對數(shù)函數(shù)的圖象和性質課件-2024-2025學年高一上學期數(shù)學人教A版（2019）必修第一冊

4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標學習目標1.能用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象.(直觀想象)2.探索并了解對數(shù)函數(shù)圖象的性質.(數(shù)學抽象)基礎落實·必備知識一遍過知識點:對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象和性質

項目a>10<a<1圖象

項目a>10<a<1定義域(0,+∞)值域R

性質(1)過定點(1,0),即x=1時,y=0(2)當x>1時,y>0;當0<x<1時,y<0(2)當x>1時,y<0;當0<x<1時,y>0(3)在(0,+∞)上是增函數(shù).當x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于正無窮大;當x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于負無窮大(3)在(0,+∞)上是減函數(shù).當x值趨近于正無窮大時,函數(shù)值趨近于負無窮大;當x值趨近于0時,函數(shù)值趨近于正無窮大名師點睛1.對數(shù)函數(shù)的符號常受到底數(shù)和真數(shù)的范圍的制約,注意對底數(shù)a的分類討論.2.當?shù)讛?shù)a>1時,圖象在第一象限內越接近x軸,a越大;當?shù)讛?shù)0<a<1時,圖象在第四象限內越接近x軸,a越小.3.分析對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象,需找三個關鍵點:(a,1),(1,0),(,-1).微思考對數(shù)函數(shù)的性質有哪些?提示

性質是函數(shù)變化中的不變性及規(guī)律性.主要有定義域(0,+∞);單調性:a>1單調遞增,0<a<1單調遞減,過定點(1,0)等.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1類比指數(shù)函數(shù)的增減性與底數(shù)a有關,對數(shù)函數(shù)的增減性與底數(shù)有什么關系.問題2類比指數(shù)型函數(shù)圖象中定點的求法,對數(shù)型函數(shù)如何求定點?探究點一對數(shù)函數(shù)的圖象問題3如何畫出對數(shù)函數(shù)的圖象?思考如何畫出對數(shù)型函數(shù)的圖象?【例1】

作出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象,并根據(jù)圖象寫出該函數(shù)的定義域、值域以及單調區(qū)間.解

先畫出函數(shù)y=lg

x的圖象(如圖1).再將該函數(shù)圖象向右平移1個單位長度得到函數(shù)y=lg(x-1)的圖象(如圖2).圖1圖2圖3最后把y=lg(x-1)的圖象在x軸下方的部分對稱翻折到x軸上方(原來在x軸上方的部分不變),即得出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象(如圖3).由圖易知其定義域為(1,+∞),值域為[0,+∞),單調遞減區(qū)間為(1,2],單調遞增區(qū)間為(2,+∞).規(guī)律方法

求解與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)圖象問題,首先應明確對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象特征,結合函數(shù)解析式以及函數(shù)圖象的變換規(guī)律求解.(1)一般地,函數(shù)y=f(x±a)+b(a,b為實數(shù))的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向左或向右平移|a|個單位長度,再沿y軸向上或向下平移|b|個單位長度得到的.(2)含有絕對值的函數(shù)的圖象一般是經(jīng)過對稱變換得到的.一般地,y=f(|x-a|)的圖象是關于直線x=a對稱的軸對稱圖形;函數(shù)y=|f(x)|的圖象與y=f(x)的圖象在f(x)≥0的部分相同,在f(x)<0的部分關于x軸對稱.探究點二利用對數(shù)函數(shù)的性質比較大小問題4利用對數(shù)函數(shù)的性質,如何比較數(shù)的大小?【例2】

比較下列各組中兩個值的大小:(1)ln0.3,ln2;解

因為函數(shù)y=ln

x在定義域內是增函數(shù),且0.3<2,所以ln

0.3<ln

2.(2)loga3.1,loga5.2(a>0,且a≠1);解

當a>1時,函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是增函數(shù),又3.1<5.2,所以loga3.1<loga5.2;當0<a<1時,函數(shù)y=logax在(0,+∞)上是減函數(shù),又3.1<5.2,所以loga3.1>loga5.2.故當a>1時,loga3.1<loga5.2;當0<a<1時,loga3.1>loga5.2.(3)log30.2,log40.2;解(方法1)因為0>log0.23>log0.24,(方法2)畫出y=log3x與y=log4x的圖象,如圖所示,由圖可知log40.2>log30.2.(4)log3π,logπ3.解因為函數(shù)y=log3x在定義域內是增函數(shù),且π>3,所以log3π>log33=1.同理,1=logππ>logπ3,所以log3π>logπ3.規(guī)律方法

比較兩個對數(shù)式大小的常用方法(1)當?shù)讛?shù)相同、真數(shù)不相同時,直接利用對數(shù)函數(shù)的單調性進行比較.(2)當?shù)讛?shù)不同,真數(shù)相同時,可根據(jù)圖象與底數(shù)的關系所反映出的規(guī)律比較,常數(shù)形結合.(3)當?shù)讛?shù)和真數(shù)都不相同時,可考慮引入第三個數(shù)(常用“0”或“1”)分別與之比較,然后通過第三個數(shù)的傳遞進行比較.問題5單調性是對數(shù)函數(shù)的重要性質.單調性主要能用來解決什么問題?探究點三解對數(shù)不等式問題6利用對數(shù)函數(shù)的單調性,如何解對數(shù)不等式?【例3】

(1)滿足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合為

.

(2)若loga<1(a>0,且a≠1),則a的取值范圍為

.

規(guī)律方法

對數(shù)不等式的三種考查類型及求解方法(1)形如logax>logab(a>0,a≠1,b>0)的不等式,借助函數(shù)y=logax的單調性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況進行討論.(2)形如logax>b的不等式,應將b化為以a為底數(shù)的對數(shù)的形式,再借助函數(shù)y=logax的單調性求解.(3)形如logax>logbx的不等式,利用換底公式化為同底的對數(shù)進行求解或利用圖象求解.探究點四與對數(shù)函數(shù)有關的值域與最值問題問題7如何破解對數(shù)型函數(shù)求值域的有關問題?方法中體現(xiàn)了什么數(shù)學思想?【例4】

已知函數(shù)g(x)=log2(3x-1),f(x)=log2(x+1).(1)求不等式g(x)≥f(x)的解集;(2)在(1)的條件下求函數(shù)y=g(x)+f(x)的值域.(2)y=g(x)+f(x)=log2(3x-1)+log2(x+1)=log2[(3x-1)(x+1)]=log2(3x2+2x-1),令t=3x2+2x-1,則y=log2t,由(1)可得{x|x≥1},函數(shù)t=3x2+2x-1的對稱軸為直線x=-?[1,+∞),故當x=1時,tmin=4,即t≥4.又y=log2t在t∈[4,+∞)上單調遞增,∴當x≥1時,y≥log24=2.即所求函數(shù)的值域為[2,+∞).規(guī)律方法

與對數(shù)函數(shù)有關的值域與最值問題的處理方法(1)求解最值問題,一定要注意轉化思想的應用,求與對數(shù)函數(shù)有關的二次函數(shù)的最大值、最小值問題,一般要轉化為求二次函數(shù)的最值問題,求二次函數(shù)的最值時常用配方法,配方時注意自變量的取值范圍.(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的復合函數(shù)值域的步驟:①分解成兩個函數(shù)y=logau,u=f(x);②求f(x)的定義域;③求u的取值范圍;④利用單調性求解y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的值域.探究點五對數(shù)型復合函數(shù)的單調性問題問題8指數(shù)函數(shù)可與其他函數(shù)復合成指數(shù)型函數(shù),同樣,對數(shù)函數(shù)也可與其他函數(shù)復合構成對數(shù)型函數(shù).類比指數(shù)型復合函數(shù)單調性的求法,如何求對數(shù)型復合函數(shù)的單調區(qū)間?【例5】

(1)求函數(shù)

的單調區(qū)間.(2)若函數(shù)f(x)=lg(x2+ax+1)在區(qū)間[2,+∞)上單調遞增,求實數(shù)a的取值范圍.規(guī)律方法

對數(shù)型復合函數(shù)的單調性的求解方法及注意問題(1)對數(shù)型復合函數(shù)一般可分為兩類:一類是外層函數(shù)為對數(shù)函數(shù),即y=logaf(x)(a>0,且a≠1);另一類是內層函數(shù)為對數(shù)函數(shù),即y=f(logax)(a>0,且a≠1).①對于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型的函數(shù)的單調性,有以下結論:函數(shù)y=logaf(x)的單調性與函數(shù)u=f(x)(f(x)>0)的單調性在a>1時相同,在0<a<1時相反.②研究y=f(logax)型復合函數(shù)的單調性,一般用換元法,即令t=logax,則只需研究t=logax及y=f(t)的單調性即可.(2)研究對數(shù)型復合函數(shù)的單調性,一定要注意先研究函數(shù)的定義域,也就是要堅持“定義域優(yōu)先”的原則.學以致用·隨堂檢測促達標123456789101112131415A級必備知識基礎練1.已知函數(shù)y=f(x)是函數(shù)y=10x的反函數(shù),則f(10)=(

)A.1 B.2

C.10

D.1010A解析

函數(shù)y=10x的反函數(shù)為f(x)=lg

x,f(10)=lg

10=1,故選A.1234567891011121314152.函數(shù)y=log2(x+1)的圖象大致是(

)C解析

函數(shù)y=log2(x+1)的圖象是把函數(shù)y=log2x的圖象向左平移一個單位長度得到的,定義域為(-1,+∞),過定點(0,0)且在(-1,+∞)上是增函數(shù),故選C.1234567891011121314151234567891011121314153.函數(shù)

的定義域是(

)A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.[1,+∞) D.[2,+∞)D1234567891011121314154.若函數(shù)f(x)=ln(x2+2mx)在區(qū)間(1,+∞)內單調遞增,則實數(shù)m的取值范圍為(

)C.[-1,+∞) D.(-1,+∞)A123456789101112131415A.a<b<c B.b<c<aC.c<a<b D.c<b<aD1234567891011121314156.函數(shù)f(x)=loga[(a-1)x+1]在定義域上(

)A.是增函數(shù) B.是減函數(shù)C.先增后減 D.先減后增A解析

令t=(a-1)x+1.當a>1時,y=logat和t=(a-1)x+1都是增函數(shù),所以f(x)是增函數(shù);當0<a<1時,y=logat和t=(a-1)x+1都是減函數(shù),所以f(x)是增函數(shù).1234567891011121314157.(多選題)已知a=log32,b=30.1,c=30.2,則(

)A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.a<c<bAC1234567891011121314158.若函數(shù)f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點P,則點P的坐標是

.

(2,2)解析

令x-1=1,得x=2.∵f(2)=2,∴f(x)的圖象恒過定點(2,2).1234567891011121314159.設0<a<1,函數(shù)f(x)=loga(2ax-2),則使得f(x)<0的x的取值范圍為

.

12345678910111213141510.已知定義域為R的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)上是增函數(shù),且f()=0,則不等式f(log4x)<0的解集是

.

12345678910111213141511.已知函數(shù)f(x)=lg(x+2)-lg(2-x).(1)求f(x)的定義域;(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;(3)求不等式f(x)>1的解集.123456789101112131415解

(1)要使函數(shù)f(x)有意義,故所求函數(shù)f(x)的定義域為(-2,2).(2)f(x)為奇函數(shù).證明

如下:由(1)知f(x)的定義域為(-2,2),設任意的x∈(-2,2),則-x∈(-2,2),且f(-x)=lg(-x+2)-lg(2+x)=-f(x),故f(x)為奇函數(shù).(3)因為f(x)在定義域(-2,2)上是增函數(shù),12345678910111213141512.已知對數(shù)函數(shù)y=f(x)的圖象經(jīng)過點P(9,2).(1)求y=f(x)的解析式;(2)若x∈(0,1),求f(x)的取值范圍;(3)若函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關于x軸對稱,求y=g(x)的解析式.解

(1)設f(x)=logax(a>0,且a≠1).由題意得f(9)=loga9=2,故a2=9,解得a=3或a=-3.又因為a>0,所以a=3.故f(x)=log3x.(2)因為3>1,所以當x∈(0,1)時,f(x)<