2015屆高考文科數(shù)學(xué)第一輪備考訓(xùn)練題20

考題調(diào)研成功體驗最有價值備考訓(xùn)練1．[2013·課標(biāo)全國Ⅱ]已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β.直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，則()A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α與β相交，且交線垂直于lD．α與β相交，且交線平行于l解析：因為m⊥α，l⊥m，l?α，所以l∥α.同理可得l∥β.又因為m，n為異面直線，所以α與β相交，且l平行于它們的交線．故選D項．答案：D2．[2013·廣東]設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β解析：A項中，m與n還可能平行或異面，故不正確；B項中，m與n還可能異面，故不正確；C項中，α與β還可能平行或相交，故不正確；D項中，∵m⊥α，m∥n，∴n⊥α.又n∥β，∴α⊥β.故選D項．答案：D3．[2013·山東]如圖，四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點．(1)求證：CE∥平面PAD；(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.解析：(1)證法一：取PA的中點H，連接EH，DH.∵E為PB的中點，∴EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB.又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，∴EH∥CD，EH＝CD.∵四邊形DCEH是平行四邊形，∴CE∥DH.又DH?平面PAD，CE?平面PAD，∵CE∥平面PAD.證法二：連接CF.∵F為AB的中點，∴AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，∴AF＝CD.又AF∥CD，∴四邊形AFCD為平行四邊形．∵CF∥AD.又CF?平面PAD，∴CF∥平面PAD.∵E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，∴EF∥PA.又EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.∵CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF，∴CE∥平面PAD.(2)∵E，F(xiàn)分別為PB，AB的中點，∴EF∥PA.又AB⊥PA，∴AB⊥EF.同理可證AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，∵AB⊥平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點，∴MN∥CD.又AB∥CD，∴MN∥AB.∵M(jìn)N⊥平面EFG.又MN?平面EMN.∴平面EFG⊥平面EMN.答案：證明略4．[2013·浙江]如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝eq\r(7)，PA＝eq\r(3)，∠ABC＝120°，G為線段PC上的點．(1)證明：BD⊥平面APC；(2)若G為PC的中點，求DG與平面APC所成的角的正切值；(3)若G滿足PC⊥平面BGD，求eq\f(PG,GC)的值．解析：(1)證明：設(shè)點O為AC，BD的交點．由AB＝BC，AD＝CD，得BD是線段AC的中垂線．∴O為AC的中點，BD⊥AC.又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD.∴BD⊥平面APC.(2)連接OG.由(1)可知OD⊥平面APC，則DG在平面APC內(nèi)的射影為OG，所以∠OGD是DG與平面APC所成的角．由題意得OG＝eq\f(1,2)PA＝eq\f(\r(3),2).在△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC)＝2eq\r(3)，∴OC＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(3).在直角△OCD中，OD＝eq\r(CD2－OC2)＝2.在直角△OGD中，tan∠OGD＝eq\f(OD,OG)＝eq\f(4\r(3),3).∴DG與平面APC所成的角的正切值為eq\f(4\r(3),3).(3)連接OG.∵PC⊥平面BGD，OG?平面BGD，∴PC⊥OG.在Rt△PAC中，得PC＝eq\r(15).∴GC＝eq\f(AC·OC,PC)＝eq\f(2\r(15),5).從而