新教材2025版高中數學第四章數列4.3等比數列4.3.1等比數列的概念第1課時等比數列的概念和通項公式學生用書新人教A版選擇性必修第二冊VIP

第1課時等比數列的概念和通項公式【課標解讀】1.理解等比數列及等比中項的概念．2．駕馭等比數列的通項公式．3．了解等比數列與指數函數的關系．新知初探·課前預習——突出基礎性【教材要點】要點一等比數列的概念(1)文字語言：一般地，假如一個數列從第________項起，每一項與它的前一項的比都等于________常數，那么這個數列叫做等比數列?，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母________表示．(2)符號語言：an+1an＝q?(q為常數，n∈批注?比是有依次的，不能有0項！批注?公比q是除0之外的隨意實數，當q＝1時，此時為常數列，也是等差數列．要點二等比中項在兩個數a，b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，則G稱為a與b的等比中項．?.批注?只有當a、b同號時a、b才有等比中項，并且有兩個等比中項，分別是ab與－ab；當a，b異號時沒有等比中項．要點三等比數列的通項公式(1)已知等比數列{an}的首項為a1，公比為q(q≠0)，則數列{an}的通項公式為an＝________．(2)等比數列通項公式的推廣：an＝amqn－m?，變形得qn－m＝an批注?等比數列的隨意一項都可以由該數列的某一項和公比表示．要點四等比數列與指數函數的關系等比數列的通項公式可整理為an＝a1q·qn，而y＝a1q·qx(q≠1)是一個不為0的常數a1q與指數函數qx的乘積，從圖象上看，表示數列a1q【夯實雙基】1．推斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)等比數列中不存在數值為0的項．()(2)常數列a，a，a，a，…肯定是等比數列．()(3)若數列{an}的通項公式是an＝cqn(c，q∈R，c≠0，q≠0)，則{an}肯定是等比數列．()(4)任何兩個實數都有等比中項．()2．下列數列是等比數列的是()A．3，9，15，21，27 B．1，1.1，1.21，1.331，1.464C．13，3．2＋3和2－3的等比中項是()A．1B．－1C．±1D．24．在等比數列{an}中，a1＝32，公比q＝－12，則a6題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1等比數列通項公式的基本運算例1在等比數列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.[聽課記錄]【方法總結】等比數列中求a1和q的2種常用方法鞏固訓練1(1)[2024·山東安丘高二期中]已知等比數列{an}中，a2＝3，a3＝9，則a5＝()A．27 B．36C．54 D．81(2)[2024·河北宣化一中高二期末]若等比數列{an}滿意a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，則數列{an}的公比為()A．－2 B．2C．－3 D．3題型2等比中項的應用例2(1)已知等比數列的前3項依次為x，2x＋2，3x＋3，求實數x的值；(2)已知等比數列{an}，a2a3a4＝64，a3＋a6＝36，求a2和a6的等比中項．[聽課記錄]【方法總結】等比中項應用的三點提示鞏固訓練2(1)若1，a，3成等差數列，1，b，4成等比數列，則abA．±12 B．C．1 D．±1(2)假如－1，a，b，c，－9成等比數列，那么b＝________，ac＝________．題型3敏捷設元求解等比數列問題例3(1)有四個數成等比數列，將這四個數分別減去1，1，4，13成等差數列，則這四個數的和是________．(2)有四個實數，前三個數成等比數列，且它們的乘積為216，后三個數成等差數列，且它們的和為12，求這四個數．[聽課記錄]【方法總結】幾個數成等比數列的設法1．三個數成等比數列設為aq，a，aq推廣到一般：奇數個數成等比數列設為…，aq2，aq，a，2．四個符號相同的數成等比數列設為aq3，aq，推廣到一般：偶數個符號相同的數成等比數列設為…，aq5，aq3，aq3．四個數成等比數列，不能確定它們的符號是否相同時，可設為a，aq，aq2，aq3.鞏固訓練3在2和20之間插入兩個數，使前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，則插入的兩個數的和為()A．－4或352 B．4或C．4 D．354．3等比數列4．3.1等比數列的概念第1課時等比數列的概念和通項公式新知初探·課前預習[教材要點]要點一2同一個q(q≠0)要點三a1qn－1[夯實雙基]1．(1)√(2)×(3)√(4)×2．解析：A、B、C均不滿意定義中an+1an＝q答案：D3．解析：設2＋3和2－3的等比中項為a，則a2＝(2＋3)(2－3)＝1.即a＝±1.故選C.答案：C4．解析：因為等比數列{an}中，a1＝32，公比q＝－12所以a6＝a1·q5＝32×(－12)5答案：－1題型探究·課堂解透例1解析：設首項為a1，公比為q.(1)方法一：因為a4=由②①得q3＝4，從而q＝34，而a1q于是a1＝2q3＝12，所以an＝a1qn－1方法二：因為a7＝a4q3，所以q3＝4，q＝34所以an＝a4qn－4＝2·(34)n－4＝2(2)方法一：因為a由④③得q＝12，從而a又an＝1，∴32×(12)n－1即26－n＝20，所以n＝6.方法二：因為a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝12由a1q＋a1q4＝18，知a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，知n＝6.鞏固訓練1解析：(1)公比q＝a3a2＝93＝3，∴a5＝a3·q故選D.(2)設等比數列{an}的公比為q，因為a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，所以a1所以a11+qa1q故選D.答案：(1)D(2)D例2解析：(1)因為等比數列的前3項依次為x，2x＋2，3x＋3，所以x(3x＋3)＝(2x＋2)2，解得x＝－1或x＝－4.又因為當x＝－1時，2x＋2＝3x＋3＝0不合題意，所以實數x的值為－4.(2)因為{an}是等比數列，所以a3是a2和a4的等比中項，即a32＝a2a4，所以a33＝64，解得a3設{an}的公比為q，則a1q2=4，a1q5=32設a2和a6的等比中項為G，則G2＝a2a6＝64，所以G＝±8.鞏固訓練2解析：(1)∵1，a，3成等差數列，∴a＝1+32∵1，b，4成等比數列，∴b2＝1×4，b＝±2，∴ab＝2故選D.(2)因為b是－1，－9的等比中項，所以b2＝9，b＝±3.又等比數列奇數項符號相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中項，故b2＝ac，即ac＝9.答案：(1)D(2)－39例3解析：(1)設這四個數分別為a，aq，aq2，aq3，則a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差數列．即2整理得aq-12=3因此這四個數分別是3，6，12，24，其和為45.(2)方法一：設前三個數分別為aq，a，aq，則aq·a·所以a3＝216.所以a＝6.因此前三個數為6q，6，6q由題意知第4個數為12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝23故所求的四個數為9，6，4，2.方法二：設后三個數為4－d，4，4＋d，則第一個數為14(4－d)2由題意知14(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝