2022年南充市重點中學數(shù)學高三上期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．空間點到平面的距離定義如下：過空間一點作平面的垂線，這個點和垂足之間的距離叫做這個點到這個平面的距離．已知平面，，兩兩互相垂直，點，點到，的距離都是3，點是上的動點，滿足到的距離與到點的距離相等，則點的軌跡上的點到的距離的最小值是（）A． B．3 C． D．2．一個正四棱錐形骨架的底邊邊長為，高為，有一個球的表面與這個正四棱錐的每個邊都相切，則該球的表面積為（）A． B． C． D．3．若x,y滿足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,4．在中，，，，則在方向上的投影是（）A．4 B．3 C．-4 D．-35．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則其共軛復數(shù)（）A． B． C． D．6．若復數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．7．已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是A． B．C． D．8．若復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A．的虛部為 B． C．的共軛復數(shù)為 D．為純虛數(shù)9．已知正項數(shù)列滿足：，設，當最小時，的值為()A． B． C． D．10．如果實數(shù)滿足條件，那么的最大值為（）A． B． C． D．11．斜率為1的直線l與橢圓相交于A、B兩點，則的最大值為A．2 B． C． D．12．已知非零向量，滿足，，則與的夾角為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項式的展開式的各項系數(shù)之和為_____，含項的系數(shù)為_____．14．如果復數(shù)滿足，那么______（為虛數(shù)單位）.15．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a216．如圖，在中，已知，為邊的中點．若，垂足為，則的值為__．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線過橢圓的右焦點，且交橢圓于A，B兩點，線段AB的中點是，（1）求橢圓的方程；（2）過原點的直線l與線段AB相交（不含端點）且交橢圓于C，D兩點，求四邊形面積的最大值.18．（12分）已知數(shù)列中，，前項和為，若對任意的，均有（是常數(shù)，且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項和；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列，使得對任意，成立？如果存在，求出這樣數(shù)列的的所有可能值，如果不存在，請說明理由.19．（12分）已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（2）設點，直線與曲線交于兩點，求的值.20．（12分）己知等差數(shù)列的公差，，且，，成等比數(shù)列.（1）求使不等式成立的最大自然數(shù)n；（2）記數(shù)列的前n項和為，求證：.21．（12分）已知.（1）若曲線在點處的切線也與曲線相切，求實數(shù)的值；（2）試討論函數(shù)零點的個數(shù).22．（10分）以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，且在兩種坐標系中取相同的長度單位，建立極坐標系，已知曲線，曲線（為參數(shù)），求曲線交點的直角坐標.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

建立平面直角坐標系，將問題轉(zhuǎn)化為點的軌跡上的點到軸的距離的最小值，利用到軸的距離等于到點的距離得到點軌跡方程，得到，進而得到所求最小值.【詳解】如圖，原題等價于在直角坐標系中，點，是第一象限內(nèi)的動點，滿足到軸的距離等于點到點的距離，求點的軌跡上的點到軸的距離的最小值．設，則，化簡得：，則，解得：，即點的軌跡上的點到的距離的最小值是.故選：.【點睛】本題考查立體幾何中點面距離最值的求解，關鍵是能夠準確求得動點軌跡方程，進而根據(jù)軌跡方程構造不等關系求得最值.2、B【解析】

根據(jù)正四棱錐底邊邊長為，高為，得到底面的中心到各棱的距離都是1，從而底面的中心即為球心.【詳解】如圖所示：因為正四棱錐底邊邊長為，高為，所以，到的距離為，同理到的距離為1，所以為球的球心，所以球的半徑為：1，所以球的表面積為.故選：B【點睛】本題主要考查組合體的表面積，還考查了空間想象的能力，屬于中檔題.3、D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標函數(shù)z=x+2y經(jīng)過C點時，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標函數(shù)的最小值為：4目標函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．4、D【解析】分析：根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得，再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解：如圖所示：，，，又，，在方向上的投影是：，故選D.點睛：本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應用問題，也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應用問題.5、B【解析】

先根據(jù)復數(shù)的乘法計算出，然后再根據(jù)共軛復數(shù)的概念直接寫出即可.【詳解】由，所以其共軛復數(shù).故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算以及共軛復數(shù)的概念，難度較易.6、B【解析】

由題意得,,求解即可.【詳解】因為,所以.故選:B.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,考查運算求解能力,屬于基礎題.7、D【解析】

先由是偶函數(shù)，得到關于直線對稱；進而得出單調(diào)性，再分別討論和，即可求出結(jié)果.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以關于直線對稱；因此，由得；又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增；所以，當即時，由得，所以，解得；當即時，由得，所以，解得；因此，的解集是.【點睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對應不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可，屬于常考題型.8、D【解析】

將復數(shù)整理為的形式，分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為，錯誤；，錯誤；，錯誤；，為純虛數(shù)，正確本題正確選項：【點睛】本題考查復數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復數(shù)、復數(shù)的分類的知識，屬于基礎題.9、B【解析】

由得，即，所以得，利用基本不等式求出最小值，得到，再由遞推公式求出.【詳解】由得，即，，當且僅當時取得最小值，此時.故選：B【點睛】本題主要考查了數(shù)列中的最值問題，遞推公式的應用，基本不等式求最值，考查了學生的運算求解能力.10、B【解析】

解：當直線過點時，最大，故選B11、C【解析】

設出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據(jù)判別式大于0求得t的范圍，進而利用弦長公式求得|AB|的表達式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【詳解】解：設直線l的方程為y＝x+t，代入y2＝1，消去y得x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣1（t2﹣1）＞0，即t2＜1．弦長|AB|＝4．故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系．常需要把直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，判別式找到解決問題的突破口．12、B【解析】

由平面向量垂直的數(shù)量積關系化簡，即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關系可得，，所以，即，由平面向量數(shù)量積定義可得，所以，而，即與的夾角為.故選：B【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算，平面向量夾角的求法，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將代入二項式可得展開式各項系數(shù)之和，寫出二項展開式通項，令的指數(shù)為，求出參數(shù)的值，代入通項即可得出項的系數(shù).【詳解】將代入二項式可得展開式各項系數(shù)和為.二項式的展開式通項為，令，解得，因此，展開式中含項的系數(shù)為.故答案為：；.【點睛】本題考查了二項式定理及二項式展開式通項公式，屬基礎題．14、【解析】

把已知等式變形，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后利用復數(shù)模的計算公式求解.【詳解】∵，∴，∴，故答案為：.【點睛】本小題主要考查復數(shù)除法運算，考查復數(shù)的模的求法，屬于基礎題.15、-2【解析】試題分析：∵a2考點：等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式16、【解析】

，由余弦定理，得，得，，，所以，所以．點睛：本題考查平面向量的綜合應用．本題中存在垂直關系，所以在線性表示的過程中充分利用垂直關系，得到，所以本題轉(zhuǎn)化為求長度，利用余弦定理和面積公式求解即可．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由直線可得橢圓右焦點的坐標為,由中點可得,且由斜率公式可得,由點在橢圓上,則,二者作差,進而代入整理可得,即可求解；（2）設直線,點到直線的距離為,則四邊形的面積為,將代入橢圓方程,再利用弦長公式求得,利用點到直線距離求得,根據(jù)直線l與線段AB（不含端點）相交,可得,即,進而整理換元,由二次函數(shù)性質(zhì)求解最值即可.【詳解】（1）直線與x軸交于點,所以橢圓右焦點的坐標為,故,因為線段AB的中點是,設,則,且,又,作差可得,則,得又,所以,因此橢圓的方程為.（2）由（1）聯(lián)立,解得或,不妨令,易知直線l的斜率存在,設直線,代入,得,解得或,設,則,則,因為到直線的距離分別是,由于直線l與線段AB（不含端點）相交,所以,即,所以,四邊形的面積,令,,則,所以,當,即時,，因此四邊形面積的最大值為.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程,考查橢圓中的四邊形面積問題,考查直線與橢圓的位置關系的應用,考查運算能力.18、（1）（2）存在，【解析】

由數(shù)列為“數(shù)列”可得,，，兩式相減得，又，利用等比數(shù)列通項公式即可求出,進而求出;由題意得，，，兩式相減得，，據(jù)此可得,當時,,進而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進而可得,結(jié)合，得到關于的不等式,再由時，且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因為數(shù)列為“數(shù)列”，所以，故，兩式相減得，在中令，則可得，故所以，所以數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列，所以，因為，所以.（2）由題意得，故，兩式相減得所以，當時，又因為所以當時,所以成立,所以當時，數(shù)列是常數(shù)列，所以因為當時,成立,所以，所以在中令，因為，所以可得，所以，由時，且為整數(shù)，可得,把分別代入不等式可得,，所以存在數(shù)列符合題意,的所有值為.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列遞推公式的運用;考查運算求解能力、邏輯推理能力和對新定義的理解能力;通過反復利用遞推公式,得到數(shù)列為常數(shù)列是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.19、（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換關系的應用，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換.（2）利用（1）的結(jié)論，進一步利用一元二次方程根和系數(shù)的關系式的應用求出結(jié)果.【詳解】解：（1）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.曲線的極坐標方程為.轉(zhuǎn)換為，轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為.（2）直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為標準式為（為參數(shù)），代入圓的直角坐標方程整理得，所以，..【點睛】本題屬于基礎本題考查的知識要點：主要考查極坐標，參數(shù)方程與普通方程互化，及求三角形面積．需要熟記極坐標系與參數(shù)方程的公式，及與解析幾何相關的直線與曲線位置關系的一些解題思路．20、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)，，成等比數(shù)列，有，結(jié)合公差，，求得通項，再解不等式.（2）根據(jù)（1），用裂項相消法求和，然后研究其單調(diào)性即可.【詳解】（1）由題意，可知，即，∴.又，，∴，∴.∴，∴，故滿足題意的最大自然數(shù)為.（2），∴...從而當時，單調(diào)遞增，且，當時，單調(diào)遞增，且，所以，由，知不等式成立.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運算和裂項相消法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）（2）答案不唯一具體見解析【解析】

（1）利用導數(shù)的幾何意義，設切點的坐標，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一條，從而得到方程組，再構造函數(shù)研究其最大值，進而求得；（2）對函數(shù)進行求導后得，對分三種情況進行一級討論，即，，，結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點存在定理，可得函數(shù)零點情況.【詳解】解:（1）曲線在點處的切線方程為，即.令切線與曲線相切于點，則切線方程為，∴，∴，令，則，記，于是，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，于是，.（2），①當時，恒成立，在上單調(diào)遞增，且，∴函數(shù)在上有且僅有一個零點；②當時，在R上沒有零點；③當時，令，則，即函數(shù)的增區(qū)間是，同理，減區(qū)間是，∴.?。┤?，則，在上沒有零點；ⅱ）若，則有且僅有一個零點；ⅲ）若，則.，令，則，∴當時，單調(diào)遞增，.∴又∵，∴在R上恰有兩個零點，綜上所述，當時，函數(shù)沒有零點；當或時，函數(shù)恰有一個零點；當時