2025版新教材高中數(shù)學(xué)第六章概率2離散型隨機變量及其分布列2.1隨機變量2.2離散型隨機變量的分布列課時作業(yè)北師大版選擇性必修第一冊

2．1隨機變量2．2離散型隨機變量的分布列必備學(xué)問基礎(chǔ)練學(xué)問點一隨機變量的概念1.先后拋擲一枚質(zhì)地勻稱的骰子5次，那么不能作為隨機變量的是()A．出現(xiàn)7點的次數(shù)B．出現(xiàn)偶數(shù)點的次數(shù)C．出現(xiàn)2點的次數(shù)D．出現(xiàn)的點數(shù)大于2小于6的次數(shù)2．一個袋中裝有除顏色外完全相同的5個白球和5個黑球，從中任取3個，每抽到一個白球加5分，抽到黑球不加分，且最終不管結(jié)果如何都加上6分，求最終得分Y的可能取值，并判定Y是否是離散型隨機變量．學(xué)問點二離散型隨機變量的分布列3.某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的一等品率為80%，二等品率為20%；乙產(chǎn)品的一等品率為90%，二等品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤4萬元，若是二等品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是一等品則獲得利潤6萬元，若是二等品則虧損2萬元．設(shè)生產(chǎn)各種產(chǎn)品相互獨立．記X(單位：萬元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的分布列．4．一盒中裝有9張各寫有一個數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1，3張卡片上的數(shù)字是2，2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列．(注：若三個數(shù)a，b，c滿意a≤b≤c，則稱b為這三個數(shù)的中位數(shù)．)學(xué)問點三離散型隨機變量分布列的性質(zhì)5.設(shè)X是一個離散型隨機變量，其分布列如下表，則q等于()X－101P0.51－2qq2A.1B．1±eq\f(\r(2),2)C．1－eq\f(\r(2),2)D．1＋eq\f(\r(2),2)6．設(shè)隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝eq\f(i,2a)(i＝1，2，3)，則P(X≥2)＝()A．eq\f(1,6)B．eq\f(5,6)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)7．已知離散型隨機變量X的分布列P(X＝k)＝eq\f(k,15)，k＝1，2，3，4，5，令Y＝2X－2，則P(Y＞0)＝________．關(guān)鍵實力綜合練一、選擇題1．10件產(chǎn)品中有3件次品，從中任取2件，可作為隨機變量的是()A．取到產(chǎn)品的件數(shù)B．取到正品的概率C．取到次品的件數(shù)D．取到次品的概率2．某人進行射擊訓(xùn)練，共有10發(fā)子彈，若擊中目標或子彈打完就停止射擊，記射擊次數(shù)為ξ，則“ξ＝10”表示的試驗結(jié)果是()A．第10次擊中目標B．第10次未擊中目標C．前9次均未擊中目標D．第9次擊中目標3．已知隨機變量X的概率分布為P(X＝n)＝eq\f(a,n（n＋1）)(n＝1，2，3，4)，其中a是常數(shù)，則P(eq\f(1,2)＜X＜eq\f(5,2))＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(5,6)4．設(shè)隨機變量X的分布列為X1234Peq\f(1,3)meq\f(1,4)eq\f(1,6)則P(|X－3|＝1)＝()A．eq\f(7,12)B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,4)D．eq\f(1,6)5．已知隨機變量X的分布列為X－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(3,12)eq\f(4,12)eq\f(1,12)eq\f(2,12)eq\f(1,12)若P(X2＜x)＝eq\f(11,12)，則實數(shù)x的取值范圍是()A．[4，9]B．(4，9]C．[4，9)D．(4，9)6．[易錯題]若離散型隨機變量X的分布列為X01P9c2－c3－8c則常數(shù)c的值為()A．eq\f(2,3)或eq\f(1,3)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3)D．1二、填空題7．設(shè)某項試驗的勝利率是失敗率的2倍，用隨機變量ξ表示1次試驗的勝利次數(shù)，則P(ξ`＝0)等于________．8．設(shè)隨機變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝eq\f(c,k（1＋k）)，k＝1，2，3，其中c為常數(shù)，則P(ξ≥2)等于________．9．一批產(chǎn)品分為一、二、三3個等級，其中一級品的個數(shù)是二級品的兩倍，三級品的個數(shù)是二級品的一半，從這批產(chǎn)品中隨機抽取一個檢驗，其級別為隨機變量ξ，則P(eq\f(1,3)≤ξ≤eq\f(5,3))＝________．三、解答題10．[探究題]甲乙兩人進行圍棋競賽，約定先連勝兩局者干脆贏得競賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得競賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為eq\f(2,3)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，各局競賽結(jié)果相互獨立．(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得競賽的概率；(2)記X為競賽決出輸贏時的總局數(shù)，求X的分布列．學(xué)科素養(yǎng)升級練1．[多選題]下列說法正確的是()A．某網(wǎng)站中某歌曲一天內(nèi)被點擊的次數(shù)X是離散型隨機變量B．一天內(nèi)的溫度X是離散型隨機變量C．若隨機變量X聽從兩點分布，且P(X＝1)＝0.2，Y＝3X－2，則P(Y＝－2)＝0.8D．若離散型隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(m,k＋1)(k＝0，1，2，3)，則m＝eq\f(12,25)2．若P(X≤x2)＝1－β，P(X≥x1)＝1－α，其中x1＜x2，則P(x1≤X≤x2)等于________．3．[學(xué)科素養(yǎng)——邏輯推理]在心理學(xué)探討中，常采納對比試驗的方法評價不同心理示意對人的影響，詳細方法如下：將參與試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理示意，另一組接受乙種心理示意，通過對比這兩組志愿者接受心理示意后的結(jié)果來評價兩種心理示意的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理示意，另5人接受乙種心理示意．(1)求接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙種心理示意的女志愿者人數(shù)，求X的分布列．2．1隨機變量2．2離散型隨機變量的分布列必備學(xué)問基礎(chǔ)練1．解析：∵拋擲一枚骰子不行能出現(xiàn)7點，出現(xiàn)7點為不行能事務(wù)，∴出現(xiàn)7點的次數(shù)不能作為隨機變量．答案：A2．解析：設(shè)X表示抽到的白球個數(shù)，則由題意可得Y＝5X＋6，而X可能的取值為0，1，2，3，所以Y對應(yīng)的值為5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6，即Y的可能取值為6，11，16，21.明顯，Y為離散型隨機變量．3．解析：由題設(shè)知，X的可能取值為10，5，2，－3，且P(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18，P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02.所以X的分布列為X1052－3P0.720.180.080.024.解析：(1)由古典概型中的概率計算公式知所求概率為P＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(5,84).(2)X的全部可能取值為1，2，3，且P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(5))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(17,42)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))＋Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(43,84)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(7)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(9)))＝eq\f(1,12)，故X的分布列為X123Peq\f(17,42)eq\f(43,84)eq\f(1,12)5.解析：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0.5＋1－2q＋q2＝1，,0≤1－2q≤0.5，,q2≤0.5，))解得q＝1－eq\f(\r(2),2)，故選C.答案：C6．解析：由概率和為1可知，eq\f(1,2a)＋eq\f(2,2a)＋eq\f(3,2a)＝1，解得a＝3，則P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(2,6)＋eq\f(3,6)＝eq\f(5,6)，故選B.答案：B7．解析：由已知得Y的取值為0，2，4，6，8，且P(Y＝0)＝eq\f(1,15)，P(Y＝2)＝eq\f(2,15)，P(Y＝4)＝eq\f(3,15)，P(Y＝6)＝eq\f(4,15)，P(Y＝8)＝eq\f(5,15).則P(Y＞0)＝P(Y＝2)＋P(Y＝4)＋P(Y＝6)＋P(Y＝8)＝eq\f(14,15).答案：eq\f(14,15)關(guān)鍵實力綜合練1．解析：逐一考查所給的選項，A中取到產(chǎn)品的件數(shù)是一個常量而不是變量，B，D中的量也是一個定值，而C中取到次品的件數(shù)可能是0，1，2，是隨機變量．答案：C2．解析：射擊次數(shù)ξ＝10，說明前9次均未擊中目標，故選C.答案：C3．解析：依據(jù)分布列的性質(zhì)，得P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＋P(X＝4)＝a(eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＋eq\f(1,4×5))＝1，解得a＝eq\f(5,4).由eq\f(1,2)＜X＜eq\f(5,2)，知X＝1，2，所以P(eq\f(1,2)＜X＜eq\f(5,2))＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(5,4)×eq\f(1,1×2)＋eq\f(5,4)×eq\f(1,2×3)＝eq\f(5,6).答案：D4．解析：由eq\f(1,3)＋m＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝1，得m＝eq\f(1,4).由|X－3|＝1，得X＝2或X＝4，所以P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12).答案：B5．解析：由隨機變量X的分布列，知X2的全部可能取值為0，1，4，9，且P(X2＝0)＝eq\f(4,12)，P(X2＝1)＝eq\f(3,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,3)，P(X2＝4)＝eq\f(1,12)＋eq\f(2,12)＝eq\f(1,4)，P(X2＝9)＝eq\f(1,12)，∵P(X2＜x)＝eq\f(11,12)＝eq\f(4,12)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，∴實數(shù)x的取值范圍是(4，9].答案：B6．解析：∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9c2－c≥0,3－8c≥0,9c2－c＋3－8c＝1))，∴c＝eq\f(1,3).答案：C7．解析：由題意知該分布為兩點分布，又P(ξ＝1)＝2P(ξ＝0)且P(ξ＝1)＋P(ξ＝0)＝1，∴P(ξ＝0)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)8．解析：依據(jù)分布列中全部概率的和為1，得eq\f(c,1×2)＋eq\f(c,2×3)＋eq\f(c,3×4)＝1，解得c＝eq\f(4,3).即P(ξ＝k)＝eq\f(4,3)·eq\f(1,k（1＋k）)所以P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(4,3)×(eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4))＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)9．解析：設(shè)二級品有k個，則一級品有2k個，三級品有eq\f(k,2)個，總數(shù)為eq\f(7k,2)個，分布列為ξ123Peq\f(4,7)eq\f(2,7)eq\f(1,7)P(eq\f(1,3)≤ξ≤eq\f(5,3))＝P(ξ＝1)＝eq\f(4,7).答案：eq\f(4,7)10．解析：用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得競賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”，則P(Ak)＝eq\f(2,3)，P(Bk)＝eq\f(1,3)，k＝1，2，3，4，5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝(eq\f(2,3))2＋eq\f(1,3)×(eq\f(2,3))2＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×(eq\f(2,3))2＝eq\f(56,81).(2)X的全部可能取值為2，3，4，5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝eq\f(5,9)，P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝eq\f(2,9)，P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝eq\f(10,81)，P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝eq\f(8,81)，故X的分布列為X2345Peq\f(5,9)eq\f(2,9)eq\f(10,81)eq\f(8,81)學(xué)科素養(yǎng)升級練1．解析：A中X均滿意離散型隨機變量的四個特征，而B中一天內(nèi)的溫度X改變的范圍是連續(xù)的，無法逐一列出，它不是離散型隨機變量，故A正確，B錯誤；因為Y＝3X－2，所以X＝eq\f(1,3)(Y＋2).當Y＝－2時，X＝0，所以P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝0.8，故C正確；因為離散型隨機變量X的概率分布列為P(X＝k)＝eq\f(m,k＋1)(k＝0，1，2，3)，所以eq\f(m,0＋1)＋eq\f(m,1＋1)＋eq\f(m,2＋1)＋eq\f(m,3＋1)＝1，解得m＝eq\f(12,25)，故D正確．故選ACD.答案：ACD2．解析：明顯P(X＞x2)＝β，P(X＜x1)＝α.由隨機變量分布列的性質(zhì)可知P(x1≤X≤x2)＝1－P(X＞x2)－P(X＜x1)＝1－β－α＝1－(α＋β).答案：1－(α＋β)3．解析：(1)設(shè)“接受甲種心理示意的志愿者中包含A1但不包含B1”為事務(wù)M，則P(M)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(4),\s\do1(8)),Ceq\o\al(\s\up1(5),\s\do1(10)))＝eq\f