蘇科版八年級數學上冊講練專題訓練勾股定理30道經典壓軸題型(原卷版+解析)

專題訓練勾股定理30道經典壓軸題型【題型歸納】勾股定理30道經典壓軸題型【重難點題型】1．如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的頂點A在△ECD的斜邊DE上．下列結論：其中正確的有（

）①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2ACA．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．在中，，，、為上兩點，，為外一點，且，，則下列結論：①；②；③；④，其中正確的是（

）A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④3．如圖，三角形紙片ABC中，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點G，連接BE交AD于點F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為，則的值為（

）A．13 B．12 C．11 D．104．如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結論中正確有（）①△BPQ是等邊三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④5．如圖，P是等邊三角形內的一點，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結論中不正確的是（

）A． B． C． D．6．如圖1，是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設備，根據它的原理設計了圖2的機械設備，磨盤半徑OM＝20cm，把手MQ＝15cm，點O，M，Q在同一直線，用長為135cm的連桿將點Q與動力裝置P相連（∠PQM大小可變），點P在軌道AB上來回滑動并帶動磨盤繞點O轉動，OA⊥AB，OA＝80cm．若磨盤轉動1周，則點P在軌道AB上滑過的路徑長為（

）A．90cm B．150cm C．180cm D．70πcm7．如圖，在△ABC中，AB＝13，BC=14，S△ABC=84，D是BC的中點，直線l經過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F，則AE+BF的最大值為（）A．15 B．12 C．10 D．98．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF．則下列結論：①△ABG≌△AFG；②∠AGB＋∠AED＝135°；③BG＝CG；④S△EGC＝S△AFE．其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．49．如圖，分別平分和，且點在上，分別是延長線上的點，和的平分線交于點．下列結論：①；②；③平分；④恒為．其中結論正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個10．如圖，矩形中，，，點為射線上的一個動點，將沿折疊得到，連接，當為直角三角形時，的長為（

）A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或111．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D為AC邊上的中點，E為AB邊上一點，AB＝4BE，連接CE、DE，延長DE交CB延長線于F，若BF＝3，AB＝10，則＝________．12．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點M是DE上一個動點，則線段CM長的最小值為_________．13．如圖，∠AOB＝60°，點C是BO延長線上一點，OC＝6cm，動點P從點C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿射線OA以1cm/s的速度移動，如果點P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間，當t＝___s時，△POQ是等腰三角形．14．如圖，在中，，，，是的中線，將沿直線翻折，點是點的對應點，點是線段上的點，如果，那么______．15．在中，，，，點是的中點，點從點出發(fā)，沿線段以每秒的速度運動到．當點的運動時間______秒時，的面積為．16．如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于點E，AE交BD于點F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，則AE＝_____．17．由4個直角邊分別是、全等的直角三角形拼接而成的圖形如圖所示，如果圖中大小正方形的面積分別為52和4，則=________．18．如圖，在中，，，，平分交于點D，點E、F分別在、上，則的最小值為________．19．如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D，P都在格點上，連接AP，CP，CD，則∠PAB－∠PCD＝________．20．在中，，AD是BC邊上的高，AD上有一點E，連接CE，，在BC上取一點F使，，，則______．21．如圖1，在中，，，．(1)求證：；(2)如圖2，交于點，若，求證：，，三點共線；(3)如圖3，在（2）的條件下，若于，過點作于，，，求，的長度．22．[問題發(fā)現]小明遇到這樣-一個問題:如圖1，△ABC是等邊三角形，點D為BC的中點，且滿足∠ADE=60°，DE交等邊三角形外角平分線CE所在直線于點E.(1)小明發(fā)現，過點D作DFAC，交AC于點F，通過構造全等三角形，經過推理論證，能夠使問題得到解決，請直接寫出AD與DE的數量關系:(2)[類比探究]如圖2，當點D是線段BC上(除B，C外)任意一點時(其它條件不變)，試猜想AD與DE之間的數量關系，并證明你的結論.(3)[拓展應用]當點D在線段BC的延長線上，且滿足CD=BC(其它條件不變)時，請直接寫出△ABC與△ADE的面積之比，23．在ABC中，，，點D在BC上（不與點B，C重合）．(1)如圖1，若ADC是直角三角形，①當AD⊥BC時，求AD的長；②當AD⊥AC時，求CD的長．(2)如圖2，點E在AB上（不與點A，B重合），且．①若，求證：DBE≌ACD；②若ADE是等腰三角形，求CD的長．24．如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，的頂點在格點上.請用無刻度尺按要求作圖：(1)在圖1中，作的高；(2)在圖2中作圖：①找一格點使，且；②連接，在上畫出一點，連，使將四邊形的面積平分．25．如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延長BC到點E，使CE＝3，連接DE．動點P從點B出發(fā)，沿著射線BE以每秒1個單位的速度運動，點P運動的時間為t秒．(1)DE的長為_______．(2)如果動點P從點B出發(fā)，沿著B﹣C﹣D﹣A以每秒1個單位的速度向終點A運動，直接寫出當t為何值時，△ABP≌△DCE；(3)連接DP．①求當t為何值時，△PDE是直角三角形；②直接寫出當t為何值時，△PDE是等腰三角形．26．如圖，在四邊形中，，，，，，點P從點A出發(fā)，以的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以的速度向點B運動、規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設點P，Q運動的時間為．(1)邊的長度為__________；(2)從運動開始，當t取何值時，？(3)是否存在t，使得是直角三角形？若存在，直接寫出t值；若不存在，請說明理由．27．已知，△ABC和△DBE都是等邊三角形，連接AD、EC．(1)如圖1，求證：AD＝CE；(2)如圖2，延長CE交AD于點F，連接BF，求證：BF平分∠DFE；(3)如圖3，在（2）的條件下，若BF＝6，AF＝4，求CF的長．28．如圖，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為t秒，0．(1)當t=2秒時，求PQ的長；(2)求出發(fā)時間為幾秒時，△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向運動，則當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．（直接寫答案）29．如圖1，在中，，點D為AB中點，DE，DF分別交AC于點E，交BC于點F，且．(1)如果，連接CD．①求證：；②求證：；(2)如圖2，如果，探索AE，BF和EF之間的數量關系，并加以證明．30．問題背景定義：若兩個等腰三角形有公共底邊，且兩個頂角的和是，則稱這兩個三角形是關于這條底邊的互補三角形．如圖1，四邊形中，是一條對角線，，，且，則與是關于的互補三角形．(1)初步思考：如圖2，在中，，，、為外兩點，，，為等邊三角形．則關于的互補三角形是_______，并說明理由．(2)實踐應用：如圖3，在長方形中，，．點在邊上，點在邊上，若與是關于互補三角形，試求的長．(3)思維探究：如圖4，在長方形中，，．點是線段上的動點，點是平面內一點，與是關于的互補三角形，直線與直線交于點．在點運動過程中，線段與線段的長度是否會相等？若相等，請直接寫出的長；若不相等，請說明理由．專題訓練勾股定理30道經典壓軸題型【題型歸納】勾股定理30道經典壓軸題型【重難點題型】1．如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的頂點A在△ECD的斜邊DE上．下列結論：其中正確的有（

）①△ACE≌△BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE+AD＝2ACA．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據等腰直角三角形的性質得到CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，則可根據“SAS”證明△ACE≌△BCD，于是可對①進行判斷；利用三角形外角性質得到∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，加上∠CAB＝∠E＝45°，則可得對②進行判斷；由全等三角形得性質和等邊三角形得性質得出③不正確；證出△ADB是直角三角形，由勾股定理得出④正確．【詳解】解：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，∠CAB＝∠CBA＝45°，CD＝CE，∠E＝∠CDE＝45°，∵∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠BCD，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD(SAS)，所以①正確；∵∠DAC＝∠E+∠ACE，即∠DAB+∠BAC＝∠E+∠ACE，而∠CAB＝∠E＝45°，∴∠DAB＝∠ACE，所以②正確；在AD上截取DF=AE，連接CF，如圖所示，在△ACE和△FCD中，∴△ACE△FCD(SAS)，∴AC=FC，當，△ACF是等邊三角形，則AC=AF，此時AE+AC=DF+AF=AD，但無法求證，故③不正確；由①得，△ACE≌△BCD，∴AE=BD，CEA=CDB=45°，∴ADB=CDB+EDC=90°，∴△ADB是直角三角形，∴，∴，∵△ABC是等腰直角三角形，∴，∴，故④正確；故選C．【點睛】本題考查了全等三角形得判定和性質、等腰直角三角形的性質、勾股定理和直角三角形的判定和性質，解決本題的關鍵是掌握全等三角形的判定和性質．2．在中，，，、為上兩點，，為外一點，且，，則下列結論：①；②；③；④，其中正確的是（

）A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】C【分析】根據等腰直角三角形的性質，判斷出，即可得出，根據勾股定理與等量代換可得②正確，根據在等腰三角形中，角平分線與中線為一條直線即可得出③，再根據勾股定理以及等量代換即可得出④．【詳解】解：∵，，，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故①正確；由①中證明，∴，∵，，∴，∴，連接，∵，∴，∵，，∴，故②正確；設與的交點為，∵，，∴，，∴，故③錯誤，∵，，∴，在中，，，∴，∴，故④正確．故選：C．【點睛】本題考查了勾股定理、全等三角形的判定定理以及等腰直角直角三角形的性質，此題涉及的知識面比較廣，解題時要注意仔細分析，難度較大．3．如圖，三角形紙片ABC中，點D是BC邊上一點，連接AD，把△ABD沿著直線AD翻折，得到△AED，DE交AC于點G，連接BE交AD于點F．若DG＝EG，AF＝4，AB＝5，△AEG的面積為，則的值為（

）A．13 B．12 C．11 D．10【答案】A【分析】首先根據SAS證明△BAF≌△EAF可得AF⊥BE，根據三角形的面積公式求出AD，根據勾股定理求出BD即可．【詳解】解：由折疊得，，∠BAF=∠EAF，在△BAF和△EAF中，，∴△BAF≌△EAF(SAS)，∴BF=EF，∴AF⊥BE，又∵AF＝4，AB＝5，∴，在△ADE中，EF⊥AD，DG＝EG，設DE邊上的高線長為h，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∴，在Rt△BDF中，，，∴，故選：A．【點睛】本題考查翻折變換、三角形的面積、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識，運用三角形的面積求出AD的長度是解答本題的關鍵．4．如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC為邊在△ABC外作△BQC≌△BPA，連接PQ，則以下結論中正確有（）①△BPQ是等邊三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】①根據△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷①；②根據勾股定理的逆定理即可判斷得出②；③根據△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷；④求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷④．【詳解】解：①∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，∴△BPQ是等邊三角形，所以①正確；∴PQ=PB=4，∵PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正確；∵△BPQ是等邊三角形，∴∠PQB=∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以③正確；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵∠PQC=90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④錯誤．所以正確的有①②③．故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是綜合應用以上知識．5．如圖，P是等邊三角形內的一點，且，，，以為邊在外作，連接，則以下結論中不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據△ABC是等邊三角形，得出∠ABC=60°，根據△BQC≌△BPA，得出∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，求出∠PBQ=60°，即可判斷A；根據勾股定理的逆定理即可判斷B；根據△BPQ是等邊三角形，△PCQ是直角三角形即可判斷D；求出∠APC=150°-∠QPC，和PC≠2QC，可得∠QPC≠30°，即可判斷C．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=60°，∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，所以A正確，不符合題意；PQ=PB=4，PQ2+QC2=42+32=25，PC2=52=25，∴PQ2+QC2=PC2，∴∠PQC=90°，所以B正確，不符合題意；∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ是等邊三角形，∴∠BPQ=60°，∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，所以D正確，不符合題意；∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，∵PC=5，QC=PA=3,∴PC≠2QC，∵∠PQC=90°，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以C不正確，符合題意．故選：C．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理的逆定理，解決本題的關鍵是綜合應用以上知識．6．如圖1，是傳統(tǒng)的手工磨豆腐設備，根據它的原理設計了圖2的機械設備，磨盤半徑OM＝20cm，把手MQ＝15cm，點O，M，Q在同一直線，用長為135cm的連桿將點Q與動力裝置P相連（∠PQM大小可變），點P在軌道AB上來回滑動并帶動磨盤繞點O轉動，OA⊥AB，OA＝80cm．若磨盤轉動1周，則點P在軌道AB上滑過的路徑長為（

）A．90cm B．150cm C．180cm D．70πcm【答案】C【分析】連接OP，求出OP的取值范圍，再求出PA的取值范圍，即可得結論．【詳解】解：由題意可知OQ＝OM+MQ＝35cm，PQ＝135cm，當Q、O、P三點共線且Q在線段OP左上方延長線上時，OP取得最小值，此時cm；當Q、O、P三點共線且Q在右下方線段OP上時，OP取得最大值，此時cm．∵cm，∴①當OP＝170cm時，（cm）；②當OP＝100cm時，（cm）．∵每轉一周，AP從最小值到最大值再到最小值，∴點P的運動路徑長為：（150﹣60）×2＝180（cm）．故選：C．【點睛】本題考查點的運動軌跡，勾股定理，找出AP的最小值和最大值是解題的關鍵．7．如圖，在△ABC中，AB＝13，BC=14，S△ABC=84，D是BC的中點，直線l經過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F，則AE+BF的最大值為（）A．15 B．12 C．10 D．9【答案】A【分析】如圖，連接AD，作，垂足分別為，可證，；由，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值，，求得的值，在中，由勾股定理得，求得的值；，可得，可知當時，最小，最大，此時有，解得的值，進而求解的值，故可知的最大值．【詳解】解：如圖，連接AD，作，垂足分別為由題意知在和中∵∴∴∵∴在中，由勾股定理得∴在中，由勾股定理得∵∴∴當時，最小，最大∴此時解得∴∴的最大值為15故選A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識．解題的關鍵在于將線段和與面積聯系求解．8．如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E在邊CD上，且CD＝3DE．將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG，CF．則下列結論：①△ABG≌△AFG；②∠AGB＋∠AED＝135°；③BG＝CG；④S△EGC＝S△AFE．其中正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據題意，證明Rt△ABG≌Rt△AFG，即可判斷①；設BG＝GF＝x，則CG＝6﹣x，在Rt△EGC中，EG＝x+2，CG＝6﹣x，CE＝4，在Rt△EGC中，勾股定理建立方程，解方程即可判斷③；根據①的結論可得，進而可得，根據三角形內角和定理即可得∠AGB+∠AED＝135°進而判斷②；根據題中數據分別計算S△EGC，S△AFE，即可判斷④【詳解】解：由題意可求得DE＝2，CE＝4，AB＝BC＝AD＝6，四邊形是正方形，∵將△ADE沿AE對折至△AFE，∴∠AFE＝∠ADE＝∠ABG＝90°，AF＝AD＝AB，EF＝DE＝2在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴①正確；∴BG＝GF，∠BGA＝∠FGA，設BG＝GF＝x，則CG＝6﹣x，在Rt△EGC中，EG＝x+2，CG＝6﹣x，CE＝4，∴（x+2）2＝（6﹣x）2+42，解得x＝3，∴BG＝CG＝3，∴③正確；將△ADE沿AE對折至△AFE，Rt△ABG≌Rt△AFG∴∠AGB+∠AED＝135°，∴②正確；∵S△EGC＝GC?CE＝×3×4＝6，S△AFE＝AF?EF＝×6×2＝6，∴S△EGC＝S△AFE，∴④正確；故選：D．【點睛】本題考查了折疊的性質，三角形全等的性質與判定，三角形內角和定理，勾股定理，掌握以上知識是解題的關鍵．9．如圖，分別平分和，且點在上，分別是延長線上的點，和的平分線交于點．下列結論：①；②；③平分；④恒為．其中結論正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據∠MAD+∠NDA=180°，得到AB∥CD，再根據平行公理可判斷①；根據平行線的性質判斷出∠BAD+∠CDA=180°，結合角平分線的定義可得∠3+∠4=90°，得到AE⊥DE，李用勾股定理可判斷②；再利用平行線的性質和角平分線的定義判斷出∠EAF+∠EDF=135°，結合∠AED=90°，可求出∠F，可判斷④；而由于無其他條件可得∠3與∠DAF的關系，可判斷③．【詳解】解：∵∠MAD+∠NDA=180°，∴AB∥CD，∵AB⊥BC，∴CD⊥BC，故①正確；∵AB∥CD，∴∠BAD+∠CDA=180°，∵AE和DE分別平分∠BAD和∠CDA，∴∠3+∠4=（∠BAD+∠CDA）=90°，∴∠AED=90°，即AE⊥DE，∴在△ADE中，，故②正確；∵∠1+∠2=90°，∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°．∵∠EAM和∠EDN的平分線交于點F，∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°，∵AE⊥DE，∴∠3+∠4=90°，∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°，∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正確，而無法證明∠3與∠DAF的關系，故③錯誤；故選C．【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定、三角形內角和定理、直角三角形的性質、勾股定理以及角平分線的性質，熟知三角形的內角和等于180°是解答此題的關鍵．10．如圖，矩形中，，，點為射線上的一個動點，將沿折疊得到，連接，當為直角三角形時，的長為（

）A．1或4 B．或9 C．1或9 D．或1【答案】C【分析】分兩種情況：①當E點在線段DC上時，②當E點在線段DC的延長線上時，利用全等三角形的判定和性質進行解答即可．【詳解】解：分兩種情況討論：①當E點在線段DC上時，如圖所示：∵△AD'E≌△ADE，∴∠AD'E=∠D=90°，∵∠AD'B=90°，∴∠AD'B+∠AD'E=180°，∴B、D'、E三點共線，∵△ABE的面積=BE×AD'=AB×AD，AD'=AD，∴BE=AB=5，∵BD'==4，∴DE=D'E=5-4=1；②當E點在線段DC的延長線上，且ED″經過點B時，滿足條件，如圖所示：∵∠ABD″+∠CBE=∠ABD″+∠BAD″=90°，∴∠CBE=∠BAD″，在△ABD″和△BEC中，，∴△ABD″≌△BEC（ASA），∴BE=AB=5，∵BD''==4，∴DE=D″E=BD''+BE=4+5=9；綜上所知，DE的長為1或9，故選C．【點睛】本題考查了翻折的性質，三角形全等的判定與性質，勾股定理，掌握翻折的性質，分類探討的思想方法是解決問題的關鍵，有一定難度．11．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D為AC邊上的中點，E為AB邊上一點，AB＝4BE，連接CE、DE，延長DE交CB延長線于F，若BF＝3，AB＝10，則＝________．【答案】【分析】取AB的中點G，連接DG，則AB＝2BG，可得BE＝EG，再利用三角形中位線定理得BC＝2DG，DGBF，利用ASA證明△GDE≌△BFE，得DG＝BF＝3，DE＝EF，再根據直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，從而解決問題．【詳解】解：取AB的中點G，連接DG，則AB＝2BG，∵AB＝4BE，∴BE＝EG，∵D為AC邊上的中點，G為AB的中點，∴DG為△ABC的中位線，∴BC＝2DG，DGBF，∴∠GDE＝∠F，在△GDE和△BFE中，，∴△GDE≌△BFE（AAS），∴DG＝BF＝3，DE＝EF，∴BC＝6，∴CF＝9，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝8，∴CD＝4，在Rt△CDF中，由勾股定理得：，∵∠ACB＝90°，EF＝DE，∴CE＝DF，∴＝＝，故答案為：．【點睛】此題考查了勾股定理，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上中線的性質等知識，解題的關鍵是證明點E是DF的中點．12．已知任意直角三角形的兩直角邊a，b和斜邊c之間存在關系式：a2+b2=c2．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D在BC上，BD=3，CD=4，以AD為一邊作△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE．若點M是DE上一個動點，則線段CM長的最小值為_________．【答案】【分析】連接CE，過點C作于點H，首先證明，可推導，，再證明，在中，由勾股定理計算，然后借助三角形面積求出，根據“垂線段最短”可知，當，即M、H重合時，線段CM的長取最小值，即可獲得答案．【詳解】解：連接CE，過點C作于點H，如下圖，∵，即，∴，∵AB=AC，AD=AE，∴，∴，，∵∠BAC=90°，∴，∴，即，∴在中，，∵，∴，即，解得，∵點M是DE上一個動點，則當，即M、H重合時，線段CM的長取最小值，此時．故答案為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確作圖輔助線構建全等三角形是解題關鍵．13．如圖，∠AOB＝60°，點C是BO延長線上一點，OC＝6cm，動點P從點C出發(fā)沿射線CB以2cm/s的速度移動，動點Q從點O出發(fā)沿射線OA以1cm/s的速度移動，如果點P、Q同時出發(fā)，用t（s）表示移動的時間，當t＝___s時，△POQ是等腰三角形．【答案】2或6##6或2【分析】根據等腰三角形的判定，分兩種情況：當點P在線段OC上時；當點P在CO的延長線上時，分別列式計算即可；【詳解】根據題意分兩種情況：當點P在線段OC上時，設t秒后是等腰三角形，有，即，解得：；當點P在CO的延長線上時，此時經過CO時的時間已用3s，當是等腰三角形時，，∴是等邊三角形，∴，即，解得：；故答案是：2或6．【點睛】本題考查了等腰三角形的判定；解題時把幾何問題轉化為方程求解，是常用的方法，解決本題的關鍵要注意分類討論，當點P在點O的左側還是在右側分別求解．14．如圖，在中，，，，是的中線，將沿直線翻折，點是點的對應點，點是線段上的點，如果，那么______．【答案】##1.8##【分析】先證明，，結合得到，利用等面積法求出，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：如圖，∵是由翻折，∴，，，∴．∵，∴．∵，，∴．∵，∴，．∵，∴，∴．∴．∵，∴．在中，，，∴．∵，∴，解得：．在中，．故答案為：．【點睛】本題考查翻折變換，三角形內角和定理的應用，三角形外角性質，直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是利用數形結合的思想解決問題，屬于中考?？碱}型．15．在中，，，，點是的中點，點從點出發(fā)，沿線段以每秒的速度運動到．當點的運動時間______秒時，的面積為．【答案】或【分析】根據線段中點的性質得到，再由三角形的面積公式推出，結合圖形可以分點在點左側和點在點右側兩種情況進行討論，由線段之間的和差關系及行程問題公式時間路程速度進行求解即可．【詳解】解：∵點是的中點，∴，又，即，解得，當點在點左側時，，則，此時點的運動時間秒．當點在點右側時，，則，此時點的運動時間秒，綜上，點的運動時間為或秒．故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關鍵是求得長度后結合圖形分情況進行討論點在點左側和點在點右側．16．如圖，四邊形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于點E，AE交BD于點F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，則AE＝_____．【答案】20【分析】首先證明DG=BG=AG，CG=GF，設CG=GF=x，AG=BG=DG=y．構建方程組即可解決問題．【詳解】解：∵CD=CB，∠ACB=∠ACD，CA=CA，∴△CAB≌△CAD（SAS），∴AD=AB，∠DAC=∠BAC，∵AB⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠DAC=∠BAC=45°，∵CD=CB，AD=AB，∴AC垂直平分線段BD，∴DG=BG=AG，∵AC=DF，∴CG=GF，∵AE⊥BC，∴∠AEC=∠BGC=∠AGF=90°，∴∠BCG+∠CBG=90°，∠BCG+∠FAG=90°，∴∠CBG=∠FAG，∵BG=AG，∴△BGC≌△AGF（ASA），∴AF=BC=CE+BE=5+12=17，設CG=GF=x，AG=BG=DG=y．①∵②①×12得到：172×12=12x2+12y2，②×17得到172×12=17y2-17xy，∴12x2+12y2=17y2-17xy，∴12x2+17xy-5y2=0，∴（3x+5y）（4x-y）=0，∵3x+5y≠0∴y=4x，∴12×17=4x×3x，∴x2=17，連接CF，可得CF2=2x2=34，．故答案為：20．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，根據勾股定理建立方程組是解題的關鍵．17．由4個直角邊分別是、全等的直角三角形拼接而成的圖形如圖所示，如果圖中大小正方形的面積分別為52和4，則=________．【答案】10【分析】根據勾股定理得到大正方形面積為，小正方形的面積為，利用完全平方公式即可求出結果．【詳解】解：由題意可知，∵∴即故答案為10【點睛】本題考查了勾股定理的應用、完全平方公式，勾股定理與正方形面積相結合并靈活運用完全平方公式是解題的關鍵．18．如圖，在中，，，，平分交于點D，點E、F分別在、上，則的最小值為________．【答案】【分析】在AB上取點，使，過點C作，垂足為，先說明可得，推出當C、E、共線，且點與H重合時，的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D所示：在AB上取點，使，過點C作，垂足為H．∵AE平分，∴∠EAF=∠EA，∵，AE=AE，∴△EAF≌△EA，∴，∴，當C，E，共線，且點與H重合時，的值最小在中，依據勾股定理可知，∵，的最小值為．故答案為．【點睛】本題主要考查的是勾股定理的應用、垂線段最短、全等三角形的判定與性質等知識點，解題的關鍵是利用垂線段最短解答最短路徑問題．19．如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C，D，P都在格點上，連接AP，CP，CD，則∠PAB－∠PCD＝________．【答案】45°【分析】如圖，取CD邊上的格點E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD,證明為等腰直角三角形，從而可得答案．【詳解】如圖，取CD邊上的格點E，連接AE，PE，易得∠BAE＝∠PCD．由題意可得AP2＝PE2＝12+22＝5，AE2＝12+32＝10．∴AE2＝AP2+PE2．∴△APE是等腰直角三角形．∴∠PAE＝45∴∠PAB－∠PCD＝∠PAB－∠BAE＝∠PAE＝45°．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，勾股定理的逆定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．20．在中，，AD是BC邊上的高，AD上有一點E，連接CE，，在BC上取一點F使，，，則______．【答案】12【分析】延長至，是的，連接，設，，則，證明，可得，進而導角可得，可得，在中，，勾股定理列出方程解方程即可求解．【詳解】如圖，延長至，使，連接，，AD是BC邊上的高，，，是等腰直角三角形，設，，則，在與中，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，在中，，即，，解得．故答案為：12．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質，等角對等邊，證明是解題的關鍵．21．如圖1，在中，，，．(1)求證：；(2)如圖2，交于點，若，求證：，，三點共線；(3)如圖3，在（2）的條件下，若于，過點作于，，，求，的長度．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，【分析】（1）由“”可證，可得；（2）由得，，從而得出，，根據和進一步得出結論；（3）作于，作于，設，根據，，從而，設，，則，同理可求得和，根據列出方程，從而求得，進一步求得結果．（1）證明：在和中，，，，（2）證明：由（1）知：，，，，即：，根據外角的性質：，，，，，，，，，，，三點共線；（3）解：如圖，作于，作于，設，，，，，，，，，設，，則，同理可得：設，，，，，，，在和中，由勾股定理得，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了等腰三角形性質，勾股定理，全等三角形判定和性質等知識，解題的關鍵是作輔助線，根據面積法求得線段間關系，在根據列出方程．22．[問題發(fā)現]小明遇到這樣-一個問題:如圖1，△ABC是等邊三角形，點D為BC的中點，且滿足∠ADE=60°，DE交等邊三角形外角平分線CE所在直線于點E.(1)小明發(fā)現，過點D作DFAC，交AC于點F，通過構造全等三角形，經過推理論證，能夠使問題得到解決，請直接寫出AD與DE的數量關系:(2)[類比探究]如圖2，當點D是線段BC上(除B，C外)任意一點時(其它條件不變)，試猜想AD與DE之間的數量關系，并證明你的結論.(3)[拓展應用]當點D在線段BC的延長線上，且滿足CD=BC(其它條件不變)時，請直接寫出△ABC與△ADE的面積之比，【答案】(1)AD=DE(2)AD=DE，證明見解析(3)【分析】（1）由等邊三角形的性質和平行線的性質得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結論；（2）由等邊三角形的性質和平行線的性質得到∠BDF=∠BFD=60°，于是得到△BDF是等邊三角形，再證明△AFD≌△DCE即可得到結論；（3）由BC=CD，得到AC=CD，得到CE垂直平分AD，證出△ADE是等邊三角形，過點A作AF⊥BC，垂足為F，設AB=BC=AC=x，利用直角三角形的性質和勾股定理求出AF，OE和AD，結合三角形面積公式即可得到結論．（1）解：證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°．又∵DFAC，∴∠BDF=∠BFD=60°，∴△BDF是等邊三角形，∴DF=BD，∠BFD=60°，∵BD=CD，∴DF=CD∴∠AFD=120°．∵EC是外角的平分線，∠DCE=120°=∠AFD，∵∠ADB=∠ADC=90°，∴∠ADF=∠EDC=30°，在△AFD與△EDC中，，∴△AFD≌△ECD（ASA），∴AD=DE；（2）AD=DE；證明：如圖2，過點D作DFAC，交AB于點F，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=∠ABC=60°，又∵DFAC，∴∠BDF=∠BFD=60°，∴△BDF是等邊三角形，BF=BD，∠BFD=60°，∴AF=CD，∠AFD=120°，∵EC是外角的平分線，∠DCE=120°=∠AFD，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠FAD=60°+∠FAD，∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，∴∠FAD=∠EDC，在△AFD和△DCE中，，∴△AFD≌△ECD（ASA），∴AD=DE；（3）∵BC=CD，∴AC=CD，∵CE平分∠ACD，∴CE垂直平分AD，∴AE=DE，∵∠ADE=60°，∴△ADE是等邊三角形，設AB=AC=BC=x，∵∠ACD=120°，∴∠ACE=∠DCE=60°，∵AD⊥CE，∴∴OC=，∴AO==，∴AE=2AO=，AD=2AO=，∴OE==，過點A作AF⊥BC，垂足為F，∴AF==，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，正確的作出圖形是解題的關鍵．23．在ABC中，，，點D在BC上（不與點B，C重合）．(1)如圖1，若ADC是直角三角形，①當AD⊥BC時，求AD的長；②當AD⊥AC時，求CD的長．(2)如圖2，點E在AB上（不與點A，B重合），且．①若，求證：DBE≌ACD；②若ADE是等腰三角形，求CD的長．【答案】(1)①6；②(2)①見解析；②或【分析】（1）①過A作AD⊥BC于點D，由等腰三角形的性質可知，再由勾股定理計算AD的長即可；②過點A作AD⊥AC交BC于點D，過點A作AH⊥BC交BC于點H，在和中借助勾股定理計算DH的長，然后由計算AD的長即可；（2）①由、，可知，即有，然后在根據即可證明△DBE≌△ACD；②由可知，若△ADE是等腰三角形，則或，然后分兩種情況討論，分別計算CD的長即可．（1）解：①如圖3，過A作AD⊥BC于點D，∵，，∴，∴；

②如圖4，過點A作AD⊥AC交BC于點D，過點A作AH⊥BC交BC于點H，由（1）得，，由勾股定理可知，，∴，解得，∴；（2）①∵，，∴，∴，∵，∴△DBE≌△ACD（ASA）；②∵，若△ADE是等腰三角形，則或，當時，則，∵△DBE≌△ACD，∴，；當，如圖5，則，，在中，，即，解得，．綜上所述，或．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質以及勾股定理等知識，熟練掌握相關性質，并運用分類討論的思想分析問題是解題的關鍵．24．如圖，由邊長為1的小正方形構成的網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，的頂點在格點上.請用無刻度尺按要求作圖：(1)在圖1中，作的高；(2)在圖2中作圖：①找一格點使，且；②連接，在上畫出一點，連，使將四邊形的面積平分．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②見解析．【分析】（1）根據三角形的高的定義畫出圖形即可；（2）①結合勾股定理和網格圖即可；②在上取格點，使，再取線段的中點，即可．（1）如圖1，線段為所求；證明：取網格點M、N、P，連接PN、PB、AM，如圖，結合網格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN，∵∠PAM+∠MPA=90°，∴∠PBN+∠MPA=90°，∴在△PBH中，∠PHB=90°，即AH⊥BC，AH符合要求；（2）①如圖2，點為所求；②如圖2，點為所求．①證明：結合網格圖和勾股定理，可得，，即，，即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°，即有：AC⊥AD，，即D點滿足要求；②證明：由割補法，可求得的面積為，根據，則的面積，∴與的面積相等，根據網格作圖可知，線段的中點為，∴，∴，則線段平分四邊形的面積．【點睛】本題考查作圖?應用與設計作圖，三角形的高，中線等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．25．如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝6．延長BC到點E，使CE＝3，連接DE．動點P從點B出發(fā)，沿著射線BE以每秒1個單位的速度運動，點P運動的時間為t秒．(1)DE的長為_______．(2)如果動點P從點B出發(fā)，沿著B﹣C﹣D﹣A以每秒1個單位的速度向終點A運動，直接寫出當t為何值時，△ABP≌△DCE；(3)連接DP．①求當t為何值時，△PDE是直角三角形；②直接寫出當t為何值時，△PDE是等腰三角形．【答案】(1)5(2)t＝3(3)①當t＝或t＝6時，△PDE是直角三角形；②當t＝3或4或時，△PDE為等腰三角形【分析】（1）根據題意可得：CD=4，根據勾股定理可求DE的長；（2）利用全等三角形的對應邊BP=CE建立方程求解，即可得出結論；（3）①分兩種情況，利用勾股定理建立方程求解，即可得出結論；②分PD=DE，PE=DE，PD=PE三種情況討論，根據勾股定理和等腰三角形的性質可求t的值．（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，CD⊥BC，在Rt△DCE中，DE＝＝5，故答案為5．（2）如圖1，在長方形ABCD中，AB＝DC，∠B＝∠DCB＝90°，∴∠DCE＝∠B＝90°，∵△ABP≌△DCE，∴BP＝CE，∴1×t＝3，∴t＝3；（3）①當∠PDE＝90°時，如圖2，在Rt△PDE中，，在Rt△PCD中，，∴，∴，∴t＝．當∠DPE＝90°時，此時點P與點C重合，∴BP＝BC，∴t＝6．綜上所述，當t＝或t＝6時，△PDE是直角三角形；②若△PDE為等腰三角形，則PD＝DE或PE＝DE或PD＝PE，當PD＝DE時，如圖3，∵PD＝DE，DC⊥BE，∴PC＝CE＝3，∵BP＝BC﹣CP＝3，∴t＝＝3，當PE＝DE＝5時，如圖4，∵BP＝BE﹣PE，∴BP＝9﹣5＝4，∴t＝＝4，當PD＝PE時，如圖5，∴PE＝PC+CE＝3+PC，∴PD＝3+PC，在Rt△PDC中，，∴，∴PC＝，∵BP＝BC﹣PC，∴BP＝，∴t＝，綜上所述：當t＝3或4或時，△PDE為等腰三角形．【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了勾股定理，全等三角形的性質，直角三角形的性質和等腰三角形的性質，用分類討論的思想解決問題是解本題的關鍵．26．如圖，在四邊形中，，，，，，點P從點A出發(fā)，以的速度向點D運動；點Q從點C同時出發(fā)，以的速度向點B運動、規(guī)定其中一個動點到達端點時，另一個動點也隨之停止運動．設點P，Q運動的時間為．(1)邊的長度為__________；(2)從運動開始，當t取何值時，？(3)是否存在t，使得是直角三角形？若存在，直接寫出t值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)5cm(2)t=4或t=7(3)存在，t=3或t=【分析】（1）過點D作DE⊥BC，根據勾股定理求解即可；（2）分兩種情況討論，當PQCD時或當PQ與CD不平行時，根據兩種情況分別討論并求解即可；（3）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸建立直角坐標系，根據前兩問題的條件標出各點的坐標，依此求解即可．（1）如圖，過點D作DE⊥BC，故DE=AB=4，EC=BC-AD=11-8=3，∵DE⊥EC，∴△DEC為直角三角形，∴．故答案為：5．（2）設經過ts時，PQ=CD，

圖①①當PQCD時，如圖①，四邊形PQCD為平行四邊形，∴PD＝CQ．∵PD＝(8－t)cm，CQ＝tcm，∴8－t＝t，∴t＝4，

圖②②當PQ與CD不平行時，如圖②，分別過點P，D作BC邊的垂線PE，DF，垂足分別為E，F．∴∠PEQ＝∠PEF＝∠DFE＝∠DFC=90°，∵ADBC，∠B＝90°，∴∠A+∠B=180°，∴∠A=180°-90°=90°，∴∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四邊形ABFD是矩形，∴AD＝BF，∠ADF=90°，∵AD＝8cm，BC＝11cm，∴CF＝BC－BF＝BC－AD=3cm．又∠PEF＝∠DFE=∠ADF=90°，∴四邊形PDEF是矩形，∴PE=DF，EF=PD，又PQ=CD，∠PEQ＝∠DFC=90°，∴Rt△PQE≌Rt△DCF(HL)，∴QE=CF=3cm，CQ=CF+EF+QE=CF+PD+QE，∴t=3+8-t+3，解得t=7．（3）存在，理由如下：以B為原點，BC為x軸，BA為y軸建立直角坐標系，則B（0，0），A（0，4），C（11，0），D（8，4），P（t，4），Q（11-t，0），若∠PDQ=90°，則PD⊥DQ，∴11-t=8，∴t=3，若∠DPQ為90°，則PD⊥PQ，∴t=11-t，∴，若∠DQP=90°，則PQ⊥DQ，∴，∴，∵，∴不存在這樣的t使得∠DQP＝90°，綜上所示：t=3或t=．【點睛】本題考查動點問題，勾股定理，平面直角坐標系的應用，能夠掌握數形結合思想是解決本題的關鍵．27．已知，△ABC和△DBE都是等邊三角形，連接AD、EC．(1)如圖1，求證：AD＝CE；(2)如圖2，延長CE交AD于點F，連接BF，求證：BF平分∠DFE；(3)如圖3，在（2）的條件下，若BF＝6，AF＝4，求CF的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)10【分析】（1）由SAS證得△BDA≌△BEC，即可得出結論；（2）過點B作BM⊥AD，交AD延長線于M，作BN⊥CF于N，由全等三角形的在得AD＝CE，,則BM＝BN，再由角平分線的判定即可得出結論；（3）過點B作BM⊥AD，交AD延長線于M，作BN⊥CF于N，由全等三角形的性質得∠BAD＝∠BCE，再由三角形的外角性質得∠AFN＝∠ABC＝60°，然后由含30°角的直角三角形的性質得MF＝NF＝3，則AM＝AF＋MF＝7，BM＝BN＝，得AB＝，即可解決問題．（1）證明：∵△ABC和△DBE都是等邊三角形，∴BD＝BE，BA＝BC，∠DBE＝∠ABC＝60°，∵∠ABD＋∠ABE＝∠CBE＋∠ABE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△BDA和△BEC中，，∴△BDA≌△BEC（SAS），∴AD＝CE；（2）證明：過點B作BM⊥AD，交AD延長線于M，作BN⊥CF于N，如圖2所示：同（1）得：△BDA≌△BEC（SAS），∴AD＝CE，,∵BM是△BDA底邊AD上的高，BN是△BEC底邊CE上的高，∴BM＝BN，∴BF平分∠DFE；（3）解：過點B作BM⊥AD，交AD延長線于M，作BN⊥CF于N，如圖3所示：則∠BMF＝∠BNF＝∠BNC＝90°，同（1）得：△BDA≌△BEC（SAS），∴∠BAD＝∠BCE，∵∠AFN＋∠BAD＝∠ABC＋∠BCE，∴∠AFN＝∠ABC＝60°，∴∠DFE＝120°，由（2）可知，BF平分∠DFE，∴∠BFM＝∠BFN＝×120°＝60°，∴∠MBF＝∠NBF＝90°﹣60°＝30°，∴MF＝NF＝BF＝3，∴AM＝AF＋MF＝4＋3＝7，BM＝BN＝＝，∴AB＝＝＝，∴BC＝AB＝，∴CN＝＝＝7，∴CF＝CN＋NF＝7＋3＝10，即CF的長為10．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質、等邊三角形的性質、含30°角的直角三角形的性質、勾股定理以及三角形的外角性質等知識，本題綜合性強，熟練掌握等邊三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．28．如圖，已知在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為t秒，0．(1)當t=2秒時，求PQ的長；(2)求出發(fā)時間為幾秒時，△PQB是等腰三角形？(3)若Q沿B→C→A方向運動，則當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．（直接寫答案）【答案】(1)2(2)秒(3)5.5秒或6秒或6.6秒【分析】（1）可求得AP和BQ，則可求得BP，在Rt△BPQ中，由勾股定理可求得PQ的長；（2）用t可分別表示出BP和BQ，根據等腰三角形的性質可得到BP=BQ，可得到關于t的方程，可求得t；（3）用t分別表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性質可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三種情況，分別得到關于t的方程，可求得t的