天津市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第二次月考試題

天津市2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期其次次月考試題留意：本試卷包含Ⅰ、Ⅱ兩卷.第Ⅰ卷為選擇題，全部答案必需用2B鉛筆涂在答題卡中相應(yīng)的位置.第Ⅱ卷為非選擇題，全部答案必需填在答題卷的相應(yīng)位置.答案寫在試卷上均無效，不予記分.第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共9小題，共45.0分）1.已知集合，，，則集合（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用補(bǔ)集和并集的定義計(jì)算即可.【詳解】集合，，，因?yàn)椤嗉希蔬x：D．2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分別解出和的范圍，依據(jù)小范圍推大范圍的原則判定充分必要條件.【詳解】解：由，解得或，由，解得或，故由能夠推出，由不能夠推出，故“”是“”的充分不必要條件，故選：A．3.函數(shù)在的大致圖象是（）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)的奇偶性解除C、D，依據(jù)時，函數(shù)值的符號解除B，故選A.【詳解】因?yàn)?，所以，所以為上的奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故C、D不正確；當(dāng)時，，所以，故B不正確;故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)的性質(zhì)解除不正確選項(xiàng)是解題關(guān)鍵.4.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】依據(jù)定義分別推斷充分性和必要性即可.【詳解】若，則，則，反之，若，當(dāng)時，無意義，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先將已知條件化簡，再利用二倍角公式即可求解.【詳解】由可得，所以，故選：C6.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】干脆利用指數(shù)和對數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以故選：A7.已知△ABC的三邊為a，b，c，且，△ABC面積為S，且，則面積S的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)余弦定理和面積公式可求出A，然后結(jié)合基本不等式可得.【詳解】，所以，即，明顯A為銳角，，解得由，得，當(dāng)時，取等號，即.故選：C8.若，，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)，結(jié)合基本不等式即可確定P、Q、R的大小關(guān)系【詳解】由于函數(shù)在上是增函數(shù)，則由基本不等式可得因此，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，應(yīng)用函數(shù)思想構(gòu)造對數(shù)函數(shù)，并利用其單調(diào)性和基本不等式比較大小9.已知函數(shù)若方程有5個不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把方程根的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題，由方程求出的表達(dá)式，依據(jù)已知函數(shù)的解析式，結(jié)合肯定值的性質(zhì)分類探討，運(yùn)用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)椋钥隙ㄊ欠匠痰囊粋€實(shí)根，當(dāng)時，由題意可知：此時方程有四個非零實(shí)根，由，設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為：函數(shù)與函數(shù)有四個不同交點(diǎn)（交點(diǎn)不能在縱軸上），（1）當(dāng)時，，令，則，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，且，此時單調(diào)遞增，且，所以此時單調(diào)遞減，且；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，且，此時單調(diào)遞增，且，所以此時單調(diào)遞增，且；（2）當(dāng)時，，令，則，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，且，此時單調(diào)遞減，且，所以此時單調(diào)遞減，且；（3）當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，此時，因此函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)也單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，此時，因此函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)也單調(diào)遞增，因此，所以函數(shù)在時，與函數(shù)的圖象如下圖所示：依據(jù)以上的分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合圖象可知：要想函數(shù)與函數(shù)有四個不同交點(diǎn)（交點(diǎn)不能在縱軸上），只需或，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)清：本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)：1、把方程根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)問題；2、依據(jù)肯定值的性質(zhì)分類探討；3、嫻熟駕馭函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；4、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.第II卷（非選擇題）二、單空題（本大題共6小題，共30.0分）10.二項(xiàng)式的綻開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.【答案】15【解析】【分析】由該二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式即可得出.【詳解】由題意可得，通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：.11.在的綻開式中，x的系數(shù)是________．（用數(shù)字作答）【答案】10【解析】【分析】先求出綻開式的通項(xiàng)，令x的指數(shù)為1即可求出.【詳解】的綻開式通項(xiàng)為，令，解得，x系數(shù)是.故答案為：10.12.甲、乙兩人進(jìn)行象棋競賽，約定五局三勝制，假設(shè)每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局競賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得競賽的概率______________；用表示競賽決出輸贏時的總局?jǐn)?shù)，則_____________．【答案】①.②.【解析】【分析】甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得競賽，則前三局都是甲獲勝或前三局甲勝兩局乙勝一局，第四局甲勝，即可求概率；表示競賽決出輸贏的總局?jǐn)?shù)，則由題意知，利用獨(dú)立事務(wù)乘法公式及互斥事務(wù)加法公式求概率，進(jìn)而求期望即可.【詳解】由題意知：甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得競賽，則必需有三局獲勝，1、前三局都是甲獲勝：.2、前三局甲勝兩局乙勝一局，第四局甲勝：.∴甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得競賽的概率.由題意知：∴，，，∴.故答案為：，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：依據(jù)甲在4局以內(nèi)（含4局）贏得競賽的基本領(lǐng)件有{前三局都是甲獲勝，前三局甲勝兩局乙勝一局而第四局甲勝}，應(yīng)用獨(dú)立事務(wù)、互斥事務(wù)的概率求法求概率；為競賽決出輸贏的總局?jǐn)?shù)，易知，先求可能值對應(yīng)的概率再求期望.13.已知過點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】利用圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以該圓的半徑，圓心設(shè)為,設(shè)，明顯當(dāng)過點(diǎn)的直線與直線垂直時，有最小值，因?yàn)?，，所以由圓的垂徑定理可得：.故答案為：14.已知，且，則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】將所求式子進(jìn)行整理，然后利用基本不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號．故答案為：.【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時，要留意其必需滿意的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必需為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必需把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必需把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必需驗(yàn)證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最簡單發(fā)生錯誤的地方.15.在長方體中，已知，，，則三棱錐的體積為______，長方體的外接球的表面積為______．【答案】①.②.【解析】【分析】利用棱錐的體積公式可得三棱錐的體積；求出長方體的外接球的半徑，利用球的表面積公式計(jì)算即可．【詳解】三棱錐的體積為：．外接球的半徑為：，所以外接球的表面積為：．故答案為：；．三、解答題（本大題共5小題，共75.0分）16.的內(nèi)角A，B，C，的對邊分別為a，b，c，已知且.（1）求角A的大??；（2）若的周長為，求的面積；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理角化邊化簡后可得；（2）余弦定理與已知聯(lián)立可得bc的值，然后可得；（3）先由正弦定理可得的值，然后依據(jù)二倍角公式與和差公式可解.【小問1詳解】因?yàn)椋?，整理可得：，由余弦定理可得：，所以，，所以可得；【小?詳解】由三角形的周長為，a=，所以，由（1）可得，而，所以可得，可得，所以，所以△ABC的面積為；【小問3詳解】因?yàn)閎=，a=，A=π，由正弦定理可得：=，b＜a，所以B為銳角，所以，所以，，所以，即，所以．17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是直角梯形，AB⊥AD，ABCD，PC⊥底面ABCD，AB=2AD=2CD=4，PC=2a，E是PB的中點(diǎn).（1）求證：平面EAC⊥平面PBC；（2）當(dāng)a=1時，求直線PD與AE所成角的正弦值；（3）若二面角P-AC-E的余弦值為，求直線PA與平面EAC所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用線面垂直及勾股定理的逆定理得到線線垂直，進(jìn)一步可證明線面垂直，從而實(shí)現(xiàn)面面垂直；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，再求相關(guān)向量，再用夾角公式計(jì)算即可；（3）先依據(jù)條件求得，再用夾角公式計(jì)算即可.【小問1詳解】證明：PC⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴AC⊥PC．∵AB=4，AD=CD=2，AB⊥AD，ABCD，∴．∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC又BCPC=C，∴AC⊥平面PBC．∵AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．【小問2詳解】如圖，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，過點(diǎn)C作的平行線為x軸，分別y軸、z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則P（0，0，2），B（2，，0），A（2，2，0），E（1，，1），,所以，設(shè)直線PD與AE所成角為θ，則，又因?yàn)?，所以，故直線PD與AE所成角的正弦值為，【小問3詳解】結(jié)合（2）所建立的直角坐標(biāo)系，則C（0，0，0），A（2，2，0），B（2，-2，0），設(shè)P（0，0，2a）（a＞0），則E，取，則為面PAC的法向量．設(shè)為面EAC的法向量，則，即，取，則，依題意，，則．于是．設(shè)直線PA與平面EAC所成角為，則，即直線PA與平面EAC所成角的正弦值為．18.設(shè)是等差數(shù)列，是各項(xiàng)都為正整數(shù)的等比數(shù)列，且，，，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{dn}滿意，，且，試求的通項(xiàng)公式；（3）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）（3）.【解析】【分析】（1）通過已知條件運(yùn)用基本量法求得，的通項(xiàng)公式即可；（2）通過已知條件求得，探討為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種狀況下的通項(xiàng)公式；（3）由已知條件求得通項(xiàng)公式，分為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種狀況分別運(yùn)用錯位相減法和裂項(xiàng)相消法求和并相加求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【小問1詳解】設(shè)的公差為，的公比為，則依題意有，因?yàn)?，，，所以，解得或．由于是各?xiàng)都為正整數(shù)的等比數(shù)列，所以.所以，.所以的通項(xiàng)公式為，的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所以，，兩式相除：，由，，?所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以當(dāng)為奇數(shù)時，，當(dāng)為偶數(shù)時，所以的通項(xiàng)公式.【小問3詳解】因?yàn)?，所以?dāng)n為奇數(shù)時，，錯位相減得，當(dāng)n為偶數(shù)時，，裂項(xiàng)相消得，∴．19.已知橢圓（a＞b＞0）過點(diǎn)，點(diǎn)A為橢圓的右頂點(diǎn)，點(diǎn)B為橢圓的下頂點(diǎn)，且|OA|=2|OB|．（1）求橢圓的方程；（2）過點(diǎn)A的直線l1與橢圓交于另一點(diǎn)M，過點(diǎn)B的直線l2與橢圓交于另一點(diǎn)N，直線l1與l2的斜率的乘積為，M，N關(guān)于y軸對稱，求直線l1的斜率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由|OA|=2|OB|可得a=2b，由橢圓（a＞b＞0）過點(diǎn)可得，解方程求，由此可得橢圓方程，(2)設(shè)直線l1的方程為y=k（x-6）,聯(lián)立方程組求M的坐標(biāo)，由條件求出直線l2的方程，聯(lián)立方程組求N，依據(jù)M，N關(guān)于y軸對稱，列方程求.【小問1詳解】因?yàn)閨OA|=2|OB|，即a=2b，又橢圓過點(diǎn)，所以，解得a=6，b=3，橢圓方程為．【小問2詳解】設(shè)直線l1的方程為y=k（x-6），則得（1+4k2）x2-48k2x+144k2-36=0，解得x1=6，，所以．因?yàn)橹本€l1，l2的斜率乘積為，所以直線l2的方程為，同理可得，因?yàn)镸，N關(guān)于y軸對稱，所以，即4k2-4k-1=0，解得．所以直線l1斜率為．20已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時，若關(guān)于的方程有唯一實(shí)數(shù)解，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，，且不等式恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）或；（3）.【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得在點(diǎn)的切線方程；（2）原方程等價于，對求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)區(qū)間,可知當(dāng)時，；當(dāng)時，,結(jié)合單調(diào)性可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）對函數(shù)求導(dǎo)，可得，恒成立恒成立，將用替換，并構(gòu)造函數(shù)，對求導(dǎo)可求得函數(shù)在上的最小值，即可知道實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時，有,，,過點(diǎn)的切線方程為，即.（2）當(dāng)時，有，其定義域?yàn)椋瑥亩匠?可化為，令，則，由