人教版高中數(shù)學(xué)必修2 全冊(cè)教案

按住Ctrl鍵單擊鼠標(biāo)打開(kāi)教學(xué)視頻動(dòng)畫(huà)全冊(cè)播放

人教版數(shù)學(xué)必修二

第一章空間幾何體重難點(diǎn)解析

第一章課文目錄

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

重難點(diǎn)：

1、讓學(xué)生感受大量空間實(shí)物及模型、概括出柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征。

2、畫(huà)出簡(jiǎn)單組合體的三視圖。

3、用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)空間幾何值的直觀圖。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算，臺(tái)體體積公式的推導(dǎo)。

5、了解推導(dǎo)球的體積和面積公式所運(yùn)用的基本思想方法。

知識(shí)結(jié)構(gòu):

?、空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖

1.柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)柱

棱柱：一般的，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公

共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的

底面，簡(jiǎn)稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底

面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。

底面是三角形、四邊形、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……

圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做

圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面：無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什

么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。

棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；

(2)錐

棱錐：?般的有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所

圍成的幾何體叫做棱錐；這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫

做棱錐的側(cè)面：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。

底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐……

圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍

成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜

邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。

棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。

(3)臺(tái)

棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)；原棱錐的

底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；棱臺(tái)也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)。

圓臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)；原圓錐的

底面和截面分別叫做圓臺(tái)的下底面和上底面；圓臺(tái)也有側(cè)面、母線、軸。

圓臺(tái)和棱臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體。

(4)球

以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體,簡(jiǎn)稱為球;

半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。

(5)組合體

由柱、錐、臺(tái)、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。

幾種常凸多面體間的關(guān)系

按側(cè)棱與底面

是否垂直分類

正

按底面多邊形分類四

棱

凸?三棱柱??四佟柱?(]n

多

I-T直平行六面休卜

面

?平行士面彳升

體—斜平行六百殂?

1正

方

■I正棱臺(tái)I

體

-----、正多面體II正四面體I

一些特殊棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念和主要性質(zhì):

名稱棱柱直棱柱正棱柱

圖形淳國(guó)口

有兩個(gè)面互相平側(cè)棱垂直于底面底面是正多邊形的

行，而其余每相的棱柱直棱柱

定義鄰兩個(gè)面的交線

都互相平行的多

面體

側(cè)棱平行且相等平行且相等平行且相等

側(cè)面的形狀平行四邊形矩形全等的矩形

對(duì)角面的形狀平行四邊形矩形矩形

平行于底面的截面與底面全等的多與底面全等的多與底面全等的正多

的形狀邊形邊形邊形

名稱棱錐正棱錐棱臺(tái)正棱臺(tái)

圖形AAOO

有一個(gè)面是多底面是正多邊用一個(gè)平行于由正棱錐截得

邊形，其余各面形，且頂點(diǎn)在底棱錐底面的平的棱臺(tái)

是有一個(gè)公共面的射影是底面去截棱錐，底

定義

頂點(diǎn)的三角形面的射影是底面和截面之間

的多面體面和截面之間的部分

的部分

相交于一點(diǎn)但相交于一點(diǎn)且延長(zhǎng)線交于一相等且延長(zhǎng)線

側(cè)棱

不一定相等相等點(diǎn)交于一點(diǎn)

側(cè)面的三角形全等的等腰三梯形全等的等腰梯

形狀角形形

對(duì)角面三角形等腰三角形梯形等腰梯形

的形狀

平行于與底面相似的與底面相似的與一底面相似的與底面相似的

底的截多邊形正多邊形多邊形正多邊形

面形狀

高過(guò)底面中心；兩底中心連線

側(cè)棱與底面、側(cè)即高；側(cè)棱與底

其他性

面與底面、相鄰面、側(cè)面與底

質(zhì)

兩側(cè)面所成角面、相鄰兩側(cè)面

都相等所成角都相等

幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì):

名稱特殊性質(zhì)

底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，

平行六面體

且被該點(diǎn)平分

側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線交

直平行六面體

于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分

底面和側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，

長(zhǎng)方體

且被該點(diǎn)平分

棱長(zhǎng)都相等，各面都是正方形四條對(duì)角線相等，交

正方體

于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分

2.空間幾何體的三視圖

三視圖是觀測(cè)者從不同位置觀察同一個(gè)幾何體，畫(huà)出的空間幾何體的圖形。

他具體包括:

（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖;

它能反映物體的高度和長(zhǎng)度；

（2）側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖;

它能反映物體的高度和寬度；

（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖;

它能反映物體的長(zhǎng)度和寬度；

三視圖畫(huà)法規(guī)則：

高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊

長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正

寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等

3.空間幾何體的直觀圖

（1）斜二測(cè)畫(huà)法

①建立直角坐標(biāo)系，在己知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX,0Y,建立直角坐

標(biāo)系；

②畫(huà)出斜坐標(biāo)系，在畫(huà)直觀圖的紙上（平面上）畫(huà)出對(duì)應(yīng)的0^X',0.Y',使NX'。y=45°

（或135°）,它們確定的平面表示水平平面；

③畫(huà)對(duì)應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于X.軸，且長(zhǎng)度

保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于Y,軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)

的一半；

④擦去輔助線，圖畫(huà)好后，要擦去X軸、Y軸及為畫(huà)圖添加的輔助線（虛線）。

（2）平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)。

注意：畫(huà)水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)

的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫(huà)出多邊形來(lái)，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀

圖的畫(huà)法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫(huà)法.強(qiáng)調(diào)斜二測(cè)畫(huà)法的步驟。

例題講解：

［例1］將正三棱柱截去三個(gè)角（如圖1所示A,B,C分別是△G"/三邊的中點(diǎn)）

得到兒何體如圖2,則該兒何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（）

［例2］在正方體/式》〃中，E,尸分別為棱CC的中點(diǎn)，則在空間中與

三條直線4〃，EF,切都相交的直線（）

A.不存在B.有且只有兩條C.有且只有三條D.有無(wú)數(shù)條

［例3］正方體ABCD_A|B|GD|的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是平面ABCD內(nèi)的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足PM=2,P到直線AQi的距離為石，則點(diǎn)P的軌跡是（）

人圓B.雙曲線C.兩個(gè)點(diǎn)D.直線

解析：點(diǎn)P到4D的距離為，則點(diǎn)P到AD的距離為1,滿足此條件的P的軌跡

是到直線4D的距離為1的兩條平行直線，

又「PM=2,.?.滿足此條件的P的軌跡是以M為圓心，半徑為2的圓，這兩種軌跡

只有兩個(gè)交點(diǎn).

故點(diǎn)P的軌跡是兩個(gè)點(diǎn)。選項(xiàng)為Co

點(diǎn)評(píng)：該題考察空間內(nèi)平面軌跡的形成過(guò)程，考察了空間想象能力。

［例4］兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)，使正四棱

錐的底面ABCD與正方體的某一個(gè)平面平行，且各項(xiàng)卓均在正方體的面上，則這樣的幾何

體體積的可能值有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.無(wú)窮多個(gè)

解析：山于兩個(gè)正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形ABCD

中心，有對(duì)稱性知正四棱錐的高為正方體棱長(zhǎng)的一半，影響兒何體體積的只能是正四棱錐底

面正方形ABCD的面積，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，所以選D。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體,

它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會(huì)將空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化。

題型2：空間幾何體的定義

［例5］長(zhǎng)方體48CO-的8個(gè)頂點(diǎn)在同?個(gè)球面上，且AB=2,AD=也,

A4=1,則頂點(diǎn)A、B間的球面距離是（）

A.B.C.G■兀D.2叵兀

42

解析：?.?6￡）1=4。|=2/?=2應(yīng)，，/?=0,設(shè)

BD]nAC|=。,則OA=OB=R=&

nNAOB=%，：.l=R6=6?義工，故選

22

點(diǎn)評(píng)：抓住本質(zhì)的東西來(lái)進(jìn)行判斷，對(duì)于信息要進(jìn)行加工再利用。

［例6］已知直線m,n和平面a,夕滿足mln,m±a,al夕，則()

A.n，°B.n〃夕，或〃u(3C.n±aD.n〃a，或〃ua

解析：易知D正確.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于空間幾何體的定義要有深刻的認(rèn)識(shí)，掌握它們并能判斷它們的性質(zhì)。

題型3：空間幾何體中的想象能力

［例7］如圖所示，四棱錐P-ABCO的底面ABCO是邊長(zhǎng)為1的菱形，ZBCD=60°,

E是CD的中點(diǎn)，PAJ■底面ABCD,PA=。

(I)證明：平面PBE_L平面PAB；

△BCD是等邊?:角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以

BE±CD,又A6//CD,所以BE上AB,

又因?yàn)镻A1平面ABCD,BEU平面ABCD,

所以PAL8E,而PADA8=A，因此85_1_平|a1八13.

又BEu平面PBE,所以平面PBE1平面PAB.

(II)由(D知，8E_L平面PAB,PBu平面PAB,所以P8J.6E.

又AB_LBE,所以NPBA是二面角A-BE-P的平血角.

在RtAPAB中，tanNPBA=一=?NPBA=60°..

AB

故：面角A—BE-P的大小為60°.

解法二：如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

A(0,0,0),5(1,0,0),C(|,*,0),亭,0),尸(0,0,6),E(l,#,0).

(I)因?yàn)辂?(0,火,0),平面PAB的一個(gè)法向量是，=(0,1,0),所以屁和%共線.

從而B(niǎo)E，平面PAB.又因?yàn)锽Eu平面PBE,所以平面PBE_L平面PAB.

(II)易知方=(1,0,-6),前=(0,曰,0),設(shè)點(diǎn)=(“m，&)是平面PBE的一個(gè)法向量,

x+0x%-64=0,

n.PB=0,}

則由仁_得《J3所以y=0,%=6%.

n「BE=0OxXjH——y]+0xZ]=0

故可取，=(6,0,1).而平面ABE的?個(gè)法向量是Z=(0,0,1).

..,,一一■1

卜是.COS<n.,”,>==—

-1/2,II/1J2

故二面角A-BE-P的大小為60°.

點(diǎn)評(píng)：解決此類題目的關(guān)鍵是將平面圖形恢復(fù)成空間圖形，較強(qiáng)的考察了空間想象能力。

［例8］如圖，在三棱錐P-A8C中，AC=BC=2,4C5=90°,AP=BP=AB,

PC±AC.

(I)求證：PCIAB；

(II)求二面角8-AP—C的大小.

解析：

解法?：

(】)取A8中點(diǎn)。，連結(jié)尸力，CD.

AP=BP,

/.PDA.AB.

vAC=BC,

CD1.AB.

PDC\CD=D,

AB±平血PCD.

?.?PCu平面PC。，

/.PC±AB.

(II)?：AC=BC,AP=BP,

:.△APCmXBPC.

乂PCLAC,

/.PC±BC.

又ZAC8=90°,即ACL8C,且4?？谑?。=。，

BC±平面PAC.

取AP中點(diǎn)E.連結(jié)BE,CE.

vAB=BP,/.BELAP.

???EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，

/.CE1AP.

???NBEC是:面角B-AP-C的平面角.

在△8CE中，ZBCE=90°,BC=2,BE=—AB=46.

2

.“EC上"

BE3

二面角B-AP-C的大小為arcsin

解法二：

(1)-：AC=BC,AP=BP,

:.△APCQXBPC.

乂尸CLAC,

PCIBC.

■：AC?\BC=C.

.?.PCJ_平面ABC.

A8u平面ABC,

/.PCLAB.

(11)如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.

則C(0,0,0),4(0,2,0),5(2,0,0).

設(shè)P(0,0,t).

?：\PB\=\AB\=242,

.?"=2,P(0,0,2).

取AP中點(diǎn)E，連結(jié)6E,CE.

v|AC|=|PC|,\AB\=\BP\,

CELAP,BE1AP.

ZBEC是二面角B-AP-C的平面角.

vE(0,l,l),皮=(0,-1,-1),￡5=(2,-1,-1),

ECEB_2_V3

:而角B-AP-C的大小為arccos

點(diǎn)評(píng)：在畫(huà)圖過(guò)程中正確理解已知圖形的關(guān)系是關(guān)鍵。通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫(huà)圖的角度考查了

空間想象能力。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空

間想象能力的主要方向。

［例9］畫(huà)正五棱柱的直觀圖，使底面邊長(zhǎng)為3cm側(cè)棱長(zhǎng)為5cm。

解析：先作底面正五邊形的直觀圖，再沿平行于Z軸方向平移即可得。

作法：

(1)畫(huà)軸：畫(huà)X',Y',Z'軸，使/X'O'Y'=45°(或135°),NX'O'Z'

=90°。

(2)畫(huà)底面：按X'軸，Y'軸畫(huà)正五邊形的直觀圖ABCDE。

(3)畫(huà)側(cè)棱：過(guò)A、B、C、D、E各點(diǎn)分別作Z'軸的平行線，并在這些平行線上分

別截取AA',BB',CC',DD',EE。'

(4)成圖：順次連結(jié)A',B',C',D',F',加以整理，去掉輔助線，改被遮

擋的部分為虛線。

點(diǎn)評(píng)：用此方法可以依次畫(huà)出棱錐、棱柱、棱臺(tái)等多面體的直觀圖。

［例10］AA'8'C'是正AWC的斜二測(cè)畫(huà)法的水平放置圖形的直觀圖，若AA'8'C'的面積

為g,那么△ABC的面積為。

解析：2屈。

點(diǎn)評(píng)：該題屬于斜二測(cè)畫(huà)法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于建立實(shí)物圖元素與直觀圖元素之間

的對(duì)應(yīng)關(guān)系。特別底和高的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

［例11］如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCO-A'5'C'D'中，AP=BQ=b(0<b<l),截面

PQEF//ArD,截面PQGH//AD/.

(I)證明：平面PQEF和平面PQG”互相垂直；%_______cz

(II)證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，器\、羽

并求出這個(gè)值；\I?

(III)若。'E與平面尸。所所成的角為45°,求。'E與平。吸一二一盟c

面「0G”所成角的正弦值.A/~

本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力與

邏輯思維能力。

解析：

解法一：

(1)證明：在正方體中，AD'IA'D,AD'LAB,乂由已知可得

PF//AfD,PH//\D',PQ//AB,

所以PH工PF,PH1PQ.

所以P"1^-tinPQEF.

所以平面PQE尸和平面PQGH互相垂直.

(II)證明：山(I)知

PF=6AP,PH=gPA',又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=\,所以截面

PQEF和截面PQGH面積之和是

(y/2AP+y/2PAf)xPQ^y/2,是定值.

(III)解：連結(jié)8C'交EQ于點(diǎn)M.

因?yàn)镻Q//AB,

所以平面ABCfDf和平面PQGH互相平行，因此O'E與平面PQGH所成角與。'E與平面

ABC'。'所成角相等.

與(I)同理可證E。，平面POG/Z,可知平面ABC'。'，因此EM與O'E的比值就

是所求的正弦值.

設(shè)AD'交PFT■點(diǎn)、N,連結(jié)EN,山F0=1-b知

D'E=7(1-^)2+2,N/X=#+爭(zhēng)1—6).

因?yàn)锳。'J_平面PQEF,又已知O'E?J平面PQEF成45°角,

所以D，E=3ND',即72q+學(xué)l-b)=&l-b￥+2,

解得匕=工，可知E為8c中點(diǎn).

2

所以后時(shí)=字，又。E="(l-b)2+2=|,

FMJ1

故D%與平面尸。C”所成角的正弦值為㈱==

解法二：

以。為原點(diǎn)，射線04,DC,DD'分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系

C-xyz由已知得。Z7=1-8,故

41,0,0),4(1,0,1),0(0,0,0),Dz(0,0,l),

P(l,0,b),2(1,1,b),￡(1-M,O),

F(l-b,O,O),G3，l,l),43,0,1).

(I)證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得

PQ=(0,1,0)府=(-b,O,-b),

麗=(匕一1,0,1—匕)，

后=(-1,0,1),^5=(-L0,-1).

因?yàn)椴级?0,正方=0,所以正是平面PQEF的法向髭.

因?yàn)樾卸?0,赤麗=0,所以彳萬(wàn)是平面PQGH的法向量.

因?yàn)槎苋f(wàn)=0,所以赤，ZF,

所以平面PQEF和平面PQG”互相垂直.

(II)證明：因?yàn)閱?(0,—1,0),所以即〃麗司=西，又而，而，所以PQE尸

為矩形，同理PQG”為矩形.

在所建立的坐標(biāo)系中可求得兩=&(1-6),忸同=傷，

所以|西+忸同=應(yīng)，又忸0=1,

所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為72,是定值.

(III)W：由已知得萬(wàn)萬(wàn)與訪成45°角，又萬(wàn)萬(wàn)=(1一41,-1),初=(一1,0,1)可得

九而_b-2_V2

\DrE[AD'\伍/(13+22

即/2-h=1,解得你=上1.

「1-H+22

所以西=(g,l,—1),乂正=(一所以O(shè)'E與平面PQGH所成角的正弦值為

Icos<D^A'D>1=——=—.

9x86

2

點(diǎn)評(píng)：考查知識(shí)立足課本，對(duì)空間想象能力、分析問(wèn)題的能力、操作能力和思維的靈活

性等方面要求較高，體現(xiàn)了加強(qiáng)能力考查的方向。

［例12］多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平

面a內(nèi)，其余頂點(diǎn)在a的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到a的距離分別為1,2

和4,P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面a的距離可能是：①3；②4；

③5；?6；⑤7

以上結(jié)論正確的為(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào))

解析：如圖，B、D、Ai到平面a的距離分別為1、

2、4,則D、Ai的中點(diǎn)到平面a的距離為3,所以D,

到平面a的距離為6；B、Al的中點(diǎn)到平面a的距離為

所以Bl到平面a的距離為5；則D、B的中點(diǎn)到

平面a的距離為所以c到平面a的距離為3；c、/y

7

Ai的中點(diǎn)到平面a的距離為一，所以G到平面a的距離為7；而P為C、G、B?5中的一

2

點(diǎn)，所以選①③④⑤。

點(diǎn)評(píng)：該題將計(jì)算蘊(yùn)涵于射影知識(shí)中，屬于難得的綜合題目。

［例13］（1）畫(huà)出下列幾何體的三視圖

（2）如圖，設(shè)所給的方向?yàn)槲矬w的正前方，試畫(huà)出它的三視圖（單位：cm）

點(diǎn)評(píng)：畫(huà)三視圖之前，應(yīng)把幾何體的結(jié)構(gòu)弄清楚，選擇一個(gè)合適的主視方向。一般先畫(huà)

主視圖，其次畫(huà)俯視圖，最后畫(huà)左視圖。畫(huà)的時(shí)候把輪廓線要畫(huà)出來(lái)，被遮住的輪廓線要畫(huà)

成虛線。物體上每一組成部分的三視圖都應(yīng)符合三條投射規(guī)律。

［例14］某物體的三視圖如下，試判斷該幾何體的形狀

解析：該幾何體為一個(gè)正四棱錐分析：三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一物體得到的三

個(gè)視圖。

點(diǎn)評(píng)：主視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長(zhǎng)和高，不反映物體的寬。而

俯視圖和主視圖共同反映物體的長(zhǎng)要相等。左視圖和俯視圖共同反映物體的寬要相等。據(jù)

此就不難得出該幾何體的形狀。

二、空間幾何體的表面積和體積

1.多面體的面積和體積公式:

名稱側(cè)面積（SM）全面積（S至）體積（V）

棱棱柱直截面周長(zhǎng)XIS底?h=S也赦而?h

S側(cè)+2S底

柱直棱柱chS底?h

棱錐各側(cè)面積之和

棱1°

S側(cè)+S底—S底?h

錐正棱錐-ch)3

2

棱臺(tái)各側(cè)面面積之和

—h（S上底+S下底

棱3

S惻+S上底+S下底

臺(tái)正棱臺(tái)-(c+c')h'

2+Js下底，s下底）

表中S表示面積，c'、c分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜rRj,h'表示斜局，1表示

側(cè)棱長(zhǎng)。

2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式：

名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球

S側(cè)2nrlnrl人(ri+r2)1

222

S全2nr(1+r)nr(1+r)凱(ri+r2)1+3i(ri+r2)4nR

222223

Vnrh(BP五rl)—nrh—nh(ri+rir2+r2)-JtR

333

表中1、h分別表示母線、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，n、n分別表示圓臺(tái)

上、下底面半徑，R表示半徑。

3.探究柱、錐、臺(tái)的體積公式：

1、棱柱（圓柱）可由多邊形（圓）沿某一方向平移得到，因此，兩個(gè)底面積相等、高

也相等的棱柱（圓柱）應(yīng)該具有相等的體積.

柱體（棱柱、圓柱）的體積等于它的底面積S和高〃的積，即唳體=S〃.

2、類似于柱體，底面積相等、高也相等的兩個(gè)錐體，它們的體積也相等.棱錐的體積

公式可把一個(gè)棱柱分成三個(gè)全等的棱錐得到，由于底面積為S,高為〃的棱柱的體枳

“棱錐=Sh，所以匕隹體=—Sh.

3、臺(tái)體（棱臺(tái)、圓臺(tái)）的體積可以轉(zhuǎn)化為錐體的體積來(lái)計(jì)算.如果臺(tái)體的上、下底面

面積分別為S',S,高為〃，可以推得它的體積是l1體=；/7（S+扃+S'）.

4、柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間關(guān)系如下：

「=S〃u（S'=S）*f（S+^+S'）（S'=O）nL="

4.探究球的體積與面積公式：

1.球的體積：

（1）比較半球的體積與其等底等高的旋轉(zhuǎn)體的體積

結(jié)論：％錐＜丫半球＜丫圓柱

(2)利用“倒沙實(shí)驗(yàn)”，探索底面半徑和高都為球半徑的圓柱、圓錐與半球三者體積之

間的關(guān)系(課件演示)

結(jié)論：”球圓柱一V圓錐=成2成2.氏資成3

(3)得到半徑是R的球的體積公式：

結(jié)論：="!"勿?3

2.球的表面積：

由于球的表面是曲面,不是平面,所以球的表面積無(wú)法利用展開(kāi)圖來(lái)求.該如何求球

的表面積公式?是否也可借助分割思想來(lái)推導(dǎo)呢？(課件演示)

(1)若將球表面平均分割成n個(gè)小塊,則每小塊表面可近似看作一個(gè)平面,這n小

塊平面面積之和可近似看作球的表面積.當(dāng)n趨近于無(wú)窮大時(shí)，這n小塊平面面積之和接

近于甚至等于球的表面積.

(2)若每小塊表面看作一個(gè)平面，將每小塊平面作為底面,球心作為頂點(diǎn)便得到n

個(gè)棱錐,這些棱錐體積之和近似為球的體積.當(dāng)n越大,越接近于球的體積，當(dāng)n趨近于無(wú)

窮大時(shí)就精確到等于球的體積.

(3)半徑為R的球的表面積公式：

結(jié)論：S球=4冰2

例題講解：

［例1］一個(gè)長(zhǎng)方體全面積是20cm2,所有棱長(zhǎng)的和是24cm,求長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng).

解析：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高、對(duì)角線長(zhǎng)分別為xcm、ycm、zcm,1cm

2(xy+yz+zx)=20(1)

依題意得：

4(x+y+z)=24⑵

由(2)2得：x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz=36(3)

山(3)—(1)得x2+y2+z'=16

即尸=16

所以Z=4(cm)o

點(diǎn)評(píng)：涉及棱柱面積問(wèn)題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長(zhǎng)方體的表

面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的兒何要素(對(duì)角線、內(nèi)切)與面積、

體積之間的關(guān)系。

［例2］如圖1所示，在平行六面體ABCD—AiBQDi中,已知AB=5,AD=4,AA(=3,AB

71

±AD,ZA,AB=ZAiAD=y.

(1)求證：頂點(diǎn)A,在底面ABCD上的射影0在/BAD的平分線上;

(2)求這個(gè)平行六面體的體積。

解析：(1)如圖2,連結(jié)AQ,則AQJ_底面ABCD。作OM_LAB交AB于M,作ON

J_AD交AD于N,連結(jié)A|M,A,No山三垂線定得得A|M_LAB,A,N±ADoVZA|AM=

ZAjAN,

ARtAA,NA^RtAA|MA,AAlM=AlN,

從而OM=ON。

...點(diǎn)O在NBAD的平分線上。

兀13

(2).AM=AA]Cos—=3X—=—

322

AM3n：

.?.AO=--------=-V2。

n2

cos

4

99

乂在RtZiAOAi中，A1O2=AAr-AO2=9--=-

22

AQ=￡2，平行六面體的體積為V=5x4x2也=3072。

22

［例3］?個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是遙，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)是

()

A.2A/3B.3V2C.6D.V6

解析：設(shè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三邊長(zhǎng)分別為a=l,b=?,c=6則對(duì)角線/的長(zhǎng)為

1=y1a2+h2+c2=V6；答案D。

點(diǎn)評(píng)：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的兒何要素一棱長(zhǎng)。

［例4］如圖，三棱柱ABC—ABG中，若E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，平面EBC將三棱柱分

成體積為VH5的兩部分，那么V,：V2=

解析：設(shè)二棱柱的高為h,上下底的面積為S,體積為V,

則V=Vi+V2=Sho

?；E、F分別為AB、AC的中點(diǎn),

AE8

SAAEF=-S,

4

Vi=-h(S+—S+JS?一)=—Sh

34V412

5

V=Sh-Vi=—Sh,

212

.".Vi：V2=7：5o

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)

關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。

題型3：錐體的體枳和表面積

［例5］（2006上海，19）在四棱錐P—ABCD中，底

面是邊長(zhǎng)為2的菱形，/DAB=60°,對(duì)角線AC與

BD相交于點(diǎn)O,PO1.平面ABCD.PB與平面ABCD

所成的角為60°,求四棱錐P-ABCD的體積？

解析：（1）在四棱錐P-ABCD中，由POL平面

ABCD,得NPBO是PB與平面ABCD所成的角，

ZPBO=60°?

在RtAAOB中BO=ABsin30°=l,由PO±BO,

尸是PO=BOtan600=V3，而底面菱形的血枳為2g

.,.四棱錐P-ABCD的體枳V」x2百xg=2。

3

點(diǎn)評(píng)：本小題重點(diǎn)考查線面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力

方面主要考查空間想象能力。

［例6］（2002京皖春文，19）在三棱錐S—ABC中，ZSAB=ZSAC=ZACB=90°,S.AC=BC=5,

SB=55（如圖所示）5

（I）證明：SCJ_BC；

（II）求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小；\X.

（III）求三棱錐的體積匕-ABC。

解析：（I）證明：VZSAB=ZSAC=90°,

.'.SA±AB,SA_L4C。皿

圖

又A8A4c=4,

平面ABC.

由于乙4cB=90°,BPBC1AC,由三垂線定理，得SCJ_BC。

（II）'：BCVAC,SCVBC.

：.ZSCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成湎角的平面角。

在RtZkSCB中，BC=5,SB=5由,得SC=dSB?-BC?=10。

在RtZiSAC中AC=5,SC=10,cosSCA=-=-=-

SC102

，NSCA=60°,即側(cè)面58c與底面48c所成的二面角的大小為60°。

(III)解:在RtZ\S4C中，

?；SA=yISC2-AC2=V102-52=775,

125

?AC-BC=-X5X5=—,

22

.1.125^12573

?S4ACB?SA=-X—X,75=--------

326

點(diǎn)評(píng)：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的

洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。

題型4：錐體體積、表面積綜合問(wèn)題

［例7］ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD

所在的平面，且GC=2,求點(diǎn)B到平面EFC的距離？

解析：如圖，取EF的中點(diǎn)O,連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B—EFG。

設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h,BD=4J5,EF=272,CO=-X472=372。

GO=yJC02+GC2=7(3A/2)2+22=718+4=姨“

而GCJ_平面ABCD,且GC=2。

由VpEFG=兀EFB，得工EF?GO?h=?

o-crOU-ETD''$3ZXcro

點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積問(wèn)題來(lái)求解。構(gòu)造以點(diǎn)B

為頂點(diǎn)，4EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯性列方

程是解這類題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。

［例8J（2006江西理，12）如圖，在四面體ABCD

中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都

相切的球）球心0,且與BC,DC分別截于E、F,

如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四

棱錐A—BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是8,

S2,貝I」必有（）

A.Si<SaB.Si>S2

C.S1=S2D.S1,S2的大小關(guān)系不能確定

解析：連OA、OB、OC、OD,

則VA-BEFD=VO-ABD+VO-ABE+VO-BEFD

VA-EFC=VQ-ADC+VQ-AEC+VQ-EFC又VA-BEFD=VA-EFC，

而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故SABD+SABE+SBBFD=SADC+SAEC

+SEFC又面AEF公共，故選C

點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)復(fù)合平面圖形的分割過(guò)程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、

表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間兒何體之間元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

[例9](2002北京理，18)如圖9一24,在多面體ABCD—ASCQi中，上、下底面平行且

均為矩形，相時(shí)的側(cè)面與同?底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E,尸兩點(diǎn)，

上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c,d與a,b,且a>c,h>d,兩底面間的距離為力。

(I)求側(cè)面AB&Ai與底面ABC。所成二面角的大?。?/p>

(II)證明：EF〃面ABCO；

(III)在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式乙尸Sw則?h來(lái)計(jì)算,已知它的體

h

積公式是(SI：底向+45中俄而+SF底而)，試判斷V他與V的大小關(guān)系，并加以證明。

(注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱為該多面體的中截面)

(I)解：過(guò)BCi作底面48co的垂直平面，交底面于尸

過(guò)當(dāng)作8|G_LPQ,垂足為G。

如圖所示：：平面ABCD〃平面4|B|CNi，NA|81G=90°,

C.ABLPQ,AB±BtP.

:.NB\PG為所求二面角的平面角.過(guò)G作CxHA.PQ,垂足為

凡由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形BFQCi

為等腰梯形。

；.PG=；(b-d),又BiG=h,：.tanBPG=2h

}-----Cb>d\

b-d

2h2h

N8|PG=arctan-----,即所求二面角的大小為arctan------

b-db—d

(II)證明：C￡>是矩形ABC。的一組對(duì)邊，有AB〃CD,

又CD是面ABCD與面CDEF的交線，

."8〃面CDEF.

,:EF是面ABFE與面CDEF的交線，

J.AB//EF.

「AB是平面A8C。內(nèi)的一條直線，EF在平面A8CO外，

：.EF//l&ABCDo

(III)V(A<VO

證明：a>c,b>d,

h,,,a+cb+d、a+cb+d,

：.V-VM=—(zcd+ab+4-丁)一------------h

22

hr.r

=—12cd+2ab+2(a+c)(b+d)—3(a+c)(b+4)]

12

h

—(〃一c)(b-d)>0o

12

.,.Vw<Vo

點(diǎn)評(píng)：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則

幾何體（擬柱體）中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算

公式與可精確計(jì)算體積的辛普生公式之間計(jì)算誤差的問(wèn)題，是極具實(shí)際意義的問(wèn)題。考查了

考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。

[例10]（1）（1998全國(guó)，9）如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S、S',中截面的面積是So,那么

（）

7

A.2/S^=y[S+VFB.So=\/~SSC.2so=5+5'D.S^=2S'S

（2）（1994全國(guó)，7）已知正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4,高為2,則其體

積為（）

A.328B.2873C.24V3