《數學》復習人教A（新高考）-第1節(jié)　空間幾何體及其表面積、體積-教師復習驗收卷

《數學》復習人教A（新高考）-第1節(jié)空間幾何體及其表面積、體積-教師復習驗收卷《數學》復習人教A（新高考）-第1節(jié)空間幾何體及其表面積、體積-教師復習驗收卷/《數學》復習人教A（新高考）-第1節(jié)空間幾何體及其表面積、體積-教師復習驗收卷第1節(jié)空間幾何體及其表面積、體積知識梳理1.空間幾何體的結構特征(1)多面體的結構特征名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側棱平行且相等相交于一點,但不一定相等延長線交于一點側面形狀平行四邊形三角形梯形(2)旋轉體的結構特征名稱圓柱圓錐圓臺球圖形母線互相平行且相等,垂直于底面相交于一點延長線交于一點軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側面展開圖矩形扇形扇環(huán)2.直觀圖空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫,其規(guī)則是：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°),z′軸與x′軸、y′軸所在平面垂直.(2)原圖形中平行于坐標軸的線段,直觀圖中仍分別平行于坐標軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變,平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话?3.多面體的表(側)面積多面體的各個面都是平面,則多面體的側面積就是所有側面的面積之和,表面積是側面積與底面面積之和.4.圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式圓柱圓錐圓臺側面展開圖側面積公式S圓柱側＝2πrlS圓錐側＝πrlS圓臺側＝π(r1＋r2)l5.空間幾何體的表面積與體積公式名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側＋2S底V＝S底h錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側＋S底V＝eq\f(1,3)S底h臺體(棱臺和圓臺)S表面積＝S側＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR31.正方體與球的切、接常用結論正方體的棱長為a,球的半徑為R(1)若球為正方體的外接球,則2R＝eq\r(3)a;(2)若球為正方體的內切球,則2R＝a;(3)若球與正方體的各棱相切,則2R＝eq\r(2)a.2.長方體的共頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R＝eq\r(a2＋b2＋c2).3.正四面體的外接球的半徑R＝eq\f(\r(6),4)a,內切球的半徑r＝eq\f(\r(6),12)a,其半徑R∶r＝3∶1(a為該正四面體的棱長).4.直觀圖與原平面圖形面積間關系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.診斷自測1.判斷下列結論正誤(在括號內打"√”或"×”)(1)有兩個面平行,其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.()(2)有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.()(3)菱形的直觀圖仍是菱形.()(4)兩個球的體積之比等于它們的半徑比的平方.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×解析(1)反例：由兩個平行六面體上下組合在一起的圖形滿足條件,但不是棱柱.(2)反例：如圖所示的圖形滿足條件但不是棱錐.(3)用斜二測畫法畫水平放置的菱形的直觀圖是平行四邊形,但鄰邊不一定相等,(3)錯誤.(4)球的體積之比等于半徑比的立方,故不正確.2.如圖,長方體ABCD－A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′.剩下的幾何體是()A.棱臺 B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱答案C解析由幾何體的結構特征,剩下的幾何體為五棱柱.3.已知圓錐的表面積等于12πcm2,其側面展開圖是一個半圓,則底面圓的半徑為()A.1cm B.2cmC.3cm D.eq\f(3,2)cm答案B解析設圓錐的底面圓的半徑為r,母線長為l,因為側面展開圖是一個半圓,所以πl(wèi)＝2πr,即l＝2r,所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π,解得r＝2.4.(2021·益陽調研)如圖,一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°的等腰梯形,已知直觀圖OA′B′C′的面積為4,則該平面圖形的面積為()A.eq\r(2) B.4eq\r(2) C.8eq\r(2) D.2eq\r(2)答案C解析由S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖,得S原圖形＝2eq\r(2)×4＝8eq\r(2).5.(2020·天津卷)若棱長為2eq\r(3)的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為()A.12π B.24π C.36π D.144π答案C解析設球的半徑為R,由題意知球的直徑2R＝eq\r((2\r(3))2＋(2\r(3))2＋(2\r(3))2),得R＝3,該球的表面積S＝4πR2＝36π.故選C.6.(2021·新高考8省聯考)圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上,其上、下底面半徑分別為4和5,則該圓臺的體積為________.答案61π解析截面圖如圖所示,下底面半徑為5,圓周直徑為10.則圓臺的下底面位于圓周的直徑上,OC＝OB＝5,O′C＝4,∠OO′C＝eq\f(π,2),則圓臺的高為3,V＝eq\f(1,3)h(S1＋eq\r(S1S2)＋S2)＝25π＋16π＋20π＝61π.考點一空間幾何體的結構特征1.給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓柱的母線;②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉一周所形成的幾何體都是圓錐;③棱臺的上、下底面可以不相似,但側棱長一定相等.其中正確命題的個數是()A.0 B.1 C.2 D.3答案A解析①不一定,只有當這兩點的連線平行于軸時才是母線;②不一定,當以斜邊所在直線為旋轉軸時,其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的幾何體不是圓錐,如圖所示,它是由兩個同底圓錐組成的幾何體;③錯誤,棱臺的上、下底面相似且是對應邊平行的多邊形,各側棱延長線交于一點,但是側棱長不一定相等.2.以下四個命題中,真命題為()A.側面都是等腰三角形的棱錐是正棱錐B.底面是矩形的平行六面體是長方體C.直四棱柱是直平行六面體D.棱臺的側棱延長后必交于一點答案D解析A中等腰三角形的腰不一定是側棱,A是假命題,B中,側棱與底面矩形不一定垂直,B是假命題,C中,直四棱柱的底面不一定是平行四邊形,C不正確,根據棱臺的定義,選項D是真命題.3.(多選題)(2021·濰坊調研)下面關于空間幾何體的敘述正確的是()A.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B.用平面截圓柱得到的截面只能是圓和矩形C.長方體是直平行六面體D.存在每個面都是直角三角形的四面體答案CD解析A當頂點在底面的投影是正多邊形的中心才是正棱錐,不正確;B當平面與圓柱的母線平行或垂直時,截得的截面才為矩形或圓,否則為橢圓或橢圓的一部分,B不正確;C正確;D正確,如圖,正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC,四個面都是直角三角形.感悟升華1.關于空間幾何體的結構特征辨析關鍵是緊扣各種幾何體的概念,要善于通過舉反例對概念進行辨析,即要說明一個命題是錯誤的,只需舉一個反例.2.圓柱、圓錐、圓臺的有關元素都集中在軸截面上,解題時要注意用好軸截面中各元素的關系.3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的,所以在解決棱(圓)臺問題時,要注意"還臺為錐”的解題策略.考點二空間幾何體的直觀圖角度1水平放置的直觀圖【例1】已知等腰梯形ABCD,上底CD＝1,腰AD＝CB＝eq\r(2),下底AB＝3,以下底所在直線為x軸,則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________.答案eq\f(\r(2),2)解析如圖(1)和(2)的實際圖形和直觀圖所示.因為OE＝eq\r((\r(2))2－1)＝1,由斜二測畫法可知O′E′＝eq\f(1,2),E′F＝eq\f(\r(2),4),D′C′＝1,A′B′＝3,則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝eq\f(1＋3,2)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).感悟升華1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法,其規(guī)則可以用"斜”(兩坐標軸成45°或135°)和"二測”(平行于y軸的線段長度減半,平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握.2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖,其面積與原圖形的面積的關系：S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形.【訓練1】如圖,一個水平放置的平面圖形的直觀圖(斜二測畫法)是一個底角為45°、腰和上底長均為2的等腰梯形,則這個平面圖形的面積是()A.2＋eq\r(2) B.1＋eq\r(2)C.4＋2eq\r(2) D.8＋4eq\r(2)答案D解析由已知直觀圖根據斜二測畫法規(guī)則畫出原平面圖形,如圖所示.由于O′D′＝2,D′C′＝2,∴OD＝4,DC＝2,過D′作D′H⊥A′B′,易知A′H＝2sin45°＝eq\r(2).∴AB＝A′B′＝2A′H＋DC＝2eq\r(2)＋2.故平面圖形的面積S＝eq\f(DC＋AB,2)·AD＝4(eq\r(2)＋2).角度2幾何體直觀圖中的計算【例2】(2020·新高考山東卷)已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱長均為2,∠BAD＝60°.以D1為球心,eq\r(5)為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為__________.答案eq\f(\r(2)π,2)解析如圖,連接B1D1,易知△B1C1D1為正三角形,所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1,BB1,CC1的中點M,G,H,連接D1M,D1G,D1H,則易得D1G＝D1H＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5),D1M⊥B1C1,且D1M＝eq\r(3).由題意知G,H分別是BB1,CC1與球面的交點.在側面BCC1B1內任取一點P,使MP＝eq\r(2),連接D1P,則D1P＝eq\r(D1M2＋MP2)＝eq\r((\r(3))2＋(\r(2))2)＝eq\r(5),連接MG,MH,易得MG＝MH＝eq\r(2),故可知以M為圓心,eq\r(2)為半徑的圓弧GH為球面與側面BCC1B1的交線.由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°,所以的長為eq\f(1,4)×2π×eq\r(2)＝eq\f(\r(2)π,2).感悟升華1.本題求解的關鍵是明確球面與側面BCC1B1交線的位置,從而轉化為以M為圓心,以MH＝eq\r(2)為半徑的圓弧的計算.2.題目考查直四棱柱的結構特征與直觀圖,核心素養(yǎng)是直觀想象和數學運算.【訓練2】(2020·全國Ⅰ卷)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一,它的形狀可視為一個正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側面三角形的面積,則其側面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4) B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4) D.eq\f(\r(5)＋1,2)答案C解析如圖,設正四棱錐的底面邊長BC＝a,側面等腰三角形底邊上的高PM＝h,則正四棱錐的高PO＝eq\r(h2－\f(a2,4)),∴以PO的長為邊長的正方形面積為h2－eq\f(a2,4),一個側面三角形面積為eq\f(1,2)ah,∴h2－eq\f(a2,4)＝eq\f(1,2)ah,∴4h2－2ah－a2＝0.則a＝(eq\r(5)－1)h,∴eq\f(h,a)＝eq\f(\r(5)＋1,4).考點三空間幾何體的表面積與側面積【例3】(2021·成都調研)如圖,四面體各個面都是邊長為1的正三角形,其三個頂點在一個圓柱的下底面圓周上,另一個頂點是上底面圓心,圓柱的側面積是()A.eq\f(\r(2),3)π B.eq\f(3\r(2),4)π C.eq\f(2\r(2),3)π D.eq\f(\r(2),2)π答案C解析如圖所示,過點P作PE⊥平面ABC,E為垂足,點E為等邊三角形ABC的中心,連接AE并延長,交BC于點D.AE＝eq\f(2,3)AD,AD＝eq\f(\r(3),2),∴AE＝eq\f(2,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3),∴PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\f(\r(6),3).設圓柱底面半徑為r,則r＝AE＝eq\f(\r(3),3),∴圓柱的側面積S＝2πr·PE＝2π×eq\f(\r(3),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(2\r(2)π,3).感悟升華空間幾何體表面積的求法(1)旋轉體的表面積問題注意其軸截面及側面展開圖的應用,并弄清底面半徑、母線長與對應側面展開圖中邊的關系.(2)多面體的表面積是各個面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理.【訓練3】(多選題)(2021·武漢質檢)等腰直角三角形的直角邊長為1,現將該三角形繞其某一邊旋轉一周,則所形成的幾何體的表面積可以為()A.eq\r(2)π B.(1＋eq\r(2))πC.2eq\r(2)π D.(2＋eq\r(2))π答案AB解析如果是繞直角邊旋轉,則形成圓錐,圓錐底面半徑為1,高為1,母線就是直角三角形的斜邊,長為eq\r(2),所以所形成的幾何體的表面積S＝π×1×eq\r(2)＋π×12＝(eq\r(2)＋1)π.如果繞斜邊旋轉,則形成的是上、下兩個圓錐,圓錐的半徑是直角三角形斜邊上的高eq\f(\r(2),2),兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊,母線長是1,所以形成的幾何體的表面積S′＝2×π×eq\f(\r(2),2)×1＝eq\r(2)π.綜上可知,形成幾何體的表面積是(eq\r(2)＋1)π或eq\r(2)π.故選AB.考點四空間幾何體的體積角度1簡單幾何體的體積【例4】(1)(2021·濟南模擬)已知三棱錐S－ABC中,∠SAB＝∠ABC＝eq\f(π,2),SB＝4,SC＝2eq\r(13),AB＝2,BC＝6,則三棱錐S－ABC的體積是()A.4 B.6 C.4eq\r(3) D.6eq\r(3)(2)已知四棱錐的底面是邊長為eq\r(2)的正方形,側棱長均為eq\r(5).若圓柱的一個底面的圓周經過四棱錐四條側棱的中點,另一個底面的圓心為四棱錐底面的中心,則該圓柱的體積為________.答案(1)C(2)eq\f(π,4)解析(1)∵∠ABC＝eq\f(π,2),AB＝2,BC＝6,∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).∵∠SAB＝eq\f(π,2),AB＝2,SB＝4,∴AS＝eq\r(SB2－AB2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).由SC＝2eq\r(13),得AC2＋AS2＝SC2,∴AC⊥AS.又∵SA⊥AB,AC∩AB＝A,∴AS⊥平面ABC,∴AS為三棱錐S－ABC的高,∴V三棱錐S－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×6×2eq\r(3)＝4eq\r(3).故選C.(2)由題意知圓柱的高恰為四棱錐的高的一半,圓柱的底面直徑恰為四棱錐的底面正方形對角線的一半.因為四棱錐的底面正方形的邊長為eq\r(2),所以底面正方形對角線長為2,所以圓柱的底面半徑為eq\f(1,2).又因為四棱錐的側棱長均為eq\r(5),所以四棱錐的高為eq\r((\r(5))2－12)＝2,所以圓柱的高為1.所以圓柱的體積V＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)×1＝eq\f(π,4).感悟升華求規(guī)則幾何體的體積,主要是先找準關鍵的已知量,求必需的未知量,再利用"直接法”代入體積公式計算.【訓練4】(1)(2019·江蘇卷)如圖,長方體ABCD－A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點,則三棱錐E－BCD的體積是________.(2)《九章算術》中,將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑.如圖,四面體P－ABC為鱉臑,PA⊥平面ABC,∠ABC為直角,且PA＝AB＝BC＝2,則P－ABC的體積為________.答案(1)10(2)eq\f(4,3)解析(1)設長方體中BC＝a,CD＝b,CC1＝c,則abc＝120,∴VE－BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)ab×eq\f(1,2)c＝eq\f(1,12)abc＝10.(2)由題意知PA⊥平面ABC,∠ABC＝eq\f(π,2),PA＝AB＝BC＝2,所以S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝2,所以VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2×2＝eq\f(4,3).角度2不規(guī)則幾何體的體積【例5】如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且△ADE,△BCF均為正三角形,EF∥AB,EF＝2,則該多面體的體積為________.答案eq\f(\r(2),3)解析如圖,分別過點A,B作EF的垂線,垂足分別為G,H,連接DG,CH.則原幾何體分割為兩個三棱錐和一個直三棱柱.依題意,三棱錐E－ADG的高EG＝eq\f(1,2),直三棱柱AGD－BHC的高AB＝1.則AG＝eq\r(AE2－EG2)＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).取AD的中點M,則MG＝eq\f(\r(2),2),所以S△AGD＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),4),∴V多面體＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(2),4)×eq\f(1,2)×2＋eq\f(\r(2),4)×1＝eq\f(\r(2),3).感悟升華1.求不規(guī)則幾何體的體積：當一個幾何體的形狀不規(guī)則時,常通過分割或者補形的手段將此幾何體變?yōu)橐粋€或幾個規(guī)則的、體積易求的幾何體,然后再計算.2.本題利用"割”的方法把幾何體分割成易求體積的三棱錐、三棱柱(也可分割成四棱錐).另外,經?？紤]把棱錐補成棱柱,把臺體補成錐體,把三棱錐補成四棱錐,把三棱柱補成四棱柱,把不規(guī)則幾何體補成規(guī)則幾何體,補一個同樣的幾何體等.【訓練5】(2020·東北三校一聯)如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,ED⊥平面ABCD,FC⊥平面ABCD,ED＝2FC＝2,則四面體ABEF的體積為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3) C.1 D.eq\f(4,3)答案B解析∵ED⊥平面ABCD且AD?平面ABCD,∴ED⊥AD.∵在正方形ABCD中,AD⊥DC,而DC∩ED＝D,∴AD⊥平面CDEF.易知FC＝eq\f(ED,2)＝1,VA－BEF＝VABCDEF－VF－ABCD－VA－DEF.∵VE－ABCD＝ED×S正方形ABCD×eq\f(1,3)＝2×2×2×eq\f(1,3)＝eq\f(8,3),VB－EFC＝BC×S△EFC×eq\f(1,3)＝2×2×1×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3),∴VABCDEF＝eq\f(8,3)＋eq\f(2,3)＝eq\f(10,3).又VF－ABCD＝FC×S正方形ABCD×eq\f(1,3)＝1×2×2×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3),VA－DEF＝AD×S△DEF×eq\f(1,3)＝2×2×2×eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3),VA－BEF＝eq\f(10,3)－eq\f(4,3)－eq\f(4,3)＝eq\f(2,3).故選B.考點五多面體與球的切、接問題【例6】(2021·重慶質檢)已知球O是三棱錐P－ABC的外接球,PA＝AB＝PB＝AC＝2,CP＝2eq\r(2),點D是PB的中點,且CD＝eq\r(7),則球O的表面積為()A.eq\f(28π,3) B.eq\f(14π,3)C.eq\f(28\r(21)π,27) D.eq\f(16π,3)答案A解析依題意,由PA＝AC＝2,CP＝2eq\r(2),得AP⊥AC.連接AD,由點D是PB的中點且PA＝AB＝PB＝2,得AD＝eq\r(3),又CD＝eq\r(7),AC＝2,可知AD⊥AC,又AP∩AD＝A,AP?平面PAB,AD?平面PAB,所以AC⊥平面PAB.以△PAB為底面,AC為側棱補成一個直三棱柱,則球O是該三棱柱的外接球,球心O到底面△PAB的距離d＝eq\f(1,2)AC＝1.由正弦定理得△PAB的外接圓半徑r＝eq\f(PA,2sin60°)＝eq\f(2,\r(3)),所以球O的半徑R＝eq\r(d2＋r2)＝eq\r(\f(7,3)).故球O的表面積S＝4πR2＝eq\f(28π,3).【遷移】本例改為"棱長為4的正方體”,則此正方體外接球和內切球的體積各是多少?解由題意可知,此正方體的體對角線長即為其外接球的直徑,正方體的棱長即為其內切球的直徑.設該正方體外接球的半徑為R,內切球的半徑為r.又正方體的棱長為4,故其體對角線長為4eq\r(3),從而V外接球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π,V內切球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×23＝eq\f(32π,3).感悟升華1.與球有關的組合體問題,一種是內切,一種是外接.球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題,球與多面體的組合,通過多面體的一條側棱和球心,或"切點”、"接點”作出截面圖,把空間問題化歸為平面問題.2.若球面上四點P,A,B,C中PA,PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直,可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題.【訓練6】(2020·全國Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內半徑最大的球的體積為________.答案eq\f(\r(2)π,3)解析當球為圓錐的內切球時,球的半徑最大.如圖為圓錐內球半徑最大時的軸截面圖.其中球心為O,設其半徑為r,AC＝3,O1C＝1,∴AO1＝eq\r(AC2－O1C2)＝2eq\r(2).∵OO1＝OM＝r,∴AO＝AO1－OO1＝2eq\r(2)－r,又∵△AMO∽△AO1C,∴eq\f(OM,O1C)＝eq\f(AO,AC),即eq\f(r,1)＝eq\f(2\r(2)－r,3),解得r＝eq\f(\r(2),2).∴該圓錐內半徑最大的球的體積V＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(2)π,3)."空間彎曲性”——"曲率”的應用"強調應用”也是高考卷命題的指導思想,體現了新課標的"在玩中學,在學中思,在思中得”的嶄新理念,既有利于培養(yǎng)考生的探究意識和創(chuàng)新精神,又能夠很好地提升考生的數學綜合素養(yǎng),因而成為高考試卷中的一道亮麗的風景線.如2021年新高考8省聯考的第20題,此題以大興國際機場的建設成就、大學微分幾何中的曲率為背景,結合立體幾何的相關知識命制試題,旨在考查學生獲取新知識,探究新問題的能力.【典例】(2021·新高考8省聯考)北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容.用曲率刻畫空間彎曲性,規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內角叫做多面體的面角,角度用弧度制),多面體面上非頂點的曲率均為零,多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如正四面體在每個頂點有3個面角,每個面角是eq\f(π,3),所以正四面體在各頂點的曲率為2π－3×eq\f(π,3)＝π,故其總曲率為4π.(1)求四棱錐的總曲率;(2)若多面體滿足：頂點數－棱數＋面數＝2,證明：這類多面體的總曲率是常數.(1)解總曲率＝2π×頂點數－所有內角和,對于四棱錐底面的內角和為2π,四個側面的內角和為4π,從而總曲率為10π－2π－4π＝4π.(2)證明對于多面體有頂點數－棱數＋面數＝2,總曲率＝頂點數×2π－各面內角之和,設面數為k,ni為第i(i＝1,2,…,k)個面的邊數,各面內角之和可以表示為eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))(ni－2)π,由于一個棱會出現在兩個面上,所以eq\o(∑,\s\up6(k),\s\do4(i＝1))(ni－2)π＝棱數×2π－面數×2π,從而總曲率＝2π×頂點數－棱數×2π＋面數×2π＝2π(頂點數－棱數＋面數)＝2π×2＝4π.素養(yǎng)升華1.題目以大興國際機場為背景考查數學應用,突出數學建模、直觀想象與數學運算素養(yǎng).2.試題反映了大融合的理念、新課改的精神,對培養(yǎng)學生的創(chuàng)新應用意識起到了積極引導作用.【訓練】(2019·全國Ⅲ卷)學生到工廠勞動實踐,利用3D打印技術制作模型.如圖,該模型為長方體ABCD－A1B1C1D1挖去四棱錐O－EFGH后所得的幾何體.其中O為長方體的中心,E,F,G,H分別為所在棱的中點,AB＝BC＝6cm,AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質量為______g.答案118.8解析由題意得,四棱錐O－EFGH的底面積為4×6－4×eq\f(1,2)×2×3＝12(cm2),其高為點O到底面EFGH的距離,為3cm,則此四棱錐的體積為V1＝eq\f(1,3)×12×3＝12(cm3).又長方體ABCD－A1B1C1D1的體積為V2＝4×6×6＝144(cm3),所以該模型的體積V＝V2－V1＝144－12＝132(cm3),因此模型所需原材料的質量為0.9×132＝118.8(g).A級基礎鞏固一、選擇題1.下列說法中,正確的是()A.棱柱的側面可以是三角形B.若棱柱有兩個側面是矩形,則該棱柱的其他側面也是矩形C.正方體的所有棱長都相等D.棱柱的所有棱長都相等答案C解析棱柱的側面都是平行四邊形,選項A錯誤;其他側面可能是平行四邊形,選項B錯誤;棱柱的側棱與底面邊長并不一定相等,選項D錯誤;易知選項C正確.2.一個菱形的邊長為4cm,一內角為60°,用斜二測畫法畫出的這個菱形的直觀圖的面積為()A.2eq\r(3)cm2 B.2eq\r(6)cm2 C.4eq\r(6)cm2 D.8eq\r(3)cm2答案B解析直觀圖的面積為eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),2)×42＝2eq\r(6)(cm2).3.(2020·鄭州調研)現有同底等高的圓錐和圓柱,已知圓柱的軸截面是邊長為2的正方形,則圓錐的側面積為()A.3π B.eq\f(3π,2) C.eq\f(\r(5)π,2)D.eq\r(5)π答案D解析設底面圓的半徑為R,圓柱的高為h,依題意2R＝h＝2,∴R＝1.∴圓錐的母線l＝eq\r(h2＋R2)＝eq\r(22＋1)＝eq\r(5),因此S圓錐側＝πRl＝1×eq\r(5)π＝eq\r(5)π.4.(多選題)(2021·煙臺調研)在一個密閉透明的圓柱筒內裝一定體積的水,將該圓柱筒分別豎直、水平、傾斜放置時,指出圓柱桶內的水平面可以呈現出的幾何形狀可能是()A.圓面 B.矩形面C.梯形面 D.橢圓面或部分橢圓面答案ABD解析將圓柱桶豎放,水面為圓面;將圓柱桶斜放,水面為橢圓面或部分橢圓面;將圓柱桶水平放置,水面為矩形面,但圓柱桶內的水平面不可以呈現出梯形面.5.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上,若AB＝3,AC＝4,AB⊥AC,AA1＝12,則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B.2eq\r(10) C.eq\f(13,2) D.3eq\r(10)答案C解析將直三棱柱補形為長方體ABEC－A1B1E1C1,則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1的外接球.∴體對角線BC1的長為球O的直徑.因此2R＝eq\r(32＋42＋122)＝13,則R＝eq\f(13,2).6.如圖所示,正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為2,側棱長為eq\r(3),D為BC中點,則三棱錐A－B1DC1的體積為()A.3 B.eq\f(3,2) C.1 D.eq\f(\r(3),2)答案C解析由題意可知,AD⊥平面B1DC1,即AD為三棱錐A－B1DC1的高,且AD＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3),易求得S△B1DC1＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3),所以VA－B1DC1＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\r(3)＝1.7.(2020·安慶調研)已知在四面體PABC中,PA＝4,BC＝2eq\r(6),PB＝PC＝2eq\r(3),PA⊥平面PBC,則四面體PABC的外接球的表面積是()A.160π B.128π C.40π D.32π答案C解析∵PB2＋PC2＝12＋12＝24＝BC2,∴PB⊥PC,又PA⊥平面PBC,∴PA⊥PB,PA⊥PC,即PA,PB,PC兩兩垂直,以PA,PB,PC為從同一頂點出發(fā)的三條棱補成長方體,所以該長方體的體對角線長為eq\r(PA2＋PB2＋PC2)＝eq\r(12＋12＋16)＝2eq\r(10),故該四面體的外接球半徑為eq\r(10).于是四面體P－ABC的外接球的表面積是4π(eq\r(10))2＝40π.8.(多選題)(2021·武漢模擬)長方體ABCD－A1B1C1D1的長、寬、高分別為3,2,1,則()A.長方體的表面積為20B.長方體的體積為6C.沿長方體的表面從A到C1的最短距離為3eq\r(2)D.沿長方體的表面從A到C1的最短距離為2eq\r(5)答案BC解析長方體的表面積為2×(3×2＋3×1＋2×1)＝22,A錯誤.長方體的體積為3×2×1＝6,B正確.如圖1所示,長方體ABCD－A1B1C1D1中,AB＝3,BC＝2,BB1＝1,將側面ABB1A1和側面BCC1B1展開,如圖2所示.連接AC1,則有AC1＝eq\r(52＋12)＝eq\r(26),即經過側面ABB1A1和側面BCC1B1時,A到C1的最短距離是eq\r(26);將側面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開,如圖3所示,連接AC1,則有AC1＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2),即經過側面ABB1A1和底面A1B1C1D1時,A到C1的最短距離是3eq\r(2);將側面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開,如圖4所示.連接AC1,則有AC1＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5),即經過側面ADD1A1和底面A1B1C1D1時,A到C1的最短距離是2eq\r(5).因為3eq\r(2)<2eq\r(5)<eq\r(26),所以沿長方體表面由A到C1的最短距離是3eq\r(2),C正確,D錯誤.故選BC.二、填空題9.如圖是水平放置的正方形ABCO,在直角坐標系xOy中,點B的坐標為(2,2),則由斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中,頂點B′到x′軸的距離為________.答案eq\f(\r(2),2)解析利用斜二測畫法作正方形ABCO的直觀圖如圖,在坐標系x′O′y′中,|B′C′|＝1,∠x′C′B′＝45°.過點B′作x′軸的垂線,垂足為點D′.在Rt△B′D′C′中,|B′D′|＝|B′C′|sin45°＝1×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2).10.如圖,在圓柱O1O2內有一個球O,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則eq\f(V1,V2)的值是________.答案eq\f(3,2)解析設圓柱內切球的半徑為R,則由題設可得圓柱O1O2的底面圓的半徑為R,高為2R,故eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).11.(2020·江蘇卷)如圖,六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構成的.已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm,高為2cm,內孔半徑為0.5cm,則此六角螺帽毛坯的體積是________cm3.答案12eq\r(3)－eq\f(π,2)解析螺帽的底面正六邊形的面積S＝6×eq\f(1,2)×22×sin60°＝6eq\r(3)(cm2),正六棱柱的體積V1＝6eq\r(3)×2＝12eq\r(3)(cm3),圓柱的體積V2＝π×0.52×2＝eq\f(π,2)(cm3),所以此六角螺帽毛坯的體積V＝V1－V2＝12eq\r(3)－eq\f(π,2)(cm3).12.(2021·佛山質檢)已知圓錐的頂點為S,底面圓周上的兩點A、B滿足△SAB為等邊三角形,且面積為4eq\r(3),又知圓錐軸截面的面積為8,則圓錐的側面積為________.答案8eq\r(2)π解析設圓錐的母線長為l,由△SAB為等邊三角形,且面積為4eq\r(3),所以eq\f(1,2)l2sineq\f(π,3)＝4eq\r(3),解得l＝4;又設圓錐底面半徑為r,高為h,則由軸截面的面積為8,得rh＝8;又r2＋h2＝16,解得r＝h＝2eq\r(2),所以圓錐的側面積S＝πrl＝π·2eq\r(2)·4＝8eq\r(2)π.B級能力提升13.(2020·全國Ⅰ卷)已知A,B,C為球O的球面上的三個點,⊙O1為△ABC的外接圓.若⊙O1的面積為4π,AB＝BC＝AC＝OO1,則球O的表面積為()A.64π B.48π C.36π D.32π答案A解析如圖所示,設球O的半徑為R