高中數(shù)學(xué)公式總結(jié)全

高中數(shù)學(xué)公式總結(jié)

函數(shù)

若集合A中有n（〃eN）個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為2”,所有非空真子集

的個(gè)數(shù)是2"-2。

b

21X=----

二次函數(shù)y=+H+C的圖象的對(duì)稱軸方程是2。，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

'b4ac-b?'

9

4a

12aJo用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式時(shí)，解析式的設(shè)法有三種形式，即

f（x）-ax2+bx+c（一般式），/（無(wú)）=。（工一七）?（工一工2）（零點(diǎn)式）和

2

f（x）=a（x-m）+n（頂點(diǎn)式）。

三角函數(shù)

以角0的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，在角a的終邊上任取一個(gè)

2'2

異于原點(diǎn)的點(diǎn)尸（蒼丁）,點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離記為乙貝Isina=〃，cos°=r，tg0二x,

2CC

ctga=）',seca=x,esca=）。

同角三角函數(shù)的關(guān)系中，

22

平方關(guān)系是：siMa+cos2a=1,1+次）=see?a,1+ctga=esca；

倒數(shù)關(guān)系是：tga-ctga=1sina-csccr=1,cosc^seca=1.

sinacosa

tga=----ctga=----

相除關(guān)系是：cosa,sinao

3、誘導(dǎo)公式可用十個(gè)字概括為：奇變偶不變，符號(hào)看象限。

函數(shù)y=Asin（5+0+8（其中A〉0,0〉。）的最大值是A+8,最小值是8—A,周

7_2乃_①

期是一。，頻率是,-2萬(wàn)，相位是胡+夕，初相是°；其圖象的對(duì)稱軸是直線

71

cox+（p=k兀+—（keZ）

2,凡是該圖象與直線y=8的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。

三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

2k兀----,2kTV+一

y=sinx的遞增區(qū)間是L22」（keZ）,遞減區(qū)間是

\2k7r+2,2k71+2J(/:eZ).y二851的遞增區(qū)間是［2大力一乃,2%乃］伏€2),遞減區(qū)

左乃_工，k7T+—

間是［24乃,2ki+;r］(keZ),y=，gx的遞增區(qū)間是(22；(ZreZ)

6、和角、差角公式：sin(a±/?)=sinacos￡±cosasin/?

cos(a±/?)=cosacos夕干sinasin(3

tga±tgB

tg(a±\+tga-tg(3

7、二倍角公式是：sin2a=2sinacosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1_1-2sin2a

2tga

tg2a=l-g%0

a+,1-cosaa+/1+cosa

8^半角公式是：sin2="2cos2="2

a+11-cosezl-cosasina

tg2=V1+COS6Z_sina-1+cosao

il+cosa=c2cos2—a1-cosa=2sin2-

9、升嘉公式是：22

.1-cos2a21+cos2a

sin2.a二---------cosa=------------

10、降暮公式是:22

11.特殊角的三角函數(shù)值:

7T717t713萬(wàn)

a071

~677~2T

2V3

sin。010-1

2V~2

cosa1旦在0-10

T22

百

tg。01不存在0不存在

V出

V3

etg。不存在V310不存在0

T

13、正弦定理（其中R為三角形的外接圓半徑）：sinAsin8sinC

222

14、余弦定理：第一形式，b=a+c-2accosB

a1+。2_：2

第二形式，cosB=2ac

15、4ABC的面積用S表示，外接圓半徑用R表示，內(nèi)切圓半徑用r表示，半周長(zhǎng)用p表

示則：

S=-a?h=???S=-feesinA=…

①2'n；②2；

cabc

93=---

③S=2R~smAsinBsmC；④4/?.

⑤s=b)(，-c)；⑥S=pr

16AABC中?sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tg(A+B)=-tgC

.A+BCA+B.CA+BC

sin-----=cos—cos-----=sin—tg—y-=etg—

22.22

tgA+tgB+tgC=tgA-tgB-tgC

不等式

4之猴

1、兩個(gè)正數(shù)的均值不等式是:

2、兩個(gè)正數(shù)。、匕的調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、均方根之間的關(guān)系是

雙向絕對(duì)值不等式：口???11111

左邊：出7"°（?°）時(shí)取得等號(hào)。右邊：20（40）時(shí)取得等號(hào)。

數(shù)列

S一“（％+%）

1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是""=%+5TM,前n項(xiàng)和公式是：“2

na｝+一〃（〃一l）d

叫（4=1）

s“=4（F（"I）

2、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是%前n項(xiàng)和公式是：11一4

3、當(dāng)?shù)缺葦?shù)列｛區(qū)』的公比q滿足時(shí)＜1時(shí)，"以"=S=1一4。一般地，如果無(wú)窮數(shù)列｝

lim5?

的前n項(xiàng)和的極限"T8"存在，就把這個(gè)極限稱為這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和（或所有項(xiàng)的和），用

_limS.

S表不，即S="f8O

4、若m、n、p、q€N,且加+"=〃+4,那么：當(dāng)數(shù)列MJ是等差數(shù)列時(shí)，有

A,N+%=UP+當(dāng)數(shù)列a｝是等比數(shù)列時(shí)，有"a,'。

排列組合、二項(xiàng)式定理

加法原理、乘法原理：加法分類，類類獨(dú)立；乘法分步，步步相關(guān)。

n!

2,排列數(shù)公式：片“=〃（〃T）…（〃-m+1）=（〃一m）??；

排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系：P；"二’"’‘C：

n（n-1）???（〃-tn+1）一！

組合數(shù)公式：C：=lx2x---xm=〃?！?（〃-m）?。?/p>

tnn—m「小「m-l「ni

組合數(shù)性質(zhì)：c?=n,c,-+C/,=5,

n

r

Yhc"=2",c；+c\+c；+2+…+C：=C：［

3.二項(xiàng)式定理:(a+4=C"+C""+C)f2+…+C；a"/+…+C?"二

項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：丁川=。；優(yōu)一力(r=0,1,2…,〃)

解析幾何

同一坐標(biāo)軸上兩點(diǎn)距離公式：g邳=缶一必

數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式：從四二,8—xj

直角坐標(biāo)平面內(nèi)的兩點(diǎn)間距離公式：出%=’區(qū)—"2)2+(%—>2)2

_空

若點(diǎn)P分有向線段打八成定比入，則入

若點(diǎn)尸1(/，月)，P2(x2,y2),P(x,y),點(diǎn)P分有向線段片8成定比A,貝1)：

.一%1y-H尤］+AX2y+Ay2

人=超7=乃一y；/=1+4,y=i+A

若A(XQ|),B(x2,y2),。但，為)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)是

‘/+/+X3%+為+%、

I"3'3J

O

乃一必

6、求直線斜率的定義式為k='ga,兩點(diǎn)式為1t=々一項(xiàng)。

7、直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式：y->0="(x-X。)，斜截式：y=kx+h

y-yi=x-x,%+2=1

兩點(diǎn)式：乃一月看一七，截距式：?+?~,一般式：Ax+By+C=Q

經(jīng)過(guò)兩條直線GAx+與y+G=0和4：ax+Jy+g=0的交點(diǎn)的直

線系方程是：Ax+gy+G+A(A2x+B2y+C2)=0

直線h：y=%x+4，l2-y^k2x+b2t則從直線6到直線，2的角e滿足：

k?_k、

tgO=———tgO=

“"2；直線乙與12的夾角。滿足：1+k[k]

d=回+8yo+q

點(diǎn)P(Xo，yo)到直線/：Ax+8y+C=0的距離：>]A2+B2

?J?二。21

2

10、兩平行直線11：Ax+By+Cy=0,/2：Ax+B.y+g=°距離ylA-+B

ii,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程："—a)?+(y—6)2=/

圓的一般方程：'+y2+Dx+Ey+F=0(Z)2+E2-4F>0)

+E?-4F(D_E}

其中，半徑是’2,圓心坐標(biāo)是12,2)

x=。+rcosa

V(a是參數(shù))

圓心在點(diǎn)C(。'b),半徑為r的圓的參數(shù)方程是：[)'="+rsina

12、若4陽(yáng)，以)，8(/，為)，則以線段AB為直徑的圓的方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0

22

經(jīng)過(guò)兩個(gè)圓：/+/+￡)]X+￡\y+耳=0,x4-y+D2x+E2y+F2=0

+222

的交點(diǎn)的圓系方程是‘>,+Dtx+E]y+Ft+A(x+y+D,x+￡2y+F2)=0

經(jīng)過(guò)直線/：Ax+8)'+C=0與圓/+V+Dr+Ey+E=0的交點(diǎn)的圓系方程是：

x2+y2+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0

13、圓K+V=/的以「(項(xiàng))，先)為切點(diǎn)的切線方程是：

一般地，曲線4'+勿一"+曰+/=()的以點(diǎn)尸(/,)'o)為切點(diǎn)的切線方程是：

AWC3號(hào)+E號(hào)+F=0

O

14、研究圓與直線的位置關(guān)系最常用的方法有兩種：

①代數(shù)法(判別式法)：△>?,=0,<0,等價(jià)于直線與圓相交、相切、相離；

②幾何法(圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系)：距離大于半徑、等于半徑、小于半

徑，等價(jià)于直線與圓相離、相切、相交。

15、拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式是：y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x'=-2py?

gox=-P

16、拋物線V=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)是:,準(zhǔn)線方程是：2。

點(diǎn)「（人，打）是拋物線/=2px上一點(diǎn)，則點(diǎn)p到拋物線的焦點(diǎn)的距離（稱為焦半徑）:

"2,過(guò)該拋物線的焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸的弦（通徑）的長(zhǎng)：2p。

2222

F--=1-——I------=1

17、橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：a2--h2和/b2----（a>b>Q\

922

xyta

18、橢圓/b2（4>6>0）的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（土。,0）,準(zhǔn)線方程是.一c,離心率是

c2b②

e——---

a,通徑的長(zhǎng)是a。其中L=。-b\

22

二+"=]

19、若點(diǎn)P（x。/。）是橢圓/b2上一點(diǎn)，工、也是其左、右焦點(diǎn)，則

點(diǎn)P的焦半徑的長(zhǎng)是儼用="+%）和1尸周="。

2222

-廠--廠----_]1--廠--廠----_]1

20、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式是：?2b-和a?*g>0,b>0）。

222

—————1光—*—e—■

21、雙曲線/b-的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（土c，°）,準(zhǔn)線方程是.一c,離心率是a,

2b2x2y2_

--------------u

通徑的長(zhǎng)是a，漸近線方程是。2b-。其中。2=/+/。

2222

—————]——

22、與雙曲線1b2共漸近線的雙曲線系方程是/b-（4H0）。與雙曲線

2222

二_j_￡______2i_=i

?2曠共焦點(diǎn)的雙曲線系方程是h2-k。

23、若直線>=丘+”與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A（xl,yl）,B（x2,y2）,則弦長(zhǎng)為

22

|AB|=7（I+^）（X,-X2）.

若直線x='町+'與圓錐曲線交于兩點(diǎn)A（xl,yl）,B（x2,y2）,則弦長(zhǎng)為

\AB\=J（l+〃J）（y]一乃）2

o

24、圓錐曲線的焦參數(shù)p的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，對(duì)于橢圓和雙曲線都有：

b2

〃=一

c。

25、平移坐標(biāo)軸，使新坐標(biāo)系的原點(diǎn)。'在原坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是（h,k）,若點(diǎn)P在原坐標(biāo)

k

系下的坐標(biāo)是（匚＞）'在新坐標(biāo)系下的坐標(biāo)是（￡，＞'）,貝ijx'=x—〃，y'=y-a

立體幾何

一、有關(guān)平行的證明

⑴公理4(2)(3)(4)

11，aa〃下"a

n11〃13l\U°=>H//12yCa=Lnn//l2="〃

1、

線〃線12

12/713an0=12/fl=Z2l2la

線〃線=>線〃線線〃面=線〃線面〃面0線〃線同垂直于一個(gè)平

面二線〃線

(1)(2)

a〃6'

A>

2、buaJ=>a〃aJ=a〃B

線〃面

a〃baua

線〃線n線〃面面〃面n線〃面

⑴⑵

aua、

buaal.a

aC\b=A=>a〃B」=>a〃6

3、

面〃面

a〃a。邛

b〃B

線〃面=面〃面同垂直于一直線=面〃面

二、有關(guān)垂直的證明

(1)(2)

aLa三垂線定理|[jL射影=>_￡斜線

1、

=alb平面內(nèi)直線

線_L線

bua逆定理，斜線=>_L射影

(線_1_面=線，線)(線_1線=>線，線)

(1)(2)(3)(4)

2、auaa邛}

線_L面

?

buaa〃bJa〃包aua

aC\b=AnlA.a=>bLanl10=>a邛

Ila〃_LaILaerA/?=/

l.i_ba\l

（線，線=>線，面）

aVa、

3、

面_L面

au。

（線，面二面，面）

cos0——

1、求二面角的射影公式是S,其中各個(gè)符號(hào)的含義是：S是二面角的一個(gè)面內(nèi)圖

形F的面積，S'是圖形F在二面角的另一個(gè)面內(nèi)的射影，6是二面角的大小。

2、若直線/在平面&內(nèi)的射影是直線-，直線m是平面&內(nèi)經(jīng)過(guò)/的斜足的一條直線，/與

廠所成的角為仇，/'與m所成的角為名，/與m所成的角為9,則這三個(gè)角之間的關(guān)系是

cos0=cosg-cos02。

3、體積公式：

V=-S-hV=-^r3

直棱柱：V=錐體：3,球體：3。

S——c?h'

側(cè)面積：直棱柱側(cè)面積：S=ch,；正棱錐側(cè)面積：2,,

球的表面積：S=4萬(wàn)/。

5、幾個(gè)基本公式：

弧長(zhǎng)公式：/是圓心角的弧度數(shù)，。>0）；扇形面積公式：2.

十一、比例的幾個(gè)性質(zhì)

ac.,acbd

—=—<=>cid=be-=-一=—

1、比例基本性質(zhì)：bd；反比定理：bdac

acabaca+bc+d

—二—<z>—=——=—----=-----

更比定理：bdcd.合比定理；bdbd

aca-bc-daca+bc+d

————s=————s=

分比定理：bdbd.合分比定理：bda-bc-d

aca-bc-d

—=—zz>----------=------------

合比定理：bda+bc+d

%??3a.

----=---2---二------=???=------

等比定理：若瓦b2b3bn,b]+b2+b3Fw0,則

6+%+%■1-----卜4a}

仇+b,+/+…+兒

2004年新高考新增內(nèi)容數(shù)學(xué)概念總結(jié)

簡(jiǎn)易邏輯

可以判斷真假的語(yǔ)句叫做命題.

邏輯連接詞有“或”、“且”和“非”.

p、q形式的復(fù)合命題的真值表：

PqP且qP或q

真真真其

真假假真

假真假真

假假假假

命題的四種形式及其相互關(guān)系

原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.

平面向量

—?—?―?—>/—?—>I—?-?/—*―?\?-?—*—?-?

]運(yùn)算性質(zhì).Q+b=b+4，k+bJ+c=Q+b+c>〃+0=0+a=Q

2,坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)。=（』，％），"=（%2，＞2）,則。±8=（*±》2，月±乃）

設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（xLyl）,（x2,y2）,則AB=（乙一玉，乃一必）.

3.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：

4=（M）a,（4+pi）a=zla+Q+Z?\=Aa+Ab

設(shè)a=G，y),貝IJAa=^(x，y)=(疝，刈),

4.平面向量的數(shù)量積：

—>->—>—>—>—>

a-b=abcos0\a#0,&0,0。

定義:0-a=0

->->\->—>—>

a+b?c=〃?c+0?c

坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)。=&，yJ)=(*2,%)，則

a-b=xtx2+yxy2

5.重要定理、公式：

平面向量的基本定理

1fT

如果與和是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量。，有且只

有一對(duì)實(shí)數(shù)4，%,使〃=4與+4《2

->—>-?—>

兩個(gè)向量平行的充要條件a//boa=AbQeR)

設(shè)。=(/,y)：=&,丫2),則a〃b=陽(yáng)為一32必=0

—>-*TT

兩個(gè)非零向量垂直的充要條件a工b=a-b=0

設(shè)a=（為，/）,6=（工2，%），貝！|aox環(huán)2+>。2=°

f—>

線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)P(x,y),Pl(xl,yl),P2(x2,y2)，且尸|尸=見(jiàn)P尸2,

項(xiàng)

+AX2X,+x2

A——X=

1+2

V2

月+為

y=A±^ly~

貝Ij11+4中點(diǎn)坐標(biāo)公式l2

->

平移公式：如果點(diǎn)p(X,y)按向量"=("，％)平移至P(X，，yz),則

x=x+h,

)y'=y+k.

空間向量

(i)向量加法與數(shù)乘向量的基本性質(zhì).

—>—>—>—>/—>——>f->t/—>—f—>

a+b=h+aAa+b+c=〃+(/?+c)k\a+h\=ka+kb

(2)向量數(shù)量積的性質(zhì).

a-b=Lr?/?cos^lawO,bHO,O°K"18O°a-a^\a\

—>—>TT

a-Lboa-b=0

sci^b^c?->

(3)空間向量基本定理.給定空間一個(gè)基底,且對(duì)空間任一向量°,存在唯一的有序

L7f]

實(shí)數(shù)組(x,y,z)使0=%"+>3+1°,(x,y,z)叫做向量P在基底J上的坐標(biāo).

設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z使

OP=xOA+yO6+zOC

(4)向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算

a+b

設(shè)a=(4],。2，%)，6=(々也也)，則=(。1+bt,a2+b2,a3+/)，

a-b=(?|-b],a2-b2,ai-b3)Aa=e/?)

f1,,,|?|=^a-a=Ja：+a：

a-b=aib]+a2b2+a3c)3||

—7a.h,+a、b?+a.b,

cos<a,b>=,11—i；33

Qa；+a；+a；\b；+/?；+/?；

->—?—>—>

allb=%=4伉,。2=幾％,。3=勸3,(2eR)〃_!_/?=a}h]+a2b2+a3b3=0

設(shè)A=(X”)'1，Z|),B=(X2，％，Z2),貝ijAB=OB-OA=(x2,y2,z2)

(x1,y1,zl)=(x2-x,,y2-y,,z2-z,)

AB=dAB-AB+dk-X|I+(乃一乃丫+12一4『

窗體頂部

窗體底部

概率

(1)若事件A、B為互斥事件，則P(A+B)=P(A)+P(B)

(2)若事件A、B為相互獨(dú)立事件，則P(A-B)=P(A)?P(B)

(3)若事件A、B為對(duì)立事件，則P(A)+P(B)=lo一般地,PR)=1-P(A)

(4)如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事恰好發(fā)生

K次的概率(K)=。；P*(1-P)'T

概率與統(tǒng)計(jì)

(1)離散型隋機(jī)變量的分布列的性質(zhì):①P，?=12…;②P|+P2+…

(2)若離散型惰機(jī)變量&的分布列為

gXIX2???xn???

??????

pPlP2pn

則g的數(shù)學(xué)期望EgJiPi+X2P2+…+x“p”+???

期望的性質(zhì)：

設(shè)a、b為常數(shù)，貝！JE(ag+b)=aEg+b

若&?B(n,p),貝ljE&=iip

g的方差為D；=(xl-Eg)2?pl+(x2-E)2?p2+…+(xn-E；)2?pn+…

方差的性質(zhì)：

設(shè)a、b為常數(shù)，則D(aW+b)=a2D

若&?B(n,p),則DI=np(1-p)

(3)正態(tài)分布:

1_(**)

/(1)=____!____e2b2

①正態(tài)總體函數(shù).岳b,xe(-00,00),其中〃表示總體平均值，b

表示標(biāo)準(zhǔn)差，其分布叫做正態(tài)分布，記作N(〃，^2),函數(shù)的圖象叫正態(tài)曲線.

②在正態(tài)分布中，當(dāng)〃，=0,。=1時(shí)，叫做標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作N(0,1).

③標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中，相應(yīng)于/的值"Go)=p(X<%>).

④正態(tài)總體N(〃，^2)取值小于x的概率F(x)=1人

⑤若/<0廁"(/)=1-"(一/),從而可利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表.

尸（事</<x）=P（x<x）-P（x<x）

⑥正態(tài)分布N(〃，。2),22l

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