2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)核心考點(diǎn)全題型突破（新教材新高考）第06講 第七章章節(jié)綜合檢測（解析版）

第06講第七章立體幾何與空間向量綜合檢測本試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈九中?？茧A段練習(xí)）已知一個(gè)圓臺的上、下底面半徑分別為2，4，它的母線長為8，則這個(gè)圓臺的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)閳A臺的上、下底面半徑分別為2，4，它的母線長為8，所以這個(gè)圓臺的側(cè)面積為，故選：B2．（2023春·山東濟(jì)寧·高一統(tǒng)考期末）若水平放置的平面四邊形按斜二測畫法得到如圖所示的直觀圖，其中，，，，則原四邊形的邊的長度為（

）

A．2 B． C．3 D．4【答案】C【詳解】由斜二測畫法的直觀圖知：，，，，，

原圖形中，，，，，，,故選：C3．（2023春·北京東城·高一北京二中?？茧A段練習(xí)）經(jīng)緯度是經(jīng)度與緯度的合稱，它們組成一個(gè)坐標(biāo)系統(tǒng)，稱為地理坐標(biāo)系統(tǒng)，它是利用三維空間的球面來定義地球上的空間的球面坐標(biāo)系.能夠標(biāo)示地球上任何一個(gè)位置，其中緯度是地球重力方向上的鉛垂線與赤道平面所成的線面角.如世界最高峰珠穆朗瑪峰就處在北緯30°，若將地球看成近似球體，其半徑約為，則北緯30°緯線的長為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】按照緯線的垂直方向，作圖如下，為所求緯線圈的直徑，過圓心作的垂線，垂足為，連接，在直角三角形中，，則北緯緯線的長為．故選：A．

4．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知平面α內(nèi)兩向量，且.若為平面α的法向量，則m，n的值分別為（）A．-1，2 B．1，-2C．1，2 D．-1，-2【答案】A【詳解】，由為平面α的法向量，得,即解得故選：A.5．（2023春·貴州遵義·高一統(tǒng)考期末）已知長方體中，，，，則直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】連接，，如圖所示，因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，則或其補(bǔ)角即為直線與直線所成的角，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以，在中，由余弦定理可得，即直線與直線所成角的余弦值為．故選：C．6．（2023春·江蘇徐州·高二徐州高級中學(xué)?？计谥校┰谄叫辛骟w中，是線段上一點(diǎn)，且，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)槭蔷€段上一點(diǎn)，且,所以，所以,又，所以，又因?yàn)?所以，所以，化簡得：.故選：B

7．（2023春·遼寧·高一遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖所示，在直三棱柱中，棱柱的側(cè)面均為矩形，，，，是線段上的一動點(diǎn)，則最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【詳解】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，

設(shè)點(diǎn)的新位置為，連接，則有，如圖，

當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，則即為的最小值.在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即,在中，，，由勾股定理可得：,且.

同理可求：，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，所以在中?,由余弦定理得：.故選：B.8．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）如圖，正方體的棱長為2，線段上有兩個(gè)動點(diǎn)E，F(xiàn)（E在F的左邊），且.下列說法正確的是（

）A．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動時(shí)，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得B．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動時(shí)，存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得C．當(dāng)E運(yùn)動時(shí)，二面角的最小值為D．當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動時(shí)，二面角的余弦值為定值【答案】C【詳解】對于A，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，由于，設(shè)，則，則，所以當(dāng)E，F(xiàn)運(yùn)動時(shí)，故存在點(diǎn)E，F(xiàn)使得，A錯(cuò)誤；對于B，若，則四點(diǎn)共面，與與是異面直線矛盾，B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)平面的法向量為，又，故，令，則，平面的法向量可取為，故，因?yàn)?，且函?shù)在上單調(diào)遞降，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取到最大值，設(shè)二面角的平面角為，則最大值為，即二面角的最小值為，C正確；對于D，連接，平面即為平面,平面即為平面,平面的法向量可取為,設(shè)平面的法向量為，又，故，令，則，故，由圖知二面角為銳角，則二面角的余弦值為定值，D錯(cuò)誤，故選：C二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9．（2023春·山東青島·高一?？计谀┮阎?，是兩個(gè)不重合的平面，，是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（

）A．若，，，則B．若，，則C．若，則D．若，，則與所成的角和與所成的角相等【答案】BD【詳解】對于A，根據(jù)已知條件，可得如下圖的反例：

故A錯(cuò)誤；對于B，若，則垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，又，由等角定理可知，，故B正確；對于C，根據(jù)已知條件，可得如下圖的反例，n在面α內(nèi)：

故C錯(cuò)誤；對于D，若，，根據(jù)等角定理以及線面角的定義可知，與所成的角和與所成的角相等，故D正確.故選：BD.10．（2023春·廣東廣州·高一廣州市第一一三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體中，，點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，點(diǎn)N為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與為異面直線 B．C．直線與平面所成角為 D．三棱錐的體積為【答案】AB【詳解】對A，由圖可得，共面，且不在平面內(nèi)，則與為異面直線,故A正確；對B，由正方體性質(zhì)可得平面，又平面，故,故B正確；對C，由平面可得直線與平面所成角為，又，則，故，故，故C錯(cuò)誤；對D，，故D錯(cuò)誤.故選：AB11．（2023春·山東濰坊·高一校聯(lián)考期中）小說《三體》中的“水滴”是三體文明派往太陽系的探測器，由強(qiáng)相互作用力材料制成，被形容為“像一滴圣母的眼淚”.小明是《三體》的忠實(shí)讀者，他利用幾何作圖軟件畫出了他心目中水滴的軸截面（如圖），該水滴軸截面由線段AB，AC和優(yōu)弧BC圍成，設(shè)優(yōu)弧BC所在圓的圓心為O，半徑為R，其中，AB，AC與圓弧相切，已知水滴軸截面的水平寬度與豎直高度之比為，則（

）

A．優(yōu)弧BC的長度 B．C． D．“水滴”的軸截面的面積為【答案】BCD【詳解】

連接，因?yàn)樗屋S截面的水平寬度與豎直高度之比為，水平寬度為，豎直高度為，所以，所以，故B正確，因?yàn)锳B，AC與圓弧相切，所以，在中，，，，所以可得，故C正確，所以優(yōu)弧BC的長度，故A錯(cuò)誤，“水滴”的軸截面的面積為，故D正確，故選：BCD12．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，正方體中，M，N，Q分別是AD，，的中點(diǎn)，，則下列說法正確的是（

）A．若，則平面MPNB．若，則平面MPNC．若平面MPQ，則D．若，則平面MPN截正方體所得的截面是五邊形【答案】ACD【詳解】對于A,連接,在正方體中，可知，當(dāng)時(shí)，是的中點(diǎn)，則,所以，由于平面,平面,所以平面MPN，故A正確，對于B,當(dāng)時(shí)，與點(diǎn)重合，連接交于點(diǎn),連接,若平面MPN,則平面,且平面平面,則，由于是的中點(diǎn)，則為中點(diǎn)，這顯然不符合要求，故B錯(cuò)誤，對于C,若平面MPQ，則,由于平面平面,又,平面,所以平面,平面,則,顯然與平面不垂直，故,則,由于為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，故，C正確，對于D，取中點(diǎn),在上取點(diǎn),使得，在棱取,使得，在棱上取由于分別為的中點(diǎn)，所以,同理連接即可得到截面多邊形，故D正確，故選：ACD三、填空題：（本題共4小題，每小題5分，共20分，其中第16題第一空2分，第二空3分.）13．（2023秋·高一單元測試），若，則．【答案】-4【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，解得，故答案為?414．（2023·四川綿陽·綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）在邊長為2的正方形中，分別為線段，的中點(diǎn)，連接，將分別沿折起，使三點(diǎn)重合，得到三棱錐，則該三棱錐外接球的表面積為.

【答案】【詳解】由題意可知兩兩垂直，且，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，如圖所示，則長方體的體對角線就是三棱錐的外接球的直徑，設(shè)外接球的半徑為，，得，所以三棱錐外接球的表面積為，故答案為：

15．（2023春·陜西西安·高一西安市鐵一中學(xué)?？计谀┮阎襟w的棱長為2，若，分別是，的中點(diǎn)，作出過，，三點(diǎn)的截面，則這截面的周長為.

【答案】【詳解】連接，因?yàn)槠矫?/平面，所以截面與兩平面的交線平行，過點(diǎn)N作//交于點(diǎn)，連接，同理過點(diǎn)作//交于，連接，則五邊形即為所求截面，設(shè)BM與NE交于點(diǎn)P，BF與NE交于點(diǎn)Q，因?yàn)?/，M是的中點(diǎn)，所以，可得，因?yàn)?，所以，所以，可得，因?yàn)?/，所以，所以，所以，，所以這截面五邊形BMENF的周長為.故答案為：.

16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在長方體中，，線段有一動點(diǎn)G，過CG作平行于的平面交BD與點(diǎn)F.（1）當(dāng)G是的中點(diǎn)時(shí)，直線BD與平面CGF所成角的余弦值為；（2）當(dāng)直線BD與平面CGF所成角最大時(shí)，此時(shí).【答案】/0.6/0.2【詳解】設(shè)，以D為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，因?yàn)槠矫鍯GF，又平面，平面，平面與平面CGF相交于，所以，所以平面，當(dāng)G是的中點(diǎn)時(shí)，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線BD與平面CGF所成角，此時(shí)，則，所以；當(dāng)G不是的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，有最大值1，此時(shí)，所以.故答案為：；四、解答題（本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）17．（2023春·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？计谀┤鐖D，為平面外一點(diǎn)，底面，四邊形是矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上移動．

(1)當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，求證：平面；(2)求證：無論點(diǎn)在邊的何處，都有．【答案】(1)詳見解析.(2)詳見解析.【詳解】（1）點(diǎn)是的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，可得，又平面平面平面.（2）點(diǎn)是的中點(diǎn),又底面，平面,,又四邊形是矩形，又平面平面,又平面又平面,無論點(diǎn)在邊的何處，都有.18．（2023春·貴州黔東南·高二統(tǒng)考期末）在四棱錐中，底面是矩形，分別是棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面；(2)若平面，且，，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)題意，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，為的中點(diǎn)，所以且

所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，顯然二面角為銳二面角，設(shè)其平面角為，則，所以二面角的余弦值為.19．（2023春·北京房山·高一統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點(diǎn).

(1)求證：；(2)求證：平面平面；(3)在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面?若存在，求的值；若不存在，請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)存在，且，理由見解析【詳解】（1）因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又底面為矩形，所以，所以.（2）底面為矩形，．平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，．又，，、平面，平面，而平面，平面平面；（3）存在，且，理由如下：連接、，，連接，因?yàn)槭蔷匦?，且為的中點(diǎn)，所以，所以，又平面，平面平面，平面，所以，所以.

20．（2023春·黑龍江大慶·高二大慶市第二十三中學(xué)?？计谀┤鐖D，在正方體中，E是棱上的點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)C，不重合）．

(1)在圖中作出平面與平面ABCD的交線，并說明理由；(2)若正方體的棱長為1，平面與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為，求線段CE的長．【答案】(1)答案見解析(2)【詳解】（1）

如圖1，分別延長，交于點(diǎn)，連接，則即為所求交線.因?yàn)椋矫?，平面，所以，平面，平?又平面，平面，所以平面，平面，所以，平面平面.（2）

如圖2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，.則，，，，所以，，，.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，平面，所以即為平面的一個(gè)法向量.設(shè)是平面的一個(gè)法向量，所以，，即，令，則，，所以，是平面的一個(gè)法向量.由已知可得，，即，即，整理可得，，解得或（舍去），所以，，即.21．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面是邊長為的正三角形，平面平面，．

(1)求證：平行四邊形為矩形；(2)若為側(cè)棱的中點(diǎn)，且平面與平面所成角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）取中點(diǎn)，連接，為正三角形，則，面面，面面，面，則面，

面，故，又，面，，所以面，面，故，則平行四邊形為矩形.（2）如下圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，所以，，

設(shè)面的法向量為，則，令，則，設(shè)面的法向量為，則，令，則，由，解得，則面的法向量為，，點(diǎn)到平面的距離.22．（2023·廣西南寧·統(tǒng)考一模）如圖1，平面圖形是一個(gè)直角梯形，其中，是上一點(diǎn)，且.將沿著折起使得平面平面，連接，分別是的中點(diǎn)，如圖2.(1)證明：在圖2中四點(diǎn)共面，