-1B.1

11

-5-5-

題13.在一組數(shù)據(jù)為（汨，yi）,（X2,>2）,…，（”“，力）（雇22,xi,x2,…，x〃不全相等）的散

點(diǎn)圖中，若這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為一L則所有的樣本點(diǎn)（即，M）6=1,2,…，用滿足

的方程可以是（）

1

A.y=~2xTB.y=x-l

C.y=x+lD.y=-x

題14.（多本題）下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是（）

A.正方形的邊長與面積之間的關(guān)系

B.農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系

C.人的身高與年齡之間的關(guān)系

D.降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系

題15.（多造朗）以下各對變量成正相關(guān)的是（）

A.學(xué)生的學(xué)籍號與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績

B.堅(jiān)持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)

C.氣溫與冷飲銷售量

D.電瓶車的重量和行駛每千米的耗電量

題16.下列兩個變量之間具有相關(guān)關(guān)系的是..（填序號）

①正方形的邊長〃和面積S；

②一個人的身高h(yuǎn)和右手一掛長X；

③真空中的自由落體運(yùn)動其下落的距離h和下落的時(shí)間h

④一個人的身高力和體重x.

題17.下列說法中正確的是（填序號）.

①變量間的線性相關(guān)系數(shù)，的取值范圍為[-1，1];

②變量間的線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近0,則變量間的線性相關(guān)程度越低；

③變量間的相關(guān)系數(shù)越小，變量間的相關(guān)程度越小.

題18.某廠的生產(chǎn)原料耗費(fèi)x（單位：百萬元）與銷售額丫（單位：百萬元）之間有如下的對應(yīng)

關(guān)系：

X2168

Y30405070

X與y之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系？若有，判斷相關(guān)性的強(qiáng)弱.

題19.為分析肥胖程度對總膽固醇與空腹血糖的影響，在肥胖人群中隨機(jī)抽出8人，他們

的肥胖指數(shù)值、總膽固醇7C指標(biāo)值（單位：〃7"??！ㄒ遥⒖崭寡荂LU指標(biāo)值（單位：

mmol/L）如表所示.

人員編號12345678

值x2527303233354042

TC指標(biāo)值y5.35.45.55.65.76.56.97.1

CLU指標(biāo)值z6.77.27.38.08.18.69.09.1

用變量y與x，z與x的相關(guān)系數(shù)，分別說明TC指標(biāo)值與8M/值、CLU指標(biāo)值與BM/值的

相關(guān)程度；

參考公式：

X（XLx）（yi—y）

相關(guān)系數(shù)，?=―/i,=1一

A/X（X；-x）z（yi-y）2

\li=l1=1

_________8___88

參考數(shù)據(jù)：x=33,y=6,z=8,X（為-x）,=244,g（yi—y）%3.6,Z

i=li=li=l

___8________

（Z/—Z）2=5.4,X（即一x）（%—y）=28.3,

i=l

8_______

Xu——）（Z,—T）=35.4,7244-15.6,A/376?1.9,?2.3.

i=l

【綜合突破拔高】

題20.對于線性相關(guān)系數(shù)r,敘述正確的是（）

A.r￡（0,+8）,川越大相關(guān)程度越大，反之相關(guān)程度越小

B.r?（-8,+8）,廣越大相關(guān)程度越大，反之相關(guān)程度越小

C.|rW1,且越接近1相關(guān)程度越大，|r越接近0,相關(guān)程度越小

D.以上說法都不對

題21.有人收集了春節(jié)期間平均氣溫尤與某取暖商品銷售額）的有關(guān)數(shù)據(jù)如表:

平均氣溫（℃）-2-3—5-6

銷售額（萬元）20232730

則該商品銷售額與平均氣溫有（）

A.確定性關(guān)系B.正相關(guān)關(guān)系

C.負(fù)相關(guān)關(guān)系D.函數(shù)關(guān)系

題22.已知某次考試之后，班主任從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本，他們的數(shù)

5060708090100數(shù)學(xué)成績/分

根據(jù)以上信息，則下列結(jié)論：

①根據(jù)散點(diǎn)圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系；

②根據(jù)散點(diǎn)圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有一次函數(shù)關(guān)系；

③從全班隨機(jī)抽取2名同學(xué)（記為甲、乙），若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成

績?yōu)?0分，則可以判斷出甲同學(xué)的物理成績一定比乙同學(xué)的物理成績高；

④從全班隨機(jī)抽取2名同學(xué)（記為甲、乙），若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成

績?yōu)?0分，則不能判斷出甲同學(xué)的物理成績一定比乙同學(xué)的物理成績高.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

題23.（多造題）研究與試驗(yàn)發(fā)展（R&Q）是科技活動的核心指標(biāo)，是衡量一個國家和地區(qū)

科技發(fā)展水平的主要指標(biāo)，同時(shí)也是反映企業(yè)自主創(chuàng)新能力的指標(biāo).我國一直以來都在大力

促進(jìn)科技創(chuàng)新，R&。經(jīng)費(fèi)支出增速保持世界領(lǐng)先.如圖是我國近五年（2016—2020年）R&D

經(jīng)費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法中正確的是（）

/?&。經(jīng)費(fèi)支出（億元）

30000

25000

20000

15677

15000

10000

5000

0

2016

A.近五年，R&Q經(jīng)費(fèi)支出與年份呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系

B.近五年，R&D經(jīng)費(fèi)支出的中位數(shù)為19678

C.2020年，胺。經(jīng)費(fèi)支出相對于2016年增長超過50%

D.2020年，R&。經(jīng)費(fèi)支出增長速度最快

題24.如下四個散點(diǎn)圖中，正相關(guān)的是—負(fù)相關(guān)的是—

3

2

1

O

-1

-2

-3

-2024

(2)

3

2

1

O

-1

-2

-3

(4)

題25.有下列關(guān)系：①人的年齡與他（她）擁有的財(cái)富之間的關(guān)系；②曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的

坐標(biāo)之間的關(guān)系；③蘋果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系；④森林中的同一種樹木，其橫斷面直徑

與高度之間的關(guān)系，其中是相關(guān)關(guān)系的為.

題26.如圖所示的五組數(shù)據(jù)（x,y）中，去掉后，剩下的四組數(shù)據(jù)相關(guān)性增強(qiáng).

y\(4,10)

?(6,8)

(3,4)一

,”5,4)

?(1,2)

OX

題27.變量X與y相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,

5)；變量U與V相對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)為(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,

1).八表示變量丫與X之間的線性相關(guān)系數(shù).女表示變量V與U之間的線性相關(guān)系數(shù)，則八,

r-z,0的大小關(guān)系為一.

題28.煉鋼是一個氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時(shí)間的長短，必須掌

握鋼水含碳量和冶煉時(shí)間的關(guān)系.如果已測得爐料熔化完畢時(shí)鋼水的含碳量x與冶煉時(shí)間

y(從爐料熔化完畢到出鋼的時(shí)間)的一組數(shù)據(jù)，如表所示：

x(0.01%)101180190177117134150191204121

y(min)100200210185155135170205235125

判斷含碳量與冶煉時(shí)間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱.

題29.商務(wù)部會同海關(guān)總署、國家藥監(jiān)局于3月31日發(fā)布關(guān)于有序開展醫(yī)療物資出口的公

告.如醫(yī)療物資出口中出現(xiàn)質(zhì)量問題，將認(rèn)真調(diào)查，發(fā)現(xiàn)一起，查處一起，切實(shí)維護(hù)“中國

制造”的形象，更好地發(fā)揮醫(yī)療物資對支持全球疫情防控的重要作用.為了監(jiān)控某種醫(yī)療物

資的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每隔30而從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個醫(yī)療物資，并

測量其尺寸(單位：aw).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個醫(yī)療物資的尺寸：

抽取次數(shù)12345678

醫(yī)療物

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

資尺寸

抽取次數(shù)910111213141516

醫(yī)療物

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

資尺寸

—116

經(jīng)計(jì)算得X=—Zx產(chǎn)=9.97,5=-^^(x「7)2=

i=l

八/1/V2

,616

\獲(2>i-16X)n0.212,X(i-8.5)2七18.439,Xx:591.137,

i=li=l

ZU-x)G-8.5)=—2.78,其中x,?為抽取的第i個醫(yī)療物資的尺寸，i=l,2,3,…,

i=l

16.

(1)求(如i)(i=l,2,…，16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的醫(yī)療物資

尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ鬒r|<0.25,則可以認(rèn)為醫(yī)療物資尺寸不隨

生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。?

（2）一天內(nèi)抽檢醫(yī)療物資中，如果出現(xiàn)了尺寸在6r—3s,7+3s）之外的醫(yī)療物資，就認(rèn)

為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢

查.從這一天抽檢的結(jié)果看，是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？

附：樣本伉，2,…，而的相關(guān)系數(shù)r=

16________

Z(xi-x)(外一y)

i=l

編號031§9.1.1變量的相關(guān)性

目標(biāo)要求

1、結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義.

2、結(jié)合實(shí)例，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系.

3、結(jié)合實(shí)例，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性.

學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)

本章內(nèi)容是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過必修課程中的統(tǒng)計(jì)知識和概率知識的基礎(chǔ)上，通過對典型

案例的研究，了解和使用一些常用統(tǒng)計(jì)分析方法，進(jìn)一步體會運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題的

基本思想，認(rèn)識統(tǒng)計(jì)方法在決策中的作用，從而形成運(yùn)用統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)認(rèn)識客觀事物的習(xí)慣.

在本章教學(xué)中，應(yīng)突出對學(xué)生應(yīng)用意識的培養(yǎng),不能只限于要求學(xué)生會解書本上的習(xí)題,

還要關(guān)注學(xué)生應(yīng)用與解決實(shí)際問題的能力.應(yīng)引導(dǎo)、鼓勵學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)問題，并能

自覺地運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)方法加以理解，應(yīng)盡量給學(xué)生提供一定的實(shí)踐活動機(jī)會，可結(jié)合數(shù)學(xué)

建?；顒?，選擇一個案例，要求學(xué)生親自實(shí)踐.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：借助概率分布直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征；

難點(diǎn)：正態(tài)分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、方差及其含義.

教學(xué)過程

基礎(chǔ)知識點(diǎn)

1.變量的相關(guān)關(guān)系

（1）兩個變量的關(guān)系

分類函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系

兩個變量之間具有一定的聯(lián)系，但又沒有確定性函數(shù)關(guān)

特征兩個變量有確定的關(guān)系

系

（2）散點(diǎn)圖：建立平面直角坐標(biāo)系.將樣本中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)在坐標(biāo)系內(nèi)標(biāo)出得到的統(tǒng)計(jì)圖.

（3）線性相關(guān)關(guān)系：散點(diǎn)落在一條直線附近,則稱這兩個變量具有線性相關(guān)關(guān)系.

（4）正相關(guān)與負(fù)相關(guān)

正相關(guān)負(fù)相關(guān)

具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的散點(diǎn)圖呈叢虹具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的散點(diǎn)圖呈叢左上

向右上方向發(fā)展的趨勢向右下方向發(fā)展的趨勢

2.相關(guān)系數(shù)

（D樣本相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算公式

我們可以利用相關(guān)系數(shù)來定量地衡量兩個變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算公式為r=

n____

X（%—x）（匕一y）

/=1

A/E（否一不）:E（匕-y）"

\/;=1/1=1

（2）樣本相關(guān)系數(shù)r的性質(zhì)

②叱。時(shí)y與x呈正相關(guān)關(guān)系，（。時(shí)y與x呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；

③力越接近1,V與X相關(guān)的程度就越強(qiáng),r越接近0,y與X相關(guān)的程度就越直；

通常情況下，當(dāng)時(shí)，認(rèn)為線性相關(guān)關(guān)系顯著:當(dāng)）|<0.3時(shí)，認(rèn)為幾乎沒有線性相

關(guān)關(guān)系.

【課前小題演練】

題1.對變量x,y有觀測數(shù)據(jù)（為，％）G=1,2,…，10）,得散點(diǎn)圖①；對變量”，丫有觀

測數(shù)據(jù)㈤G=l,2,…，10）,得散點(diǎn)圖②.由這兩個散點(diǎn)圖可以判斷（）

A.變量x與y正相關(guān)，"與v正相關(guān)

B.變量x與y正相關(guān)，"與u負(fù)相關(guān)

C.變量x與y負(fù)相關(guān)，〃與V正相關(guān)

D.變量x與y負(fù)相關(guān)，〃與v負(fù)相關(guān)

30;60

25，50

20-??40

15--30

10-

5-

01234567》01234567?

?

【解析】選C由題圖象知，變量X與y呈負(fù)相關(guān)關(guān)系；〃與U呈正相關(guān)關(guān)系.

題2.下列兩個變量間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是（）

A.圓的半徑與周長

8.角的度數(shù)與它的正切值

C.單產(chǎn)為常數(shù)時(shí)，土地面積與糧食總產(chǎn)量

D.日照時(shí)間與水稻的單位產(chǎn)量

【解析】選D函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系都是指兩個變量之間的關(guān)系，但是這兩種關(guān)系是不同的,

函數(shù)關(guān)系是指當(dāng)自變量一定時(shí)，函數(shù)值是確定的，是一種確定性的關(guān)系.因?yàn)锳項(xiàng)。=2獷,

B項(xiàng)a,C項(xiàng)）=ox（“>0,且a為常數(shù)），所以這三項(xiàng)均是函數(shù)關(guān)系.。項(xiàng)是相關(guān)關(guān)

系.

題3.對于給定的兩個變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，下列說法正確的是（）

A.都可以分析出兩個變量的關(guān)系

B.都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系

C.都可以作出散點(diǎn)圖

D.都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系

【解析】選C.給出一組樣本數(shù)據(jù)，總可以作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖，故C正確，但不一定能分析

出兩個變量的關(guān)系，故A不正確，更不一定符合線性相關(guān)，故8不正確，兩個變量的統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù)不一定有函數(shù)關(guān)系，故。不正確.

題4.對兩個變量x,y的幾組觀測數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如表，則這兩個相關(guān)變量的關(guān)系是（）

X1098765

y233.544.85

A.負(fù)相關(guān)B.正相關(guān)

C.先正后負(fù)相關(guān)D.先負(fù)后正相關(guān)

【解析】選A.根據(jù)兩個變量x,y的幾組觀測數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表知，y隨x的增大而減小，所以這

兩個相關(guān)變量負(fù)相關(guān).

題5.變量x,y的散點(diǎn)圖如圖所示，那么x,y之間的樣本相關(guān)系數(shù)r最接近的值為（）

O

A.1B.-0.5C.0D.0.5

【解析】選C.根據(jù)變量x,y的散點(diǎn)圖，得x,y之間的樣本相關(guān)關(guān)系非常不明顯，所以相

關(guān)系數(shù)r最接近的值應(yīng)為0.

題6.下列反映兩個變量的相關(guān)關(guān)系中，不同于其他三個的是()

A.名師出高徒8.水漲船高

C.月明星稀D.登高望遠(yuǎn)

【解析】選C.由題意，A,B,。具有因果關(guān)系，C沒有因果關(guān)系.

題7.現(xiàn)隨機(jī)抽取了某校10名學(xué)生在入學(xué)考試中的數(shù)學(xué)成績(x)與入學(xué)后的第一次考試數(shù)學(xué)

成績(y),數(shù)據(jù)如表：

學(xué)生號123-15678910

X12010811710410311010410599108

y84648468696869465771

請問：這10名學(xué)生的兩次數(shù)學(xué)考試成績是否具有顯著的線性相關(guān)關(guān)系？

一1

【解析】x=—(120+108+…+99+108)=107.8,

—1、

y=-(84+64H----F57+71)=68,

10

2矛；=1202+1082H——F992+1082=116584,

7=1

10

?：=842+642+-+572+712=47384,

2=1

10

￡x通=120X84+108X64-1-----1-108X71=73796,

i—\

所以，相關(guān)系數(shù)為

73796-10X107.8X68

r=[-------“一^O.7506,

y)(116584-10X107.8')(47384-10X68-)

故兩次數(shù)學(xué)考試成績有顯著的線性相關(guān)關(guān)系.

【當(dāng)堂鞏固訓(xùn)練】

題8.某統(tǒng)計(jì)部門對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析后，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于相關(guān)系數(shù)的比

較，其中正確的是()

相關(guān)系數(shù)為門相關(guān)系數(shù)為后

(1)(2)

相關(guān)系數(shù)為「3相關(guān)系數(shù)為小

(3)(4)

A.n<r2<0<ri<r3B.冷<門<0<門<門

C.F2<ri<0<r3<riD.小〈廠2VoV/3Vn

【解析】選C.根據(jù)散點(diǎn)圖的特征，數(shù)據(jù)大致呈增長趨勢的是正相關(guān)，數(shù)據(jù)呈遞減趨勢的是

負(fù)相關(guān)；數(shù)據(jù)越集中在一條線附近，說明相關(guān)性越強(qiáng)，由題中數(shù)據(jù)可知：(1)(3)為正相關(guān)，

(2)(4)為負(fù)相關(guān);

故八>0,，3>0；r2<0,ri<0；又(1)與(2)中散點(diǎn)圖更接近于一條直線，故八>乃，及<小，

因此，r2<ri<0<r3<ri.

題9.已知x,y是兩個變量，下列四個散點(diǎn)圖中，x,y呈負(fù)相關(guān)趨勢的是()

【解析】選C.對于A,散點(diǎn)圖中的點(diǎn)從左向右是上升的，且在一條直線附近，是正相關(guān)關(guān)

系；對于B,散點(diǎn)圖中的點(diǎn)沒有明顯的相關(guān)關(guān)系；對于C,散點(diǎn)圖中的點(diǎn)從左向右是下降的,

且在一條直線附近，是負(fù)相關(guān)關(guān)系；對于O,散點(diǎn)圖中的點(diǎn)沒有明顯的相關(guān)關(guān)系.

題10.某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤率統(tǒng)計(jì)表如下：

月份123-156

人均銷售額658347

利潤率魏)12.610.418.53.08.116.3

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()

A.利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系

B.利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系

C.利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系

D.利潤率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系

【解析】選C.根據(jù)題意，畫出利潤率與人均銷售額的散點(diǎn)圖，如圖所示:

利潤率（％）

20

18

16

14

12

10

8

6)

4

2

O123456789人均銷售額

由散點(diǎn)圖知，利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系.

題11.對兩個變量X,y進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)n=0.7859,對兩個變量",

v進(jìn)行線性相關(guān)檢驗(yàn)，得線性相關(guān)系數(shù)/??=-0.9568,則下列判斷正確的是（）

A.變量x與y正相關(guān)，變量〃與u負(fù)相關(guān),變量x與），的線性相關(guān)性較強(qiáng)

B.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量〃與u正相關(guān),變量X與），的線性相關(guān)性較強(qiáng)

C.變量x與y正相關(guān)，變量〃與口負(fù)相關(guān),變量〃與u的線性相關(guān)性較強(qiáng)

D.變量x與y負(fù)相關(guān)，變量〃與v正相關(guān),變量〃與y的線性相關(guān)性較強(qiáng)

【解析】選C.由線性相關(guān)系數(shù)n=0.7859>0知x與y正相關(guān)，由線性相關(guān)系數(shù)r2=-0.956

8<0知"，丫負(fù)相關(guān)，又|八|〈|司，所以變量“與v的線性相關(guān)性比x與y的線性相關(guān)性強(qiáng).

題12.在一組樣本數(shù)據(jù)（笛，》），（a,V）,…，（X”，y〃）（〃N2,x,x2,…，x”不全相等）

的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)（為，2,…，"）都在直線丫=一：》+1上，則這組樣本

3

數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）

4-11

C11

-5-5-

1

【解析】選A.因?yàn)檫@組樣本數(shù)據(jù)的所有樣本點(diǎn)（為，%）（i=l,2,…，而都在直線y=5-X

+1上，

所以這組樣本數(shù)據(jù)完全相關(guān)，其相關(guān)系數(shù)是一1.

題13.在一組數(shù)據(jù)為（即，yi）,（照，”），…，心,%）（〃22,xi,刈…，x〃不全相等）的散

點(diǎn)圖中，若這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為一1,則所有的樣本點(diǎn)（如弘）0=1,2,…，〃）滿足

的方程可以是（）

1

A.y=~nxTB.y=x-l

C.y=x+lDc.y=-x2

【解析】選4若這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為-1,則樣本數(shù)據(jù)為線性相關(guān)，排除。，又相關(guān)

系數(shù)為一1,所以樣本數(shù)據(jù)為負(fù)相關(guān)，排除B,C（B,C為正相關(guān)）.

題14.（多造期）下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是（）

A.正方形的邊長與面積之間的關(guān)系

B.農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系

C.人的身高與年齡之間的關(guān)系

D.降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系

【解析】選BD在A中正方形的邊長與面積之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系；在B中，農(nóng)作物的產(chǎn)

量與施肥量之間不具有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，但具有相關(guān)關(guān)系；在C中，人的身高與年齡之間

的關(guān)系既不是函數(shù)關(guān)系，也不是相關(guān)關(guān)系，因?yàn)槿说哪挲g達(dá)到一定時(shí)期身高就不發(fā)生明顯變

化了，因而它們不具有相關(guān)關(guān)系；在。中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關(guān)關(guān)系.

題15.（多建博）以下各對變量成正相關(guān)的是（）

A.學(xué)生的學(xué)籍號與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績

B.堅(jiān)持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)

C.氣溫與冷飲銷售量

D.電瓶車的重量和行駛每千米的耗電量

【解析】選CD對于A,學(xué)生的學(xué)籍號與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績沒有相關(guān)關(guān)系；對于8,一般情況

下，堅(jiān)持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)成負(fù)相關(guān)關(guān)系；對于C,一般情況下，氣溫與冷

飲銷售量成正相關(guān)關(guān)系；對于。，一般情況下，電瓶車的重量和行駛每千米的耗電量成正相

關(guān)關(guān)系.

題16.下列兩個變量之間具有相關(guān)關(guān)系的是.（填序號）

①正方形的邊長〃和面積S；

②一個人的身高h(yuǎn)和右手一掛長X；

③真空中的自由落體運(yùn)動其下落的距離h和下落的時(shí)間h

④一個人的身高h(yuǎn)和體重x.

【解析】對于①，正方形的邊長“和面積S是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；對于②，一般情況

下，一個人的身高力和右手一掛長x是正相關(guān)關(guān)系；對于③，真空中的自由落體運(yùn)動其下落

的距離/?和下落的時(shí)間f是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；對于④，一般情況下，一個人的身高

〃和他的體重x是正相關(guān)關(guān)系.

答案：②④

題17.下列說法中正確的是（填序號）.

①變量間的線性相關(guān)系數(shù)，的取值范圍為[-1,1];

②變量間的線性相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近0,則變量間的線性相關(guān)程度越低；

③變量間的相關(guān)系數(shù)越小，變量間的相關(guān)程度越小.

【解析】根據(jù)題意，依次分析.對于①，相關(guān)系數(shù)r滿足I”W1,即相關(guān)系數(shù)，?的取值范圍

為[-1,1],①正確；

對于②，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)知舊W1,且“越接近1,相關(guān)程度越大；越接近0,相

關(guān)程度越小，則②正確；

對于③，當(dāng)r接近一1時(shí)，變量間的相關(guān)程度比r接近。時(shí)的大，故③錯誤.

答案：①②

題18.某廠的生產(chǎn)原料耗費(fèi)x（單位：百萬元）與銷售額丫（單位：百萬元）之間有如下的對應(yīng)

關(guān)系：

X2468

Y30405070

x與丫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系？若有，判斷相關(guān)性的強(qiáng)弱.

【解析】畫出散點(diǎn)圖如圖所示，由圖可知x,y有線性關(guān)系.

____444

7=5,-=47.5,gx.=120,0■=9900,gx沙=1080,

i=li=l--i

1—1

1080-4X5X47.5入…「

=~/.、—^0.9827.

y]（120-4X52）（9900-4X47.52）

故x與y之間具有很強(qiáng)的正相關(guān)關(guān)系.

題19.為分析肥胖程度對總膽固醇與空腹血糖的影響，在肥胖人群中隨機(jī)抽出8人，他們

的肥胖指數(shù)值、總膽固醇TC指標(biāo)值（單位：，"〃加〃）、空腹血糖CLU指標(biāo)值（單位：

mmol/D如表所示.

人員編號12345678

值x2527303233354042

TC指標(biāo)值y5.35.45.55.65.76.56.97.1

CLU指標(biāo)值z6.77.27.38.08.18.69.09.1

用變量y與羽z與x的相關(guān)系數(shù)，分別說明了。指標(biāo)值與BM/值、CLU指標(biāo)值與BM/值的

相關(guān)程度；

參考公式：

Z(X)-x)(yi-y)

2

參考數(shù)據(jù)：x=33,y=6,z=8,Z(xz—x)=244,Zy)&3.6,Z

i=li=li=l

_8____

(z/—z)"=5.4,Z(即―x)(y/—y)=28.3,

i=l

Z(Xi-~)(Zi~~)=35.4,7244^15.6,7^6^1.9,^2.3.

i=l

noo

【解析】變量y與x的相關(guān)系數(shù)^0.95,

i.j.Ao/，v；i.y°

354

變量z與X的相關(guān)系數(shù)/,,^o.99,可以看出TC指標(biāo)值與BM/值、CLU指標(biāo)

13.OXZ.3

值與BM/值都是高度正相關(guān).

【綜合突破拔高】

題20.對于線性相關(guān)系數(shù)r,敘述正確的是()

A.|re(0,+8),”越大相關(guān)程度越大，反之相關(guān)程度越小

B.0—8,+8),r越大相關(guān)程度越大，反之相關(guān)程度越小

C.|”W1,且I”越接近1相關(guān)程度越大，舊越接近0,相關(guān)程度越小

D.以上說法都不對

【解析】選C用相關(guān)系數(shù)，可以衡量兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，＞■的絕對值越接近于

1,表示兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r的絕對值接近于0時(shí)，表示兩個變量之間幾乎不存

在相關(guān)關(guān)系.

題21.有人收集了春節(jié)期間平均氣溫x與某取暖商品銷售額y的有關(guān)數(shù)據(jù)如表:

平均氣溫（℃）-2-3—5-6

銷售額（萬元）20232730

則該商品銷售額與平均氣溫有（）

A.確定性關(guān)系B.正相關(guān)關(guān)系

C.負(fù)相關(guān)關(guān)系D.函數(shù)關(guān)系

【解析】選C.由表中數(shù)據(jù)可知：），隨x的減小而增大，是負(fù)相關(guān)關(guān)系.

題22.已知某次考試之后，班主任從全班同學(xué)中隨機(jī)抽取一個容量為8的樣本，他們的數(shù)

5060708090100數(shù)學(xué)成績/分

根據(jù)以上信息，則下列結(jié)論：

①根據(jù)散點(diǎn)圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有線性相關(guān)關(guān)系；

②根據(jù)散點(diǎn)圖，可以判斷數(shù)學(xué)成績與物理成績具有一次函數(shù)關(guān)系；

③從全班隨機(jī)抽取2名同學(xué)（記為甲、乙），若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成

績?yōu)?0分，則可以判斷出甲同學(xué)的物理成績一定比乙同學(xué)的物理成績高；

④從全班隨機(jī)抽取2名同學(xué)（記為甲、乙），若甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績?yōu)?0分，乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成

績?yōu)?0分，則不能判斷出甲同學(xué)的物理成績一定比乙同學(xué)的物理成績高.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】選B.由散點(diǎn)圖知兩變量間是線性相關(guān)關(guān)系，非函數(shù)關(guān)系，所以①正確，②錯誤；

利用概率知識進(jìn)行預(yù)測，得到的結(jié)論有一定的隨機(jī)性，所以③錯誤，④正確；所以正確結(jié)論

的個數(shù)為2.

題23.（多邊博）研究與試驗(yàn)發(fā)展（R&力）是科技活動的核心指標(biāo)，是衡量一個國家和地區(qū)

科技發(fā)展水平的主要指標(biāo)，同時(shí)也是反映企業(yè)自主創(chuàng)新能力的指標(biāo).我國一直以來都在大力

促進(jìn)科技創(chuàng)新，R&O經(jīng)費(fèi)支出增速保持世界領(lǐng)先.如圖是我國近五年（2016—2020年）R&O

經(jīng)費(fèi)支出統(tǒng)計(jì)圖，則下列說法中正確的是（）

R&。經(jīng)費(fèi)支出(億元)

30000

25000

20000

15000

10000

5000

0

20162017201820192020

A.近五年，R&O經(jīng)費(fèi)支出與年份呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系

B.近五年，/?&。經(jīng)費(fèi)支出的中位數(shù)為19678

C.2020年，R&O經(jīng)費(fèi)支出相對于2016年增長超過50%

D.2020年，經(jīng)費(fèi)支出增長速度最快

【解析】選43c對于A選項(xiàng)，近五年，R&O經(jīng)費(fèi)支出與年份呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系，A選項(xiàng)正確;

對于8選項(xiàng)，近五年，R&。經(jīng)費(fèi)支出的中位數(shù)為19678,8選項(xiàng)正確；

24426

對于C選項(xiàng)，因?yàn)?、?L56,即2020年秋。經(jīng)費(fèi)支出相對于2016年增長超過50%,

15677

C選項(xiàng)正確；

」十但./p>

對于。選項(xiàng)，2016—2017年，-^1.123,2017—2018年，廣公八。^1.118,2018-

1567717606

2019年，---—^1.125,2019—2020年，^1.103,。選項(xiàng)