平面解析幾何A輯（解析版）-2021年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題匯編（1981-2020年）

備戰(zhàn)2021年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題匯編（1981-2020）

專題15平面解析幾何A輯

應(yīng)雷國氟題

1.12007高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】設(shè)圓。?和圓Q是兩個定圓，動圓?與這兩個定圓都相切，則圓P的圓心

軌跡不可能是（）

C.D.

【答案】A

【解析】設(shè)圓。和圓。2的半徑分別是0/2，且|。1。21=2C,

則一般地，圓P的圓心軌跡是焦點(diǎn)為。，01，且離心率分別是上和產(chǎn)［的圓錐曲線.（當(dāng)「尸，?2時，。。2的中

ri+r2|ri-r2l

垂線是軌跡的一部分，當(dāng)C=0時，軌跡是兩個同心圓）.

當(dāng)q=上且G+「2<2c時,圓P的圓心軌跡如選項(xiàng)B;

當(dāng)0V2CV匕一川時，圓尸的圓心軌跡如選項(xiàng)C；

當(dāng)0廠2且R+72<2c時，圓P的圓心軌跡如選項(xiàng)D.

由于選項(xiàng)4中的橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)不重合，因而圓尸的圓心軌跡不可能是選項(xiàng)4

故選4

2.12005高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】方程.白〔弓+A，>=1表示的曲線是（）.

sinV2-smv3cosv2-cosV3'

A.焦點(diǎn)在X軸上的橢圓B.焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

C.焦點(diǎn)在y軸上的橢圓D.焦點(diǎn)在〉軸上的雙曲線

【答案】C

【解析】因?yàn)閍+V3>7T,所以0V/—>J2<V3—^<p

故cos-夜）>cos（V5—0,即sinV^>sinV3,

又0V&V<V3<7T,所以cosV5>0,COSA/3<0,故cosV5—cosV3>0,

方程表示的曲線是橢圓

因?yàn)棰砷T魚—sinV3）—（cosV2—cosV3）

=2岳in學(xué)sin（等+：）①

而-E<W<0,所以sin=<0；<=<羽,

222224

故手<立聲+汴兀，所以sin（座/+9>0.

于是式①小于0.即sinV^—sinV3<COSA/2—cosV3.

所以曲線表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓.

故選U

3.12003高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】設(shè)°,bGR,ab*0,那么，直線ax—y+b=0和曲線匕/+=亂的圖形

【答案】B

I解析】題設(shè)方程可變形為y=ax+匕和9+3=1，

則觀察可知應(yīng)選B.

4.12003高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】過拋物線爐=8（.計2）的焦點(diǎn)尸作傾斜角為60。的直線，若此直線與拋物線交

于4,B兩點(diǎn),弦的中垂線與x軸交于點(diǎn)P,則線段PF的長等于（）

A.-B.-C.—D.8V3

333

【答案】X

【解析】易知此拋物線焦點(diǎn)尸與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，故直線的方程為y=8x,

因此，A,8兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足方程3——8x—16=0,

由此求得弦AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)%=/縱坐標(biāo)y0=看

進(jìn)而求得其中垂線方程為y

令產(chǎn)0,得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)％=4+；=熱即PF=y.

故選A.

5.12002高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】實(shí)數(shù)x,y滿足(x+5)2+(y—12)2=142,則自產(chǎn)的最小值為()

A.2B.1C.V3D.V2

【答案】B

【解析】解法一(x+5)2+0—12)2=142是以點(diǎn)。(一5,12)為圓心，半徑為14的圓.

設(shè)P為圓上任一點(diǎn)，則|OP|>|CP|-\OC\=14-13=1,

當(dāng)點(diǎn)。，O,P共線時，等號成立，所以點(diǎn)尸到點(diǎn)。的最小值為1,

故選B.

解法TX=T+14COS8此時

胖佑一卜=12+14sin。'此」

x2+y2=142+122+52+28(-5cos0+12sin6?)》142+132-28V52+122=1.

第2題答案圖

6.12002高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】直線升”1與橢圓三+<=1相交于1,3兩點(diǎn)，該橢圓上點(diǎn)P,使得△

43169

刃5面積等于3,這樣的點(diǎn)尸共有()

41個8.2個C.3個D4個

【答案】B

【解析】設(shè)Pi(4cosa,3sina)(0<a<習(xí)，即點(diǎn)Pi在第一象限的橢圓上，

如圖，考慮四邊形P/O8面積S,有

11

s=S&OAP、+SoBPr=2x4(3sina)+-x3(4cosa)

=6(sina+cosa)=6V2sina+:

因?yàn)?|x4x3=6為定值，所以的最大值為6魚-6.

因?yàn)?夜-6<3,所以點(diǎn)尸不可能在直線48的上方，顯然在直線48的下方有兩個點(diǎn)尸，

故選B.

另解考慮到橢圓是圓壓縮得來，而相應(yīng)面積按比例得到.所以，我們可以在圓中考慮這個問題.

如果存在點(diǎn)P,題目要求，那么相應(yīng)圓中三角形面積是gx4=4,

若點(diǎn)P在上，△巴8最大面積（4一2魚）x^<4,

所以P不能在48上面.在AB下方，顯然可以存在兩個點(diǎn)滿足題意.

7.12000高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】已知點(diǎn)X為雙曲線x2—y2=i的左頂點(diǎn)，點(diǎn)B和點(diǎn)c在雙曲線的右分支

上，△48C是等邊三角形，則△48C的面積是（）

A.—B.—C.3V3D.6V3

32

【答案】C

【解析】不妨設(shè)點(diǎn)8在X軸上方，因?yàn)槭堑冗吶切危士芍本€4B的斜率k=4，

又直線過點(diǎn)4—1,0）,故方程是、=梟+多

將其代入雙曲線方程/-y2=i,得點(diǎn)8的坐標(biāo)是（2,百）.

同理，可知點(diǎn)C的坐標(biāo)是（2,-禽）.

故△XBC的面積是［2-（-1）］V3=3V3.

8.【2000高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】平面上整點(diǎn)（縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)）到直線尸|x+g的距離中的最小值

是（）

A.叵B.且C.2D.三

170852030

【答案】B

【解析】由題意，不妨設(shè)整點(diǎn)為可知它到直線25x—15y+12=0的距離是</=竺窖嬖詈=

,254+（-15），

125x0-15y0+121

5^，

又因?yàn)樯?%eZ,有25q-15yo是5的倍數(shù)，

所以125%一15%+121>2,

僅當(dāng)事=-l,y0=-1時125比-15yo+121=2,

故所求最小值是卑.

85

9.【1999高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】平面直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫作整點(diǎn)，那么，滿足不等

式（㈤一I）2+（|y|-I）2<2的整點(diǎn)（x,月的個數(shù)是（）

A.16B.17C.18D.25

【答案】A

【解析】由（團(tuán)一1）2+（僅|一1）2<2可知（團(tuán)一1,僅|一1）是（0,0）,（0,1）,（0,-1）,（1,0）或（一1,0）.

所以（x,y）的取值共16個.

10.11997高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】在平面直角坐標(biāo)系中，若方程，，代+爐+2>i）=（x—2>3）2表示的曲線為橢

圓，則機(jī)的取值范圍為（）

A.（0,1）B.（1,4-00）C.（0,5）D.（5,+8）

【答案】D

【解析】由已知得牛出竺苫=器，

x-2y+3'

Pi2+<-2）2i

這說明（x,切到定點(diǎn)（0,—1）與到定直線x-2y+3=0的距離之比為常數(shù)第，

由橢圓定義得曰<1,所以〃?>5.

yjm

引申同一個事物可以從不同的角度看，在解析幾何里面，這主要是指對兒何對象可以通過方程去加深“代數(shù)”的

認(rèn)識，也可以通過其幾何特性去把握它.當(dāng)然，通常要結(jié)合這兩種觀點(diǎn)一起看，才會對問題的認(rèn)識更全面.

對本題，條件給的是“代數(shù)”的，我們從幾何觀點(diǎn)來看的話，就會知道左右兩邊實(shí)際上都是某個距離的平方再乘

上某個系數(shù).根據(jù)橢圓的第二定義（幾何特性），很快就能知道答案.

11.11996高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】把圓N+8—1）11與橢圓9*+51）2=9的公共點(diǎn)，用線段聯(lián)結(jié)起來所得到

的圖形為（）.

A.線段B.不等邊三角形C.等邊三角形D.四邊形

【答案】C

［解析】解方程/+義盧=x2+（y-得到尸2或y=

然后把相應(yīng)值帶入圓方程解得『0或x=士多

于是我們得到這兩個圖形的三個交點(diǎn)4（0,2）,&（曰（），&（十彳），

考慮到選項(xiàng)有不等邊三角形和等邊三角形，我們來判斷這三個交點(diǎn)是否構(gòu)成等邊三角形.

易得I414J=1441=\A2A3\,于是所得圖形是等邊三角形.

12.11994高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】在平面直角坐標(biāo)系中，方程用+守=1（〃，方是不相等的兩個正數(shù)）所

2a20

代表的曲線是（）

A.三角形B.正方形

C.非正方形的長方形D.非正方形的菱形

【答案】D

【解析】將直角坐標(biāo)系xQy繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)45°,

得到新坐標(biāo)系xQ",點(diǎn)P在坐標(biāo)系xQ"中的坐

（X=義（x+y）

標(biāo)為（x「y）,在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為（x,y）,則｛；2,

U'=&（T+y）

題中方程必+0=1①

2a2b

顯然，式②代表的曲線關(guān)于x釉、y釉對稱，在xQ/的第1象限內(nèi)，式②成為［+?=

即為線段其中4（&a,0）,8（0,V5b）.

據(jù)對稱性，在第0象限內(nèi)，方程②是線段8C,其中C（一夜a,0）；

在第in象限內(nèi)，方程②是線段。，其中。（0,—或與；

在第W象限內(nèi)，方程②是線段4D

由對稱性知又由于a翔，故4C力80.

所以是非正方形的菱形.

13.11993高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】若”=｛（x,y）||tan?ry|+sin27rx=0｝,N=｛（x,y）||x2+y2\<2｝,則Mn

N的元素個數(shù)是（）

A.4B.5C.8D.9

【答案】D

【解析】由tanzry=。得y=k(fceZ),sinzrx=0.

得％=k'(fc*eZ),

又》2+y?42,所以k=—1,0,1?k1=—1,0,1.

如圖共有9個點(diǎn)，因此答案是。.

14.【1993高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】若直線％￡被曲線C:(%-arcsina)(%—arccosa)+(y—arcsina)(y+

arccosa)=0所截得的弦長為d,當(dāng)。變化時，d的最小值是()

A.-B.-C.-D.TT

432

【答案】C

【解析】由題設(shè)知，曲線C是以Pi(arcsina,arcsina),P2(arccosa,-arccosa)兩點(diǎn)為直徑端點(diǎn)的圓，其圓心的橫坐

I-uarcsina+arccosan

標(biāo)為q=-----------------=彳，

故直線丫=工過圓心，”就是該圓的直徑.

4

2

ffijd2=2[(arcsina)2+(arccosa)2]>(arcsina+arccosa)2=7r.

所以又當(dāng)arcsina=arccosa時，相應(yīng)的d=巴.

22

故答案是c.

15.11993高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】設(shè)〃7,〃為非零實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，zee,則方程|z+市|+|z-mi|=

n①

與|z4-ni\—\z—miI=—m②

在同一復(fù)平面內(nèi)的圖形(Q,B為焦點(diǎn))是()

【答案】B

【解析】由題意

（1）表示以0（0,-八）,尸2（0,6）為焦點(diǎn)的橢圓；

（2）表示以外（0,-n）,6（0,m）為焦點(diǎn)的雙曲線的一支.

從情形⑴知?>0,以及n=|z+ni|+|z—mi|>|n+m|,

故再從情形（2）即得|z+ni|+|z—》-m,且-m<n.

于是Fi,F2的位置只可能是8或。，

且知雙曲線上的點(diǎn)離B較近，故情形如8所示.

16.11992高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】對于每個自然數(shù)"，拋物線產(chǎn)（層+刈爐一（2”+1戶+1與x軸交于4,以兩

點(diǎn),以14nBM表示該兩點(diǎn)的距離,則I4B/+M2B2I+…+|4992叢9921的值是（）

.1991?1992_1991_1993

A.----B.----C-.----D.----

1992199319931992

【答案】B

【解析】因?yàn)閥=（n%-l）[（n+1）*—1],

當(dāng)尸。時，求得%i=：,%2=W，

所以14n故Mi'il+出即H----hM199281992I

=（1一,+G—二）+…+（--------=1--=—.

\27\23/V19921993/19931993

17.11992高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】已知如圖的曲線是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓的一部分，則這一曲線的

方程是（）

A.(x+yjl-y2)(y+V1—x2)=0

B.(x-yjl—y2)(y—V1—x2)=0

C.(x+y/1-y2)(y-V1-x2)=0

D.(x-Jl—力④+V1—x2)--0

【答案】D

【解析】因曲線是右半單位圓和下半單位圓的并集，

右半單位圓方程是x-=0,下半單位圓的方程是y+6不=0.

18.11991高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】方程|x-y2|=1一團(tuán)的圖像為()

【答案】D

【解析】把方程整理為以一曠2|+團(tuán)=1可知，MWI,即x的取值范圍是-l4x4l.

這樣/,3被排除；當(dāng)x=1時，產(chǎn)0,1,—1,

說明方程圖像只能是D

19.11990高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)是乙,尸2,左右頂點(diǎn)是M,N,若△尸的頂點(diǎn)尸在

雙曲線上，則的內(nèi)切圓與邊尸尸2的切點(diǎn)位置是().

A.在線段的V內(nèi)部B.在線段Fi"內(nèi)部或線段N6內(nèi)部

C.點(diǎn)〃或點(diǎn)ND.不能確定的

【答案】C

(解析】設(shè)內(nèi)切圓切FXF2于點(diǎn)G,切尸A于H,切PF.于K.

當(dāng)P在右支上時,得|G&|一|GFzl=陽&|—區(qū)外1=(舊&1+|叫)-(.\KF2\+|KP|)=IPFJ-\PF2\.

由雙曲線定義知，G在雙曲線上，于是G與M重合，

同理，若點(diǎn)尸在左支上，則G與N重合.

20.【1990高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】已知橢圓捻+、=l(a>b>0)通過點(diǎn)Q,1),則這些橢圓上滿足[y|>1的

點(diǎn)的集合用陰影表示是下面圖中的()

【答案】C

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)(2,1)在橢圓上，所以專+專=1,即〃=生①

因?yàn)椤?>62,所以。2>4,a2>5.

az-4

將式①代人橢圓方程，得。2=電手，于是與手>5②

yz-ly￡-l

當(dāng)例>1,式②可化為"+y2V5,故橢圓上滿足飆>1的點(diǎn)的集合為｛(x,y)|%2-y2V5,|y|>1].

21.【1988高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】已知原點(diǎn)在橢圓42一+必一4依+2收+/一1=。的內(nèi)部，那么參數(shù)人

的取值范圍是()

A.\k\>1B.|fc|*1C.-1<fc<1D.0<|/c|<1

【答案】D

【解析】橢圓外部的點(diǎn)可以離原點(diǎn)很遠(yuǎn)，它的坐標(biāo)x,y的絕對值可以很大，使得方程左邊大于0,所以內(nèi)部點(diǎn)

的坐標(biāo)使方程左邊小于0,用原點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程左邊得公一1<0,又厚0(否則方程不表示橢圓)，所以答D

引申判斷點(diǎn)尸(。，人)在曲線作，)，尸0的哪一側(cè)(上方或下方，內(nèi)部或外部)的標(biāo)準(zhǔn)就是看人)的符號.這是由/

(X,仍的連續(xù)性決定的：如果有點(diǎn)Pi，P2，/(Pi)f(P2)<0，則線段八戶2上必有點(diǎn)。在曲線上.

22.11988高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】平面上有三個點(diǎn)集“，N,P-.M={(x,回|網(wǎng)+例<1},N={(x,y

)|J(X-1)+(y+|)++0+(y-1)<2A/2],P={(x,y)||x+y\<l,|x|<l,|y|<1}.則()

A.MuPuNB.MuNuPC.PuNuMD.A,B,C都不成立.

【答案】A

【解析】如圖，M是正方形8CEF內(nèi)部，P是六邊形/8C0EF內(nèi)部，N是以X。為長軸的橢圓內(nèi)部，易知正方

形頂點(diǎn)在橢圓內(nèi).

23.11988高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】在坐標(biāo)平面上，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫作整點(diǎn)，我們用/表示所有直

線的集合，M表示恰好通過一個整點(diǎn)的直線的集合，N表示不通過任何整點(diǎn)的直線的集合，P表示通過無窮多

個整點(diǎn)的直線的集合，那么表達(dá)式(1)MUNUP=/；(2)MH0；(3)NH0：(4)Pf0中正確的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】直線嚴(yán)|不通過任何整點(diǎn)，所以表達(dá)式(3)正確；

直線)/=夜￥,恰好通過一個整點(diǎn)(0,0),所以表達(dá)式(2)正確；

直線.尸x通過多個整點(diǎn)，所以表達(dá)式(4)正確.

我們來證明，若ax+b%+c=0,通過兩個整點(diǎn)(%,%),(無2，%)，則通過無窮多個整點(diǎn)(%i+攵(%2-%1)，%+攵

(%-%))#EZ.

事實(shí)上Q+[%!+k(x2-xi)]+力(71+k(72—％)]+c=Q》i+byi+c+k{ax2+by2+c)—k(ax1+byx+c)=

0.

24.【1987高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】在平面直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn).若。為無

理數(shù)，則過點(diǎn)（。，0）的所有直線中（）

A.有無窮多條直線，其中每條直線上至少存在兩個有理點(diǎn)

氏恰有〃（29<+oo）條直線，其中每條直線上至少存在兩個有理點(diǎn)

C.有且僅有一條直線至少通過兩個有理點(diǎn)

D.每條直線至多通過一個有理點(diǎn)

【答案】C

【解析】若直線/過點(diǎn)（m0）且通過兩個有理點(diǎn)（右,比）,（石，九），則必有血右

若不然，，的方程必為x=a,于是/=x2=a.

這與（萬1，%），（冷，內(nèi)）是有理點(diǎn)矛盾.

又直線/的斜率為"=91=_21_,從而y=一（為a）.

Q—X]Xi-a/1x2-xt

因?yàn)椤盀闊o理數(shù)，所以上式成立的充分條件是

故過點(diǎn)（。，0）且過兩個有理點(diǎn)的直線有且只有一條，它的方程為y=0.

25.11985高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】?。為經(jīng)過拋物線產(chǎn)=2/??焦點(diǎn)的任意一條弦，MV為尸0在準(zhǔn)線/上的射

影，P。繞/旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)面面積為S,以MN為直徑的球面面積為S2，則下面的結(jié)論中，正確的是（

）

A.S]>S2B.S]VS?C.S、〉S2

【答案】C

【解析】在4B,C,。四個答案中，C包含著4,即若4正確，則C必定正確，因此不必考慮4又當(dāng)過焦點(diǎn)

的弦尸0的傾角（與x軸夾角）很小時，尸。繞旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體（圓臺）的母線很長，而相應(yīng)的高卻很短，亦即球

的直徑很小，因此8不成立.下面，將通過計算，判斷是C或D圓臺的側(cè)面積由母線尸。和兩底半徑PM,QN

的長確定根據(jù)拋物線的定義|PM|=\PF\,\QN\=\QF\

（其中F為焦點(diǎn)）.若取PQ的傾角a為參數(shù)，

設(shè)|PF|=Pi.,\QF\=p2,則|PM|=pt，\QN\=p2,\PQ\=Pi+p2-

222

于是Si="（pi+P2）<S2=n-\MN\="sin2a（pi+p2）.

顯然工》52,且當(dāng)a=：時取到等號.

26.11985高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】在下列四個圖形中，已知有一個是方程機(jī)/+及y=0與"?/+”爐=1。存0,畔

0）在同一坐標(biāo)系中的示意圖，它應(yīng)是（）

【答案】力

【解析】因?yàn)閙/+ny2=1,且7n?nH0,所以根，〃不可能都是負(fù)數(shù).

若m>0,n>0,因?yàn)闄E圓的長軸在x軸上，所以O(shè)VmVii,

這時拋物線？nx+ny2=0,即/=—

開口應(yīng)向左，顯然答案不是C

又因0Vm<n,所以0V9VI,

n

這樣，拋物線y2=與直線y=-x當(dāng)一1<x<0時應(yīng)有交點(diǎn).

由于。的圖形與此不符，故答案亦非。（Q圖中標(biāo)有單位1）.

若,”，〃異號，則拋物線y2=一;x的開口應(yīng)向右，所以答案肯定不是8,

因此可知，4是正確的，例如，取n=2,m=—2即可得到圖/.

27.11984高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】對所有滿足1999的"3",極坐標(biāo)方程p=「表示的不同雙曲

71—TC^COSa

線條數(shù)是（）

A.15B.10C.7D.6

【答案】D

【解析】圓錐曲線的極坐標(biāo)方程p=總需.當(dāng)且僅當(dāng)e>l時表示雙曲線，因此木題方程必須滿足C*>1.

又由于1<n<m<5,

所以可得6個不同的值：cLc!，cl，clcl,cJ.

28.11983高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）］已知出｛（x,y）［y>x2］,N=｛（x,回年+任一40｝.那么，使W1N=N成立的

充要條件是()

A.a>1-B-a=*C.a>1D.0<a<1

4

【答案】A

【解析】如圖，已知時=｛。力)|丫》/｝.是表示拋物線產(chǎn)/開口內(nèi)且包括周界的區(qū)域.

N=｛(x,y)|x2+(y-a)2<1｝是表示以點(diǎn)(0,a)為圓心，1為半徑且包括圓周的圓域.

使MCN=N成立的充要條件是：

2

圓產(chǎn)+(y-a)-1在拋物線y=/的開口內(nèi)，且與其可有公共點(diǎn).

設(shè)(x,y)為拋物線尸x2上的任意點(diǎn)，由它與圓心(0,0)距離的關(guān)系，得到所求的充要條件為

x2+(y-a/》1

y=x2>

、a>1

(y2—(2a—l)y+a2-1>0

所以｛y=x2①

Ia>1

因式①對于任何yd成立的充要條件為4=(2a-I)2-4(a2-1)<0,

解得a>

4

于是得到歷CN=N的充要條件是a>1-.

4

29.11982高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】極坐標(biāo)方程。=口；熱而所確定的曲線是()

A.圓B.橢圓C.雙曲線D.拋物線

【答案】C

【解析】該方程可寫成「=?,尸號。方令夕=。++得P=;春…前

1-0cos(e+g4L1-\眨cos夕

在極軸Ox經(jīng)順時針旋轉(zhuǎn)N所得到的新極坐標(biāo)系中，可知其曲線是e=?的圓錐曲線，它是雙曲線

4

30.11982高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】由方程|%-1|+僅一1|=1確定的曲線所圍成的圖形的面積是()

A.1B.2C.71D.4

【答案】B

【解析】該方程確定的曲線是以點(diǎn)(I,0),(2,1),(1,2),(0,1)為頂點(diǎn)的正方形，其邊長為VL因此，面積

為2.

31.11981高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】下面四個圖形中，哪一個面積大().

A.△ABCZ=60°,/B=45"。=遮

B.梯形:兩條對角線長度分別為魚和百，夾角為75°

C.圓:半徑為1

D.正方形:對角線的長度是2.5

【答案】C

【解析】選項(xiàng)“凰MC=今泮2sin60°sin75°_3+VJ

2sin45n-4'

選項(xiàng)反：若兄%為對角線長，夕為對角線的夾角，則

S-12-sin?=1V6-sin75°=

選項(xiàng)C.:S，t\=nR2=n.

選項(xiàng)。.：S正方彩=3.125.

因?yàn)樨＃?.125＞為金所以圓的面積最大.

4

32.【1981高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】在坐標(biāo)平面上有兩個區(qū)域M和N,M是由疙0,Q和珠2-x這三個不

等式確定的.N是隨，變化的區(qū)域，它由不等式區(qū)在什1所確定的，/的取值范圍是0WW1.設(shè)M和N的公共面積是

函數(shù)/⑴，則/⑺為().

A.-t?+tH—B.-2t2+2tC.1—t?D.—(t—2)2

222k7

【答案】A

【解析】如圖1,區(qū)域M/SE/+l(00WI)是坐標(biāo)平面內(nèi)的帶狀區(qū)域；如圖2,區(qū)域M:yK),雙和球2-r是坐標(biāo)

2

平面內(nèi)的三角形區(qū)域*和N的公共區(qū)域(圖3)面積可看作SMEF-SAO”B-所以f(t)=l-1t-l(l-t

)2=一尸+t+*04t(1)

N

圖3

幽解物題遢頌B

1.平面直角坐標(biāo)系中，縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).那么，滿足不等式(|x|-1尸+(|y|-1)2<2的整

點(diǎn)(x,y)的個數(shù)是().

A.16B.17C.18D.25

【答案】A

【解析】

由(|x|-1)2+(|訓(xùn)-1)2<2,可得(|川一1,加-1)為(0<),(0,1),(0,-1),(1,0)或(一1,0).從而，不難得到

(x,y)共有16個.故答案為：A

2.設(shè)橢圓C：橙+，=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，尸2，其焦距為2c,.點(diǎn)N(季，字)在橢圓的內(nèi)部，點(diǎn)M

是橢圓。上的動點(diǎn)，且|MF/+|MN|<2KI&F2I恒成立，則橢圓C的離心率的取值范圍是()

A.(0凈B.1,1)C.陰,1)D.陰凈

【答案】D

【解析】

由N(￡,苧)在橢圓的內(nèi)部，得篇+條<1，

即9b2c2+2a2c2<4a2b2,從而4a4_15a2c2+9c4>。，

得到9/—i5e2+4>0,因此(3?2-1)(3/-4)>0.

因?yàn)?<內(nèi)1,所以3/—4<0,故3/<1,得到0<e(蟲.

3

又由IMF/+\MN\<2百因瑪1恒成立，即2a+\MN\-\MF2\<4百c恒成立，

等價于(2a+\MN\-|MF2|)max<4Kc,亦即2a+|NF21V48c.

等價于2a+於—)2+/<4恁，即2a(竽，得到e>等.

綜上，得延<e<遺.

213

故選：D.

3.已知尸1、尸2分別為雙曲線盤一《=1(。>0/>0)的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)。若錯的最小

值為8a,則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()。

A.(1,3]B.(1,2]C.[2,3]D.[3,十8)

【答案】A

【解析】

7

=吆"甲=—+|Pf2|+4a>274a+4a=8a.

IPF2I\PF2\\PP2\121

當(dāng)且僅當(dāng)篇=|PF2l，即|"2l=2a時，上式等號成立，這時|PF/=4a.

嚴(yán)2I

又IPFJ+IP切NIPF1P&I，即4a+2aN2c,

因此，1<?=￡w3?選A.

a

4.已知Fi、F2為橢圓與雙曲線的公共焦點(diǎn)，P為它們的一個公共點(diǎn)，且N&PF2=60。.則該橢圓與雙曲線的離

心率之積的最小值為().

A.—B.坦C.1D.V3

32

【答案】B

【解析】

設(shè)|PFJ=m,IPF2I=n(m>n)?

橢圓方程為苴一看=1,

雙曲線方程為K=i

兩曲線的半焦距為q、C2,且Q=C2.

由圓錐曲線定義得

m+n=2al,m-n=2a2?

于是，巾=。1+。2，幾=Qi-。2?

又由余弦定理得

222a2

m+n-mn=4cf=4cj=>（%+a2）+（。1—2）-（4+@2）（。1~。2）=4cf=4—

=>冠+3a1=4cf=4登

=及i,”3/.

由均值不等式得4=}+j22J篇n0送2>y-

當(dāng)q=亨，?=當(dāng)時，上式等號成立.

從而，該橢圓與雙曲線的離心率之積的最小值為組.

2

5.點(diǎn)P（0,2）關(guān)于直線x+2y-l=0的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是

A.（-2,0）B.（-1,0）C.（0.-1）D.

【答案】D

【解析】

—+2（—+1）—1=0,

2

解一：設(shè)點(diǎn)P（0,2）關(guān)于直線x+2y—l=0的對稱點(diǎn)是P，（久°,y。），則{?y（>_2,即

6

『斛*懈之得Y：二’

.?'（一也一|）.故選D.

解二：設(shè)點(diǎn)「'（&》（））為所求的對稱點(diǎn)，利用pp，的中點(diǎn)在直線x+2y—1=0上，這樣可否定B..

?.?x+2y-l=0的斜率為一點(diǎn)

.:ppt的斜率為2.

而滿足這個條件的點(diǎn)僅是（一:一》故選D..

6.已知一雙曲線的兩條漸近線方程為x—V5y=0和8x+y=0,則它的離心率是（）.

A.V2B.V3C.2V2D.V3+1

【答案】A

【解析】

解：由于兩漸近線相互垂直，故此雙曲線的離心率與漸近線為y=±x的雙曲線的離心率相同，而以產(chǎn)土x為漸近

線的雙曲線方程為G-y2=H0），它的離心率為混，故答案為：A.

7.設(shè)F「尸2分別是橢圓《+卷=1（。>力>0）的左、右焦點(diǎn)，P為該橢圓上一點(diǎn)，滿足"PF?=90。.若4PaF2

的面積為2,則b的值為（）.

A.1B.V2C.V3D.2

【答案】B

【解析】

設(shè)|PFJ=m,|PF2|=n,則

m+n=2a,①

m2+n2=4c2=4(a2—b2),②

|mn=2.③

由①②③得乂=2,即b=V2.

故答案為：B

8.橢圓?+?=1的左焦點(diǎn)為廣，直線y=與橢圓在第一象限的焦點(diǎn)為M,過M作橢圓的切線交x軸于點(diǎn)N.

貝必MNF的面積是().

A.遮+誓B.遮+等

C.2遍+等D.26+爭

【答案】C

【解析】

如圖，由橢圓方程立+加=1,可得a2=4/2=3,c2=l.

43

所以，F(xiàn)(-1,O).

設(shè)M(%,y。)，易知過點(diǎn)M的切線方程為華+等=1.

令y=o,解得孫=9故|FN|=l+2.

%0XQ

所以，工”種=“1+?。=濟(jì)+署.

設(shè)%o—yo—3sin',

因緩號tan”0所以，tan”2.

顯然，0e（0,S，則sin。=管,yo=V3sine=

因此，S4MNF=W+24

故答案為：C

9.如圖，已知橢圓捺+、=l（a>b>0）,直線i與橢圓切于點(diǎn)P，且與x軸正半軸、y軸正半軸分別交于點(diǎn)4、

C.y/a2—b2D.y/a2+b2

【答案】A

【解析】

易知，切點(diǎn)2（出,尢）在第一象限.則切線，的方程為翳+餐=1.

分別令y=o,x=0,得A償,0）、8（0卷）.

由伊川=力得償一出）+必=爐，即管一死）=疝示

因?yàn)轶?gt;x0>0>

x0

所以，B*。=京。=就=/則光=g（a2-x^）=g（a2-^）=總

故|PB|=J瑤+償_yo）2=J詔+圻2b2+赭

=+b（a+b）-2b2+念=a-

故答案為：A

10.順次聯(lián)結(jié)雙曲線町/=20與圓/+/=41的交點(diǎn)得到一個凸四邊形.則此四邊形的面積為（）.

A.18B.20C.22D.30

【答案】A

【解析】

設(shè)AOo，%)g>0,yo>0).

由兩曲線既關(guān)于原點(diǎn)對稱又關(guān)于y=x對稱知，另外的三個交點(diǎn)坐標(biāo)為8(y(),Xo)、C(-x0,-y0),。(一y。,一n).由

此知四邊形4BC。為矩形，

其面積為|4例?|4。|=J2(x()-%)2-J2ao+先)2=2J歐+%一2了0兀-V^o+7o+2xo7o

=2741-2x20?V41+2x20=18.

故答案為：A

11.已知雙曲線。三一4=1的右焦點(diǎn)為F,P是第一象限內(nèi)C上的點(diǎn)，Q為雙曲線左準(zhǔn)線上的點(diǎn).若。P垂直平分

FQ,則雙曲線的離心率e的取值范圍是().

A.(l,+oo)B.(V2,+oo)

C.(V3,+co)D.(2,+oo)

【答案】C

【解析】

由|。尸|=|0Q|,可得

QVa2+c2)>F(c,0).

所以，%〃=咚?=一高.又0P1FQ,則岫「=年?

C

依題意有近至<幺即￡?(￡?+c2)<b4=(c2-a2)2,

ba

化簡得3a2vc?.從而，e=^>V3.

12.拋物線y=-營/的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)4過4作直線交拋物線于點(diǎn)M、N,點(diǎn)8在拋物線對稱軸上，且(BM+

O

等)1MN.則|。8|的取值范圍是().

A.(3,+oo)B.(4,+00)C.(5,+oo)D.(6,+oo)

【答案】D

【解析】

注意到點(diǎn)4(0,2).過4作直線MN,其方程設(shè)為y=kx+2.代入拋物線方程得

x2+8kx4-16=0.

而4>0.則>l,x1+x2=—8k.

設(shè)點(diǎn)8(0,b),MN中點(diǎn)為C(-4k,-41+2).

由（8M+絲）±MN=8C1MN=b=-4k2-2<-6.

則|08|的取值范圍是(6,+8).

13.已知F為橢圓1+4=1的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與雙曲線三一號=1的兩條漸近線小"分別交于點(diǎn)M、N,

與橢圓交于點(diǎn)A、B.若。M-MN=O,FA=^AN,則橢圓的離心率是().

B.咕Q，5±、廳D.v’5-、萬

933

【答案】C

【解析】

如圖3,由。M-MN=O,得。M±MN.由K0M=-，知直線1的斜率為:，焦點(diǎn)F(c,O).于是，直線，:—

_CL(、Q222

c).由｛‘一〃:解得『一］故點(diǎn)N盧，段).由尸4=，N,得4筆+￡,力，代入橢圓方程有堂堂+尊=

y=—X.V=—Cc344C4C2。2

azca

1.化簡得9e,-10e2+2=0.

解得e2=也Z.

9

14.設(shè)有心圓錐曲線5+?=1(血>I川>0)上一點(diǎn)尸與兩個焦點(diǎn)&、尸2的連線互相垂直.則Rt^PFiF2的面積

是().

A.|n|B.mC.n2D.不確定

【答案】A

【解析】

n>0,曲線為橢圓.則|P&|+|PFz|=2標(biāo)，①

PFl+PFl=4(m-n).②

①2—②得|P川|P%I=2n,SNAFZ=|n|.

類似地，n<0時，S“FFZ=1n1'

15.己知點(diǎn)尸（1,2）既在橢圓條+，=1內(nèi)部（包括邊界），又在圓/+/=貯詈!外部（包括邊界）.若以be

R+.則a+b的最小值為（）.

A.V5+2B.V6+V3

C.2V5D.V3+V5

【答案】B

【解析】

由已知有專+表41且a?+2b2<15.于是，念^<a2<15-2b2-

化簡得（爐-5）（爐一6）W0.化簡得（4—5）（4一6）W0.

從而，5W爐w6?

又t<2,故其等價于2（d+4+>/6）>V3t+y]t（t+4）?

由26之8t及22班，知上述不等式成立.

故a+b>V3+V6?

當(dāng)a?=3,川=6時符合條件且取到最小值乃+百.選B.

16.過橢圓C：?+?=1上任一點(diǎn)P作橢圓C的右準(zhǔn)線的垂線PH（H為垂足），延長PH到點(diǎn)Q,使|HQ|=4|

PH|（A>1）.當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動時，點(diǎn)Q的軌跡的離心率的取值范圍為（）.

A.（0,目B.弓，爭C.惇,1）D.（今1）

【答案】C

【解析】

設(shè)P（xi,yi）>Q（x,y）.

因?yàn)橛覝?zhǔn)線方程為x=3,所以，H（3,y）.

又麗=麗則黃=總

由定比分點(diǎn)公式得

3(1+A)—x

{"一A一

y-L=y-

代入橢圓方程得點(diǎn)Q的軌跡方程為