新教材2025屆高考數(shù)學(xué)二輪專項分層特訓(xùn)卷三微專題提升練微專題15球的接切問題

微專題15球的接、切問題一、單項選擇題1．已知正方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點在同一個球面上，若正方體的棱長是2，則該球的表面積是()A．6πB．12πC．18πD．24π2．[2024·河北滄州模擬]某圓錐的側(cè)面綻開圖是一個半徑為2eq\r(6)，圓心角為π的扇形，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為()A．eq\f(8\r(2)π,3)B．eq\f(8\r(3)π,3)C．4πD．6π3．[2024·河北石家莊模擬]有一個正三棱柱形態(tài)的石料，該石料的底面邊長為6.若該石料最多可打磨成四個半徑為eq\r(3)的石球，則至少須要打磨掉的石料廢料的體積為()A．216－4eq\r(3)πB．216－16eq\r(3)πC．270－16eq\r(3)πD．270－4eq\r(3)π4．在三棱錐A-BCD中，△ACD是以CD為斜邊的等腰直角三角形，BD⊥BC，AC＝4，則該三棱錐的外接球的表面積為()A．40πB．32πC．8πD．6π5．[2024·安徽合肥模擬]已知球與圓臺的上下底面和側(cè)面都相切．若圓臺的側(cè)面積為16π，上、下底面的面積之比為1∶9，則球的表面積為()A．12πB．14πC．16πD．18π6.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S-ABCD，該四棱錐的體積為eq\f(4\r(2),3)，則該半球的體積為()A．eq\f(\r(2),3)πB．eq\f(4\r(2),9)πC．eq\f(4\r(2),3)πD．eq\f(8\r(2),3)π7.[2024·安徽馬鞍山模擬]如圖，在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2A1B1＝2eq\r(3)，且各頂點都在同一球面上，則該球體的表面積為()A．16πB．eq\f(97,4)πC．eq\f(105,4)πD．30π8．已知三棱錐D-ABC的全部頂點都在球O的球面上，AD⊥BD，AC⊥BC，∠DAB＝∠CBA＝30°，二面角D-AB-C的大小為60°，若球O的表面積等于16π，則三棱錐D-ABC的體積等于()A．eq\r(3)B．eq\f(3\r(5),5)C．eq\r(7)D．eq\f(2\r(7),3)二、多項選擇題9．已知A，B，C三點均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq\f(1,3)，則下列結(jié)論正確的是()A．球O的表面積為6πB．球O的內(nèi)接正方體的棱長為1C．球O的外切正方體的棱長為eq\f(4,3)D．球O的內(nèi)接正四面體的棱長為210．[2024·河北滄州模擬]若四面體ABCD的每個頂點都在球O的球面上，AB⊥BC，AB⊥AD，AB＝2，BC＝eq\r(2)，AD＝2，且異面直線BC和AD所成角的余弦值為eq\f(2\r(2),3)，則球O的表面積可能為()A．10πB．12πC．106πD．108π[答題區(qū)]題號12345678910答案三、填空題11．[2024·湖南邵陽模擬]三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝4，AC＝2AB＝2eq\r(3)，AC⊥AB，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為________．12．已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的表面上，若AB＝AC＝eq\r(3)，AA1＝2eq\r(2)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，則球O的體積為________．13．[2024·江蘇揚州模擬]已知正四棱錐的側(cè)面是邊長為3的正三角形，它的側(cè)棱的全部三等分點都在同一個球面上，則該球的表面積為________．14．[2024·安徽合肥模擬]已知四面體ABCD的四個頂點都在球O的球面上，△ADC是邊長為2的等邊三角形，△ADC外接圓的圓心為O′.若四面體ABCD的體積最大時，∠BAO′＝eq\f(π,3)，則球O的半徑為________；若AB＝BC＝eq\f(\r(21),3)，點E為AC的中點，且∠BED＝eq\f(2π,3)，則球O的表面積為________．微專題15球的接、切問題1．解析：正方體ABCD-A1B1C1D1的八個頂點在同一個球面上，若正方體的棱長是2，設(shè)外接球的半徑為r，則(2r)2＝22＋22＋22＝12，解得r＝eq\r(3)，故球的表面積為S＝4×π×(eq\r(3))2＝12π.故選B.答案：B2．解析：設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，則2πr＝π×2eq\r(6)，所以r＝eq\r(6)，h＝eq\r(（2\r(6)）2－（\r(6)）2)＝3eq\r(2)，設(shè)該圓錐內(nèi)切球的半徑為R，作出軸截面如圖，利用相像可得eq\f(R,3\r(2)－R)＝eq\f(\r(6),2\r(6))，所以R＝eq\r(2)，所以V＝eq\f(4πR3,3)＝eq\f(4π×2\r(2),3)＝eq\f(8\r(2)π,3).故選A.答案：A3．解析：設(shè)底面是邊長為6的等邊三角形的內(nèi)切圓的半徑為r，由等面積法可得eq\f(1,2)×3×6r＝eq\f(\r(3),4)×62，解得r＝eq\r(3)，若可以將該石料打磨成四個半徑為eq\r(3)的石球，則該柱形石料的高至少為8eq\r(3)，因此，至少須要打磨掉的石料廢料的體積為eq\f(\r(3),4)×62×8eq\r(3)－4×eq\f(4,3)π×(eq\r(3))3＝216－16eq\r(3)π.故選B.答案：B4．解析：因為△ACD和△BCD均為以CD為斜邊的直角三角形，則三棱錐的外接球球心即為CD的中點，由題意可得：CD＝eq\r(2)AC＝4eq\r(2)，則外接球的半徑R＝eq\f(1,2)CD＝2eq\r(2)，所以外接球的表面積S＝4πR2＝32π.故選B.答案：B5．解析：依據(jù)題意，球內(nèi)切于圓臺，畫出兩者的軸截面，球的截面為圓，圓臺的軸截面為等腰梯形ABCD，如圖所示，過B點作CD的垂線，垂足為E，設(shè)球的半徑為R，則BE＝2R，設(shè)圓臺的母線為l，即BC＝l，上、下底面的面積之比為1∶9，即eq\f(πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝eq\f(req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)))＝eq\f(1,9)，r2＝3r1，由圓的切線長定理可知，r1＋r2＝l?l＝4r1，圓臺的側(cè)面積為π(r1＋r2)l＝4πr1l＝16πreq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝16π，解得r1＝1，則2R＝BE＝eq\r(l2－（2r1）2)＝2eq\r(3)，即R＝eq\r(3)，則球的表面積S＝4πR2＝12π.故選A.答案：A6．解析：依題意，設(shè)半球的半徑為R，連接AC，BD交于點O，連接SO，如圖所示：則有AO＝BO＝SO＝R，易得AB＝eq\r(2)R，所以正四棱錐S-ABCD的體積為：VS-ABCD＝eq\f(1,3)×|AB|2×SO＝eq\f(1,3)×2R2×R＝eq\f(4\r(2),3)，解得：R＝eq\r(2)，所以半球的體積為：V＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)×πR3＝eq\f(4\r(2),3)π.故選C.答案：C7．解析：如圖所示的正四棱臺ABCD-A1B1C1D1取上下兩個底面的中心M，N，連接MN，A1M，AN，過點A1作底面的垂線與AN相交于點E，因為四棱臺ABCD-A1B1C1D1為正四棱臺，所以外接球的球心肯定在直線MN上，在MN上取一點O為球心，連接OA，OA1，則OA＝OA1＝R，設(shè)ON＝h，因為AB＝2AA1＝2A1B1＝2eq\r(3)，所以AN＝eq\r(6)，A1M＝eq\f(\r(6),2)，MN＝A1E＝eq\r(AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－AE2)＝eq\r(AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－（AN－EN）2)＝eq\r(AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－（AN－A1M）2)＝eq\f(\r(6),2)，所以ENMA1為正方形，故O必在MN延長線上，在Rt△OAN中，OA2＝AN2＋ON2，即R2＝(eq\r(6))2＋h2，在Rt△OA1M中，OAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＝OM2＋A1M2，即R2＝(eq\f(\r(6),2)＋h)2＋(eq\f(\r(6),2))2，解得R2＝eq\f(15,2)，所以S＝4πR2＝30π.故選D.答案：D8．解析：取AB的中點O，連接OC，OD，因為AD⊥BD，AC⊥BC,所以O(shè)到A，B，C，D的距離相等，故O即為球心．由球O的表面積等于16π，設(shè)外接球半徑為R，故4πR2＝16π，解得OD＝R＝2，過C，D作CF，DE垂直于AB于點E，F(xiàn)，因為∠DAB＝∠CBA＝30°，∠DOE＝∠AOC＝60°，所以DE＝ODsin60°＝eq\r(3)，同理CF＝eq\r(3)，因為二面角D-AB-C的大小為60°，所以〈eq\o(FC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))〉＝60°，故三棱錐的高為h＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(DE,\s\up6(→))))·sin〈eq\o(FC,\s\up6(→))，eq\o(ED,\s\up6(→))〉＝eq\f(3,2)，其中S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CF＝2eq\r(3)，所以三棱錐D-ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\r(3).故選A.答案：A9．解析：設(shè)球的半徑為R，由已知可得△ABC外接圓半徑為r＝eq\f(2,2sin\f(π,3))＝eq\f(2\r(3),3)，∵球心O到平面ABC的距離等于球半徑的eq\f(1,3)，∴R2－eq\f(1,9)R2＝eq\f(4,3)，得R2＝eq\f(3,2).對于A，球O的表面積為4π×eq\f(3,2)＝6π，故A正確；對于B，設(shè)球O的內(nèi)接正方體的棱長為a，∵正方體的體對角線即球O的直徑，eq\r(3)a＝2R，解得a＝eq\r(2)，故B錯誤；對于C，設(shè)球O的外切正方體的棱長為b，∵正方體的棱長即球O的直徑長，∴b＝2R＝eq\r(6)，故C錯誤；對于D，設(shè)球O的內(nèi)接正四面體的棱長為c，則正四面體的高為eq\r(c2－（\f(\r(3),3)c）2)＝eq\f(\r(6),3)c，由(eq\f(\r(6),3)c－eq\f(\r(6),2))2＋(eq\f(\r(3),3)c)2＝(eq\f(\r(6),2))2，解得c＝2，故D正確．故選AD.答案：AD10．解析：如圖，將四面體ABCD補成直三棱柱ADE-BFC.因為異面直線BC和AD所成角的余弦值為eq\f(2\r(2),3)，所以cos∠CBF＝±eq\f(2\r(2),3)，sin∠CBF＝eq\f(1,3).當cos∠CBF＝eq\f(2\r(2),3)時，由余弦定理可得CF＝eq\r(BC2＋BF2－2BC·BF·cos∠CBF)＝eq\f(\r(6),3)，由正弦定理可得底面外接圓(M為圓心)的直徑2r＝eq\f(CF,sin∠CBF)＝eq\f(\f(\r(6),3),\f(1,3))＝eq\r(6)，r＝eq\f(\r(6),2)，而MO＝eq\f(AB,2)＝1，所以球O的半徑R＝eq\r(MO2＋r2)＝eq\f(\r(10),2)，所以球O的表面積S＝4πR2＝10π.當cos∠CBF＝－eq\f(2\r(2),3)時，CF＝eq\r(BC2＋BF2－2BC·BF·cos∠CBF)＝eq\f(\r(102),3)，同理可得球O的半徑R＝eq\f(\r(106),2)，所以球O的表面積S＝4πR2＝106π.故選AC.答案：AC11.解析：由PA⊥平面ABC，AC，AB?平面ABC，則PA⊥AB，PA⊥AC，又AC⊥AB，所以PA，AB，AC兩兩垂直，故可將三棱錐P-ABC補全為長方體，故三棱錐P-ABC的外接球，即為長方體外接球，令三棱錐P-ABC的外接球半徑為R，則滿意(2R)2＝PA2＋AB2＋AC2＝31，所以外接球表面積為4πR2＝31π.答案：31π12．解析：因為AB＝AC＝eq\r(3)，∠BAC＝eq\f(2π,3)，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝3＋3－2×eq\r(3)×eq\r(3)×(－eq\f(1,2))＝9，即BC＝3，所以△ABC的外接圓半徑為r＝eq\f(1,2)·eq\f(BC,sin∠BAC)＝eq\r(3)，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝2eq\r(2)，設(shè)球O的半徑為R，則R＝eq\r(r2＋（\r(2)）2)＝eq\r(5)，因此球O的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(20\r(5)π,3).答案：eq\f(20\r(5)π,3)13．解析：如圖，正四棱錐的側(cè)棱的全部三等分點構(gòu)成一個正四棱臺，棱臺上底面是邊長為1的正方形，棱臺下底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長為1，可求得棱臺的高為eq\r(1－（\f(\r(2),2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，設(shè)該棱臺的外接球的半徑為r,球心到下底面的距離為eq\r(r2－（\r(2)）2)，球心到上底面的距離為eq\r(r2－（\f(\r(2),2)）2)，①球心在兩個底面之間時，eq\r(r2－（\r(2)）2)＋eq\r(r2－（\f(\r(2),2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，因為r2≥2，則eq\r(r2－（\r(2)）2)＋eq\r(r2－（\f(\r(2),2)）2)≥eq\f(\r(6),2)，則上式無解；②球心在下底面下方時，eq\r(r2－（\f(\r(2),2)）2)－eq\r(r2－（\r(2)）2)＝eq\f(\r(2),2)，eq\r(r2－（\f(\r(2),2)）2)＝eq\r(r2－（\r(2)）2)＋eq\f(\r(2),2)，兩邊同時平方：r2－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\r(2r2－4)＋r2－2，eq\r(2r2－4)＝1，解得：r2＝eq\f(5,2)，表面積S＝4πr2＝10π.答案：10π14．解析：設(shè)△ACD的