北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊?？碱}專練專題10三角形的認(rèn)識及等腰三角形分類討論(原卷版+解析)

專題10三角形的認(rèn)識及等腰三角形分類討論題型一三角形的基本概念1．下列說法正確的有①等腰三角形是等邊三角形；②三角形按邊分可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；③等腰三角形至少有兩邊相等；④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④2．三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的表示A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形3．下列關(guān)于三角形的分類，正確的是A． B． C． D．4．如圖，圖中三角形的個數(shù)共有A．3個 B．4個 C．5個 D．6個題型二對角的認(rèn)識5．如圖，把紙片沿折疊，當(dāng)點落在四邊形的外面時，此時測得，，則的度數(shù)為A． B． C． D．6．如圖，把的一角折疊，若，則A． B． C． D．7．如圖，在中，沿折疊，點落在三角形所在的平面內(nèi)的點為，若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．8．在中，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．9．如圖，和相交于點，則下列結(jié)論不正確的是A． B． C． D．10．如圖，，，，則的大小為A． B． C． D．11．三角形中，如果有一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的2倍，我們把這個三角形叫做“二倍角三角形”．在一個“二倍角三角形”中有一個內(nèi)角為，則另外兩個角分別為．12．如圖，三角形紙片中，，，將紙片的角折疊，使點落在內(nèi)，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．13．三角形中，如果有一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的3倍，我們把這個三角形叫做“三倍角三角形”．在一個“三倍角三角形”中有一個內(nèi)角為，則另外兩個角分別為．題型三對邊的認(rèn)識14．一個三角形的兩邊長分別為5和2，若該三角形的第三邊的長為偶數(shù)，則該三角形的第三邊的長為A．6 B．8 C．6或8 D．4或615．在中，，，若第三邊的長是偶數(shù)，則的長是．16．已知，，是的三邊長，、滿足，且為方程的解，則的周長為A．4 B．5 C．7或11 D．717．若，，為三角形的三邊長，化簡等于．18．已知、、為三角形的三邊，．（1）化簡；（2）計算．題型四基本計算19．有下列條件：①；②；③；④．能確定是直角三角形的條件有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個20．已知中，，，三個角的比例如下，其中能說明是直角三角形的是A． B． C． D．21．適合條件的是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形22．在中，如果，那么是A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．銳角三角形或鈍角三角形23．如圖所示，在中，，則為A． B． C． D．24．在具備下列條件的中，①；②，；③；④，其中能構(gòu)成直角三角形的有．25．三角形的三邊，，滿足，試判斷三角形的形狀，并說明理由．題型五等腰三角形分類討論——按角分26．若中剛好有，則稱此三角形為“可愛三角形”，并且稱作“可愛角”．現(xiàn)有一個“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個三角形的“可愛角”應(yīng)該是A．或 B．或 C．或 D．或或27．已知等腰三角形的一個外角等于，則它的頂角是A． B． C．或 D．不能確定28．等腰三角形兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為，這個等腰三角形底角的度數(shù)為．變式：已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為．29．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角度數(shù)為A． B． C． D．或30．等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為度，則此三角形的頂角為度．31．已知等腰中一腰上的高與另一腰的夾角為，則的底角度數(shù)為度．32．如圖，在中，，，點為邊上一點且不與、重合，將沿翻折得到，直線與直線相交于點．若，當(dāng)為等腰三角形時，．（用的代數(shù)式表示題型六等腰三角形分類討論——按邊分33．如圖是的正方形方格圖，點，在小方格的頂點上，要在小方格的頂點確定一點，連接和，使是等腰三角形，則方格圖中滿足條件的點的個數(shù)是A．4 B．5 C．6 D．734．等腰三角形的一邊長為10，另一邊長為6，則它的周長是．35．等腰三角形的底邊長為，一腰上的中線把其周長分成兩部分之差為，則等腰三角形的腰長為．36．某等腰三角形的底邊長為，一腰上的中線把周長分成的兩部分之差為，則它的腰長等于．37．如圖，中，，，，．若動點從點開始，按的路徑運動（回到點就停止），且速度為每秒，則運動秒時，為等腰三角形．（提示：直角三角形中，當(dāng)斜邊和一條直角邊長分別為3和時，另一條直角邊長為38．如圖所示，在中，，邊上的中線把三角形的周長分為和的兩部分，求三角形各邊的長．專題10三角形的認(rèn)識及等腰三角形分類討論題型一三角形的基本概念1．下列說法正確的有①等腰三角形是等邊三角形；②三角形按邊分可分為等腰三角形、等邊三角形和不等邊三角形；③等腰三角形至少有兩邊相等；④三角形按角分類應(yīng)分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形．A．①② B．①③④ C．③④ D．①②④【解答】解：①有兩個邊相等的三角形叫等腰三角形，三條邊都相等的三角形叫等邊三角形，等腰三角形不一定是等邊三角形，①錯誤；②三角形按邊分可分為不等邊三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分為底和腰不相等的三角形和等邊三角形，②錯誤；③兩邊相等的三角形稱為等腰三角形，③正確；④三角形按角分類可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，④正確．故選：．2．三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的表示A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【解答】解：三角形根據(jù)邊分類，圖中小橢圓圈里的表示等邊三角形．故選：．3．下列關(guān)于三角形的分類，正確的是A． B． C． D．【解答】解：、等腰直角三角形應(yīng)該是直角三角形，不符合題意；、該選項中的三角形的分類正確，符合題意；、等腰三角形包括等邊三角形，不符合題意；、等腰三角形包括等邊三角形，不符合題意；故選：．4．如圖，圖中三角形的個數(shù)共有A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【解答】解：圖中是三角形的有：、、、、．故選：．題型二對角的認(rèn)識5．如圖，把紙片沿折疊，當(dāng)點落在四邊形的外面時，此時測得，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：如圖，設(shè)與交于點，，，，，，，．故選：．6．如圖，把的一角折疊，若，則A． B． C． D．【解答】解：如圖，把的一角折疊，，，，，，，，，，故選：．7．如圖，在中，沿折疊，點落在三角形所在的平面內(nèi)的點為，若，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：△是沿對折后的圖形，，．，，．，，．，．，．故選：．8．在中，，，則的度數(shù)為A． B． C． D．【解答】解：，，．，．．．故選：．9．如圖，和相交于點，則下列結(jié)論不正確的是A． B． C． D．【解答】解：，，，故，，正確，故選：．10．如圖，，，，則的大小為A． B． C． D．【解答】解：，，，設(shè)，，，，，，，，故選：．11．三角形中，如果有一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的2倍，我們把這個三角形叫做“二倍角三角形”．在一個“二倍角三角形”中有一個內(nèi)角為，則另外兩個角分別為、或、．【解答】解：在中，不妨設(shè)．①若，則，．②若，則，不符合題意；③若，則，，綜上所述，另外兩個角的度數(shù)為，或，．故答案為，或，．12．如圖，三角形紙片中，，，將紙片的角折疊，使點落在內(nèi)，若，則的度數(shù)是A． B． C． D．【解答】解：延長，交于點，連接．，，，，，，，故選：．13．三角形中，如果有一個內(nèi)角是另外一個內(nèi)角的3倍，我們把這個三角形叫做“三倍角三角形”．在一個“三倍角三角形”中有一個內(nèi)角為，則另外兩個角分別為，或，．【解答】解：在中，不妨設(shè)．①若，則，．②若，則（不合題意）．③若，則，，綜上所述，另外兩個角的度數(shù)為，或，．故答案為：，或，．題型三對邊的認(rèn)識14．一個三角形的兩邊長分別為5和2，若該三角形的第三邊的長為偶數(shù)，則該三角形的第三邊的長為A．6 B．8 C．6或8 D．4或6【解答】解：設(shè)三角形的第三邊長為，則，即，三角形的第三邊是偶數(shù)，或6，故選：．15．在中，，，若第三邊的長是偶數(shù)，則的長是4．【解答】解：中，，，，即，又第三邊的長是偶數(shù)，，故答案為：4．16．已知，，是的三邊長，、滿足，且為方程的解，則的周長為A．4 B．5 C．7或11 D．7【解答】解：，且，、，為方程的解，或，又，即，，則的周長為，故選：．17．若，，為三角形的三邊長，化簡等于．【解答】解：因為，，是三角形的三邊長，所以，，，所以原式．故答案為：．18．已知、、為三角形的三邊，．（1）化簡；（2）計算．【解答】解：（1）由三角形三邊關(guān)系知，，故，，，，（2）．題型四基本計算19．有下列條件：①；②；③；④．能確定是直角三角形的條件有A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【解答】解：、，是直角三角形，故本選項正確；、，則，，，是直角三角形，故本選項正確；、，，是直角三角形，故本選項正確；、設(shè)，，，則，解得，故，是直角三角形，故本選項正確．故選：．20．已知中，，，三個角的比例如下，其中能說明是直角三角形的是A． B． C． D．【解答】解：、設(shè)三個角分別為，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得三個角分別為：，，，所以不是直角三角形；、設(shè)三個角分別為，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得三個角分別為：，，，所以是直角三角形；、設(shè)三個角分別為，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得三個角分別為：，，，所以不是直角三角形；、設(shè)三個角分別為，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得三個角分別為：，，，所以不是直角三角形．故選：．21．適合條件的是A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【解答】解：，，，，即，，，，為直角三角形．故選：．22．在中，如果，那么是A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．銳角三角形或鈍角三角形【解答】解：由可得：，所以三角形是鈍角三角形；故選：．23．如圖所示，在中，，則為A． B． C． D．【解答】解：如圖所示，在中，，則．．所以，即為．故選：．24．在具備下列條件的中，①；②，；③；④，其中能構(gòu)成直角三角形的有①②④．【解答】解：①因為，可得，是直角三角形．②，，可得，，，是直角三角形．③，可得，，不是直角三角形．④，可得，，是直角三角形．故答案為①②④．25．三角形的三邊，，滿足，試判斷三角形的形狀，并說明理由．【解答】解：為等邊三角形，理由如下：，，，，，，，為等邊三角形．題型五等腰三角形分類討論——按角分26．若中剛好有，則稱此三角形為“可愛三角形”，并且稱作“可愛角”．現(xiàn)有一個“可愛且等腰的三角形”，那么聰明的同學(xué)們知道這個三角形的“可愛角”應(yīng)該是A．或 B．或 C．或 D．或或【解答】解：①設(shè)三角形底角為，頂角為，則，解得：，②設(shè)三角形的底角為，頂角為，則，解得：，，三角形的“可愛角”應(yīng)該是或，故選：．27．已知等腰三角形的一個外角等于，則它的頂角是A． B． C．或 D．不能確定【解答】解：①若是頂角的外角，則頂角；②若是底角的外角，則底角，那么頂角．故選：．28．等腰三角形兩個內(nèi)角的度數(shù)之比為，這個等腰三角形底角的度數(shù)為或．變式：已知一個等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù)之比為，則這個等腰三角形的頂角度數(shù)為．【解答】解：在中，設(shè)，，分情況討論：當(dāng)為底角時，，解得，頂角；當(dāng)為底角時，，解得，頂角．故這個等腰三角形的底角度數(shù)為或．設(shè)兩個角分別是，①當(dāng)是底角時，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得，解得，，，即底角為，頂角為；②當(dāng)是頂角時，則，解得，，從而得到頂角為，底角為；所以該三角形的頂角為或．故答案為：或；或．29．等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，則頂角度數(shù)為A． B． C． D．或【解答】解：當(dāng)頂角為鈍角時，如圖1，可求得其頂角的鄰補角為，則頂角為；當(dāng)頂角為銳角時，如圖2，可求得其頂角為；綜上可知該等腰三角形的頂角為或．故選：．30．等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為度，則此三角形的頂角為度．【解答】解：如圖，（1）頂角是鈍角時，，故頂角；（2）頂角是銳角時，，故頂角．綜上所述，此三角形的頂角為度．故答案為：．31．已知等腰中一腰上的高與另一腰的夾角為，則的底角度數(shù)為30或60度．【解答】解：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時，如圖1，由已知可知，，又，，，．當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時，如圖2，由已知可知，，又，，．故答案為：30或60．32．如圖，在中，，，點為邊上一點且不與、重合，將沿翻折得到，直線與直線相交于點．若，當(dāng)為等腰三角形時，或或．（用的代數(shù)式表示【解答】解：由翻折的性質(zhì)可知，，如圖1，當(dāng)時，則，，，，，當(dāng)時，為等腰三角形，故答案為．當(dāng)時，；，，，；，，如圖2，當(dāng)時，；，，；當(dāng)或或時，為等腰三角形，故答案為或或． 題型六等腰三角形分類討論——按邊分33．如圖是的正方形方格圖，點，在小方格的頂點上，要在小方格的頂點確定一點，連接和，使是等腰三角形，則方格圖中滿足條件的點的個數(shù)是A．4 B．5 C．6 D．7【解答】解：如圖所示：在，，，位置上時，；在，位置上時，；即滿足點的個數(shù)是6，故選：．34．等腰三角形的一邊長為10，另一邊長為6，則它的周長是26或22．【解答】解：若6為等腰三角形的腰長，則10為底邊的長，此時等腰三角形的周長；若為等腰三角形的腰長，則為底邊的