浙江省衢溫5+1聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省衢溫5+1聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗集合，，∴，則．故選：B．2.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A.4 B.2 C.1 D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以由拋物線可得，故選：B3.已知，則|z|2＝（）A. B.1 C.2 D.5〖答案〗B〖解析〗由題意，．故選：B．4.已知m，n，l是三條互不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（）A.若則 B.若則C.若則 D.若則〖答案〗C〖解析〗根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于A，若，，則與可能平行、相交或異面，A錯誤；對于B，若，，則或，B錯誤；對于C，若，，由線面垂直的定義，必有，C正確；對于D，若，，則與平面可能平行，也可能相交或者在內(nèi)，D錯誤．故選：C．5.若α為銳角，且，則cos2α＝（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗∵，∴，又，∴，∴，∴，則．故選：A．6.已知定義在R上的函數(shù)滿足對任意的，且都成立，設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意，定義在R上函數(shù)滿足對任意的，且都成立，則函數(shù)在R上為減函數(shù)，又由，則有，即．故選：D．7.某一時間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量．在綜合實(shí)踐活動中，某小組自制了一個圓臺形雨量收集器（大口向上無蓋，不考慮厚度）如圖，兩底面直徑高為．在一次降雨過程中，利用該雨量器收集的雨水高度是，則該雨量器收集的雨水體積（）為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，根據(jù)題意可得設(shè)，則根據(jù)題意可知，∴，∴，設(shè)，則易知，∴，∴，∴該雨量器收集的雨水體積為．故選：B．8.在△ABC中，BC＝2，，D為BC中點(diǎn)，在△ABC所在平面內(nèi)有一動點(diǎn)P滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，即，所以．因?yàn)?，，所以點(diǎn)A在以BC為弦的優(yōu)弧上運(yùn)動（不含端點(diǎn)）．設(shè)所在圓的圓心為M，連接MB、MC、MD，則MD⊥BC，，可得，，．以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，可得，圓M的方程為，設(shè)，則，結(jié)合，可得，因?yàn)锳點(diǎn)在圓M：上運(yùn)動，所以，可得當(dāng)時，，達(dá)到最大值．綜上所述，當(dāng)時，有最大值．故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2024，則（）A.的平均數(shù)等于的平均數(shù)B.的中位數(shù)等于的中位數(shù)C.的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D.的極差等于的極差〖答案〗AD〖解析〗對于選項(xiàng)A：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)平均數(shù)為2024，則，所以的平均數(shù)為，所以的平均數(shù)等于的平均數(shù)，故A正確；對于選項(xiàng)B：例如，可知的中位數(shù)為，將按升序排列，可知的中位數(shù)為2023，兩者不相等，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：設(shè)樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，即，可得的標(biāo)準(zhǔn)差，所以的標(biāo)準(zhǔn)差不大于的標(biāo)準(zhǔn)差，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的平均數(shù)為2024，若，則、的極差均為0；若不全部相等，不妨設(shè)是最小的數(shù)據(jù)，是最大的數(shù)據(jù)，則，可知樣本數(shù)據(jù)的極差為，又因?yàn)閿?shù)據(jù)的最小數(shù)據(jù)是，最大數(shù)據(jù)是，所以數(shù)據(jù)的極差也是；綜上所述：的極差等于的極差，故D正確．故選：AD．10.如圖，彈簧掛著的小球做上下運(yùn)動，它在ts時相對于平衡位置的高度h（單位：）由關(guān)系式確定，其中小球從最高點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過后，第一次到達(dá)最低點(diǎn)，則（）A.B.C.時，小球運(yùn)動速度最快D.時，小球向下運(yùn)動〖答案〗BC〖解析〗由小球從最高點(diǎn)出發(fā)，則時，，解得，又因?yàn)?，所以，選項(xiàng)A錯誤；因?yàn)橹芷冢?，選項(xiàng)B正確；由，，，所以時，小球運(yùn)動速度最快，選項(xiàng)C正確；當(dāng)，所以時，小球向上運(yùn)動，選項(xiàng)D錯誤．故選：BC．11.已知，的定義域?yàn)镽，若，，且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則（）A.為偶函數(shù) B.為奇函數(shù)C. D.關(guān)于對稱〖答案〗ACD〖解析〗D選項(xiàng)，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于中心對稱，且，；又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以關(guān)于對稱，且，故D正確；A選項(xiàng)，又因?yàn)椋锰鎿Qx，得，又因?yàn)?，所以，用x替換，得，所以是R上的偶函數(shù)，故A正確；C選項(xiàng)，由，可得，即，，所以，所以函數(shù)的周期為8，在中，令，則有，又因?yàn)?，所以，在中，令，則有，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，故C正確；B選項(xiàng)，在中，令，則有，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，所以不為奇函數(shù)，故B錯誤．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分共15分.12.若二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)是160，則實(shí)數(shù)_____．〖答案〗2〖解析〗根據(jù)二項(xiàng)式的展開式，令，解得，則的系數(shù)為，解得．故〖答案〗為：2．13.將4個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子非空，則不同的放法有_______種．〖答案〗36〖解析〗將4個不同的小球分成3組，有種分組方法，然后全排列放入3個不同的盒子，所以不同的放法共有種．故〖答案〗為：36．14.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M位于第一象限，直線MF與橢圓C交于另外一點(diǎn)A，且，若，，則橢圓C的離心率為____．〖答案〗〖解析〗設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，則四邊形為為平行四邊形，設(shè)，因?yàn)?，，則，且，可得，，又因?yàn)?，則，在中，則，可得，即，解得，所以橢圓C的離心率．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知等差數(shù)列中，成等比數(shù)列，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的值．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由成等比數(shù)列，可，即，又，即，即有，，解得，則；（2），則數(shù)列的前n項(xiàng)和，可得．16.如圖，在四棱柱中，底面是邊長為2的菱形且，點(diǎn)在底面上的射影為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為邊的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，求直線與平面所成角．解：（1）連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)?，所以平面平面，而平面，所以平?（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)榈酌媸沁呴L為2的菱形且，所以，，所以，所以，所以，，，設(shè)平面的法向量為＝（x，y，z），則，即，令，得到，所以，所以，，，所以，設(shè)直線B1C與平面B1BE所成的角為θ，，所以，得到．即直線與平面B1BE所成的角為．17.已知．（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間．解：（1）由題意可知：的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以所求的切線方程為，即.（2）由（1）可知：的定義域?yàn)椋?，且令，解得或或（舍去），?dāng)，即時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，即時，則有：若，則；若，則；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)，即時，則有：若，則；若，則；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；綜上所述：當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減為．18.新高考數(shù)學(xué)試卷增加了多項(xiàng)選擇題，每小題有A、B、C、D四個選項(xiàng)，原則上至少有2個正確選項(xiàng)，至多有3個正確選項(xiàng)，題目要求：“在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．”其中“部分選對的得部分分”是指：若正確〖答案〗有2個選項(xiàng)，則只選1個選項(xiàng)且正確得3分；若正確〖答案〗有3個選項(xiàng)，則只選1個選項(xiàng)且正確得2分，只選2個選項(xiàng)且都正確得4分．（1）若某道多選題的正確〖答案〗是BD，一考生在解答該題時，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少一個選項(xiàng)，至多三個選項(xiàng)，寫出該生所有選擇結(jié)果構(gòu)成的樣本空間，并求該考生得正分的概率；（2）若某道多選題的正確〖答案〗是ABD，一考生在解答該題時，完全沒有思路，隨機(jī)選擇至少一個選項(xiàng)，至多三個選項(xiàng)；在某考生此題已得正分的條件下，求該考生得4分的概率；（3）若某道多選題正確〖答案〗是2個選項(xiàng)或是3個選項(xiàng)的概率均等，一考生只能判斷出A選項(xiàng)是正確的，其他選項(xiàng)均不能判斷正誤，給出以下方案，請你以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)，幫該考生選出恰當(dāng)方案：方案一：只選擇A選項(xiàng)；方案二：選擇A選項(xiàng)的同時，再隨機(jī)選擇一個選項(xiàng)；方案三：選擇A選項(xiàng)的同時，再隨機(jī)選擇兩個選項(xiàng)．解：（1）依題意有，設(shè)“某題的〖答案〗是，該考生得分”，則，.（2）設(shè)“某題的〖答案〗是，該考生得正分”，則，，設(shè)“某題的〖答案〗是，該考生得4分”，則，，所以該考生此題已得正分的條件下，則該考生得4分的概率為.（3）設(shè)方案一、二、三的得分分別為，，，方案一：，，，即的分布列為：23則；方案二：，，，，即的分布列為：046則；方案三：，，，即的分布列為：06則，，以得分的數(shù)學(xué)期望作為判斷依據(jù)選擇方案一更恰當(dāng).19.已知，且，點(diǎn)P的軌跡為C．（1）求C的方程；（2）直線l：與C相交于M，N兩點(diǎn)，第一象限上點(diǎn)T在軌跡C上．（ⅰ）若是等邊三角形，求實(shí)數(shù)k的值；（ⅱ）若，求面積的取值范圍．解：（1）根據(jù)雙曲線