2015屆高考數(shù)學(xué)第一輪基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練題44

步驟規(guī)范練——數(shù)列(建議用時(shí)：90分鐘)一、選擇題1．(2013·濟(jì)南模擬)在等差數(shù)列{an}中，a2＋a8＝4，則它的前9項(xiàng)和S9＝()．A．9 B．18C．36 D．72解析在等差數(shù)列中，a2＋a8＝a1＋a9＝4，所以S9＝eq\f(9a1＋a9,2)＝eq\f(9×4,2)＝18.答案B2．(2014·廣州模擬)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)的和為Sn，若a3＝6，S3＝12，則公差d＝ ()．A．1 B．2C．3 D．eq\f(5,3)解析在等差數(shù)列中，S3＝eq\f(3a1＋a3,2)＝eq\f(3a1＋6,2)＝12，解得a1＝2，所以解得d＝2.答案B3．(2014·長(zhǎng)沙模擬)設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，則q＝A.eq\f(3,2) B．eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．2解析∵S4－S2＝a3＋a4＝3(a4－a2)，∴a2(q＋q2)＝3a2(q2－1)，∴q＝eq\f(3,2)或－1(舍去)．答案A4．(2013·南昌模擬)已知在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a2a4＝16，則|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝ A．224 B．225C．226 D．256解析由a2a4＝aeq\o\al(2,3)＝16，解得a3＝4，又a1＝1，∴q2＝4，∴q＝2，∴an＝2n－1，令2n－1≥12，解得n的最小值為5.∴|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝12－a1＋12－a2＋12－a3＋12－a4＋a5－12＋a6－12＋a7－12＋a8－12＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋a7＋a8)＝－15＋240＝225.答案B5．(2014·長(zhǎng)春模擬)在等差數(shù)列{an}中，a7＝eq\f(π,4)，則tan(a6＋a7＋a8)等于()．A．－eq\f(\r(3),3) B．－eq\r(2)C．－1 D．1解析在等差數(shù)列中a6＋a7＋a8＝3a7＝eq\f(3π,4)，所以tan(a6＋a7＋a8)＝taneq\f(3π,4)＝－1.答案C6．(2013·安徽望江中學(xué)模擬)設(shè)數(shù)列{an}是公差d＜0的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時(shí)，n＝ A．5 B．6C．5或6 D．6或7解析由題意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，所以a1＋5d＝0，即a6＝0，故當(dāng)n＝5或6時(shí)，S答案C7．(2013·長(zhǎng)安中學(xué)模擬)已知一等差數(shù)列的前四項(xiàng)和為124，后四項(xiàng)和為156，各項(xiàng)和為210，則此等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是 ()．A．5 B．6C．7 D．8解析設(shè)數(shù)列{an}為該等差數(shù)列，依題意得a1＋an＝eq\f(124＋156,4)＝70.∵Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝210，∴210＝eq\f(70n,2)，∴n＝6.答案B8．(2013·河南三市調(diào)研)在公差不為0的等差數(shù)列{an}中，2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝0，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，且b7＝a7，則b6b8＝ ()．A．2 B．4C．8 D．16解析因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a3＋a11＝2a7，所以2a3－aeq\o\al(2,7)＋2a11＝4a7－aeq\o\al(2,7)＝0，解得a7＝0或4，因?yàn)閧bn}為等比數(shù)列，所以bn≠0，所以b7＝a7＝4，b6b8＝beq\o\al(2,7)＝16.答案D9．(2013·西安五校聯(lián)考)已知a1，a2,a3，a4是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且公比q≠1，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列(按原來(lái)的順序)是等差數(shù)列，則q＝ ()．A.eq\f(1＋\r(5),2)或eq\f(－1＋\r(5),2) B．eq\f(1＋\r(5),2)C.eq\f(－1＋\r(5),2) D．1＋eq\r(5)解析由題意知a1＞0，q＞0，若刪去a1，得2a1q2＝a1q＋a1q3，解得q＝1(舍去)；若刪去a2，得2a1q2＝a1＋a1q3，即(q－1)(q2－q－1)＝0，解得q＝eq\f(1＋\r(5),2)；若刪去a3，得2a1q＝a1＋a1q3，即(q－1)(q2＋q－1)＝0，解得q＝eq\f(－1＋\r(5),2)；若刪去a4，得2a1q＝a1＋a1q2，解得q＝1(舍去)，綜上可得q＝eq\f(1＋\r(5),2)或q＝eq\f(－1＋\r(5),2).答案A10．(2014·皖南八校模擬)已知函數(shù)y＝anx2(an≠0，n∈N＋)的圖像在x＝1處的切線斜率為2an－1＋1(n≥2，n∈N＋)，且當(dāng)n＝1時(shí)其圖像過(guò)點(diǎn)(2,8)，則a7的值為 ()．A.eq\f(1,2) B．7C．5 D．6解析由題意知y′＝2anx，∴2an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N＋)，∴an－an－1＝eq\f(1,2)，又n＝1時(shí)其圖像過(guò)點(diǎn)(2,8)，∴a1×22＝8，得a1＝2，∴{an}是首項(xiàng)為2，公差為eq\f(1,2)的等差數(shù)列，an＝eq\f(n,2)＋eq\f(3,2)，得a7＝5.答案C二、填空題11．(2013·重慶卷)若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則c－a＝________.解析因?yàn)?，a，b，c,9成等差數(shù)列，所以9＝2＋4d，即公差d＝eq\f(7,4)，所以c－a＝2d＝2×eq\f(7,4)＝eq\f(7,2).答案eq\f(7,2)12．(2012·遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．若a1>0，且2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的公比q＝______.解析∵2(an＋an＋2)＝5an＋1，∴2an＋2anq2＝5anq，化簡(jiǎn)得2q2－5q＋2＝0，由題意知，q>1.∴q＝2.答案213．(2014·九江模擬)現(xiàn)有一根n節(jié)的竹竿，自上而下每節(jié)的長(zhǎng)度依次構(gòu)成等差數(shù)列，最上面一節(jié)長(zhǎng)為10cm，最下面的三節(jié)長(zhǎng)度之和為114cm，第6節(jié)的長(zhǎng)度是首節(jié)與末節(jié)長(zhǎng)度的等比中項(xiàng)，則n＝________.解析設(shè)每節(jié)竹竿的長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的數(shù)列為{an}，公差為d，(d＞0)．由題意知a1＝10，an＋an－1＋an－2＝114，aeq\o\al(2,6)＝a1an.由an＋an－1＋an－2＝114，得3an－1＝114，解得an－1＝38，∴(a1＋5d)2＝a1(an－1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d＝2，所以an－1＝a1＋(n－2)d＝38，即10＋2(n－2)＝38，解得n＝16.答案1614．(2014·榆林模擬)在數(shù)列{an}中，若aeq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n＋1)＝p(n≥1，n∈N*，p為常數(shù))，則稱{an}為“等方差數(shù)列”，下列是對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷：①若{an}是等方差數(shù)列，則{aeq\o\al(2,n)}是等差數(shù)列；②{(－1)n}是等方差數(shù)列；③若{an}是等方差數(shù)列，則{akn}(k∈N*，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列．其中真命題的序號(hào)為_(kāi)_______．解析①正確，因?yàn)閍eq\o\al(2,n)－aeq\o\al(2,n＋1)＝p，所以aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝－p，于是數(shù)列{aeq\o\al(2,n)}為等差數(shù)列．②正確，因?yàn)?－1)2n－(－1)2(n＋1)＝0為常數(shù)，于是數(shù)列{(－1)n}為等方差數(shù)列．③正確，因?yàn)閍eq\o\al(2,kn)－aeq\o\al(2,kn＋k)＝(aeq\o\al(2,kn)－aeq\o\al(2,kn＋1))＋(aeq\o\al(2,kn＋1)－aeq\o\al(2,kn＋2))＋(aeq\o\al(2,kn＋2)－aeq\o\al(2,kn＋3))＋…＋(aeq\o\al(2,kn＋k－1)－aeq\o\al(2,kn＋k))＝kp，則{akn}(k∈N*，k為常數(shù))也是等方差數(shù)列．答案①②③三、解答題15．(2013·陜西卷)設(shè)Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．(1)若{an}為等差數(shù)列，推導(dǎo)Sn的計(jì)算公式；(2)若a1＝1，q≠0，且對(duì)所有正整數(shù)n，有Sn＝eq\f(1－qn,1－q).判斷{an}是否為等比數(shù)列．解(1)設(shè)公差為d，則Sn＝a1＋a2＋…＋an，又Sn＝an＋an－1＋…＋a1，兩式相加，得2Sn＝(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(an－1＋a2)＋(an＋a1)，∴Sn＝eq\f(na1＋an,2)＝na1＋eq\f(nn－1,2) D．(2)數(shù)列{an}是等比數(shù)列，證明如下：∵Sn＝eq\f(1－qn,1－q)，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝eq\f(1－qn＋1,1－q)－eq\f(1－qn,1－q)＝eq\f(qn1－q,1－q)＝qn.∵a1＝1，q≠0，∴當(dāng)n≥1時(shí)，有eq\f(an＋1,an)＝eq\f(qn,qn－1)＝q.因此，{an}是首項(xiàng)為1且公比為q(q≠0)的等比數(shù)列．16．(2014·浙江五校聯(lián)考)已知在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中項(xiàng)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N＋)，求{bn}的通項(xiàng)公式bn.解(1)由題意，得2a2＝a1＋a3－1，即2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得2q＝q又q≠0，解得q＝2，∴an＝2n－1.(2)當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝a1＝1；當(dāng)n≥2時(shí)，nbn＝an－an－1＝2n－2，即bn＝eq\f(2n－2,n)，∴bn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(2n－2,n)，n≥2.))17．(2013·山東卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{bn}滿足eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N＋，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S4＝4S2，,a2n＝2an＋1))得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1(n∈N＋)．(2)由已知eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn,an)＝1－eq\f(1,2n)，n∈N＋①當(dāng)n≥2時(shí)，eq\f(b1,a1)＋eq\f(b2,a2)＋…＋eq\f(bn－1,an－1)＝1－eq\f(1,2n－1)②①－②得：eq\f(bn,an)＝eq\f(1,2n)，又當(dāng)n＝1時(shí)，eq\f(b1,a1)＝eq\f(1,2)也符合上式，所以eq\f(bn,an)＝eq\f(1,2n)(n∈N＋)．所以bn＝eq\f(2n－1,2n)(n∈N＋)．所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝eq\f(1,2)＋eq\f(3,22)＋eq\f(5,23)＋…＋eq\f(2n－1,2n).eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,22)＋eq\f(3,23)＋…＋eq\f(2n－3,2n)＋eq\f(2n－1,2n＋1).兩式相減得：eq\f(1,2)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,22)＋\f(2,23)＋…＋\f(2,2n)))－eq\f(2n－1,2n＋1)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2n－1)－eq\f(2n－1,2n＋1).所以Tn＝3－eq\f(2n＋3,2n).18．(2013·廣東卷)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn＝aeq\o\al(2,n＋1)－4n－1，n∈N＋，且a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列．(1)證明：a2＝eq\r(4a1＋5)；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋…＋eq\f(1,anan＋1)<eq\f(1,2).(1)證明當(dāng)n＝1時(shí)，4a1＝aeq\o\al(2,2)－5，aeq\o\al(2,2)＝4a1＋5，又an>0，∴a2＝eq\r(4a1＋5).(2)解當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn－1＝aeq\o\al(2,n)－4(n－1)－1，∴4an＝4Sn－4Sn－1＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)－4，即aeq\o\al(2,n＋1)＝aeq\o\al(2,n)＋4an＋4＝(an＋2)2，又an>0，∴an＋1＝an＋2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是公差為2的等差數(shù)列．又a2，a5，a14成等比數(shù)列．∴aeq\o\al(2,5)＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.由(1)知a1＝1.又a2－a1＝3－1＝2，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝1，公差d＝2的等差數(shù)列．∴an＝2n－1.(3)證明eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋…＋eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(