滬教版八年級數(shù)學(xué)下冊期中期末滿分沖刺卷特訓(xùn)10特殊平行四邊形、梯形解答證明壓軸題(原卷版+解析)

特訓(xùn)10特殊平行四邊形、梯形解答證明壓軸題一、解答題1．如圖，在矩形中，平分交于E，連接，．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，若點F是邊上的一點，若，連結(jié)交于G，①猜想的度數(shù)，并說明理由；②若，求的值．2．如圖，點是正方形對角線的延長線上任意一點，以線段為邊作一個正方形，線段與、分別相交于點、．(1)求證：；(2)判斷與的關(guān)系，并說明理由；(3)若，，求的長．3．在梯形中，，點分別在邊上，，點與在直線的兩側(cè)，，射線與邊分別相交于點，設(shè)．（1）求邊的長；（2）如圖，當(dāng)點在梯形內(nèi)部時，求關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）如果的長為，求梯形的面積．4．已知，菱形中，，、分別是邊和上的點，且．(1)求證：．(2)如圖2，在延長線上，且，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，，點是的中點，求的長．5．如圖①，已知正方形中，，分別是邊，上的點（點，不與端點重合），且，，交于點，過點作交于點．(1)求證：．(2)若，試求線段的長．(3)如圖②，連接并延長交于點，若點是的中點，試求的值．6．如圖，正方形中，點是上一點，點是上一點，．(1)如圖1，若，求的面積．(2)如圖2，求證：．(3)如圖3，點為延長線上一點，點為延長線上一點，．請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．7．已知點是正方形對角線上一點，與交于點，，垂足為，直線與交于點．(1)如圖1，當(dāng)在線段上時，求證；(2)如圖2，當(dāng)在線段上時，的延長線交于點，若，求證：①四邊形為菱形；②；(3)如圖3，若，在點從到的運動過程中，的最小值為______．8．如圖1，點O是正方形的對角線BD的中點，過點O作直線，點D關(guān)于直線的對稱點為E，連接．(1)求的值．(2)如圖2，作于點F，請用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于點G，當(dāng)時，請你探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．9．在菱形ABCD中，P是直線BD上一點，點E在射線AD上，連接PC，(1)如圖（1），當(dāng)∠BAD=90°時，連接PE，交CD于點F，若∠CPE=90°，求證：PC=PE；(2)當(dāng)∠BAD=60°時，連接PE，CE，PC交AE于點F，∠CPE=60°，AC=CE=4．①如圖（2），若點P在線段BD的延長線上，求BP的長；②如圖（3），若點P在線段DB的延長線上，直接寫出BP的長．10．如圖1，已知菱形的邊長為6，，點、分別是邊、上的動點(不與端點重合)，且.（1）求證:是等邊三角形；（2）點、在運動過程中，四邊形的面積是否變化，如果變化，請說明理由；如果不變，請求出面積；（3）當(dāng)點在什么位置時，的面積最大，并求出此時面積的最大值；（4）如圖2，連接分別與邊、交于、，當(dāng)時，求證:.11．如圖①，在正方形ABCD中，點P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PC=PE，PE交CD于點F．(1)求證：∠PCD=∠PED；(2)連接EC，求證：EC=AP；(3)如圖②，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)∠DAB=60°時，請直接寫出線段EC和AP的數(shù)量關(guān)系______．12．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，現(xiàn)將紙片折疊，點D的對應(yīng)點記為點P，折痕為EF(點E、F是折痕與矩形的邊的交點)，再將紙片還原．（1）若點P落在矩形ABCD的邊AB上(如圖1)．①當(dāng)點P與點A重合時，∠DEF=°，當(dāng)點E與點A重合時，∠DEF=°．②當(dāng)點E在AB上時，點F在DC上時(如圖2)，若AP=，求四邊形EPFD的周長．（2）若點F與點C重合，點E在AD上，線段BA與線段FP交于點M(如圖3)，當(dāng)AM=DE時，請求出線段AE的長度．（3）若點P落在矩形的內(nèi)部(如圖4)，且點E、F分別在AD、DC邊上，請直接寫出AP的最小值．13．如圖，邊長為2的正方形紙片ABCD中，點M為邊CD上一點（不與C，D重合），將△ADM沿AM折疊得到△AME，延長ME交邊BC于點N，連結(jié)AN．（1）猜想∠MAN的大小是否變化，并說明理由；（2）如圖1，當(dāng)N點恰為BC中點時，求DM的長度；（3）如圖2，連結(jié)BD，分別交AN，AM于點Q，H．若BQ＝，求線段QH的長度．14．在菱形中，,點是射線上一動點，以為邊向右側(cè)作等邊，點的位置隨點的位置變化而變化.（1）如圖1，當(dāng)點在菱形內(nèi)部或邊上時，連接，與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是；（2）當(dāng)點在菱形外部時，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理).

(3)如圖4，當(dāng)點在線段的延長線上時，連接，若,,求四邊形的面積.

15．如圖1，，是線段上的一個動點，分別以為邊，在的同側(cè)構(gòu)造菱形和菱形，三點在同一條直線上連結(jié)，設(shè)射線與射線交于.

（1）當(dāng)在點的右側(cè)時，求證：四邊形是平形四邊形.（2）連結(jié)，當(dāng)四邊形恰為矩形時，求的長.（3）如圖2，設(shè)，，記點與之間的距離為，直接寫出的所有值.16．如圖，已知平行四邊形中，平分，（1）求證：平行四邊形是菱形；（2）為邊上一動點，連接，作的垂直平分線交于，交于，連接、，①求證：為等腰三角形；②若，求的值．17．在正方形ABCD中．（1）如圖1，點E、F分別在BC、CD上，AE、BF相交于點O，∠AOB=90°，試判斷AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，點E、F、G、H分別在邊BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于點O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的長；（3）如圖3，點E、F分別在BC、CD上，AE、BF相交于點O，∠AOB=90°，若AB=5，圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為4：5，求△ABO的周長．18．已知正方形ABCD，點E在AB上，點G在AD，點F在射線BC上，點H在CD上．（1）如圖1，DE⊥FG，求證：BF＝AE+AG；（2）如圖2，DE⊥DF，P為EF中點，求證：BE＝PC；（3）如圖3，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若CD＝4，BF＝DG＝1，則線段EH的長為．19．四邊形ABCD是矩形，點E是射線BC上一點，連接AC，DE．（1）如圖1，點E在邊BC的延長線上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度數(shù)；（2）如圖2，點E在邊BC的延長線上，BE＝AC，若M是DE的中點，連接AM，CM，求證：AM⊥MC；（3）如圖3，點E在邊BC上，射線AE交射線DC于點F，∠AED＝2∠AEB，AF＝4，AB＝4，則CE＝．（直接寫出結(jié)果）20．如圖，在菱形中，是邊上的動點，作交于點，在上取點使，連結(jié)（1）求的度數(shù)；（2）求證：（3）若是的中點，當(dāng)為何值時，是等腰三角形．21．梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分別為、的中點，和分別與交于和，和交于點．（1）求證：；（2）當(dāng)點在四邊形內(nèi)部時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當(dāng)時，求的長．22．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，對角線AC、BD相交于點O，且AC⊥BD，設(shè)AD＝x，△AOB的面積為y．（1）求∠DBC的度數(shù)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）如圖1，設(shè)點P、Q分別是邊BC、AB的中點，分別聯(lián)結(jié)OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的長．23．如圖①，是等腰直角三角形，，四邊形是正方形，點B、C分別在邊上，此時成立．將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，并探究下列問題：(1)如圖②，成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(2)當(dāng)時，如圖③，延長交于點H．當(dāng)時，求線段的長．(3)如圖④，延長交于點H，連接，直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系．24．在正方形中，是邊上一點（點不與點、重合），連結(jié)．感知：如圖①，過點作交于點．求證．探究：如圖②，取的中點，過點作交于點，交于點．（1）求證：．（2）連結(jié)，若，求的長．應(yīng)用如圖③，取的中點，連結(jié)．過點作交于點，連結(jié)、．若，求四邊形的面積．25．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是上一點，F(xiàn)是延長線上一點，且，求證：．（2）如圖2，在正方形中，E是上一點，G是上一點，如果，求證：．（3）運用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗和知識，完成下題：如圖3，在直角梯形中，（），，．E是上一點，且，，求直角梯形的面積．26．如圖，在長方形中，，，，，，點P在邊上，且不與點B、C重合，直線與的延長線交于點E．(1)當(dāng)點P是的中點時，求證：；(2)將沿直線折疊得到，點落在長方形的內(nèi)部，延長交直線于點F．①證明，并求出在（1）條件下的值；②連接，直接寫出周長的最小值．27．在正方形中，，點為邊上一點（不與點、重合），垂直于的一條直線分別交，，于點，，．(1)①如圖1，判斷線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖2，若垂足為的中點，連接，交于點，連接，則______．(3)若垂足在對角線上，正方形的邊長為．①如圖3，若，，則______；②如圖4，連接，將沿著翻折，點落在點處，的中點為，則的最小值為______．28．如圖，在中，過點作交于點，且．(1)如圖1，過點作且，連接，若，求的長；(2)如圖2，點是上一點，且，交于點．求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，且．連接，線段與相交于點．將沿著翻折，點與點重合，連接．請直接寫出的值．特訓(xùn)10特殊平行四邊形、梯形解答證明壓軸題一、解答題1．如圖，在矩形中，平分交于E，連接，．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，若點F是邊上的一點，若，連結(jié)交于G，①猜想的度數(shù)，并說明理由；②若，求的值．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得，，，由角平分線的性質(zhì)得出，則是等腰直角三角形，得出，推出，由勾股定理得出；（2）①連接，由（1）得，，由證得，得出，，證明是等腰直角三角形，即可得出結(jié)論；②根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求得，過D作于M，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，得到，過A作于N，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解析】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）①，理由：連接EF，如圖所示：由（1）得：，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②∵四邊形是矩形，∴，∴，過D作于M，∴，∴，∴，∵，∴，由①知，，∵，∴，∴，∴，過A作于N，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由①知，，∴，，∴．【點睛】本題考查了四邊形的綜合題，矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．如圖，點是正方形對角線的延長線上任意一點，以線段為邊作一個正方形，線段與、分別相交于點、．(1)求證：；(2)判斷與的關(guān)系，并說明理由；(3)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)，，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和定理證明即可得出結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論得，，再根據(jù)通過等量代換即可證明；（3）連接，證明出四邊形是正方形，再利用正方形的性質(zhì)得出條件，證出，在中利用勾股定理求得的長．【解析】（1）四邊形和四邊形是正方形，，，，，，．．（2），，理由如下：，，，，在中，，，，．（3）連接，如圖，四邊形和四邊形是正方形，，，，，，，在中，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是正方形，，

，，，，在中，．【點睛】本題主要考查了正方形的判定與性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，掌握相關(guān)的知識點，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解本題的關(guān)鍵．3．在梯形中，，點分別在邊上，，點與在直線的兩側(cè)，，射線與邊分別相交于點，設(shè)．（1）求邊的長；（2）如圖，當(dāng)點在梯形內(nèi)部時，求關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）如果的長為，求梯形的面積．【答案】（1）3；（2）；（3）或【分析】（1）過作，與、分別相交于點、，從而判定四邊形是矩形，在中求出的長，利用可得出的長；（2）首先確定，過點作，與、分別相交于、，根據(jù)，，可表示出、，繼而可得出關(guān)于的函數(shù)解析式；（3）①當(dāng)點在梯形內(nèi)部時，由及（2）的結(jié)論得，，可求得梯形的面積，②當(dāng)點在梯形外部時，由及與（2）相同的方法得：，，可求得梯形的面積．【解析】解：（1）如圖1，過作，與、分別相交于點、，梯形中，，，又，四邊形是矩形，，，，．（2），，，，，，，，，如圖2，過點作，與、分別相交于、，，，，，，，關(guān)于的函數(shù)解析式為；（3）當(dāng)點在梯形內(nèi)部時，由及（2）的結(jié)論得，，，當(dāng)點在梯形外部時，由及與（2）相同的方法得：，，，綜上所述，梯形的面積為或．【點睛】本題考查直角梯形及由實際問題列一次函數(shù)關(guān)系式的知識，屬于綜合性較強的題目，難度較大，對于此類題目要學(xué)會由小及大，將所求的問題縮小，一步一步求解．4．已知，菱形中，，、分別是邊和上的點，且．(1)求證：．(2)如圖2，在延長線上，且，求證：．(3)如圖3，在（2）的條件下，，點是的中點，求的長．【答案】(1)見詳解(2)見詳解(3)【分析】（1）連接，如圖1，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，即可判定為等邊三角形，得到，，然后利用可證明，即可解答；（2）過點F作，交的延長線于點H，利用平行線的性質(zhì)求得是等邊三角形，得到，然后利用定理求得，從而問題得解；（3）過點B作，交于點K，根據(jù)兩組對邊分別平行求得四邊形是平行四邊形，從而求得，，A作，然后利用含的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得，，即有，在中，利用勾股定理可得，問題隨之得解．【解析】（1）連接，如圖1，∵四邊形為菱形，∴，∵，∴為等邊三角形，∴，，∴，∵，即，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴，∴；（2）過點F作，交的延長線于點H，如圖2，在（1）中已證為等邊三角形，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，又∵是等邊三角形，∴，∴，又∵，∴，即，在和中，∴，∴，∴；（3）過點B作，交于點K，如圖3，∵，，，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵點是的中點，∴，∴，過點A作，由（2）可知，，∴在中，，∴，，∴，在中，，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，及平行四邊形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，題目有一定的綜合性，正確添加輔助線解題是關(guān)鍵的突破點．5．如圖①，已知正方形中，，分別是邊，上的點（點，不與端點重合），且，，交于點，過點作交于點．(1)求證：．(2)若，試求線段的長．(3)如圖②，連接并延長交于點，若點是的中點，試求的值．【答案】(1)見解析(2)(3)4【分析】（1）證明（SAS），得出，得出，可得出結(jié)論；（2）根據(jù)的面積可求出，證明（AAS），由全等三角形的性質(zhì)得出，則，可求出答案；（3）證得，，可得出，在四邊形中，設(shè)，，則，，，由勾股定理可得出，的關(guān)系式，則可求出答案．【解析】（1）在正方形中，，，又∵，∴（SAS），∴，∵，∴，∴，∴．（2）在正方形中，，，∴，∵，∴，在中，，∵，∴，，∴，∵，∴，又∵，∴（AAS），∴，∴．（3）在正方形中，，，∵，，∴，∴，∵，，∴，在中，，∴，在四邊形中，設(shè)，，則，，，∵，∴，∴，即，∴．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積，平行線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想解決問題，學(xué)會用方程的思想方法解決問題．6．如圖，正方形中，點是上一點，點是上一點，．(1)如圖1，若，求的面積．(2)如圖2，求證：．(3)如圖3，點為延長線上一點，點為延長線上一點，．請直接寫出線段、、的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)1(2)見解析(3)【分析】（1）如圖，延長至，使，連接，由“”可證，可得，，由“”可證，可得，由勾股定理和三角形面積公式可求解；（2）將繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得，可得，，，由“”可證，可得，可得結(jié)論；（3）在上截取，連接，由“”可證，可得，，由“”可證，可得，可得結(jié)論．【解析】（1）解：如圖，延長至，使，連接，四邊形是正方形，，，，，，，，，，，，，，又，，，，，，，的面積；（2）證明：將繞著點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，得，則，，，四邊形是正方形，，，，、、在一直線上，，，又，，，；（3）解：理由：如圖3，在上截取，連接，，，，，，，，，，又，，，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．7．已知點是正方形對角線上一點，與交于點，，垂足為，直線與交于點．(1)如圖1，當(dāng)在線段上時，求證；(2)如圖2，當(dāng)在線段上時，的延長線交于點，若，求證：①四邊形為菱形；②；(3)如圖3，若，在點從到的運動過程中，的最小值為______．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②見解析(3)【分析】（1）證明，即可得證；（2）①證明，可得，進(jìn)而證明，可得，可得四邊形是平行四邊形，由，可得四邊形是菱形；②由，又得出，即可證明；（3）取的中點，連接，，則，勾股定理求得，由即可求解．【解析】（1）解：如圖1，∵四邊形是正方形∴，，∴∴，∵，∴∴在與中，，∴，∴；（2）解：①如圖2∵四邊形是正方形，∴，，，，∴，∴，∵，∴，，在和中，∴，∴，∵，∴，

∴，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴四邊形是菱形；②∵是的一個外角，∴∵四邊形是菱形，∴垂直平分，∴，∵，∴，∴，

又∴，∴；（3）解：如圖3，取的中點，連接，則，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，為的中點，∴，∵（當(dāng)且僅當(dāng)點在線段上時，等號成立），∴，即的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)與判定，勾股定理，兩點之間線段最短，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．如圖1，點O是正方形的對角線BD的中點，過點O作直線，點D關(guān)于直線的對稱點為E，連接．(1)求的值．(2)如圖2，作于點F，請用等式表示線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，在（2）的條件下，連接交于點G，當(dāng)時，請你探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)，見解析(3)，見解析【分析】（1）如圖1，根據(jù)等邊對等角得：，由正方形的性質(zhì)可知：一條對角線平分一組對角得：，所以；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明，則，根據(jù)有三個角是直角的四邊形是矩形，證明四邊形是矩形，得，所以；（3）由（2）可知：是等腰直角三角形，則，設(shè)，則，表示和的長，根據(jù)（2）：，得，代入關(guān)于x的式子可是，則．【解析】（1）∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴；（2），理由是：過B作于H，如圖2，∵，∴，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴；（3）由（2）可知：是等腰直角三角形，∴，過點G作于K，如圖3，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴，由（2）：，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、矩形的判定、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．9．在菱形ABCD中，P是直線BD上一點，點E在射線AD上，連接PC，(1)如圖（1），當(dāng)∠BAD=90°時，連接PE，交CD于點F，若∠CPE=90°，求證：PC=PE；(2)當(dāng)∠BAD=60°時，連接PE，CE，PC交AE于點F，∠CPE=60°，AC=CE=4．①如圖（2），若點P在線段BD的延長線上，求BP的長；②如圖（3），若點P在線段DB的延長線上，直接寫出BP的長．【答案】(1)見解析；(2)①，②．【分析】（1）先證出，得PA＝PC，再證明PA＝PE，得PC＝PE；（2）①如圖2中，設(shè)AC交BD于O．首先證明PC＝PE＝PA，由∠CPE＝60°推出PC＝PE＝CE＝AC＝4，由四邊形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，根據(jù)勾股定理和等邊三角形的性質(zhì)求出PO和BO，根據(jù)BP＝PO＋OB計算即可；②如圖3中，利用①中方法計算即可；（1）證明：如圖1中，連接PA．∵∠BAD＝90°，∴菱形ABCD是正方形，在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，在和中，，∴（SAS），∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP，∵∠CPF＝∠EDF＝90°，∠PFC＝∠EFD，∴∠PCF＝∠E，∴∠PAD＝∠E∴PA＝PE，∴PC＝PE；（2）①如圖2中，設(shè)AC交BD于O，連接CE、AP．∵四邊形ABCD是菱形，∴∠ADO＝∠CDO，DA＝DC，∴∠ADP＝∠CDP，在和中，∴（SAS），∴PA＝PC，∠PAD＝∠PCD，∵∠CPE＝∠CDF＝60°，∠DFC＝∠PFE，∴∠E＝∠PCD＝∠PAD，∴PA＝PE＝PC，∴是等邊三角形，∴AC＝CE＝PE＝PA＝PC＝4，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，在中，，∵∠BAD=60°，AB=AD，∴是等邊三角形，，∵，∴，解得：，∴，②如圖3中，設(shè)AC與BD相交于點O，利用①中方法可知．【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考常考題型．10．如圖1，已知菱形的邊長為6，，點、分別是邊、上的動點(不與端點重合)，且.（1）求證:是等邊三角形；（2）點、在運動過程中，四邊形的面積是否變化，如果變化，請說明理由；如果不變，請求出面積；（3）當(dāng)點在什么位置時，的面積最大，并求出此時面積的最大值；（4）如圖2，連接分別與邊、交于、，當(dāng)時，求證:.【答案】（1）見解析；（2）四邊形AECF的面積不變.四邊形AECF的面積為；（3）E是BC的中點時△ECF的面積最大，最大面積為；（4）見解析【分析】（1）利用證明△ACE和△ADF全等得AE=AF，結(jié)合∠EAF=60°，便得△EAF是等邊三角形；（2）根據(jù)△ACE≌△ADF，得四邊形AECF的面積等于△ACD的面積等于菱形ABCD面積的一半；（3）要使三角形ECF的面積最大，只要等邊三角形AEF的面積最小即AE⊥BC時即可；（4）將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABP，連接PM．證明MN=PM，∠BPM=90°即可解決問題.【解析】（1）證明：在菱形ABCD中，∵∠B=60°，∴△ABC、△ACD是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠CAD=60°，∴AC=AD，∵∠EAF=60°，∴∠CAE=∠DAF，∵∠ACE=∠D=60°，∴△ACE≌△ADF，∴AE=AF，∴△EAF是等邊三角形；（2）四邊形AECF的面積不變.過點A作AG⊥BC于點G.在Rt△ABG中，∠B=60°，∴BG=AB=3，∴AG==，∴S△ABC=S△ACD==.由（1）知△ACE≌△ADF，∴S△ACE=S△ADF，∴S四邊形AECF=S△ACE+S△ACF=S△ADF+S△ACF=S△ACD=；（3）∵S四邊形AECF=S△AEF+S△ECF=，∴S△AEF最小時S△ECF最大，∵△AEF是等邊三角形，∴當(dāng)AE⊥BC時S△AEF最小，此時E是BC的中點，AE=，等邊△AEF的EF邊上的高為=，∴S△AEF==，∴S△ECF=S四邊形AECF-S△AEF==；（4）將△ADN繞點A順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△ABP，連接PM．∵∠DAE=15°，∠EAF=60°，∠BAD=120°，∴∠BAE=45°，∠BAP=∠DAF=15°，∴∠MAN=∠MAP=60°，∵AM=AM，AN=AP，∴△MAN≌△MAP（SAS），∴MN=PM，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴∠ADN=∠ADC=30°，∴∠AND=180°-15°-30°=135°，∠ANM=45°，∴∠APB=∠AND=135°，∠APM=∠ANM=45°，∴∠BPM=90°，∴BP2+PM2=BM2，∵BP=DN，PM=MN，∴DN2+MN2=BM2．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.11．如圖①，在正方形ABCD中，點P是對角線BD上的一點，點E在AD的延長線上，且PC=PE，PE交CD于點F．(1)求證：∠PCD=∠PED；(2)連接EC，求證：EC=AP；(3)如圖②，把正方形ABCD改成菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)∠DAB=60°時，請直接寫出線段EC和AP的數(shù)量關(guān)系______．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AP=CE．【分析】（1）根據(jù)正方形性質(zhì)知道PC=PA，又由PE=PC知道PA=PE即可得出結(jié)論．（2）證明△PEC為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．（3）根據(jù)（2）的思路和方法即可求出結(jié)論AP=CE．【解析】（1）證明：在正方形ABCD中，AD=DC，∠ADP=∠CDP=45°，在△ADP和△CDP中，AD=DC；∠ADP=∠CDP；PD=PD，∴△ADP≌△CDP（SAS），∴∠DAP=∠DCP，PA=PC；∵PC=PE，∴PA=PE,∴∠DAP=∠DEP，∴∠DCP=∠DAP=∠DEP．（2）由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；∴△CPE是等腰直角三角形，∴EC=CP，又∵AP=CP，∴EC=AP．（3）AP=CE；理由如下：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60°，在△ABP和△CBP中，AB=BC；∠ABP=∠CBP；PB=PB，∴△ABP≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC，∴∠DAP=∠AEP，∴∠DCP=∠AEP，∵∠CFP=∠EFD（對頂角相等），∴180°-∠PFC-∠PCF=180°-∠DFE-∠AEP，即∠CPF=∠EDF=180°-∠ADC=180°-120°=60°，∴△EPC是等邊三角形，∴PC=CE，∴AP=CE．【點睛】這一類題屬于特殊四邊形的題，一般以實驗探究題的形式出現(xiàn)，知識點綜合性較強，屬于中考必考題型．12．在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，現(xiàn)將紙片折疊，點D的對應(yīng)點記為點P，折痕為EF(點E、F是折痕與矩形的邊的交點)，再將紙片還原．（1）若點P落在矩形ABCD的邊AB上(如圖1)．①當(dāng)點P與點A重合時，∠DEF=°，當(dāng)點E與點A重合時，∠DEF=°．②當(dāng)點E在AB上時，點F在DC上時(如圖2)，若AP=，求四邊形EPFD的周長．（2）若點F與點C重合，點E在AD上，線段BA與線段FP交于點M(如圖3)，當(dāng)AM=DE時，請求出線段AE的長度．（3）若點P落在矩形的內(nèi)部(如圖4)，且點E、F分別在AD、DC邊上，請直接寫出AP的最小值．【答案】（1）①90，45；②；（2）0.6；（3）1．【分析】（1）①當(dāng)點與點重合時，是的中垂線，可得結(jié)論；當(dāng)點與點重合時，如圖2，則平分；②如圖3中，證明得，根據(jù)一組對邊平行且相等得：四邊形是平行四邊形，加上對角線互相垂直可得為菱形，當(dāng)時，設(shè)菱形的邊長為，根據(jù)勾股定理列方程得：，求出的值即可；（2）連接，由折疊性質(zhì)可證，設(shè)．根據(jù)全等性質(zhì)用x表示出線段關(guān)系，再由中可列方程求解；（3）如圖，當(dāng)與重合，點在對角線上時，有最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)求，由勾股定理求，所以．【解析】解：（1）①當(dāng)點與點重合時，是的中垂線，，當(dāng)點與點重合時，此時，故答案為：90，45．②如圖2中，設(shè)與交于點，由折疊知垂直平分．，，矩形，，，，，，，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，當(dāng)時，設(shè)菱形邊長為，則，在中，，，菱形的周長．（2）如圖3中，連接，設(shè)．由折疊知，，，，，，，，，在中，解得．．（3）如圖中，連接，，．，，，此時的最小值，，，當(dāng)與重合時，的值最小，由折疊得：，由勾股定理得：，，當(dāng)，，共線時，有最小值，，則的最小值是1．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和判定、勾股定理、折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是關(guān)鍵，本題難度適中，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想．13．如圖，邊長為2的正方形紙片ABCD中，點M為邊CD上一點（不與C，D重合），將△ADM沿AM折疊得到△AME，延長ME交邊BC于點N，連結(jié)AN．（1）猜想∠MAN的大小是否變化，并說明理由；（2）如圖1，當(dāng)N點恰為BC中點時，求DM的長度；（3）如圖2，連結(jié)BD，分別交AN，AM于點Q，H．若BQ＝，求線段QH的長度．【答案】（1）∠MAN的大小沒有變化，理由見解析；（2）；（3）.【分析】（1）由折疊知AD=AE、DM=EM、∠D=∠AEM=90°、∠DAM=∠EAM=∠DAE，再證Rt△BAN≌Rt△EAN得∠BAN=∠EAN=∠BAE，根據(jù)∠MAN=∠EAM+∠EAN=（∠DAE+∠BAE）可得答案；（2）由題意知EN=BN=CN=1，設(shè)DM=EM=x，則MC=2-x、MN=1+x，在Rt△MNC中，由MC2+CN2=MN2列出關(guān)于x的方程求解可得；（3）將△ABQ繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADG，連接GH，由旋轉(zhuǎn)知DG=BQ=，AG=AQ，∠ADG=∠ABQ=∠ADB=45°，∠BAQ=∠DAG，證△GAH≌△QAH得GH=QH，設(shè)GH=QH=a，得BD=AB=2，BQ=，DQ=，DH=-a，在Rt△DGH中，由DG2+DH2=GH2可得關(guān)于a的方程，解之可得答案．【解析】（1）∠MAN的大小沒有變化，∵將△ADM沿AM折疊得到△AME，∴△ADM≌△AEM，∴AD＝AE＝2、DM＝EM、∠D＝∠AEM＝90°、∠DAM＝∠EAM＝∠DAE，又∵AD＝AB＝2、∠D＝∠B＝90°，∴AE＝AB、∠B＝∠AEM＝∠AEN＝90°，在Rt△BAN和Rt△EAN中，∵，∴Rt△BAN≌Rt△EAN（HL），∴∠BAN＝∠EAN＝∠BAE，則∠MAN＝∠EAM+∠EAN＝∠DAE+∠BAE＝（∠DAE+∠BAE）＝∠BAD＝45°，∴∠MAN的大小沒有變化；（2）∵N點恰為BC中點，∴EN＝BN＝CN＝1，設(shè)DM＝EM＝x，則MC＝2﹣x，∴MN＝ME+EN＝1+x，在Rt△MNC中，由MC2+CN2＝MN2可得（2﹣x）2+12＝（1+x）2，解得：x＝，即DM＝；（3）如圖，將△ABQ繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得△ADG，連接GH，則△ABQ≌△ADG，∴DG＝BQ＝、AG＝AQ、∠ADG＝∠ABQ＝∠ADB＝45°、∠BAQ＝∠DAG，∵∠MAN＝∠BAD＝45°，∴∠BAQ+∠DAM＝∠DAG+∠DAM＝∠GAH＝45°，則∠GAH＝∠QAH，在△GAH和△QAH中，∵，∴△GAH≌△QAH（SAS），∴GH＝QH，設(shè)GH＝QH＝a，∵BD＝AB＝2，BQ＝，∴DQ＝BD﹣BQ＝，∴DH＝﹣a，∵∠ADG＝∠ADH＝45°，∴∠GDH＝90°，在Rt△DGH中，由DG2+DH2＝GH2可得（）2+（﹣a）2＝a2，解得：a＝，即QH＝．【點睛】本題主要考查四邊形的綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識點．14．在菱形中，,點是射線上一動點，以為邊向右側(cè)作等邊，點的位置隨點的位置變化而變化.（1）如圖1，當(dāng)點在菱形內(nèi)部或邊上時，連接，與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是；（2）當(dāng)點在菱形外部時，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說理).

(3)如圖4，當(dāng)點在線段的延長線上時，連接，若,,求四邊形的面積.

【答案】（1）BP=CE；CE⊥AD；（2）成立，理由見解析；（3）.【解析】【分析】（1）①連接AC，證明△ABP≌△ACE，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得BP=CE；②根據(jù)菱形對角線平分對角可得，再根據(jù)△ABP≌△ACE，可得，繼而可推導(dǎo)得出，即可證得CE⊥AD；（2）(1)中的結(jié)論：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，利用（1）的方法進(jìn)行證明即可；（3）連接AC交BD于點O，CE，作EH⊥AP于H，由已知先求得BD=6，再利用勾股定理求出CE的長，AP長，由△APE是等邊三角形，求得，的長，再根據(jù)，進(jìn)行計算即可得.【解析】（1）①BP=CE，理由如下：連接AC，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵△APE是等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE；②CE⊥AD，∵菱形對角線平分對角，∴，∵△ABP≌△ACE，∴，∵，∴，∴，∴，∴CF⊥AD，即CE⊥AD；（2）(1)中的結(jié)論：BP=CE，CE⊥AD仍然成立，理由如下：連接AC，∵菱形ABCD，∠ABC=60°，∴△ABC和△ACD都是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAD=120°，∠BAP=120°＋∠DAP，∵△APE是等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°，∴∠CAE=60°＋60°＋∠DAP=120°＋∠DAP，∴∠BAP=∠CAE，∴△ABP≌△ACE，∴BP=CE，，∴∠DCE=30°，∵∠ADC=60°，∴∠DCE＋∠ADC=90°，∴∠CHD=90°，∴CE⊥AD，∴(1)中的結(jié)論：BP=CE，CE⊥AD仍然成立；(3)

連接AC交BD于點O，CE，作EH⊥AP于H，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，∵∠ABC=60°，，∴∠ABO=30°，∴，BO=DO=3，∴BD=6，由(2)知CE⊥AD，∵AD∥BC，∴CE⊥BC，∵，，∴，由(2)知BP=CE=8，∴DP=2，∴OP=5，∴，∵△APE是等邊三角形，∴，，∵，∴，===，∴四邊形ADPE的面積是.【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)等，熟練掌握相關(guān)知識，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵.15．如圖1，，是線段上的一個動點，分別以為邊，在的同側(cè)構(gòu)造菱形和菱形，三點在同一條直線上連結(jié)，設(shè)射線與射線交于.

（1）當(dāng)在點的右側(cè)時，求證：四邊形是平形四邊形.（2）連結(jié)，當(dāng)四邊形恰為矩形時，求的長.（3）如圖2，設(shè)，，記點與之間的距離為，直接寫出的所有值.【答案】（1）見解析；（2）FG＝；（3）d＝14或.【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP，由平行線的性質(zhì)可得∠FPE＝∠BDP，可得PF∥BD，即可得結(jié)論；（2）由矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)可得FG＝PB＝2EF＝2AP，即可求FG的長；（3）分兩種情況討論，由勾股定理可求d的值；點G在DP的右側(cè)，連接AC，過點C作CH⊥AB，交AB延長線于點H；若點G在DP的左側(cè)，連接AC，過點C作CH⊥AB，交AB延長線于點H．【解析】（1）∵四邊形APEF是菱形∴AP∥EF，∠APF＝∠EPF＝∠APE，∵四邊形PBCD是菱形∴PB∥CD，∠CDB＝∠PDB＝∠CDP∴∠APE＝∠PDC∴∠FPE＝∠BDP∴PF∥BD，且AP∥EF∴四邊形四邊形FGBP是平形四邊形；（2）若四邊形DFPG恰為矩形∴PD＝FG，PE＝DE，EF＝EG，∴PD＝2EF∵四邊形APEF是菱形，四邊形PBCD是菱形∴AP＝EF，PB＝PD∴PB＝2EF＝2AP，且AB＝10∴FG=PB＝.（3）如圖，點G在DP的右側(cè)，連接AC，過點C作CH⊥AB，交AB延長線于點H，∵FE＝2EG，∴PB＝FG＝3EG，EF＝AP＝2EG∵AB＝10∴AP+PB＝5EG＝10∴EG＝2，∴AP＝4，PB＝6＝BC，∵∠ABC＝120°，∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB∴BH＝BC＝3，CH＝BH＝3∴AH＝13∴AC＝＝14若點G在DP的左側(cè)，連接AC，過點C作CH⊥AB，交AB延長線于點H∵FE＝2EG，∴PB＝FG＝EG，EF＝AP＝2EG∵AB＝10，∴3EG＝10∴EG＝∴BP＝BC＝∵∠ABC＝120°，∴∠CBH＝60°，且CH⊥AB∴BH＝BC＝，CH＝BH＝∴AH＝∴AC＝綜上所述：d＝14或.【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定及勾股定理的計算.16．如圖，已知平行四邊形中，平分，（1）求證：平行四邊形是菱形；（2）為邊上一動點，連接，作的垂直平分線交于，交于，連接、，①求證：為等腰三角形；②若，求的值．【答案】（1）證明見詳解；（2）①證明見詳解；②【分析】（1）根據(jù)平行四邊形中，平分求出平行四邊形鄰邊相等即可，（2）①由GF垂直平分CE知GC=GE，再求證△ADG與△CDG全等即可得出為等腰三角形，②連接AC交BD于點O，根據(jù)菱形ABCD中AC與BD垂直平分，GF垂直平分CE，分別用不同方法表示出∠AEC進(jìn)而求出，即可求出．【解析】（1）∵在平行四邊形中，∴，∴∠CDB=∠ABD，又平分，∴∠DBC=∠ABD，∴∠CDB=∠DBC，∴DC=BC，∴平行四邊形是菱形；（2）①由GF垂直平分CE知GC=GE，∵菱形中，AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴△ADG△CDG（SAS），∴GA=GC，即為等腰三角形；②連接AC交BD于點O，如圖：由題意知GF垂直平分CE，∴GC=GE，∴∠GCE=∠GEC，∵在菱形ABCD中AC與BD垂直平分，∴，∴∠GAC=∠GCA，又∵，AB=BC，∴，又∵∠AEC=∠ABC+∠BCE，，∴，由①知∠GAE=∠AEG，則，∵∠AEC=∠AEG+∠GEC，∴∴，∴，又∵GF垂直平分CE，∴，∴，即．【點睛】此題屬于四邊形動點問題，利用平行四邊形考查菱形的判定定理，涉及到垂直平分線的性質(zhì)和三角形外角及等邊三角形性質(zhì)，有一定難度．17．在正方形ABCD中．（1）如圖1，點E、F分別在BC、CD上，AE、BF相交于點O，∠AOB=90°，試判斷AE與BF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，點E、F、G、H分別在邊BC、CD、DA、AB上，EG、FH相交于點O，∠GOH=90°，且EG=7，求FH的長；（3）如圖3，點E、F分別在BC、CD上，AE、BF相交于點O，∠AOB=90°，若AB=5，圖中陰影部分的面積與正方形的面積之比為4：5，求△ABO的周長．【答案】（1）AE=BF，理由見解析；（2）FH=7；（3）△AOB的周長為5+【分析】（1）由四邊形ABCD是正方形可得AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)可得∠BAO=∠CBF，然后根據(jù)ASA可證△ABE≌△BCF，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）如圖4，作輔助線，構(gòu)建平行四邊形AMEG和平行四邊形BNFH，得AM=GE，BN=FH，由（1）題的結(jié)論知△ABM≌△BCN，進(jìn)而可得FH的長；（3）根據(jù)正方形的面積和陰影部分的面積可得：空白部分的面積為25－20=5，易得△AOB的面積與四邊形OECF的面積相等，設(shè)AO=a，BO=b，則易得ab=5，根據(jù)勾股定理得：a2+b2=52，然后根據(jù)完全平方公式即可求出a+b，進(jìn)一步即得結(jié)果．【解析】解：（1）AE=BF，理由是：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∵∠AOB=90°，∴∠BAO+∠ABO=90°，又∵∠CBF+∠ABO=90°，∴∠BAO=∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA）．∴AE=BF；（2）在圖2中，過點A作AM∥GE交BC于M，過點B作BN∥FH交CD于N，AM與BN交于點O′，如圖4，則四邊形AMEG和四邊形BNFH均為平行四邊形，∴AM=GE，BN=FH，∵∠GOH=90°，AM∥GE，BN∥FH，∴∠AO′B=90°，由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，∴FH=GE=7；（3）如圖3，∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為4：5，∴陰影部分的面積為×25=20，∴空白部分的面積為25－20=5，由（1）得，△ABE≌△BCF，∴△AOB的面積與四邊形OECF的面積相等，均為×5=，設(shè)AO=a，BO=b，則ab=，即ab=5，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∴a2+b2=52，∴a2+2ab+b2=25+10=35，即，∴a+b=，即AO+BO=，∴△AOB的周長為5+．【點睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形和多邊形的面積以及完全平方公式的運用，屬于?？碱}型，熟練掌握上述知識、靈活應(yīng)用整體的思想是解題的關(guān)鍵．18．已知正方形ABCD，點E在AB上，點G在AD，點F在射線BC上，點H在CD上．（1）如圖1，DE⊥FG，求證：BF＝AE+AG；（2）如圖2，DE⊥DF，P為EF中點，求證：BE＝PC；（3）如圖3，EH交FG于O，∠GOH＝45°，若CD＝4，BF＝DG＝1，則線段EH的長為．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【分析】（1）作GM⊥BC于M．證△DAE≌△GMF，得AE＝FM，AG＝BM．所以BF＝AE+AG．（2）作EQ∥CP交BC于Q．證EQ＝2CP，EQ＝BE可得BE＝CP．（3）作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，得BM＝GF，BF＝MG＝1，BN＝EH，延長DC到P，使CP＝AM＝2，證△BAM≌△BCP得∠ABM＝∠CBP，BM＝BP，再證△MBN≌△PBN得MN＝PN，設(shè)CN＝x，則MN＝PN＝CN+PC＝x+2，DN＝4﹣x，在Rt△DMN中，由DM2+DN2＝MN2求得x＝，再在△BCN中利用勾股定理求解可得．【解析】解：（1）如圖1，過點G作GM⊥BC于M，則∠GMB＝∠GMF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠A＝∠B＝90°，∴四邊形ABMG是矩形，∴AG＝BM，∵DE⊥GF，∴∠ADE+∠DGF＝∠ADE+∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DGF，又∠DGF＝∠MFG，∴∠AED＝∠MFG，∴△DAE≌△GMF（AAS），∴AE＝MF，則BF＝BM+MF＝AG+AE；（2）如圖2，過點E作EQ∥PC，交BC于點Q，∵P是EF的中點，∴PC是△EQF的中位線，則EQ＝2PC，QC＝CF，∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，又∵∠A＝∠DCF＝90°，AD＝CD，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF＝QC，∵AB＝BC，∴BE＝BQ，則∠BEQ＝45°，∴EQ＝BE，則2PC＝BE，∴BE＝PC；（3）如圖3所示，作BM∥GF交AD于M，作BN∥EH交CD于N，則四邊形BFGM和四邊形BEHN是平行四邊形，∴BM＝GF，BF＝MG＝1，BN＝EH，∵DG＝1，CD＝AD＝4，∴AM＝2，延長DC到P，使CP＝AM＝2，∵BA＝BC，∠A＝∠BCP＝90°，∴△BAM≌△BCP（SAS），∴∠ABM＝∠CBP，BM＝BP，∵∠GOH＝45°，BN∥EH，BM∥GF，∴∠MBN＝45°，∴∠ABM+∠CBN＝45°，∴∠CBP+∠CBN＝45°，即∠PBN＝45°，∴△MBN≌△PBN（SAS），∴MN＝PN，設(shè)CN＝x，則MN＝PN＝CN+PC＝x+2，DN＝4﹣x，在Rt△DMN中，由DM2+DN2＝MN2可得22+（4﹣x）2＝（x+2）2，解得x＝，則EH＝BN＝＝＝，故答案為：．【點睛】本題考查正方形背景中的線段和差，線段倍分，求線段長問題，掌握垂線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識，引垂線構(gòu)造全等，轉(zhuǎn)化線段的相等關(guān)系，利用平行線，構(gòu)造中位線與等腰直角三角形，確定倍數(shù)關(guān)系，利用勾股定理解決線段的長度問題．19．四邊形ABCD是矩形，點E是射線BC上一點，連接AC，DE．（1）如圖1，點E在邊BC的延長線上，BE＝AC，若∠ACB＝40°，求∠E的度數(shù)；（2）如圖2，點E在邊BC的延長線上，BE＝AC，若M是DE的中點，連接AM，CM，求證：AM⊥MC；（3）如圖3，點E在邊BC上，射線AE交射線DC于點F，∠AED＝2∠AEB，AF＝4，AB＝4，則CE＝．（直接寫出結(jié)果）【答案】（1）70°；（2）見解析；（3）2【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)：AC＝BD，OB＝OC，可得∠DBC＝∠ACB＝40°，由BD＝BE得出∠E＝∠BDE，可得結(jié)論；（2）如圖2，延長CM交AD延長線于G，先證明△DMG≌△EMC（AAS），得AG＝AC，根據(jù)等腰三角形三線合一得：AM⊥MC；（3）如圖3，取AF的中點P，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可得：PD＝AP＝AF＝2，證明∠DPE＝∠AED，則DE＝PD＝2，利用勾股定理可得CE的長．【解析】解：（1）如圖1，連接BD，與AC交于點O，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，OB＝OC∴∠DBC＝∠ACB＝40°∵BE＝AC，∴BD＝BE，∴∠BDE＝∠E，∴∠E＝＝70°；（2）如圖2，延長CM交AD延長線于G，∵AG∥BE，∴∠GDM＝∠E，∠G＝∠GCE，∵M(jìn)是DE的中點，∴DM＝EM，∴△DMG≌△EMC（AAS），∴CE＝DG，CM＝MG，∴BC+CE＝AD+DG，即AG＝BE，由（1）知：BE＝BD＝AC，∴AG＝AC，又∵CM＝MG，∴AM⊥MC；（3）如圖3，取AF的中點P，連接PD，則PD＝AP＝AF＝2，∴∠PDA＝∠PAD，在矩形ABCD中，∠AEB＝∠PAD，∠AED＝2∠AEB，∴∠DPE＝∠PAD+∠PDA＝2∠PAD＝2∠AEB＝∠AED，∴DE＝PD＝2，在△DEC中，∠DCE＝90°，AB＝DC＝4，∴CE＝＝＝2．故答案為：2．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)、勾股定理、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，在菱形中，是邊上的動點，作交于點，在上取點使，連結(jié)（1）求的度數(shù)；（2）求證：（3）若是的中點，當(dāng)為何值時，是等腰三角形．【答案】（1）120°；（2）見解析；（3）或【分析】（1）由題意可證是等邊三角形，可得，可求解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用證明可證明結(jié)論；（3）可分三種情況：當(dāng)時；當(dāng)時；當(dāng)時分別進(jìn)行計算即可求解．【解析】解：（1），，是等邊三角形，，；（2）證明：由（1）知，，四邊形為菱形，，，，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，；（3）∵△DFE≌△GEB，∴DF＝GE，當(dāng)EG＝EP時，過E作EM⊥AB垂足為M，設(shè)AE＝x，∵△AGE是等邊三角形，∴AM＝，EM＝，∴BM＝4?x，∵P為EF的中點，∴EF＝2EP，由（2）知EF＝BE，∴EB＝2EG＝2AE＝2x，在Rt△EBM中，EM2＋BM2＝EB2，即（x）2＋（4?x）2＝（2x）2，解得x＝或（舍去），即AE＝；當(dāng)EG＝GP時，過G作GQ⊥EF，垂足為Q，過E作EM⊥AB垂足為M，連接GF，設(shè)AE＝x，∴BG＝4?x，∵△AGE是等邊三角形，∴EG＝x，∵EF＝EB，∠BEF＝60°，∴△BEF為等邊三角形，∴∠EFB＝∠BEF＝60°，EF＝BE，在Rt△EBM中，BE2＝EM2＋BM2＝（x）2＋（4?x）2，∵△BEG≌△EFD，∴∠BEG＝∠EFD，DF＝EG，∴∠GEQ＝∠BFH，CF＝4?x，∴BG＝CF，∴四邊形GBCF是平行四邊形，∴GF＝BC＝4，∵P為EF的中點，∴EP＝EF＝BE，∵EG＝GP＝x，∴EQ＝EP＝EF＝BE，∴FQ＝EF＝BE，在Rt△EGQ和Rt△FGQ中，∠EQG＝∠FQG＝90°，GQ2＝EG2?EQ2，GQ2＝FG2?FQ2，∴x2?（BE）2＝42?（BE）2，∴解得x＝或x＝（舍去），即AE＝；當(dāng)EP＝GP時，點P在EG的中垂線上，即P點AC上，而運動期間P不可能位于線段AC上，∴P在AC上不存在，綜上，AE＝或；即當(dāng)AE為或時，△EGP是等腰三角形．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識的綜合運用，注意分類討論．21．梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分別為、的中點，和分別與交于和，和交于點．（1）求證：；（2）當(dāng)點在四邊形內(nèi)部時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當(dāng)時，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）3或．【分析】（1）由中位線的性質(zhì)，角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得出，易證，則結(jié)論可證；（2）過作交于點K，過點D作交于點，則得到矩形，則有，，然后利用（1）中的結(jié)論有，，在中，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)可得出QC，DQ的長度，然后在中利用勾股定理即可找到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）分兩種情況：點在梯形內(nèi)部和點在梯形內(nèi)部，當(dāng)點在梯形內(nèi)部時，有；當(dāng)點在梯形內(nèi)部時，有，分別結(jié)論（2）中的關(guān)系式即可求出EG的長度．【解析】（1）證明：、分別是、的中點，．平分，．又，，，．點是的中點，．．（2）過作交于點K，過點D作交于點，∵，，，∴四邊形是矩形，，．，，，同理：．在中，，，，．，．在中，．，即．．（3）①點在梯形內(nèi)部．∵是梯形的中位線，，即．解得：，即．②點在梯形內(nèi)部．同理：．解得：，即．綜上所述，EG的長度為3或．【點睛】本題主要考查四邊形的綜合問題，掌握中位線的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是基礎(chǔ)，能夠作出輔助線并分情況討論是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，BC＝10，對角線AC、BD相交于點O，且AC⊥BD，設(shè)AD＝x，△AOB的面積為y．（1）求∠DBC的度數(shù)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）如圖1，設(shè)點P、Q分別是邊BC、AB的中點，分別聯(lián)結(jié)OP，OQ，PQ．如果△OPQ是等腰三角形，求AD的長．【答案】（1）∠DBC＝45；（2）y＝x（x＞0）；（3）滿足條件的AD的值為10﹣10．【分析】（1）過點D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點，只要證明△BDE是等腰直角三角形即可解決問題；（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，由題意OA=x，OB=5，根據(jù)y=?OA?OB計算即可；（3）分三種情形討論即可解決問題；【解析】（1）過點D作AC的平行線DE，與BC的延長線交于E點．∵梯形ABCD中，AD∥BC，AC∥DE，∴四邊形ACED為平行四邊形，AC＝DE，AD＝CE，∵AB＝CD，∴梯形ABCD為等腰梯形，∴AC＝BD，∴BD＝DE，又AC⊥BD，∴∠BOC＝90°∵AC∥DE∴∠BDE＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴∠DBC＝45°．（2）由（1）可知：△BOC，△AOD都是等腰直角三角形，∵AD＝x，BC＝10，∴OA＝x，OB＝5，∴y＝．（3）如圖2中，①當(dāng)PQ＝PO＝BC＝5時，∵AQ＝QB，BP＝PC＝5，∴PQ∥AC，PQ＝AC，∴AC＝10，∵OC＝5，∴OA＝10﹣5，∴AD＝OA＝10﹣10．②當(dāng)OQ＝OP＝5時，AB＝2OQ＝10，此時AB＝BC，∠BAC＝∠BCA＝45°，∴∠ABC＝90°，同理可證：∠DCB＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，不符合題意，此種情形不存在．③當(dāng)OQ＝PQ時，AB＝2OQ，AC＝2PQ，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠BAC＝90°＝∠BOC，顯然不可能，綜上所述，滿足條件的AD的值為10﹣10．【點睛】本題考查四邊形綜合題、梯形、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊三角形解決問題，學(xué)會用分類討論的思想思考問題.23．如圖①，是等腰直角三角形，，四邊形是正方形，點B、C分別在邊上，此時成立．將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，并探究下列問題：(1)如圖②，成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；(2)當(dāng)時，如圖③，延長交于點H．當(dāng)時，求線段的長．(3)如圖④，延長交于點H，連接，直接寫出線段之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)成立，見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，得到，得到結(jié)論；（2）連接，記與交點為O，在中利用勾股定理求出長，進(jìn)而求出長，再利用面積法求出線段長即可；（3）過點A作交的延長線于點，由（1）的結(jié)論推出，即可得到結(jié)論．【解析】（1）解：成立．理由如下：由題意得，，∵四邊形是正方形∴在和中，，∴，∴．（2）連接，記與交點為O在中，∵∴由題意得，∴即

設(shè)，又，∴∴又∴∴又∴∵∴∴由（1）得，

∴，，∵，∴，∴即∵∴∴（3）過點A作交的延長線于點，∴，∴，由（1）得，∴，又∵，∴,∴，又∵，∴，∴【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，能作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．24．在正方形中，是邊上一點（點不與點、重合），連結(jié)．感知：如圖①，過點作交于點．求證．探究：如圖②，取的中點，過點作交于點，交于點．（1）求證：．（2）連結(jié)，若，求的長．應(yīng)用如圖③，取的中點，連結(jié)．過點作交于點，連結(jié)、．若，求四邊形的面積．【答案】感知：見解析；（1）見解析（2）2

應(yīng)用：9【分析】感知：利用同角的余角相等判斷出，即可得出結(jié)論；探究：（1）判斷出，同感知的方法判新出，即可得出結(jié)論；（2）利用直角三角形的斜邊的中線是斜邊的一半，可得結(jié)論．【解析】（1）感知：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴．；探究：（1）如圖②，過點作于，∵四邊形是正方形，∴，，∴四邊形G是矩形，∴，∴，由，，∴，在和中，，∴，∴，（2）由（1）知，，連接，∵，點是的中點，∴，∴，故答案為：2．應(yīng)用：同探究（2）得，，∴，同探究（1）得，，∵，∴．故答案為：9【點睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，同角的余角相等，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)和判定是關(guān)鍵．25．（1）如圖1，在正方形ABCD中，E是上一點，F(xiàn)是延長線上一點，且，求證：．（2）如圖2，在正方形中，E是上