有阻力的拋體運(yùn)動(dòng)的函數(shù)方程

精品精品精品精品精品精品有阻力的拋體運(yùn)動(dòng)的函數(shù)方程摘要:本文運(yùn)用導(dǎo)數(shù)、微積分的有關(guān)知識(shí)建立并解決有阻力的斜拋運(yùn)動(dòng)的微分方程，得出各變量間的函數(shù)關(guān)系，其中還運(yùn)用了一些簡(jiǎn)單的物理知識(shí)，并通過(guò)求極限順便得出有阻力的豎直上拋，豎直下拋運(yùn)動(dòng)和無(wú)阻力拋體運(yùn)動(dòng)的一些基本函數(shù)方程，然后討論斜上拋運(yùn)動(dòng)水平最遠(yuǎn)射程與拋射角的關(guān)系問(wèn)題，最后取一組簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)進(jìn)行定量計(jì)算。關(guān)鍵詞:有阻力;函數(shù)方程;在研究拋體運(yùn)動(dòng)前，先簡(jiǎn)單說(shuō)明微分方程的概念和基本解法。⑴一般地，凡表示未知函數(shù)，未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程，叫做微分方程。在這里，只討論一類較特殊的微分方程：①①式可分離變量得：②②式表示狀態(tài)量，對(duì)兩邊各狀態(tài)量累加求和得：由定積分與微分的和的極限的關(guān)系，可將上式改寫為③，其中由③式可解出y與x滿足的方程，③式也可寫成不定積分的形式④，其中C為常數(shù)，依賴于初值條件。下面研究問(wèn)題時(shí)就不再像上述一樣清晰了，且不常用③式而常用④式.再給出曲線的曲率半徑的求法。⑴對(duì)于曲線y=Y(x)，為曲線的切線斜率的反正切值，即⑤⑥yhO00fvmgvyhO00fvmgv0x過(guò)物體初始位置，垂直地面向上建立y軸，過(guò)y軸與地面交點(diǎn)建x軸，使物體運(yùn)動(dòng)軌跡在xoy平面的第一象限內(nèi)，即右圖。分析問(wèn)題可知，四個(gè)變量：橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y，速率v，時(shí)間t中任兩個(gè)量都可建立函數(shù)方程。ⅰ研究物體運(yùn)動(dòng)軌跡(設(shè)x是自變量，v、y是x的函數(shù))。分析物體受力，可知重力沿曲線的法線分力提供物體沿曲線運(yùn)動(dòng)的向心力，即⑦將⑤、⑥兩式代入⑦式中，解得：⑧⑧式兩邊對(duì)x求導(dǎo)：⑨又由能量守恒定律得：⑩由被積函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可知：∴⑩式兩邊對(duì)x求導(dǎo)得：eq\o\ac(○,11)將⑧、⑨兩式代入eq\o\ac(○,11)式化簡(jiǎn)后得：分離變量后積分：解得：eq\o\ac(○,12)考慮初始條件：當(dāng)x=0時(shí)，由⑧式得eq\o\ac(○,13)將eq\o\ac(○,13)式代入eq\o\ac(○,12)式中得：將C2的值代回eq\o\ac(○,12)式，化簡(jiǎn)后得：eq\o\ac(○,14)同理可再分離變量積分后代初值，得：eq\o\ac(○,15)同樣可求得：（I）（2）研究水平方向（設(shè)t為自變量，v、x、y、cosθ都是t的函數(shù)）由運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原則，可知摩擦阻力f的水平分量提供水平分運(yùn)動(dòng)的加速度，速度v的水平分量為水平分運(yùn)動(dòng)的速度。則有：eq\o\ac(○,16)令eq\o\ac(○,17)則eq\o\ac(○,16)式改寫為分離變量求積分：解得eq\o\ac(○,18)將eq\o\ac(○,17)式代入eq\o\ac(○,18)式中得：∵當(dāng)t=0時(shí)，將C3的值代入得：eq\o\ac(○,19)將⑤、⑧兩式代入經(jīng)化簡(jiǎn)后得：再將eq\o\ac(○,14)式代入得解得：（II）由（II）式可知x隨自變量t的增大而增大，若不限高度h，則t→+時(shí)，，并且x恒小于。且時(shí)間很長(zhǎng)時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)趨于勻速。將（II）代入（I）式中化簡(jiǎn)后得：（III）1514將、式代入⑧化簡(jiǎn)得：1514(IV)再將（II）式代入（IV）式中得：（V）至此已得出了（I）、（II）、（III）、（IV）、（V）五個(gè)有阻力拋體運(yùn)動(dòng)的基本函數(shù)方程，下面再求出物體能達(dá)到的最高處當(dāng)時(shí)，由eq\o\ac(○,15)式解得：eq\o\ac(○,20)將eq\o\ac(○,20)式代入（I）得：(VI)(3)在上述討論中，所得出的方程都是在一般條件下得到的，接下來(lái)順便導(dǎo)出特殊運(yùn)動(dòng)的函數(shù)方程，因?yàn)樯鲜龈魇街?，因此不能直接?dǎo)出，下面通過(guò)求極限的方法得出三類特殊運(yùn)動(dòng)的方程。(a)豎直上拋運(yùn)動(dòng)當(dāng)時(shí)，由（III）知：由正弦函數(shù)的連續(xù)性可知：eq\o\ac(○,21)同理，由（V）得：若考慮速度v向上為正，向下為負(fù)，則可得：eq\o\ac(○,22)由（VI）得eq\o\ac(○,23)(b)豎直下拋運(yùn)動(dòng)同樣，當(dāng)時(shí)，由（III）求極限得：eq\o\ac(○,24)由（V）式求極限得eq\o\ac(○,25)由eq\o\ac(○,25)式知道，若，則v恒大于，阻力恒大于重力，且隨時(shí)間增大而趨近。若，則v恒小于，阻力恒小于重力，隨時(shí)間增大而趨于相等。(c)無(wú)阻力拋體運(yùn)動(dòng)當(dāng)k→0時(shí)，由（I）式得：因?yàn)閗→0時(shí)，，同時(shí)用洛必達(dá)法則求極限[1]，將被求根限式的分子、分母對(duì)k求導(dǎo)，得化簡(jiǎn)得：eq\o\ac(○,26)由（II）求極限由導(dǎo)數(shù)的定義得eq\o\ac(○,27)將eq\o\ac(○,27)式代入eq\o\ac(○,26)式中得eq\o\ac(○,28)當(dāng)然，上面三類運(yùn)動(dòng)的方程可直接分析原運(yùn)動(dòng)，且那樣更能簡(jiǎn)單得出方程，這里只是順便導(dǎo)出。（4）接著討論一個(gè)實(shí)用的問(wèn)題：當(dāng)初始拋角為何值時(shí)，水平射程最遠(yuǎn)。首先，我們知道，當(dāng)取時(shí)，不可能取到最大水平射程，更不可能。在（I）中取y=0，則有eq\o\ac(○,29)設(shè)m、g、k、v0均為常數(shù)，為變量，改寫為，則x是的函數(shù)，，將eq\o\ac(○,29)式兩邊對(duì)求導(dǎo)?；?jiǎn)后得：eq\o\ac(○,30)設(shè)，當(dāng)A=0時(shí)，則eq\o\ac(○,31)同時(shí)，由eq\o\ac(○,30)式知B=0，此時(shí)eq\o\ac(○,32)或x=0由eq\o\ac(○,29)式知x≠0，聯(lián)立eq\o\ac(○,31)、eq\o\ac(○,32)兩式解得這三值都不合eq\o\ac(○,29)式，也不符所設(shè)條件由上述分析：從可知其逆否命題成立。由此可知A不可能為0，又x不可能為0，因此，（VII）即當(dāng)θ取某個(gè)值θ1時(shí)，（VII）式成立，則，此時(shí)相應(yīng)的x是極值，設(shè)（VII）式左邊為C1（θ），θ為變量，則有在上式括號(hào)中，固定mg，設(shè)kv0為變量，括號(hào)式對(duì)kv0求導(dǎo)，可知其為增函數(shù)，又kv0=0時(shí)，，又由mg的任意性可知恒大于0。化簡(jiǎn)得當(dāng)時(shí)，恒大于0，所以=0只有一個(gè)解，即θ1。且知這運(yùn)動(dòng)一定有最遠(yuǎn)水平射程，∴與θ1對(duì)應(yīng)的為最遠(yuǎn)水平射程。（5）最后，通過(guò)代入一組簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算。在開始的問(wèn)題中，取m=5kg,g=10m/s2,h=1000m,θ0=0,v0=100m/s,k=0.1N·s/m，求水平射程。解：將相應(yīng)的數(shù)據(jù)代入eq\o\ac(○,29)式中化簡(jiǎn)后得：eq\o\ac(○,33)在eq\o\ac(○,33)式中可用計(jì)算器一一取值，求得左邊式子的值，最后得出較精確值。在這里給出另一種途徑：設(shè)將它按泰勒級(jí)數(shù)展開[2]，得：取前四項(xiàng)得：則eq\o\ac(○,33)式左邊的近似式為取x=1300，得200–169–29.293–5.7122≈–4<0取x=1290，得∴eq\o\ac(○,33)式的解x≈1290取x=1285，得=1.133424>0雖然1.133424>|-0.57098|，但因?yàn)閑q\o\ac(○,33)式右端省略了高次項(xiàng)，這些項(xiàng)都為負(fù)值，第五項(xiàng)在略去項(xiàng)中貢獻(xiàn)最大。在第五項(xiàng)中近似代入x=1300，則這一項(xiàng)等于-1.188，則|1.133424-1.188|<|-0.57098-1.188|，所以其實(shí)x=1285比x=1290更精確，且結(jié)果誤差為|1.133424-1.188|<0.06，因此最后取水平射程x≈1285。若上述數(shù)據(jù)代入eq\o\ac(○,26)式中，令y=0，則有兩結(jié)果相差約129上面只對(duì)（I）式進(jìn)行了運(yùn)用計(jì)算，其它各式也可作類似的計(jì)算，上述7個(gè)一般方程可應(yīng)用于實(shí)