湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省云學(xué)名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知，則（）A.－1 B.1 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗，故選：B．2.已知數(shù)列滿足，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，則.故選：D3.已知圓和點(diǎn)，若過點(diǎn)的5條弦的長度構(gòu)成一個等差數(shù)列，則該數(shù)列公差的最大值是（）A. B. C.1 D.2〖答案〗C〖解析〗由已知圓的圓心為，半徑為，因?yàn)椋渣c(diǎn)在圓內(nèi)，且，所以過點(diǎn)最短弦長為，最長弦長為直徑長10，從而公差.故選：C4.甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行恩施高中2022級數(shù)學(xué)競賽決賽，決出第1名到第5名的名次，甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺域，你沒有獲得冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有（）種不同的情況．A.54 B.72 C.78 D.84〖答案〗C〖解析〗甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)排名次有種情況，甲是第一名有種情況，乙是最后一名有種情況，總共的情況有.故選：C．5.如圖，在“楊輝三角”中從左往右第3斜行的數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列：，則該數(shù)列前10項(xiàng)的和為（）A.66 B.120 C.165 D.220〖答案〗D〖解析〗由題意可知：前10項(xiàng)分別為，則，所以前10項(xiàng)的和為220.故選：D．6.若不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗可以看作動點(diǎn)與動點(diǎn)的之間距離，再求最小值，畫出與的圖象，如下圖，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，在的切線斜率為，且在切線方程為，即，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，在的切線斜率為，且在切線方程為，因?yàn)榕c平行，所以與之間的距離為，可得.故選:C．7.已知函數(shù)，數(shù)列滿足，則“為遞增數(shù)列”是“”的（）條件．A.充分不必要 B.必要不充分 C.充分必要 D.既不充分又不必要〖答案〗B〖解析〗由“為遞增數(shù)列”可以得到，解得，所以“為遞增數(shù)列”是“”的必要不充分條件，故選：B．8.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，構(gòu)造函數(shù)，所以，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，因?yàn)?，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性可得且；再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，所以，也即，綜上：.故選：A．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知數(shù)列，其前項(xiàng)和記為，則下列說法不正確的是（）A.若是等差數(shù)列，且，則B.若是等差數(shù)列，且，則C.若是等比數(shù)列，且為常數(shù)，則D.若是等比數(shù)列，則也是等比數(shù)列〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)中，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列是常數(shù)列時，由，就不能得到，所以A是錯誤的；B選項(xiàng)中，當(dāng)?shù)炔顢?shù)列是常數(shù)列時，，此時且，當(dāng)差數(shù)列公差不為0時，，此時，所以B是正確的；選項(xiàng)中，由公比不為1的等比數(shù)列前和公式得，所以常數(shù)應(yīng)該等于－2，所以是錯誤的；D選項(xiàng)中，當(dāng)時，，則就不是等比數(shù)列，所以D是錯誤的；故選：ACD．10.關(guān)于多項(xiàng)式的展開式，下列結(jié)論正確的是（）A.各項(xiàng)系數(shù)之和為1 B.存在無理項(xiàng)C.常數(shù)項(xiàng)為400 D.的系數(shù)為－80〖答案〗AD〖解析〗由題意可知，多項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，即，對于A，令，則，即為各項(xiàng)系數(shù)之和，故A正確；對于B，因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)公式中，所以不存在無理項(xiàng)，故B錯誤；對于C，常數(shù)項(xiàng)中的次數(shù)為0，則或或，則，故C錯誤；對于D，的系數(shù)即的系數(shù)之和，表示為，故D正確.故選：AD．11.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列說法正確的是（）A.函數(shù)的極值點(diǎn)為B.曲線與有且僅有兩條公切線，并且斜率之積等于1C.若時，則D.若時，恒成立，則〖答案〗BCD〖解析〗對于A，函數(shù)的極值點(diǎn)是使函數(shù)取得極大值、極小值的x值，A錯誤；對于B，令公切線與曲線相切的切點(diǎn)為，與曲線相切的切點(diǎn)為，而，則曲線在處的切線：，曲線在處的切線：，則，消去得，令函數(shù)，求導(dǎo)得，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，則存，使得，即有當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增，，而，，因此函數(shù)有2個零點(diǎn)，即方程有且只有2個不等的正根，于是曲線與有且僅有兩條公切線，與曲線相切的切點(diǎn)為，而曲線與關(guān)于直線對稱，則兩條公切線關(guān)于直線對稱，與曲線相切的切點(diǎn)為，兩條切線斜率的積為，B正確；對于C，令，則，令，顯然在上單調(diào)遞增，而，則使得，即，且在上遞減，在上遞增，從而，C正確；對于D，恒成立，即恒成立，而函數(shù)在R上單調(diào)遞增，于是對恒成立，即恒成立，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減，，因此，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.今天是星期四，那么天后是星期______．〖答案〗三〖解析〗，所以除以7余6，故〖答案〗為：三．13.一個乒乓球從高的桌面上落下，每次反彈的高度都是原來高度的，則乒乓球至少在第______次著地時，它所經(jīng)過的總路程會超過．〖答案〗7〖解析〗由題意得，第次著地時經(jīng)過的總路程為，因?yàn)?，所以在?次著地時它所經(jīng)過的總路程會超過．故〖答案〗為：7.14.曲線在點(diǎn)處的切線方程為______；若當(dāng)時，恒成立，則的取值范圍為______．〖答案〗①②〖解析〗因?yàn)?，所以，則，即切線的斜率為，所以切線方程為：．令，則，所以當(dāng)時，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，則在上單調(diào)遞減，所以，即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以恒成立，原不等式可化簡為，即，令，，又恒成立，所以在上單調(diào)遞增．在上恒成立，即在上恒成立，所以．故〖答案〗為：；．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.編號為的三個除編號外完全相同的盒子里，分別裝有3個紅球，2個白球；3個黃球，3個白球；4個黑球，5個白球.（所有球除顏色外完全相同）（1）現(xiàn)隨機(jī)從某個盒子里摸2個球，則在選到2號盒子的條件下，摸出的兩個球都是白球的概率是多少？（2）現(xiàn)隨機(jī)從某個盒子里摸1個球，若摸出的球是白色，則這個球來自2號盒子的概率是多少？解：（1）設(shè)“選到2號盒子”，“摸到的兩個球都是白球”，則.（2）設(shè)“先選到第號盒子”“摸出白球”，則．，，.，，即這個球來自2號盒子的概率為.16.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和為．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為．因?yàn)椋?，化簡得，所以所以?shù)列的通項(xiàng)公式為；（2），整理得，所以，整理得17.已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若過原點(diǎn)可以作兩條直線與函數(shù)的圖象相切，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，或．所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，或．所以和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減當(dāng)時，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為代入原點(diǎn)可得，整理可得，由題意可知方程有兩個根，并且不是方程的根，當(dāng)時，方程化簡為：，令，或且．所以在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．由圖象可知或，解得：或．18.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對任意的恒成立，求的取值范圍.解：（1）對于數(shù)列，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，與原式作差可得，所以是以為首項(xiàng)，2為公比等比數(shù)列，所以；對于數(shù)列，當(dāng)時，，解得，時，，與原式作差可得，因?yàn)椋?，所以是以為首?xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）可知，所以，所以，兩式作差可得，所以，所以恒成立，化簡得.當(dāng)時，恒成立，所以，當(dāng)時，恒成立，所以.綜上可得：.19.18世紀(jì)早期英國牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的數(shù)學(xué)家泰勒（BrookTaylor）發(fā)現(xiàn)的泰勒公式（又稱夌克勞林公式）有如下特殊形式：當(dāng)在處的階導(dǎo)數(shù)都存在時，．