專題10直線與圓圓與圓的位置關(guān)系（4個知識點8種題型）

專題10直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（4個知識點8種題型）【目錄】倍速學習四種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1.直線與圓的位置關(guān)系的判斷【方法二】實例探索法題型1.直線與圓位置關(guān)系的判定與應用題型2.直線與圓相切的有關(guān)問題圓位置關(guān)系的判斷【方法三】成果評定法【倍速學習三種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1.直線與圓的位置關(guān)系的判斷1．直線與圓的三種位置關(guān)系位置關(guān)系交點個數(shù)相交有兩個公共點相切只有一個公共點相離沒有公共點Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關(guān)系及判斷位置關(guān)系相交相切相離公共點個數(shù)兩個一個零個判定方法幾何法：設圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜01．圓與圓的位置關(guān)系兩圓相交有兩個公共點兩圓相切外切和內(nèi)切只有一個公共點兩圓相離外離和內(nèi)含沒有公共點圓位置關(guān)系的判定(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓的圓心距為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|0＜d＜|r1－r2|(2)代數(shù)法：通過兩圓方程組成方程組的公共解的個數(shù)進行判斷．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(圓C1方程,圓C2方程))eq\o(→,\s\up17(消元))一元二次方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0?相交，,Δ＝0?內(nèi)切或外切，,Δ＜0?外離或內(nèi)含.))①外離（4條公切線）：d＞r1+r2②外切（3條公切線）：d＝r1+r2③相交（2條公切線）：|r1﹣r2|＜d＜r1+r2④內(nèi)切（1條公切線）：d＝|r1﹣r2|⑤內(nèi)含（無公切線）：0＜d＜|r1﹣r2|【方法二】實例探索法題型1.直線與圓位置關(guān)系的判定與應用【例1】已知直線方程mx－y－m－1＝0，圓的方程x2＋y2－4x－2ym為何值時，圓與直線：(1)有兩個公共點；(2)只有一個公共點；(3)沒有公共點．[解]法一：將直線mx－y－m－1＝0代入圓的方程化簡整理得，(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.∵Δ＝4m(3m＋4)，∴(1)當Δ>0時，即m>0或m<－eq\f(4,3)時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；(2)當Δ＝0時，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；(3)當Δ<0時，即－eq\f(4,3)<m<0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點．法二：已知圓的方程可化為(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圓心為C(2,1)，半徑r＝2.圓心C(2,1)到直線mx－y－m－1＝0的距離d＝eq\f(|2m－1－m－1|,\r(1＋m2))＝eq\f(|m－2|,\r(1＋m2)).(1)當d<2時，即m>0或m<－eq\f(4,3)時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；(2)當d＝2時，即m＝0或m＝－eq\f(4,3)時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；(3)當d>2時，即－eq\f(4,3)<m<0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點．【規(guī)律方法】直線與圓位置關(guān)系判斷的三種方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷．(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關(guān)系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．【變式】已知直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4，圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，則直線l與圓C的位置關(guān)系為________．【答案】相交【解析】由直線方程得(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))故直線l過定點A(3,1)．由|AC|＝eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)＜5得A點在圓內(nèi)，因此直線l與圓C相交．題型2.直線與圓相切的有關(guān)問題【例2】(1)已知直線l：ax＋by－3＝0與圓M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于點P(－1,2)，則直線l的方程為________．(2)過點A(4，－3)作圓(x－3)2＋(y－1)2＝1的切線，求此切線方程．[思路探究](1)利用MP⊥l，同時點P在直線l上．(2)先確定點A在圓外，利用d＝r求切線方程．(1)x＋2y－3＝0[根據(jù)題意，圓M：x2＋y2＋4x－1＝0，即(x＋2)2＋y2＝5，其圓心M(－2,0)，直線l：ax＋by－3＝0與圓M：x2＋y2＋4x－1＝0相切于點P(－1,2)，則P在直線l上且MP與直線l垂直．kMP＝eq\f(2－0,－1－－2)＝2，則有－eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2)，則有b＝2a，又由P在直線l上，則有－a＋2b－3＝0，可解得a＝1，b＝2，則直線l的方程為x＋2y－3＝0.](2)[解]因為(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以點A在圓外，故切線有兩條．①若所求直線的斜率存在，設切線斜率為k，則切線方程為y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.設圓心為C，因為圓心C(3,1)到切線的距離等于半徑1，所以eq\f(|3k－1－3－4k|,\r(k2＋1))＝1，即|k＋4|＝eq\r(k2＋1)，所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－eq\f(15,8).所以切線方程為－eq\f(15,8)x－y＋eq\f(15,2)－3＝0，即15x＋8y－36＝0.②若直線斜率不存在，圓心C(3,1)到直線x＝4的距離為1，這時直線x＝4與圓相切，所以另一條切線方程為x＝4.綜上，所求切線方程為15x＋8y－36＝0或x＝4.【規(guī)律方法】圓的切線方程的求法(1)點在圓上時求過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程：先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關(guān)系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.(2)點在圓外時①幾何法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)．由圓心到直線的距離等于半徑，可求得k，也就得切線方程．②代數(shù)法：設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程聯(lián)立，消去y后得到關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切線方程．【變式】若圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對稱，則由點(a，b)向圓C所作的切線長的最小值為________．【答案】4【解析】因為圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0關(guān)于直線2ax＋by＋6＝0對稱，所以圓心C(－1,2)在直線2ax＋by＋6＝0上，所以－2a＋2b＋6＝0，即a－beq\r(2)，當點(a，b)與圓心的距離最小時，切線長取得最小值，又點(a，b)與圓心的距離為eq\r(a＋12＋b－22)＝eq\r(2a－22＋18)≥3eq\r(2)，所以切線長的最小值為eq\r(3\r(2)2－\r(2)2)＝4.【例3】(1)求直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長|AB|.(2)過點(－4,0)作直線l與圓x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B兩點，如果|AB|＝8，求直線l的方程．[思路探究](1)利用交點坐標直接求解．(2)直線l要分斜率存在和不存在兩種情況，建立方程，通過解方程得解．[解](1)聯(lián)立直線l與圓C的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋y－6＝0，,x2＋y2－2y－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,y1＝3，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝2，,y2＝0，))所以交點為A(1,3)，B(2,0)．故直線l：3x＋y－6＝0被圓C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦長|AB|＝eq\r(1－22＋3－02)＝eq\r(10).(2)將圓的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，由圓的性質(zhì)可得，圓心到直線l的距離d＝eq\r(\r(25)2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))eq\s\up12(2))＝3.①當直線l的斜率不存在時，x＝－4滿足題意；②當直線l的斜率存在時，設l的方程為y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.由點到直線的距離公式，得3＝eq\f(|－k－2＋4k|,\r(1＋k2))，解得k＝－eq\f(5,12)，所以直線l的方程為5x＋12y＋20＝0.綜上所述，直線l的方程為x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.【規(guī)律方法】求弦長常用的三種方法(1)利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長l之間的關(guān)系eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)l))eq\s\up12(2)＋d2＝r2解題．(2)利用交點坐標，若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長．(3)利用弦長公式，設直線l：y＝kx＋b，與圓的兩交點(x1，y1)，(x2，y2)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得弦長l＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2]).【變式】直線m：x＋y－1＝0被圓M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為()A．4B．2eq\r(3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)【答案】B【解析】∵x2＋y2－2x－4y＝0，∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，∴圓M的圓心坐標為(1,2)，半徑為eq\r(5)，又點(1,2)到直線x＋y－1＝0的距離d＝eq\f(|1×1＋1×2－1|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，直線m被圓M截得的弦長等于2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))2)＝2eq\r(3).故選B.【例4】一艘輪船沿直線返回港口的途中，接到氣象臺預報，臺風中心位于輪船正西70km處，受影響的范圍是半徑為30km的圓形區(qū)域，已知港口位于臺風中心正北40km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？[思路探究]先以臺風中心為原點建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，把有關(guān)的幾何元素用坐標和方程表示出來，然后把此實際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決．[解]以臺風中心為坐標原點，以東西方向為x軸建立平面直角坐標系(如圖所示)，其中取10km為單位長度，則受臺風影響的圓形區(qū)域為圓x2＋y2＝9及其內(nèi)部，港口所對應的點的坐標為(0,4)，輪船的初始位置所對應的點的坐標為(7,0)，則輪船航線所在直線l的方程為eq\f(x,7)＋eq\f(y,4)＝1，即4x＋7y－28＝0.圓心(0,0)到直線4x＋7y－28＝0的距離d＝eq\f(|28|,\r(42＋72))＝eq\f(28,\r(65))，而半徑r＝3，因為d＞r，所以直線與圓相離，所以輪船不會受到臺風的影響．【規(guī)律方法】直線與圓的方程的實際應用問題的解題步驟(1)審題：認真審題，明確題意，從題目中抽象出幾何模型，明確已知和未知；(2)建系：建立平面直角坐標系，求出相關(guān)各點的坐標，用方程表示曲線，從而在實際問題中建立直線與圓的方程；(3)求解：利用直線與圓的方程的有關(guān)知識求解問題；(4)還原：將運算結(jié)果還原到實際問題中去．【變式】如圖所示，一座圓弧形拱橋，當水面在如圖所示的位置時，拱頂離水面2米，水面寬12米，則水面下降1米后，水面寬度為()A．14米 B．15米C．eq\r(51)米 D．2eq\r(51)米【答案】D【解析】以圓弧形拱橋的頂點為原點，以過圓弧形拱橋的頂點的水平切線為x軸，以過圓弧形拱橋的頂點的豎直直線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖所示．設圓心為C，水面所在弦的端點為A，B，則由已知可得A(6，－2)，設圓的半徑長為r，則C(0，－r)，則圓的方程為x2＋(y＋r)2＝r2.將點A的坐標代入上述方程，可得r＝10，所以圓的方程為x2＋(y＋10)2＝100，當水面下降1米后，水面所在弦的端點為A′，B′，可設A′(x0，－3)(x0＞0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝eq\r(51)，∴水面寬度|A′B′|＝2eq\r(51)米．圓位置關(guān)系的判斷【例5】當實數(shù)k為何值時，兩圓C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外離？[解]將兩圓的一般方程化為標準方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圓C1的圓心為C1(－2,3)，半徑長r1＝1；圓C2的圓心為C2(1,7)，半徑長r2＝eq\r(50－k)(k＜50)，從而|C1C2|＝eq\r(－2－12＋3－72)＝5.當1＋eq\r(50－k)＝5，即k＝34時，兩圓外切．當|eq\r(50－k)－1|＝5，即eq\r(50－k)＝6，即k＝14時，兩圓內(nèi)切．當|eq\r(50－k)－1|＜5＜1＋eq\r(50－k)，即14＜k＜34時，兩圓相交．當eq\r(50－k)＋1|<5，即34＜k＜50時，兩圓外離．【規(guī)律方法】判斷兩圓的位置關(guān)系或利用兩圓的位置關(guān)系求參數(shù)的取值范圍有以下幾個步驟：(1)化成圓的標準方程，寫出圓心和半徑；(2)計算兩圓圓心的距離d；(3)通過d，r1＋r2，|r1－r2|的關(guān)系來判斷兩圓的位置關(guān)系或求參數(shù)的范圍，必要時可借助于圖形，數(shù)形結(jié)合．【變式】已知圓C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0，圓C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a＞0)．試求a為何值時，兩圓C1，C2的位置關(guān)系為：(1)相切；(2)相交；(3)外離；(4)內(nèi)含．[解]圓C1，C2的方程，經(jīng)配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圓心C1(a,1)，C2(2a,1)，半徑r1＝4，r2＝1.∴|C1C2|＝eq\r(a－2a2＋1－12)＝a.(1)當|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5時，兩圓外切；當|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3時，兩圓內(nèi)切．(2)當3＜|C1C2|＜5，即3＜a＜5時，兩圓相交．(3)當|C1C2|＞5，即a＞5時，兩圓外離．(4)當|C1C2|＜3，即a＜3時，兩圓內(nèi)含.【例6】(1)圓C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9與圓C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4相外切，則m的值是________．(2)求半徑為4，與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9相切，且和直線y＝0相切的圓的方程．[思路探究](1)利用|C1C2|＝r1＋r2建立方程來求出m的值．(2)分外切與內(nèi)切兩種情況，與其他條件建立方程組，求出標準方程的三個參數(shù)值即可．(1)2或－5[C1(m，－2)，r1＝3，C2(－1，m)，r2＝2，由題意知|C1C2|＝5，(m＋1)2＋(m＋2)2＝25，解得m＝2或m＝－5.](2)[解]設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝16，由圓與直線y＝0相切、半徑為4，則圓心C的坐標為C1(a,4)或C2(a，－4)．已知圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的圓心A的坐標為(2,1)，半徑為3.由兩圓相切，則|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.①當圓心為C1(a,4)時，(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(無解)，故可得a＝2±2eq\r(10)，故所求圓的方程為(x－2－2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16.②當圓心為C2(a，－4)時，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(無解)，解得a＝2±2eq\r(6).故所求圓的方程為(x－2－2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16.綜上所述，所求圓的方程為(x－2－2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2＋2eq\r(10))2＋(y－4)2＝16或(x－2－2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16或(x－2＋2eq\r(6))2＋(y＋4)2＝16.【規(guī)律方法】處理兩圓相切問題的兩個步驟(1)定性，即必須準確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論．(2)轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內(nèi)切時)或兩圓半徑之和(外切時)．【變式】求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點M(3，－eq\r(3))的圓的方程．[解]已知圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，則圓心為C(1,0)，半徑為1.設所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)．由題意，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(a－12＋b2)＝r＋1，,\f(b＋\r(3),a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6，))即所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.【例7】已知圓C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圓C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求兩圓公共弦所在直線的方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．[思路探究](1)兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程．(2)可求出兩圓的交點坐標，結(jié)合圓心在直線x－y－4＝0上求出圓心坐標與半徑，也可利用圓系方程求解．[解](1)設兩圓交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則A，B兩點坐標是方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0①,x2＋y2＋6y－28＝0②))的解．①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B兩點坐標都滿足此方程，∴x－y＋4＝0即為兩圓公共弦所在直線的方程．(2)法一：解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得兩圓的交點A(－1,3)，B(－6，－2)．設所求圓的圓心為(a，b)，因圓心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.則eq\r(a＋12＋a－4－32)＝eq\r(a＋62＋a－4＋22)，解得a＝eq\f(1,2)，故圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半徑為eq\r(\f(89,2)).故圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.法二：設所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－yx2＋y2－x＋7y－32＝0.【規(guī)律方法】1．求兩圓公共弦長的方法一是聯(lián)立兩圓方程求出交點坐標，再用距離公式求解；二是先求出兩圓公共弦所在的直線方程，再利用半徑長、弦心距和弦長的一半構(gòu)成的直角三角形求解．2．過兩圓的交點的圓的方程已知圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則過兩圓交點的圓的方程可設為x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．【例8】已知圓C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0與圓C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0.(1)證明圓C1與圓C2相切，并求過切點的兩圓公切線的方程；(2)求過點(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點的圓的方程．[解](1)把圓C1與圓C2都化為標準方程形式，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13.圓心與半徑長分別為C1(－2,2)，r1＝eq\r(13)；C2(4，－2)，r2＝eq\r(13).因為|C1C2|＝eq\r(－2－42＋2＋22)＝2eq\r(13)＝r1＋r2，所以圓C1與圓C2相切．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x－4y－5＝0，,x2＋y2－8x＋4y＋7＝0，))得12x－8y－12＝0，即3x－2y－3＝0，就是過切點的兩圓公切線的方程．(2)由圓系方程，可設所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0.點(2,3)在此圓上，將點坐標代入方程解得λ＝eq\f(4,3).所以所求圓的方程為x2＋y2＋4x－4y－5＋eq\f(4,3)(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－eq\f(20,3)y－9＝0.【規(guī)律方法】判斷兩圓位置關(guān)系的兩種方法比較(1)幾何法是利用兩圓半徑和或差與圓心距作比較，得到兩圓位置關(guān)系．(2)代數(shù)法是把兩圓位置關(guān)系的判斷完全轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為方程組解的組數(shù)問題，從而體現(xiàn)了幾何問題與代數(shù)問題之間的相互聯(lián)系，但這種方法只能判斷出不相交、相交和相切三種位置關(guān)系，而不能像幾何法一樣，能準確判斷出外離、外切、相交、內(nèi)切和內(nèi)含五種位置關(guān)系．【變式】在平面直角坐標系xOy中，過點P(0,1)且互相垂直的兩條直線分別與圓O：x2＋y2＝4交于點A，B，與圓M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于點C，D.若AB＝eq\f(3\r(7),2)，求CD的長．[解]因為AB＝eq\f(3\r(7),2)，圓O半徑為2，所以點O到直線AB的距離為eq\f(1,4)，顯然AB，CD都不平行于坐標軸．可知AB：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0.則點O到直線AB的距離d＝eq\f(1,\r(k2＋1))＝eq\f(1,4)，解得k＝±eq\r(15).因為AB⊥CD，所以kCD＝－eq\f(1,k)，所以CD：y＝－eq\f(1,k)x＋1，即x＋ky－k＝0.點M(2,1)到直線CD的距離d′＝eq\f(2,\r(k2＋1))＝eq\f(1,2)，所以CD＝2eq\r(1－d′2)＝2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2))＝eq\r(3).【例9】已知圓C：x2＋y2＋2x－7＝0內(nèi)一點P(－1,2)，直線l過點P且與圓C交于A，B兩點．(1)求圓C的圓心坐標和面積；(2)若直線l的斜率為eq\r(3)，求弦AB的長；(3)若圓上恰有三點到直線l的距離等于eq\r(2)，求直線l的方程．[思路探究](1)化圓的一般式為標準方程，得出圓C的圓心坐標為(－1,0)，半徑r＝2eq\r(2)即可．(2)先求圓心到直線的距離為d，再利用半徑r，距離d，半弦長構(gòu)成直角三角形求解即可．(3)圓上恰有三點到直線l的距離等于eq\r(2)，等價于圓心(－1,0)到直線AB的距離為eq\f(r,2)＝eq\r(2)，利用點到直線的距離公式求解．[解](1)圓C的圓心坐標為(－1,0)，半徑r＝2eq\r(2)，面積為S＝8π.(2)直線l的方程為y－2＝eq\r(3)(x＋1)，即eq\r(3)x－y＋2＋eq\r(3)＝0，圓心到直線l的距離為d＝eq\f(|－\r(3)＋2＋\r(3)|,\r(\r(3)2＋1))＝1，|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(2\r(2)2－1)＝2eq\r(7).(3)因圓上恰有三點到直線l的距離等于eq\r(2)，轉(zhuǎn)化為圓心(－1,0)到直線AB的距離為eq\f(r,2)＝eq\r(2)，當直線l垂直于x軸時，顯然不合題意；設直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋2＋k＝0，由d＝eq\f(|－k＋2＋k|,\r(k2＋1))＝eq\f(2,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，解得k＝±1，故直線l的方程為x－y＋3＝0，或x＋y－1＝0.【變式】已知圓x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.(1)求證：對任意實數(shù)a，該圓恒過一定點；(2)若該圓與圓x2＋y2＝4相切，求a的值．[解](1)證明：圓的方程可整理為(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示過圓x2＋y2－20＝0和直線－4x＋2y＋20＝0交點的圓系．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－20＝0，,－4x＋2y＋20＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－2.))∴已知圓過定點(4，－2)．(2)圓的方程可化為(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.①當兩圓外切時，d＝r1＋r2，即2＋eq\r(5a－22)＝eq\r(5a2)，解得a＝1＋eq\f(\r(5),5)或a＝1－eq\f(\r(5),5)(舍去)；②當兩圓內(nèi)切時，d＝|r1－r2|，即|eq\r(5a－22)－2|＝eq\r(5a2)，解得a＝1－eq\f(\r(5),5)或a＝1＋eq\f(\r(5),5)(舍去)．綜上所述，a＝1±eq\f(\r(5),5).【方法三】成果評定法一、單選題1．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中學?？茧A段練習）已知圓，圓，其中，那么這兩個圓的位罝關(guān)系不可能為（

）A．外離 B．外切 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切【答案】C【分析】由兩圓的方程分別寫出兩圓的圓心、半徑，計算圓心距的范圍即可求得結(jié)果.【詳解】因為圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，則，，，又因為，所以，所以，即，故兩圓的位置關(guān)系不可能為內(nèi)含.故選：C.2．（2023秋·浙江嘉興·高二浙江省海鹽高級中學校考階段練習）已知圓：與圓：，則圓與圓的位置關(guān)系為（

）A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【答案】B【分析】首先由兩圓的標準方程分別得出圓心坐標和半徑，再求出兩圓的圓心距，根據(jù)圓心距與兩圓半徑之間的關(guān)系即可得出兩圓的位置關(guān)系．【詳解】由圓方程，得圓心為，半徑，由圓方程，得圓心為，半徑，則兩圓的圓心距為，所以圓與圓外切，故選：B．3．（2023秋·河北石家莊·高二石家莊市第四中學?？茧A段練習）已知圓，該圓被直線所截得弦長為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】B【分析】由圓的方程可得圓心和半徑，利用點到直線距離公式可求得圓心到直線距離，利用垂徑定理可求得弦長.【詳解】由圓的方程可知：圓心，半徑，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為.故選：B4．（2023秋·江西上饒·高二江西省廣豐中學校考階段練習）已知a、，圓：與圓交于不同的兩點、，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】可轉(zhuǎn)化為，將兩點，分別代入兩圓方程，點差法化簡，聯(lián)立即得解.【詳解】設圓與圓交于不同的兩點、，則，．將，分別代入，得①，②，①②得，，．將，分別代入，得③，④，③④得，，即，將代入得，解得.故選：C.5．（2023秋·河北保定·高二定州市第二中學?？茧A段練習）幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大．”如圖，其結(jié)論是：點為過兩點且和射線相切的圓與射線的切點．根據(jù)以上結(jié)論解決以下問題：在平面直角坐標系xoy中，給定兩點，點在軸上移動，當取最大值時，點的橫坐標是（

）A．2 B．6 C．2或6 D．1或3【答案】A【分析】利用米勒問題的結(jié)論，將問題轉(zhuǎn)化為點為過，兩點且和軸相切的圓與軸的切點，求出切點的橫坐標即可.【詳解】由題意知，點為過，兩點且和軸相切的圓與軸的切點，已知，則線段的中點坐標為，直線斜率為，線段的垂直平分線方程為，即.所以以線段為弦的圓的圓心在直線上，所以可設圓心坐標為，又因為圓與軸相切，所以圓的半徑，又因為，所以，解得或，即切點分別為和，兩圓半徑分別為.由于圓上以線段（定長）為弦所對的圓周角會隨著半徑增大而圓周角角度減小，且過點的圓的半徑比過的圓的半徑大，所以，故點為所求，所以當取最大值時，點的橫坐標是.故選：A.6．（2023秋·高二課時練習）若對圓上任意一點，的取值與x，y無關(guān)，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)點到直線距離模型，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)進行求解即可.【詳解】依題意表示到兩條平行直線和的距離之和的5倍．因為這個距離之和與x，y無關(guān)，故兩條平行直線和在圓的兩側(cè)，畫出圖像如圖所示，故圓心到直線的距離，解得或，當時，兩直線在圓的同側(cè)，不符合題意，所以故選：D．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)點到直線距離公式模型確定所求代數(shù)式的幾何意義.7．（2023秋·天津武清·高二天津市武清區(qū)楊村第一中學校考階段練習）已知圓，點是直線上的動點，若圓上總存在不同的兩點，使得直線垂直平分，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先討論直線的斜率不存在和為0時的情況，再根據(jù)直線的斜率存在且不為0，表示出直線方程，得出圓心到直線的距離小于半徑可求出.【詳解】在圓上總存在不同的兩點使得垂直平分．若為直線與軸交點，得，此時圓上不存在不同的兩點滿足條件；若為直線與軸交點，得，此時直線的方程為，滿足條件，；若P不為直線l與坐標軸的交點，則直線的斜率存在且不為0時，因為，則，可得，所以直線方程為，化為，由圓心到直線的距離，得，又因為，化為，解得：，且；綜上所述：的取值范圍為．故選：A.8．（2023·江蘇·高二專題練習）已知點是圓上的動點，線段是圓的一條動弦，且，則的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出圖象，過點作，垂足為，連接，則有，從而得點D的軌跡方程為2，由向量的加法法則可得，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求出即可得答案.【詳解】解：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為2，如圖，過點作，垂足為，連接，為中點，即，又，，點D的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓，點D的軌跡方程為2，是AB中點，，，所以的最大值為故選：二、多選題9．（2023秋·江蘇連云港·高二校考階段練習）設為實數(shù)，已知圓，直線：，當為（

）時，圓上恰有3個點到直線的距離都等于1.A． B．1 C． D．【答案】AC【分析】由題意得到的圓心到直線距離等于1時滿足要求，利用點到直線距離公式求出答案.【詳解】由于圓的半徑為2，故的圓心到直線距離等于1時，圓上恰有3個點到直線的距離都等于1，即，解得.故選：AC10．（2023秋·陜西咸陽·高二咸陽彩虹學校校考階段練習）已知圓，直線．則（

）A．直線恒過定點B．當時，圓上恰有四個點到直線的距離等于1C．直線與圓有一個交點D．若圓與圓恰有三條公切線，則【答案】AD【分析】化簡直線的方程為，可判定A正確；根據(jù)圓心到直線的距離，可判定B錯誤；根據(jù)點在圓內(nèi)部，可判定C錯誤；根據(jù)兩圓的位置關(guān)系，列出方程，求得的值，可判定D正確.【詳解】對于A中，因為直線，可得，令，解得，所以直線恒過點點，所以A正確；對于B中，由圓，可得圓心，半徑為，要使得圓上恰有四個點到直線的距離等于，則圓心到直線的距離，則滿足，當時，直線，可得圓心到直線的距離為，所以B錯誤；對于C中，因為直線恒過點點，設為點，可得，所以點在圓內(nèi)部，所以直線圓圓有兩個交點，所以C錯誤；對于D中，因為圓，可得，要使得圓與圓恰有三條公切線，可得，即，解得，所以D正確.故選：AD.11．（2023秋·山東德州·高二?？茧A段練習）已知點是圓上一動點，則下列說法正確的是（

）A．的最小值是0 B．的最大值為1C．的最大值為 D．的最小值為【答案】AD【分析】由可看成與原點間的連線的斜率，設，結(jié)合直線與圓有交點，求得的值，可判定A正確，B不正確；由表示點到原點的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)，可判定C錯誤；設，結(jié)合直線與圓有公共點，列出不等式，求得的范圍，可判定D正確.【詳解】由圓，可化為，可得圓心坐標為，半徑，當時，可看成與原點間的連線的斜率，設，即，所以直線與圓M有交點，由，解得，所以的最小值為，無最大值，所以A正確，B不正確；由表示點到原點的距離，又由，所以的最大值為，即的最大值為，所以C錯誤；設，可得，當直線與圓有公共點時，則，解得，所以的最小值為，所以D正確.故選：AD.12．（2023秋·貴州·高二貴州省興義市第八中學校聯(lián)考階段練習）在平面直角坐標系中，圓，點為直線上的動點，則（

）A．圓上有且僅有兩個點到直線的距離為B．已知點，圓上的動點，則的最小值為C．過點作圓的一條切線，切點為可以為D．過點作圓的兩條切線，切點為，則直線恒過定點【答案】ABD【分析】對A，轉(zhuǎn)化為與直線距離為的兩條直線與圓的交點個數(shù)即可；對B，由點與圓在直線的同側(cè)，利用對稱轉(zhuǎn)化為異側(cè)，則當四點共線時取最小值，且最小值為；對C，求出最大值為，即最大為；對D，設點坐標，求出切點弦方程，不論如何變化，直線恒過定點.【詳解】選項A，由題意知，圓心到直線的距離為，圓的半徑為，由，如圖可知與直線平行且與直線距離為的其中一條直線與圓相交，有兩個公共點，另一條直線與圓相離，即圓上有且僅有兩個點到直線的距離為，故A正確；選項B，設點關(guān)于直線的對稱點，則，解得，即，則，即的最小值為，故B正確；選項C，由切點為，則在中，，當最小時，取最大值，最大，過點作，垂足為，此時最小，最小值為，即最大值為，最大為，不可能為，故C錯誤；選項D，設點，切點，可得切線方程為，由點在切線上，得，同理可得，故點都在直線上，即直線的方程為，又由點在直線上，則，代入直線方程整理得，由解得，即直線恒過定點，故D正確.故選：ABD.三、填空題13．（2023秋·江西九江·高二九江市同文中學校考階段練習）經(jīng)過點，且與圓相切于原點的圓的方程為.【答案】【分析】由已知圓心坐標及切點確定圓心在直線，又由圓過兩點得圓心在直線上，從而得出圓心坐標和半徑，得圓標準方程．【詳解】由題意已知圓的標準方程為，圓心為，半徑為，所求圓與圓切于原點，則圓心在直線上，設圓心為，又圓過點及原點，所以圓心在直線上，即，，所以圓方程為．故答案為：．14．（2023秋·陜西咸陽·高二咸陽彩虹學校?？茧A段練習）已知圓及直線，當直線被圓截得弦長最長時，直線的方程為．【答案】【分析】通過題干，當直線過圓心時，所截弦長最長，為直徑，將圓心代入直線方程求解即可.【詳解】因為圓，圓心，，當直線被圓截得弦長最長時，此時直線過圓心，弦長為，將圓心代入直線方程得，即，所以直線方程為，故答案為：.15．（2023秋·河北邢臺·高二河北南宮中學?？茧A段練習）寫出一個既與軸相切又與直線相切的圓的標準方程：.【答案】（答案不唯一）【分析】由題設，令圓的標準方程為，聯(lián)立直線方程求參數(shù)關(guān)系，寫出標準方程，即可得答案.【詳解】由題設，令圓的標準方程為，又圓與直線相切，聯(lián)立圓的方程有，所以，則，所以，可得或，故所求方程形如或即可.綜上，滿足要求.故答案為：（答案不唯一）16．（2023秋·江蘇無錫·高二江陰市華士高級中學校考階段練習）已知圓與圓外切，點P是圓C上一動點，則點P到直線的距離的最大值為【答案】4【分析】利用兩圓的外切關(guān)系先計算，再根據(jù)圓上一動點到定直線的距離的最值計算即可.【詳解】圓化為標準方程為，可得，其半徑為，圓的圓心為，半徑為，因為兩圓外切，所以，解得，可得圓的半徑為，因為圓心到直線的距離為，則點P到直線的距離的最大值為.故答案為：4.四、解答題17．（2023秋·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學?？茧A段練習）已知圓與圓(1)求經(jīng)過圓與圓交點的直線方程：(2)求圓與圓的公共弦長．【答案】(1)(2)【分析】（1）判斷兩圓相交，將兩圓的方程相減，即可得答案；（2）確定圓的圓心和半徑，求得圓心到兩圓公共線所在直線的距離，根據(jù)弦長的幾何求法即可求得答案.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，圓即，圓心為，半徑為，則，故圓與圓相交；將圓與圓的方程相減，得，即經(jīng)過圓與圓交點的直線方程為；（2）圓的圓心為，半徑為1，到直線的距離為，故圓與圓的公共弦長為.18．（2023秋·貴州·高二貴州省興義市第八中學校聯(lián)考階段練習）已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點和．(1)求圓的標準方程；(2)若自點發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射后，其反射光線所在的直線與圓相切，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）設，根據(jù)題意結(jié)合圓的定義列式求得，進而可得圓的方程；（2）取圓關(guān)于x軸的對稱的圓，可知直線與圓相切，根據(jù)切線結(jié)合點到直線的距離公式運算求解.【詳解】（1）因為圓的圓心在直線上，設，由可得，解得，可知圓心，半徑，所以圓的標準方程為.（2）取圓關(guān)于x軸的對稱的圓，即圓心，半徑，可知直線與圓相切，若直線的斜率不存在，則，此時圓心到直線的距離，不合題意；所以直線的斜率存在，設為，則，即，則，整理得，解得或，所以直線