人教A版必修第二冊635平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示學(xué)案

6.3.5平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

新課程標(biāo)準(zhǔn)新學(xué)法解讀

1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，在用向量處

理平面幾何問題時(shí)就有了兩種方

1.能用坐標(biāo)表示平面對量的數(shù)量法，通過一題兩法，體會基底法和

積，會表示兩個(gè)平面對量的夾角.坐標(biāo)法的優(yōu)劣，做到能依據(jù)題中條

2.能用坐標(biāo)表示平面對量共線、件選擇適宜的方法.

垂直的條件.2.通過數(shù)形結(jié)合，對向量平行與

垂直條件的坐標(biāo)表示進(jìn)行類比，培

育同學(xué)聯(lián)想的記憶方法.

課前篇舊主梳理穩(wěn)固根底

［筆記教材］

學(xué)問點(diǎn)平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

非零向量。=(即，y),b=(X2,竺)，夕是a與人的夾角，那么

(l)?-Z>=xix2+yiy2.

(2)①同=人人十資,尸［W+鳧;

②假如表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(如，

小)，(m2,八2),那么

22

l?l=^(m2—mi)+(?2-?1).

小A_。力_X］應(yīng)+呼2

C°S⑷步I1—+M二君+鳧.

(4)6z_Lb^^x\X2乃》2=0.

［重點(diǎn)理解］

1.關(guān)于平面對量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

(1)兩向量。與人的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是一個(gè)向量，其值可

以為正(當(dāng)aWO,辦三0,0。忘夕<90。時(shí))，也可以為負(fù)(當(dāng)aWO,

AW0,90o<6?W180。時(shí))，還可以為0(當(dāng)?=0或b=0或9=90。時(shí)).

(2)公式“帝=同步|cos(a,b)與a彷=為%2+乃丁2都是用來求兩向

量的數(shù)量積的，沒有本質(zhì)區(qū)分，只是書寫形式上的差異，兩者可以相

互推導(dǎo).

⑶假設(shè)題目中給出的是兩向量的模與夾角,那么可直接利用公

式”必=?1例COS{a,b＞求解；假設(shè)題目中的是兩向量的坐標(biāo),那么

可選用公式0。=%1即+為竺求解.

2.向量垂直與向量平行的坐標(biāo)表示

向量垂直與向量平行的條件簡單混淆，留意以下特點(diǎn):

坐標(biāo)表示記憶口訣

垂直aJ_+yi》2=0對應(yīng)相乘和為0

平行ci//b^^xiy2-%2功=0交叉相乘差為0

［自我排查］

1.向量。=(%—5,3),b=Q,x),且那么由％的值構(gòu)成的

集合是()

A.{2,3}B.{-1,6)

C.{2}D.{6}

答案：C

解析：'：a-Lb,.?.2(*—5)+3%=0,：.xC.

2.設(shè)a=(l,-2),b=(3,l),c=(~l,l),那么(a+A)。-c)=()

A.11B.5

C.-14D.10

答案：A

解析:a+b=(4,—1),a—c=(2,~3),所以(a+8>(。一c)=4X2

+(-l)XA.

3IT

3.向量ZM=(1,1),向量〃與向量機(jī)的夾角為且=—1,

那么|〃|=()

A.—1B.1

C.2D.-2

答案：B

解析.cos魚=a=m=—啦inB

用牛價(jià).cos4網(wǎng)川^2|W|2，

―>—>―>—>

4.向量45=(4,0),AC=(2,2),那么4。與的夾角的大小為

答案：90°

—>—>—>—>—>

解析：BC=AC~AB=(2,2)-(4,0)=(~2,2),所以AC5C=2X(一

―?―?―?―?

2)+2X2=0,所以AC_L5C,即AC與的夾角為90。.

5.向量a=(l"),辦=(2,2),且a+b與a共線，那么ab=.

答案：4

解析：依題意得a+辦=(3,左+2),由a+辦與a共線，得3X左

—1X/+2)=O,解得左=1,所以〃。=2+2左=4.

課堂篇?重點(diǎn)難點(diǎn)研習(xí)突破

研習(xí)1數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算

［典例1］(1>=(2,-1),^=(-1,1),那么。0+廬=()

A.3B.5

C.1D.-1

(2>=(2,-1),b=G，-2),求(3a—8〉(“一28)的值.

(1)［答案］D

［解析］a-ft+Z>2=2X(-l)+(-l)Xl+(-l)2+l2=-2-l+l

+1=—1.

(2)［思路點(diǎn)撥］先求出ab,a2,b2,再對(3a—A>(q—2。)綻開求

解，或先計(jì)算出3“一人與a—2辦的坐標(biāo)，再進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算.

［解］解法一：由于。乃=2X3+(—1)X(—2)=8,a2=22+(-l)2

=5,Z>2=32+(—2)2=13,

所以(3a—b>(a—2b)=3a2—la-b+2b2

=3X5—7X8+2X13=—15.

解法二：Va=(2,-1),辦=(3,-2),

/.3a—b=(6,-3)—(3,—2)=(3,-1),

a—2b=(2,—1)—(6,—4)=(—4,3).

.?.(3a—A>(a—2A)=3X(—4)+(—1)X3=—15.

［巧歸納］數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的常用方法

(1)進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，要正確使用公式。必=修%2+>1丁2,并能敏

捷運(yùn)用以下幾個(gè)關(guān)系：

(?+&)?(?—Z>)=|a|2—|Z>|2.

(a+Z>)2=|a|2+2a-Z>+|Z>|2.

(2)利用數(shù)量積的條件求平面對量的坐標(biāo)時(shí)，一般來說應(yīng)領(lǐng)先設(shè)

出向量的坐標(biāo)，然后依據(jù)題目中的條件找出向量坐標(biāo)滿意的等量關(guān)

系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算列出方程(方程組)來進(jìn)行求解.

［練習(xí)1］向量a〃b,b=(l,2),\a-b\=lQ.

⑴求向量a的坐標(biāo)；

(2)假設(shè)a,方同向,c=(2,—1),求(〃c>a,(ab)c.

解：(1)設(shè)a=(%,y),.\ab=x-\-2y.

".'a//b,.,.y=2x.

y—2x,%=2,x——2,

由:s解得/或“

Ux+2y|=10,［y=4［y=-4.

.?.a=(2,4)或a=(—2,-4).

(2)由⑴可得，?.?小辦同向，.?.a=(2,4).

(ft-c)-a=[1X2+2X(-1)].a=0-a=0.

(a-ft)-c=(2+2X4)-c=10-(2,-l)=(20,-10).

研習(xí)2向量的模與夾角

[典例2](1)假設(shè)向量。二(2]—1,3—%),Z>=(1—x,2x—1),那么

一例的最小值為.

(2)a=(7,2),b=Q,A),分別確定實(shí)數(shù)7的取值范圍，使得：①a

與人的夾角為直角；②a與人的夾角為鈍角.

⑴［答案］.

［解析］.「4=(2］—1,3—x),b=(l—x,2x—1),

■,-a-b=Qx-1,3-x)—(1-x,2x-1)

=(3%—2,4—3x),

\a-b\=，(3%—2>+(4-3x)2

=718爐-36x+20=y18(x-1)?+2,

當(dāng)％=1時(shí)，|a一回取最小值為理.

(2)［思路點(diǎn)撥］由夾角的坐標(biāo)公式列方程或不等式求解.

［解］設(shè)。與人的夾角為仇

⑷=A/F+22=書,|。|=11+丸2,a-Z>=l+2A.

①由于a與方的夾角為直角，

所以cos6=0,所以a協(xié)=0,所以1+27=0,

所以2二一；.

②由于a與b的夾角為鈍角，

所以cos6<0,且cosdW—l,

所以a山<0,且a與辦不反向.

由a協(xié)<0,得1+27<0,故丸<一

由a與力共線，得1+2%=±\^々1+弟,解得7=2,

故。與人不行能反向.

所以人的取值范圍為1—8,—

［巧歸納］1.應(yīng)用向量的夾角公式求夾角時(shí)，應(yīng)先分別求出兩個(gè)

向量的模，再求出它們的數(shù)量積，最終代入公式求出夾角的余弦值，

進(jìn)而求出夾角.

其流程圖為：

2.借助兩向量平行和垂直的條件求解某參數(shù)的值，這是向量運(yùn)

算的重要應(yīng)用之一.詳細(xì)做法是：借助。勿臺”="(7WR,人力0)0為小

-%2yl=0或辦臺。功=00%1%2+”^2=0(這里。=(%1,yi),b=(x2,

”))，列關(guān)于某參數(shù)的方程(方程組)，然后解之即可.

[練習(xí)2]”=(1,1),2。+辦=(4,2),那么向量m辦的夾角為()

答案：B

解析：由于2a+8=(4,2),

那么辦=(4,2)—2a=(2,0),

那么?0=2,\a\=\[2,\b\=2.

設(shè)向量a,辦的夾角為仇

那么cos8=溫=坐

TT

又夕￡[0,7i],所以夕=[

2.設(shè)％WR,向量1),b=(l,-2),且aJ_D,那么|a+A|

=()

A.小B.V10

C.2小D.10

答案：B

解析：,.,a_LZ>,.,.ab=x—2=0,.,.xa-\-b=(3,—1),\a~\~b\

=寸3?+(—1)2=冊5.應(yīng)選B.

研習(xí)3數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用

-?—>—>

［典例3］0尸=(2,1),OA=(1,7),05=(5,1),設(shè)C是直線0P

上的一點(diǎn)(其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)).

—>—>—>

(1)求使CACB取到最小值時(shí)的。。的坐標(biāo)；

(2)對⑴中求出的點(diǎn)C,求cosNACR

—>

［思路點(diǎn)撥］(1)由向量共線可設(shè)出0C的坐標(biāo)表示，然后由坐標(biāo)

運(yùn)算建立關(guān)于參數(shù)的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行求解.(2)由cos。=儒求cosZ

ACB的值.

—>—>

［解］⑴由于點(diǎn)C是直線0P上一點(diǎn)，所以向量0C與。尸共線.設(shè)

―>—>—>

OC=tOP,那么0。=(2右。，

->—?―>

CA=OA-OC=(l-2t,7-t),

―?―>―?

CB=OB-OC=(5~2t,1-r),

-?—>

所以CAC5=(1—2。(5—2。+(7—。(1—。

二5戶一20%+12=5Q—2>—8,

—?―?―?

故當(dāng)/=2時(shí)，CACB取得最小值一8,此時(shí)OC=(4,2).

—>—>—>

(2)當(dāng)OC=(4,2)時(shí),04=(—3,5),CB=(1,-1),

—>—>—>―?

所以|04|二取，\CB\=y［2,CACB=-8,

―>—>

CACB4^17

cos——.

——1/

\CA\\CB\

［巧歸納］利用向量可以解決與長度、角度、垂直、平行等有關(guān)

的幾何問題，其解題關(guān)鍵在于把其他語言轉(zhuǎn)化為向量語言，用向量表

示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何的問題轉(zhuǎn)化為向量問題，進(jìn)而

通過向量的運(yùn)算來討論幾何元素間的關(guān)系.

［練習(xí)3］八鉆。的頂點(diǎn)分別為A(2,l),5(3,2),C(—3,-1),

5C邊上的高為4。，求：

—?

⑴點(diǎn)。的坐標(biāo)以及|AD|；

(2)推斷△ABC的外形，并說明理由.

解：(1)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為(X,y),由題意可知5CLAZ),又B,C,

―>—>

。三點(diǎn)共線，故

―>—>—>

由于AL>=(%—2,y—1),BC=(~6,—3),BD=(x—3,y—2),

|(x-2)X(-6)+(y-l)X(-3)=0,

斤以［@_2)X(_6)-a_3)X(_3)=0,

解得<7所以慮1}1}

G尸

所以點(diǎn)。的坐標(biāo)為[I，\AD\=^-.

—?-?

(2)由于4C=(—5,-2),AB=(1,1),

—>—>

所以4cA5=(—5)X1+(—2)X1=—7,

―>—>

\AC\=^(-5)2+(-2)2=^29,\AB\=y[2.

s、i,ACAB-7

所以cos4=__=底<°，

\AC\\AB\

所以角A為鈍角.所以△45。為鈍角三角形.

課后篇?根底達(dá)標(biāo)延長閱讀

1.。=(2,1),]=(—1,3),假設(shè)存在向量c,使6rc=4,b-c=9,

那么向量c=()

(223、22、

A.7’7B.-rT

'322、22'

C.TTD.

答案：C

解析：設(shè)c=(%,y),

3

2%+y=4,x=?

那么有解得1應(yīng)選C.

「％+3y=9,22

y=萬,

2.向量a=(3,4),b=Q,-1),假如向量a+H與辦垂直，那

么實(shí)數(shù)%=()

233

A,TB,23

2

C.2D.一g

答案：D

解析：由于向量與方垂直，那么(a+H>A=0,所以a?+

,2

xb2=0,代入可得6—4+5x=0,解得％=一亍

3.向量。=d一02,b=4ei+3e2,其中e/=(7,0),e2=(0,l).

(7)試計(jì)算ab及|“十"的值；

(