新教材 人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè) 第一章 空間向量與立體幾何 知識(shí)點(diǎn)及解題方法提煉

第一章空間向量與立體幾何

1.1空間向量及其運(yùn)算.......................................................-1-

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算.............................................-1-

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算.............................................-9-

1.2空間向量基本定理......................................................-16-

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示...........................................-20-

1.3.1空間直角坐標(biāo)系...................................................-20-

1.3.2空間運(yùn)算的坐標(biāo)表示..............................................-25-

1.4空間向量的應(yīng)用........................................................-31-

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系.............................-31-

1.4.2用空量研究距離、夾角問(wèn)題........................................-42-

1.1空間向量及其運(yùn)算

1.1.1空間向量及其線性運(yùn)算

1.空間向量

⑴定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量.

⑵長(zhǎng)度或模：空間向量的大小.

(3)表示方法：

①幾何表示法：空間向量用有向線段表示;

②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)、是B,

也可記作：踵，其模記為畫或國(guó).

2.幾類常見(jiàn)的空間向量

名稱方向模記法

零向量任意00

_一一

單位向量任意1

a的相反向重：—a

相反向量相反相等

獲的相反向量：M

相等向量相同相等a=b

3.空間向量的線性運(yùn)算

(1)向量的加法、減法

c

空間向量的加法OB=OA+OC=a+bD

運(yùn)算

減法CA=OA—QC=a—boaA

①交換有表a+b=b+a

加法運(yùn)算律

②結(jié)合制吉：(a+〃)+c=a+(〃+c)

(2)空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

①定義：實(shí)數(shù)九與空間向量a的乘積入a仍然是一個(gè)向量,稱為向量的數(shù)乘運(yùn)

算.

當(dāng)X>0時(shí)，-與向量a方向相與

當(dāng)九<0時(shí)，一與向量a方向相反;

當(dāng)入=0時(shí)，Xa=0；而的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的囚倍.

②運(yùn)算律

a.結(jié)合律：M〃a)=〃Qzz)=僅〃)a.

b.分配律：(九+〃)a=Azz+〃a,X(a+Z>)=Xzz+XZ>.

4.共線向量

(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,則這些

向量叫做共線向量或平行向量.

(2)方向向量：在直線/上取非零向量a,與向量a壬紅的非零向量稱為直線/

的方向向量.

規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對(duì)任意向量a,都有0〃a.

(3)共線向量定理：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a,雙方/0),a〃〃的充要條件是存

在實(shí)數(shù)X使a=Xb.

(4)如圖，。是直線/上一點(diǎn)，在直線/上取非零向量a,則對(duì)于直線/上任意

一點(diǎn)P,由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)九，使得d=而.

5.共面向量

(1)定義：平行于同一個(gè)平面的向量叫做共面向量.

(2)共面向量定理：若兩個(gè)向量a,8不共線，則向量p與向量a,〃共面的充

要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使〃=.xa+yb.

(3)空間一點(diǎn)尸位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使/=

垃土鼠￡或?qū)臻g任意一點(diǎn)0,有辦=El+x獲+)詼.

典型例題

y型]空間向量的有關(guān)概念

【例1】(1)給出下列命題:

①若|a|=|臼，則a=Z＞或。=一岳

②若向量a是向量〃的相反向量，則⑷=|訃

③在正方體ABCD-ALBICLDI中，AC=AiCi；

④若空間向量7〃，n,p滿足帆=",n=p,則》i=p.

其中正確命題的序號(hào)是.

(2)如圖所示，在平行六面體A3CD-AEC。中，頂點(diǎn)連接的向量中，與向量看，

相等的向量有;與向量A方相反的向量有.(要求寫出所有適合

條件的向量)

⑴②③④(2)品,CC',DD'RA',BA,CD,CD1[⑴對(duì)于①，向量a與

8的方向不一定相同或相反，故①錯(cuò)；

對(duì)于②，根據(jù)相反向量的定義知⑷=|四，故②正確；

對(duì)于③，根據(jù)相等向量的定義知，AC=A7CI,故③正確；

對(duì)于④，根據(jù)相等向量的定義知正確.

(2)根據(jù)相等向量的定義知，與向量看，相等的向量有屆，，CC',而〔與向量A辦

相反的向量有4》，BA,CD,CT)'.]

廠.......規(guī)律c方法........................

解答空間向量有關(guān)概念問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)及注意點(diǎn)

(1)關(guān)鍵點(diǎn)：緊緊抓住向量的兩個(gè)要素，即大小和方向.

(2)注意點(diǎn)：注意一些特殊向量的特性.

①零向量不是沒(méi)有方向，而是它的方向是任意的，且與任何向量都共線，這

一點(diǎn)說(shuō)明了共線向量不具備傳遞性.

②單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是L

③兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量；反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不

僅模相等，方向也相同.若兩個(gè)向量模相等，方向相反,則它們?yōu)橄喾聪蛄?

”型。空間向量的線性運(yùn)算

【例2】⑴如圖所示，在正方體ABCD-ALBICLDI中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果

為向量的有()

①(獲+壽+々1；

②(AAi+AiDi)+DiCi；

③(矗十屆i)+彘1；

@(AAI+A］BI)+B7CI.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

(2)已知正四棱錐P-A3CD,。是正方形ABCD的中心，Q是CD的中點(diǎn)，求下

列各式中x,y,z的值.

①歷:的+通+zG；

?PA=xPO+yPQ^PD.

［思路探究］(1)合理根據(jù)向量的三角形和平行四邊形法則，以及在平行六面體

中，體對(duì)角線向量等于從同一起點(diǎn)出發(fā)的三條棱向量的和.如n1=獲+方)+看1.

⑵根據(jù)數(shù)乘向量及三角形或平行四邊形法則求解.

(1)D［對(duì)于①，(A3+3C)+CCi=AC+CCi=ACi;

對(duì)于②，(AAi+AIDI)+DICJ=AD\+D1C1=ACi;

對(duì)于③，(A5+5BI)+BICI=ABI+BICI=ACI;

對(duì)于④，(AAi+AbBi)+3iCi=A3i+3iCi=ACi.］

—?—?—A—A1—?—A

⑵［解］①如圖，OQ=PQ-PO=PQ~^PA+PC)

-1—If

=PQ-^PC-^PA,

...y=z=-1

②..?。為AC的中點(diǎn)，。為CD的中點(diǎn)，

：.PA+PC=2P0,PC+RD=2PQ,

：.PA=2P0~PC,PC=2PQ-PD,

：.^=2PO-2PQ-\-PD,：.x=2,y=~2.

廠.......規(guī)法.............................

1.空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧

(1)巧用相反向量：向量減法的三角形法則是解決空間向量加法、減法的關(guān)鍵,

靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接.

(2)巧用平移：利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時(shí)，

務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)

果.

2.利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧

(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平

行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.

⑵明確目標(biāo)：在化簡(jiǎn)過(guò)程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)性質(zhì).

"型“共線問(wèn)題

【例3】⑴設(shè)ei,e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知獲=ei+&2,BC=5ei

+4e2,DC=-ei-2ei,且A,B,。三點(diǎn)共線，實(shí)數(shù)左=.

(2)如圖所示，已知四邊形ABC。，A3EE都是平行四邊形且不共面，M,N分

別是AC,3R的中點(diǎn)，判斷a與加是否共線.

[思路探究](1)根據(jù)向量共線的充要條件求解.

(2)根據(jù)數(shù)乘向量及三角形法則，把加表示成入8的形式，再根據(jù)向量共線的

充要條件求解.

(1)1以方=獲+/+丘)=(ei+既2)+(5ei+4e2)+(ei+2e2)=7ei+(左+6)e2.

設(shè)AD=XAB,則7ei+(Z+6)e2=Mei+既2),

，=7

所以”，解得左=L]

入k—左+6

(2)[解]法一：因?yàn)镸,N分別是AC,3R的中點(diǎn)，且四邊形A3CD,四邊形

—A—A—A—A]—>?—A]—A

ABEF都是平行四邊形，所以MN=AM+Ab+bN=2CA+AR+/EB.

—A—A—A—A—A]—A—A—?]A

又因?yàn)镸N=MC+CE+E3+3N=-1C4+CE—AR-]EB,以上兩式相加得

CE=2MN,

所以a〃加，即a與加共線.

法二：因?yàn)樗倪呅蜛BER為平行四邊形，所以連接AE時(shí)，AE必過(guò)點(diǎn)N.

/.CE=AE-AC=2^~2M4

=2(AN-AM)=2MN.

所以CE〃MN,即CE與MN共線.

「.......規(guī)法.......................

證明空間三點(diǎn)共線的三種思路

對(duì)于空間三點(diǎn)P,A,3可通過(guò)證明下列結(jié)論來(lái)證明三點(diǎn)共線.

⑴存在實(shí)數(shù)九使6=丸而成立.

⑵對(duì)空間任一點(diǎn)。，有北=西+藤Q(mào)GR).

⑶對(duì)空間任一點(diǎn)0,有晶=尤豆+y而(x+y=l).

建型4向量共面問(wèn)題

［探究問(wèn)題］

1.什么樣的向量算是共面向量？

［提示］能夠平移到同一個(gè)平面內(nèi)的向量稱為共面向量.

2.能說(shuō)明尸，A,B,C四點(diǎn)共面的結(jié)論有哪些？

［提示］(1)存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使得嬴=扇+以3

(2)空間一點(diǎn)P在平面A3C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使得(*=

遙+yd+z元(其中x+y+z=l).

(3)四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的方向向量與另外兩點(diǎn)的方向向量共線，如或〃戰(zhàn):.

3.已知向量a,b,c不共面，且p=3a+2方+c,m=a—b~\-c,n=a+b~c,

試判斷p,m,“是否共面.

［提示］i5lp=xm+yn,即3a+2Z>+c=x(a—/>+c)+

y(a+8—c)=(x+y)a+(—x+y)Z>+(x—y)c.

卜+y=3,

因?yàn)閍,b,c不共面，所以，一x+y=2,

Lx—y=l,

而此方程組無(wú)解，所以p不能用機(jī)，〃表示，

即p,m,n不共面.

【例4】已知A,B,C三點(diǎn)不共線，。為平面A3C外一點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足0M

111

=^OA+^OB+^OC.

(1)判斷而，MB,應(yīng)Z三個(gè)向量是否共面；

(2)判斷M是否在平面ABC內(nèi).

［思路探究］(1)根據(jù)向量共面的充要條件，即判斷是否標(biāo)l=xi法+y癡；(2)

根據(jù)⑴的結(jié)論，也可以利用蘇=xd+yd+z元中x+y+z是否等于1.

［解］(1)'：0A+0B+0C=30M,

：.OA-OM=(OM-OB)+{OM-OC),

：.MA=RM+CM=-MB~MC,

??.向量而，MB,證共面.

(2)由(1)知向量而，MB,周共面，而它們有共同的起點(diǎn)M,且A,B,C三

點(diǎn)不共線，：.M,A,B,C共面，即M在平面ABC內(nèi).

/........規(guī)?法............................

解決向量共面的策略

(1)若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有矗=盛+/或d=x?+y而+z5Z(x

+y+z=l),然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù).

(2)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)，需利用共面向量定理，證明過(guò)程中要靈活

進(jìn)行向量的分解與合成，將其中一個(gè)向量用另外兩個(gè)向量來(lái)表示.

匚必備素養(yǎng)一」

1.一些特殊向量的特性

(1)零向量不是沒(méi)有方向，而是它的方向是任意的.

(2)單位向量方向雖然不一定相同，但它們的長(zhǎng)度都是1.

(3)兩個(gè)向量模相等，不一定是相等向量，反之，若兩個(gè)向量相等，則它們不

僅模相等，方向也相同.若兩個(gè)向量模相等，方向相反，則它們?yōu)橄喾聪蛄?

2.d=西+麻+/稱為空間平面ABC的向量表達(dá)式.由此可知空間中任

意平面由空間一點(diǎn)及兩個(gè)不共線向量唯一確定.

3.證明(或判斷)4B,C三點(diǎn)共線時(shí)，只需證明存在實(shí)數(shù)九，使(或A3

=/2)即可，也可用“對(duì)空間任意一點(diǎn)。，有次=萬(wàn)^+(1—/)而”來(lái)證明A,B,

C三點(diǎn)共線.

4.空間一點(diǎn)P位于平面的43內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使而=

xMA+yMB,滿足這個(gè)關(guān)系式的點(diǎn)都在平面內(nèi)；反之，平面內(nèi)的任一點(diǎn)

都滿足這個(gè)關(guān)系式.這個(gè)充要條件常用于證明四點(diǎn)共面.

5.直線的方向向量是指與直線平行或共線的非零向量，一條直線的方向向量

有無(wú)窮多個(gè)，它們的方向相同或相反.

6.向量p與向量a,b共面的充要條件是在a與b不共線的前提下才成立的,

若。與共線，則不成立.

1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算

1.空間向量的夾角

(1)夾角的定義

已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)。，作d=a,OB=b,貝ijNAOB

叫做向量a,力的夾角，記作〈a,b).

(2)夾角的范圍

空間任意兩個(gè)向量的夾角。的取值范圍是［0,兀］.特別地，當(dāng)。=0時(shí)，兩向

量同向共線；當(dāng)。=里時(shí)，兩向量反向共線，所以若a〃方，則〈a,b>=0或兀；

當(dāng)〈a,b)=垓時(shí)，兩向量垂直,記作a_LZ>.

2.空間向量的數(shù)量積

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a,b,則⑷固cos〈a,b〉叫做a,b的數(shù)量積，

記作即a-/>=|a|囹cos〈a,/>〉.

規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為。.

(2)常用結(jié)論(a,8為非零向量)

①aJ_bCa?b=O.

②0a—|a||a|cos〈a,a〉=\g^_.

③cos<a,b)=湍，

⑶數(shù)量積的運(yùn)算律

數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律力b)=(7力

交換律ab=ba

分配律(A+c)=ab+ac

3.投影向量

⑴投影向量

在空間，向量a向向量8投影，可以先將它們平移到同一個(gè)平面內(nèi)，進(jìn)而利

用平面上向量的投影，得到與向量力共線的向量c,c=|a|cos〈a,b)條,則向量

----------------\b［

c稱為向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是也1空

(2)向量a在平面B上的投影向量

向量a向平面B投影，就是分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面B的垂線，

垂足分別為4,3',得到向量加射,則向量在稱為向量a在平面B上的投影向量.這

時(shí)，向量a,而，的夾角就是向量只所在直線與平面6所成的角.

［提醒］(1)兩個(gè)向量的數(shù)量積是數(shù)量，而不是向量，它可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或零；

(2)向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足消去律、作商和乘法的結(jié)合律，即ab=ac^b

k

=c,ab=k=^b=-,O力?c=a-(Zrc)都不成立.

典型例題

Y型］空間向量數(shù)量積的運(yùn)算

【例1】(1)如圖，三棱錐A-3CD中，AB=AC=AD=2,ZBAD=9Q°,ZBAC

=60°,則蕊?歷等于()

A

A.-2B.2C.—2小D.2小

(2)在四面體。43c中，棱。4,OB,0c兩兩垂直，且。4=1,0B=2,0C

=3,G為△ABC的重心，求元.(屈+而+次)的值.

(1)A['：CD=AD-AC,：.ABCD=AB(AD-AC)=ABAD-ABAC=O-

2X2Xcos60°=-2.]

—>—>—>—>1—>—>

(2)[解]0G=0A+AG=QA+w(A5+AC)

—>1—>—>—>—>

=。4+邪。3—。4)+(OC—。4)]

111

=^OB+^OC+^OA.

—>—>—>—>(1—>1―?1—>\—>—>—>

?,.OG(OA+OB+OC)=[^OB+^OC+^OAj-(OA+OB+OQ

1—*■1—*■1—*■

=^pB1+^OC1+^p^

=|X22+|-X32+|Xl2=y-.

廠........規(guī)律方法.............................

在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟

(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.

(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.

(3)根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模.

(4)代入公式a力=|a||A|cos{a,b〉求解.

利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系

【例2】已知空間四邊形。43c中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,5.OA=OB

OC,M,N分別是。4,BC的中點(diǎn)，G是MN的中點(diǎn)，求證：OGLBC.

［思路探究］首先把向量0G和均用。4、。3、。。表示出來(lái)，通過(guò)證明。G3C

=0來(lái)證得OG,3c

［證明］連接ON,設(shè)NA05=NB0C=NA0C=。,

又設(shè)。4=a,OB=b,OC=c,

則⑷=|臼=|c|.

1

又0G=］(OM+ON)

=-^^OA+^(OB+OC)

1

=W(a+Z>+c),BC=c~b.

1

：.OGBC=^a+b-\-cy(c-b)

=^(ac—ab-\-bc—b2+c2—bc)

=^(|a|2-cos|a|2-cos|a|2+|a|2)=0.

：.OG±BC,OG±BC.

廠....??規(guī)律C方法........

用向量法證明垂直關(guān)系的步驟

(1)把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；

(2)用已知向量表示所證向量；

⑶結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0；

(4)將向量問(wèn)題回歸到幾何問(wèn)題.

Y型3夾角問(wèn)題

【例3】⑴已知a+8+c=0,\a\=2,\b\=3,|c|=4,則向量a與萬(wàn)之間的

夾角〈a,b)為()

A.30°B.45°

C.60°D.以上都不對(duì)

(2)如圖，在空間四邊形Q43c中，。4=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC

=45°,ZOAB=60°,求異面直線。4與3c的夾角的余弦值.

［思路探究］⑴根據(jù)題意，構(gòu)造△ABC,使端=c,AC=b,BC=a,根據(jù)△ABC

三邊之長(zhǎng)，利用余弦定理求出向量。與方之間的夾角即可.

(2)求異面直線與所成的角，首先來(lái)求屈與靛的夾角，但要注意異面

直線所成角的范圍是(0,f］,而向量夾角的取值范圍為［0,兀］，注意角度的轉(zhuǎn)化.

(1)D［'：a+b+c=0,\a\=2,\b\=3,|c|=4,

/.以這三個(gè)向量首尾相連組成△ABC;

令蕊=c,AC=b,BC=a,則△ABC三邊之長(zhǎng)分別為BC=2,CA=3,AB=4;

1

222222

BC+CA-AB2+3~4-

由余弦定理,得:cosZBCA=4

2BCCA2X2X3

又向量辰:和為是首尾相連，

??.這兩個(gè)向量的夾角是180。一N3C4,

cos〈a,b)=；,

即向量a與之間的夾角〈a,b)不是特殊角.］

(2)［解］'：BC=AC-AB,：.OABC=OAAC-OAAB=\OA\\AC\cos<OA,AC>

-|0A|-|A5|-

cos(OA,AB)=8X4Xcos1350-8X6Xcos120°

=24-1672.

Acos〈而靛〉=應(yīng)姓="^=匕駛，.?.異面直線0A與BC的

西?訪8X55

夾角的余弦值為3

廠........規(guī)律c方法..............................

利用向量數(shù)量積求夾角問(wèn)題的思路

(1)求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量夾

角的定義來(lái)求，但要注意向量夾角的范圍；②先求al,再利用公式cos〈a,b)

求出c°s〈詼b〉的值，最后確定〈a,b)的值.

(2)求兩條異面直線所成的角，步驟如下：

①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量(即直線的方向向量)；

②將異面直線所成角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題；

③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大?。?/p>

④異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值時(shí)

應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，從而求出異面直線所成的角的大小.

寸型4距離問(wèn)題

［探究問(wèn)題］

1.用數(shù)量積解決的距離問(wèn)題一般有哪幾種？

［提示］線段長(zhǎng)度即點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距.

2.求模的大小常用哪些公式？

［提示］由公式|a尸也］可以推廣為［a土b］=7(a土bp=7a2±2a-b+爐.

3.如圖，已知線段A3,平面a,BCUa,CDLBC,DR,平面a,JLZDCF=

30°,。與A在平面a的同側(cè)，若AB=BC=CD=2,試求A,。兩點(diǎn)間的距離.

［提示］'：AD=^+BC+CD,：.\AD\2=(AB+BCA-CD)2=|A5|2+|5C|2+1CD|2

+2AB-BC+2AB-CD+2BC-CD=12+2(2-2-cos90°+2-2-cos1200+22cos90°)=

8,

A\AD\=2y［2,即A,D兩點(diǎn)間的距離為2dl

【例4】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=AC=1,ZACD=90°,

沿著它的對(duì)角線AC將△ACD折起，使A3與CD成60。角，求此時(shí)B,D間的距

離.

注意對(duì)〈函，CD)的討論，再求出3,。間距離.

［解］VZACD=90°,：.ACCD=Q,同理可得lb函=0.*.'AB與CD成60。

角，I.<BA,CD>=60°或〈函，CD)=120°.又壽=茂+元+無(wú)，A\BD\2=\BA

|2+|AC|2+|CD|2+2BA-AC+2i4-cb+2AC-cb=3+2XlXlXcos<BA,CD>.

...當(dāng)〈茂，CD)=60°時(shí)，|礪『=4,此時(shí)3,。間的距離為2;當(dāng)〈函，CD)

=120。時(shí)，|礪『=2,此時(shí)。間的距離為夷.

廠......規(guī)法.............................

求兩點(diǎn)間的距離或線段長(zhǎng)的方法

(1)將相應(yīng)線段用向量表示，通過(guò)向量運(yùn)算來(lái)求對(duì)應(yīng)向量的模.

(2)因?yàn)閍s=|aF，所以|a|=M菽，這是利用向量解決距離問(wèn)題的基本公式.另

外，該公式還可以推廣為|a±"=#a土b*=勺層±2分'+廬.

(3)可用|a-e|=|a||cos9|(e為單位向量,8為a,e的夾角)來(lái)求一個(gè)向量在另一個(gè)

向量所在直線上的投影.

匚必備素養(yǎng)工?

1.空間兩向量的數(shù)量積與平面向量的數(shù)量積類似，由于數(shù)量積不滿足結(jié)合律,

因此在進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算時(shí)，一次、二次式與實(shí)數(shù)運(yùn)算相同，運(yùn)算公式也相同，三

次及以上必須按式中的運(yùn)算順序依次進(jìn)行運(yùn)算.

2.空間向量數(shù)量積運(yùn)算的兩種方法

(1)利用定義：利用a-b=\a\\b\cos(a,b)并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算.

(2)利用圖形：計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點(diǎn)，利用圖

形尋找?jiàn)A角，再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算.

3.在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟

(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.

(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開(kāi)，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.

(3)代入a力=|a||A|cos{a,b)求解.

4.空間向量中求兩向量夾角與平面向量中的求法完全相同，都是應(yīng)用公式cos

/7?A

〈a,b>.時(shí)解題的關(guān)鍵就是求a?力和|a|、.求模時(shí)注意|a|2=a.a的應(yīng)用.

1.2空間向量基本定理

1.空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序

實(shí)數(shù)組(x,y,z),使得〃=xa+yZ>+zc.

其中{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底,a,b,c都叫做基向量.空間任意三個(gè)

不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底.

2.正交分解

(1)單位正交基底

如果空間的一個(gè)基底中的三個(gè)基向量?jī)蓛纱怪?且長(zhǎng)度都是L那么這個(gè)基底

叫做單位正交基底.常用{i,力眉表示.

(2)正交分解

把一個(gè)空間向量分解為三個(gè)兩兩垂直的向量,叫做把空間向量進(jìn)行正交分解.

典型例題

'美型上基底的判斷

[例1]⑴設(shè)y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空間的一個(gè)基底,

給出下列向量組：①{a,b,x},②{x,y,z},?{b,c,z}>④{x,y,a+b+c].其

中可以作為空間一個(gè)基底的向量組有()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

(2)已知｛ei,ei,03｝是空間的一個(gè)基底，且。4=ei+2e2—e3,0B=-3ei+e2

+2e3,0C=ei+ei-e3,試判斷｛51OB,次｝能否作為空間的一個(gè)基底.

(1)C［如圖所示，令a=AB,b=AAi,c=AD,

貝y=ADi,z=AC,

a+Z>+c=AG.由于A,Bi,C,四點(diǎn)不共面，可知向量x,y,z也不共面，

同理心c,z和x,y,a+Z>+c也不共面，故選C.］

(2)［解］假設(shè)方，0B,元共面，由向量共面的充要條件知，存在實(shí)數(shù)x,%

使而l=xd+y又成立，

ei+2e2-e3=x(-3ei+e2+2e3)+y(ei+e2-e3),

即ei+2e2-e3=(j-3x)ei+(x+y)e2+(2x—y)ez

V｛e\,ei,03｝是空間的一個(gè)基底，--e\,ei,e3不共面.

(y—3x=\,

：Ax+y=2,此方程組無(wú)解.

〔2x—y=-1,

即不存在實(shí)數(shù)x,y使得

所以的，OB,決不共面.

所以｛(*,OB,次｝能作為空間的一個(gè)基底.

廠.......規(guī)律c方法........................

基底判斷的基本思路及方法

(1)基本思路：判斷三個(gè)空間向量是否共面，若共面，則不能構(gòu)成基底；若不

共面，則能構(gòu)成基底.

(2)方法：①如果向量中存在零向量，則不能作為基底；如果存在一個(gè)向量可

以用另外的向量線性表示，則不能構(gòu)成基底.②假設(shè)a=M+〃c,運(yùn)用空間向量基

本定理，建立九，〃的方程組，若有解，則共面，不能作為基底；若無(wú)解，則不共

面，能作為基底.

”型「用基底表示向量

［例2］如圖，四棱錐P-OABC的底面為一矩形，平面OABC,設(shè)力=

a,OC=b,OP=c,E,R分別是PC,P3的中點(diǎn)，試用a,b,c表示：BF,BE,

AE,EF.

一1一1一一IIII

［解］連接5。（圖略），則3/=了8尸=5（5。+。尸）=/（￡—力一0）=—/°—1。+呼?

1—

+^c.EF

1f1—1

=^CB=^OA=^a.

「........規(guī)法.............................

基向量的選擇和使用方法

（1）盡可能選擇具有垂直關(guān)系的，從同一起點(diǎn)出發(fā)的三個(gè)向量作為基底.

（2）用基向量表示一個(gè)向量時(shí)，如果此向量的起點(diǎn)是從基底的公共點(diǎn)出發(fā)的,

一般考慮加法，否則考慮減法；如果此向量與一個(gè)易求的向量共線，可用數(shù)乘.

y型3正交分解在立體幾何中的應(yīng)用

［探究問(wèn)題］

1.取單位正交基底比一般的基底的優(yōu)點(diǎn)有哪些？

［提示］若取單位正交基底｛i,j,k｝,那么==|川=1.且可?左=0,

這是其他一般基底所沒(méi)有的.

2.正方體ABCD-43'C'D'中，5,01,。3分別是AC,AB',AD'的中點(diǎn)，以

｛茄1,AO2,茄3｝為基底，如何表示向量AC.

—>—>—>—>1—>—>1—>—>1—>—>―?

［提示］AC'=AB+AD+AA'=^AB+AD)+^AD+AA')+^AB+AA')=AO1+

AO2+AO3.

【例3】如圖，已知平行六面體ABCD-AbBCiDi中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a

的正方形，側(cè)棱A41長(zhǎng)為。，且NAiA3=NAiAD=120。，求異面直線和AC

所成角的余弦值.

［解］｛AB,AD,看1｝可以作為空間的一個(gè)基底，JL|A5|=47,\AD\=a,|AAi|

=b,

｛AB,AD)=90°,<A4i,AB>=120°,<AAi,AD>=120°.

又詬|=G+啟一蕊，AC=AB+AD,

：.\BD^=\AD^+\AA^+\AB\l+2AD-AAi-2M)-AB-2AAx-AB=(r+lr+a2+

2abeos120°—0—2tzZ?cos120°=2tz2+&2,

|AC|2=I麗2+2AB-AD+|AZ)|2=2tz2,

：.\BDi\=y]2a2+b2,\AC\=\f2a.

：.BDi-AC=(AD+AAi-ABy(AB+Ab}=ADAB+\AD^+AAxAB+AAvAD-

|A7?|2—ABAD=0+a2+abcos120°+aZ?cos120o_a2—0=~ab.

|3DrAC||一帥|_______b

：.|cos<BD1,AC>|=

麗|麗W+廬衣\l4a2+2b2

b

異面直線BDi和AC所成角的余弦值為

44a2+2/Z

廠......規(guī)iSj?法......................

基向量法解決長(zhǎng)度、垂直及夾角問(wèn)題的步驟

(1)設(shè)出基向量.

⑵用基向量表示出直線的方向向量.

_____4.1.

(3)用|a|=d嘉求長(zhǎng)度，用“0=0臺(tái)a_L萬(wàn)，用＜\?。=而而求夾角.

(4)轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)度，兩直線垂直及夾角問(wèn)題.

廣^^備素養(yǎng)G

1.基底中不能有零向量.因零向量與任意一個(gè)非零向量都為共線向量，與任

意兩個(gè)非零向量都共面，所以三個(gè)向量為基底隱含著三個(gè)向量一定為非零向量.

2.空間向量基本定理說(shuō)明，用空間三個(gè)不共面的向量構(gòu)成的向量組{a,b,c}

可以表示空間任意一個(gè)向量，并且表示結(jié)果是唯一的.

3.用基底表示空間向量，一般要用向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算法則，及

加法的平行四邊形法則，加法、減法的三角形法則.逐步向基向量過(guò)渡，直到全

部用基向量表示.

1.3空間向量及其運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.3.1空間直角坐標(biāo)系

1.空間直角坐標(biāo)系

空間直角在空間選定一點(diǎn)。和一個(gè)單位正交基底{i,j,k},以。

坐標(biāo)系為原點(diǎn)，分另U以工j,左的方向?yàn)檎较?以它們的長(zhǎng)為

單位長(zhǎng)度建立三條數(shù)軸：X軸、y軸、Z軸，這樣就建立

了空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)軸工軸、上軸、z軸

坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)。

坐標(biāo)向量1,i，k

坐標(biāo)平面Oxy平面、Oyz平面和Oxz平面

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向X軸正方向,食

右手直角

指指向y軸正方向,如果中指指向Z軸正方向,則稱坐標(biāo)

坐標(biāo)系

系為右手直角坐標(biāo)系

2.空間向量的坐標(biāo)表示

在空間直角坐標(biāo)系中，i,j,左為坐標(biāo)向量，對(duì)空間任一點(diǎn)A,對(duì)應(yīng)一

個(gè)向量西，且點(diǎn)A的位置由向量須唯一確定，由空間向量基本定理，

空間直

存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使。4=紅土立土丞，則(x,y,z)叫做

角坐標(biāo)

點(diǎn)A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo).記作A(x,y,z),其中工叫點(diǎn)A的

系中A

橫坐標(biāo)，上叫做點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)A的豎坐標(biāo)

點(diǎn)坐標(biāo)

在空間直角坐標(biāo)系中，給定向量a.由空間向量基本定理，存在唯一的

有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使a=紅土立土丞，則(%,y,z)叫做a在空間直

角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，簡(jiǎn)記作a=(x,y,z)

典型例題

Y型］求空間點(diǎn)的坐標(biāo)

【例1】如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi中,\AB\=4,\AD\=3,|AAi|=5,

N為棱CQ的中點(diǎn)，分別以D4,DC,DDi所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系.

(1)求點(diǎn)A,B,C,D,Ai,Bi,Ci,Di的坐標(biāo)；

(2)求點(diǎn)N的坐標(biāo).

［思路探究］將各個(gè)點(diǎn)在坐標(biāo)上的射影求出，即可寫出空間各點(diǎn)的坐標(biāo).

［解］⑴顯然。(0,0,0),

因?yàn)辄c(diǎn)A在》軸的正半軸上，且［4。|=3,

所以A(3,0,0).同理，可得C(0,4,0),Di(0,0,5).

因?yàn)辄c(diǎn)3在坐標(biāo)平面xOy內(nèi)，BCLCD,BALAD,所以3(3,4,0).同理，可

得4(3Q5),Ci(0,4,5),與3的坐標(biāo)相比，點(diǎn)B的坐標(biāo)中只有豎坐標(biāo)不同，13311

=|A4i|=5,則31(3,4,5).

(2)由(1)知C(0,4,0),G(0,4,5),

,(0+04+40+5、

則cc的中點(diǎn)N為y一，三一，三-/

規(guī)律C方法........

坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)

X軸上(x,0,0)xOy平面上(x,yO)

y軸上(0,y,0)yOz平面上(0，y，z)

2軸上(0,0,z)xOz平面上(x,0,z)

坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0,0)

求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)

【例2】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(—2,1,4).

⑴求點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑵求點(diǎn)P關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)求點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)”(2，—1，—4)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).

［思路探究］求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可以過(guò)該點(diǎn)向?qū)ΨQ平面或?qū)ΨQ軸作垂線并延

長(zhǎng)，使得垂足為所作線段的中點(diǎn)，再根據(jù)有關(guān)性質(zhì)即可寫出對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).

［解］(1)由于點(diǎn)尸關(guān)于X軸對(duì)稱后，它在X軸的分量不變，在y軸、Z軸的分

量變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為。1(-2,-1,-4).

(2)由于點(diǎn)尸關(guān)于xOy平面對(duì)稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量

變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)，所以對(duì)稱點(diǎn)為P(—2,1,-4).

(3)設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為尸3(x,y,z),則點(diǎn)M為線段PP3的中點(diǎn).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可

得x=2X2—(―2)=6,y=2X(-l)-l=-3,z=2X(—4)—4=—12,所以「3(6,

—3,—12).

廠........規(guī)律(方法.............................

1.求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)可按以下規(guī)律寫出：“關(guān)于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變，其余的符號(hào)均

相反.

在空間直角坐標(biāo)系中，任一點(diǎn)P(a,b,c)的幾種特殊的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)如下:

對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)

X軸~b,~c)

y軸(一。，b,~c)

z軸(一。，~b,c)

P(Q,b,c)xOy平面(。，b,—c)

yOz平面(-。，b,c)

xOz平面(Q,-b,c)

坐標(biāo)原點(diǎn)(~a,-b,~c)

2.在空間直角坐標(biāo)系中，若A(xi,yi,2i),3(x2,Z2),則線段A3的中點(diǎn)坐

何+%2yi+>2Z1+Z2)

標(biāo)為I2，2'2\

空間向量的坐標(biāo)表示

［探究問(wèn)題］

1.在正三棱柱ABC-ALBCI中，已知△ABC的邊長(zhǎng)為1,三棱柱的高為2,如

何建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系？

［提示］分別取3C,31cl的中點(diǎn)。，Di,以。為原點(diǎn)，分別以DC,DA,DDi

的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

2.若筋=(a,b,c),則函的坐標(biāo)是多少？

［提示］BA=(~a,-b,—c).【例3】如圖，在直三棱柱ABC-ALBCI的底

面△ABC中，CA=CB=1,ZBCA=90°,棱AAi=2,M,N分別為AiBi,AM的

中點(diǎn)，試建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求向量的，BA1,的坐標(biāo).

［思路探究］以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以之，CB,13的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸

的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，然后，把BN,BAi,分別用之，CB,左1表示

出來(lái)，再寫出它們的坐標(biāo).

［解］法一：由題意知CCAC,CCi±BC,AC±BC,以點(diǎn)C為原點(diǎn)，分別

以C4,CB,CG的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系C盯z,

如圖所示.

—>—>—>1—>—>—>—>—>1—>—>

.?.BN=A7V—A3=,CC+C4—C3=C4—C3+］CCi,...BN的坐標(biāo)為(1,—1,1),

而B4i=C4i—C3=C4—CB+CCi,

.?.該i的坐標(biāo)為(1,-1,2).

又,刀8=一威1,的坐標(biāo)為(一1,1,-2).

法二：建系同法一,則8(0,1,0),A(1,0,0),4(1,0,2),N(l,0,1),

.?.3雙=(1,-1,1),BAi=(l,—1,2),AiB=(-l,l,-2).

]....??規(guī)律c方法.......

用坐標(biāo)表示空間向量的步驟

觀察圖形特征|根據(jù)圖形特

用基底表確定向量

尋找兩兩垂直征建立空間

示向量的坐標(biāo)

的三條直線直角坐標(biāo)系

廣^^備素養(yǎng)G

1.在空間直角坐標(biāo)系中，確定點(diǎn)的坐標(biāo)或求對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，要記住規(guī)律：“在

誰(shuí)的軸上，誰(shuí)屬于R,其它為零；在誰(shuí)的平面上，誰(shuí)屬于R,其它為零.”“關(guān)

于誰(shuí)對(duì)稱誰(shuí)不變，其余變成相反數(shù).”

2.空間幾何體中，要得到有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，一般選擇

兩兩垂直的三條線段所在直線為坐標(biāo)軸，然后選擇基向量，根據(jù)已知條件和圖形

關(guān)系將所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐標(biāo).

1.3.2空間運(yùn)算的坐標(biāo)表示

1.空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(ai,ai,<23),b=(bi,bi,。3),空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示:

運(yùn)算坐標(biāo)表示

加法+①+歷，〃3+63)

減法g-b=(a]—bi,〃2一歷，華一歷)

數(shù)乘X/Z2,A/Z3),一￡R

數(shù)量積a/=Qibi+。2岳+a3b3

2.空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(ai,。2,。3),b—(bi,bi,b