初中數(shù)學(xué)向量的線(xiàn)性運(yùn)算強(qiáng)化練習(xí)

初中數(shù)學(xué)向量的線(xiàn)性運(yùn)算強(qiáng)化練習(xí)

學(xué)校:姓名：班級(jí):考號(hào)：

一、單選題

1.如果麗=麗，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A.|fiV|=|FM|B.同7與麗是相等向量

C.麗與麗是相反向量D.而與麗是平行向量

2.已知￡=2坂，那么下列判斷錯(cuò)誤的是（）

_-1-__

A.a-2^=0B.b=—aC.\a|-2|/j|D.a//b

3.已知非零向量入B和入下列條件中，不能判定￡|田的是（）

A.a=-2bB.a=c>b=3c

C.a+2b-c>a-b=-cD.卜卜2代

4.已知￡=7萬(wàn)，下列說(shuō)法中不正確的是（）

A.a-7b=0B.“與.方向相同C.a//bD.p/|=7|fe|

5.已知一個(gè)單位向量工，設(shè)￡、B是非零向量，那么下列等式中一定正確的是

（）

A.[e\a=aB.印」

6.下列正確的有（）

①卜司=桐

②￡為單位向量，則加明?4

③平面內(nèi)向量￡、入總存在實(shí)數(shù)m使得向量2=，癡

④若2=3+3，乃〃4,7r//a2,則3、[就是￡在囚、四方向上的分向量

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

7.如果向量a與向量b方向相反，且3同=|同，那么向量a用向量b表示為

（）

___1__1-

A.a=3bB.a=—3bC.@=]bD.G=-1b

8.在梯形ABCD中，AD〃BC,AB=CD,那么下列結(jié)論中正確的是（）.

A.而與方心是相等向量；B.其己與豆^是相等向量；

c.而與3A是相反向量;D.而與弓后是平行向量.

二、填空題

9.如圖，將而和而放置在3x3的正方形網(wǎng)格中，A、B、C、D、P、。均在格點(diǎn)

上，設(shè)前=2，AD^b，那么向量而=—(用向量入B來(lái)表示).

10.在平行四邊形ABCD中，而=反=(1,1),嵩明+焉8C=i^BO,則四邊

o/if>CoZJ

形ABCD的面積是.

--1-

11.計(jì)算：4。+3(?！猦)=.

3

12.如圖，已知平行四邊形ABCD,E是邊BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DE并延長(zhǎng)，與AB的延

長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F.設(shè)次二￡,覺(jué)=B那么向量而用向量入分表示為.

13.我們規(guī)定：若〃=(%,)，］)1=?,%)，則〃?h=為工2+.%%?例如〃=(1,3),〃=(2,4)，

則。=1x2+3x4=2+12=14,已知。=(x+l,x-l),b=(工一3,4)，且一2領(lǐng)k3,則

的最大值是.

14.如圖，在△4?C中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，設(shè)而=￡,AC=b，用1、囚的線(xiàn)

性組合表示而是.

C

D

A'B

15.對(duì)于0有35-d=6,請(qǐng)用含；的式子表示立+^=.

16.計(jì)算：2（3a+2b]-5a=.

三、解答題

17.如圖，點(diǎn)E、5在平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)BO上，且EB=Z）尸.

（1）填空：BC+BA=;BA+AF=;BC-AF=?

（2）求作:BC+AF.

18.已知：如圖，AA5C中，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)，且AD：DC=2：1.

⑴設(shè)麗：=&BC=^,先化簡(jiǎn)，再求作：（?a+b）-（2a+^b）（直接作在圖中）;

（2）用￡+3（x、y為實(shí)數(shù)）的形式表示前.

19.如圖，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O.E為OC的中點(diǎn),

連接BE并延長(zhǎng)，交邊CD于點(diǎn)F,設(shè)麗=@,BC=b.

BC

（1）填空：向量通=；

（2）填空：向量而=,并在圖中畫(huà)出向量而在向量明和近方向上的

分向量.

（注：本題結(jié)果用含向量2、B的式子表示，畫(huà)圖不要求寫(xiě)作法，但要指出所作圖中

表示結(jié)論的向量）

20.如圖，E是平行四邊形ABC。的邊8A延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，CE交AD于點(diǎn)尸，交BD

于點(diǎn)G,AE：AB=1：3,設(shè)麗=￡,BC=b.

(1)用向量2、B分別表示下列向量：

-IICUU

AE=，EC=，EG=：

(2)在圖中求作向量的分別在2、各方向上的分向量.(不寫(xiě)作法，但要寫(xiě)出畫(huà)圖結(jié)

果)

21.如圖，已知在梯形ABC。中，AB//CD,AB=[2,CZ)=7,點(diǎn)E在邊A￡＞上,

DF2

隼=：,過(guò)點(diǎn)E作EF//AB交邊BC于點(diǎn)F.

AE3

(1)求線(xiàn)段所的長(zhǎng)；

7

(2)設(shè)A3=Q，AD=b＞聯(lián)結(jié)AF,請(qǐng)用向量〃，坂表不向量A/.

22.已知向量關(guān)系式試用向量入B表示向量X

參考答案:

I.B

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件可以判定四邊形EMN尸是平行四邊形，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)和相等向量、

平行向量的定義作出判斷.

【詳解】

解：EF=MN,

:.\EF\=^MN\,EFIIMN.

，四邊形EMNF是平行四邊形.

A、當(dāng)平行四邊形尸是矩形時(shí)，該結(jié)論才成立，故不符合題意.

B、由四邊形&WNF是平行四邊形得到：EM=FN,且EM//FN,則?0與麗是相等向

量，故符合題意.

C、如圖所示，而與而不是相反向量，故不符合題意.

D、如圖所示，麗與后不是平行向量，故不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意判定四邊形后〃可尸是平行四邊形.

2.A

【解析】

【分析】

根據(jù)平行向量以及模的定義的知識(shí)求解即可求得答案.

【詳解】

解：A、由。=必知，a-2b=0,符合題意；

B、由a=2b知，6=呆,不符合題意；

C、由1=25知，\a\=2\b\,不符合題意；

答案第1頁(yè)，共13頁(yè)

D、由々=25知，1//5,不符合題意.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又有方向.

3.D

【解析】

【分析】

根據(jù)平行向量的定義，符號(hào)相同或相反的向量叫做平行向量對(duì)各選項(xiàng)分析判斷利用排除法

求

【詳解】

A、a=-2b，兩個(gè)向量方向相反，互相平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、a=c＞B=3C.則〃人故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、由已知條件知2)=-1，-3a=c＞則￡〃加〃)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、同=2忖只知道兩向量模的數(shù)量關(guān)系，但是方向不一定相同或相反，￡與各不一定平

行，故本選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量，主要是對(duì)平行向量的考查，熟記概念是解題的關(guān)鍵.

4.A

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的定理逐一判斷即可.

【詳解】

解：A.a=1b

7歸=6，故選項(xiàng)A不正確，符合題意；

B.￡與萬(wàn)方向相同，正確，不符合題意；

C.a//b＞正確，不符合題意；

。.同=7忖，正確，不符合題意；

答案第2頁(yè)，共13頁(yè)

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的定理，熟練掌握平面向量的基本定理是解題的關(guān)鍵.

5.A

【解析】

【分析】

由工是一個(gè)單位向量，可得口=1,即可判斷A；根據(jù)題目并沒(méi)有告訴￡、另的長(zhǎng)度和方向,

即可判斷B、C、D.

【詳解】

解：?.屋是一個(gè)單位向量，

/.p|=l,

p|?=?,故A選項(xiàng)符合題意；

B、題目并沒(méi)有告訴行的長(zhǎng)度和方向，無(wú)法推出收；=上故B選項(xiàng)不符合題意；

c、題目并沒(méi)有告訴B的長(zhǎng)度和方向，無(wú)法推出力弓=",故C選項(xiàng)不符合題意；

1r1r

D、題目并沒(méi)有告訴￡、B的長(zhǎng)度和方向，無(wú)法推出口”=閃方，故D選項(xiàng)不符合題意；

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量，熟知平面向量的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.A

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的有關(guān)知識(shí)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】

解：①|(zhì)后卜網(wǎng)同，錯(cuò)誤

②二為單位向量，貝加=|年工或石=_忖苞,錯(cuò)誤，

③平面內(nèi)向量2、入總存在實(shí)數(shù)4使得向量2=，癡，只有￡、"共線(xiàn)時(shí)才成立，說(shuō)法錯(cuò)

答案第3頁(yè)，共13頁(yè)

誤，

④而、3也可能是公在I、％反方向上的分向量，說(shuō)法錯(cuò)誤

故選A

【點(diǎn)睛】

此題考查了平面向量的基本知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的基本知識(shí).

7.D

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的表示方法直接解答即可

【詳解】

解：向量a與向量b方向相反，且3同=同，那么向量a用向量b表示為］=-：5

故選D

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的表示方法，理解洞明是解題的關(guān)鍵.

8.D

【解析】

【分析】

根據(jù)相等向量、相反向量、平行向量的定義解答即可.

【詳解】

解：A、AB=CD,但AB不平行于CD,而聲反，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、AD//BC,AB=CD,AC=BD,但AC不平行于BD,或豐麗,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、AD//BC,而與而不一定是相反向量，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、AD//BC,而與心后是平行向量，故本選項(xiàng)正確.

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的相關(guān)知識(shí)，掌握相等向量、相反向量、平行向量的定義是解答本題

的關(guān)鍵.

答案第4頁(yè)，共13頁(yè)

【解析】

【分析】

由題意直接根據(jù)平面向量的加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可求出答案.

【詳解】

______1__2__12

解：VPQ=PE+EQ=--AB+-AD=--a+-b.

1_?-

故答案為：

33

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用平行向量的加減運(yùn)法則，本題屬于基礎(chǔ)題型.

10.6

【解析】

【分析】

先由白加+七80=熹8），可知平行四邊形ABCD的角平分線(xiàn)BD平分/ABC,四

\BA\\BC\\BD\

邊形ABCD是菱形，其邊長(zhǎng)為近，且對(duì)角線(xiàn)BD等于邊長(zhǎng)的6倍，然后根據(jù)30。角所對(duì)

應(yīng)的直角邊是斜邊的一半，可得到/ABD=60。，求得三角形的面積.

【詳解】

解.：i，J__I,麗+1".i=j'^^：i

吟網(wǎng)|BC||BD|

平行四邊形ABCD的角平分線(xiàn)BD平分/ABC

四邊形ABCD是菱形，其邊長(zhǎng)為近，且對(duì)角線(xiàn)BD等于邊長(zhǎng)的白倍，

ZABD=60°,

；.SABCD=（應(yīng)）x乎=6

故答案為

【點(diǎn)睛】

I,I,__

本題考查了向量與簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題相結(jié)合，通過(guò)向西+好8。=而［8方得到四邊形

BA\BC\\BD\

ABCD是平行四邊形且對(duì)角平分線(xiàn)BD平分NABC是關(guān)鍵.

答案第5頁(yè)，共13頁(yè)

ILla-b

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算法則計(jì)算即可.

【詳解】

解：4a+3(a-^b)=la-b,

故答案為：7a-h?

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的線(xiàn)性運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握相應(yīng)的運(yùn)算法則.

12.a+2b

【解析】

【詳解】

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形DBFC是平行四邊形，則DC=BF,故

AF=2AB=2DC,結(jié)合三角形法則進(jìn)行解答.

【詳解】如圖，連接BD,FC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

，DC〃AB,DC=AB,

.,.△DCE^AFBE,

又E是邊BC的中點(diǎn)，

.DEEC1

?.-----=-----=—,

EFBC1

EC=BE,即點(diǎn)E是DF的中點(diǎn)，

四邊形DBFC是平行四邊形，

.\DC=BF,故AF=2AB=2DC,

?-DF=DA+AF=DA+2DC=a+2h,

故答案是：a+2b.

答案第6頁(yè)，共13頁(yè)

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，向量運(yùn)算等，

熟練掌握相關(guān)判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

13.8

【解析】

【分析】

根據(jù)平面向量的新定義運(yùn)算法則，列出關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)最值的求法解答

即可.

【詳解】

解：根據(jù)題意知：4B=(X+1)(X-3)+4(X-1)=(X+1)2-8.

因?yàn)椤?4x43,

所以當(dāng)x=3時(shí)，a-b=(3+1)2-8=8.

即無(wú)B的最大值是8.

故答案是：8.

【點(diǎn)晴】

本題主要考查了平面向量，解題時(shí)，利用了配方法求得二次函數(shù)的最值.

1-1-

14.—a+—b

22

【解析】

【分析】

先根據(jù)向量運(yùn)算求出灰，再根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義可得而，然后根據(jù)向量運(yùn)算即可得.

【詳解】

AB=a，AC=b>

:.BC=AC-AB=b-a，

?.,點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，

答案第7頁(yè)，共13頁(yè)

:.BD=-BC=-(b-a),

22

AD=AB+BD=a+—(h-a)=—a+—h,

222

故答案為：上+與.

22

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的運(yùn)算，掌握向量的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

7T

15.—ci

3

【解析】

【分析】

根據(jù)向量的運(yùn)算法則解答.

【詳解】

T]T->-?7T7T

b=—a,所以2a+〃=2ad—a=-a,故填：—a.

3333

【點(diǎn)睛】

本題考查向量的基本運(yùn)算，難度較小.

16.a+4b##4b+a

【解析】

【分析】

先去括號(hào)，然后根據(jù)向量加減法進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

解：2{3a+2h\-5a

=6a+4b—5a>

=a+4h>

故答案為：a+4b-

【點(diǎn)睛】

題目主要考查向量加減混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.

17.(1)BD,BFrBE;(2)見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

答案第8頁(yè)，共13頁(yè)

(1)根據(jù)平行四邊形法則，即可得出答案.

(2)利用平行四邊形法則來(lái)作合向量：宓+而即可.

【詳解】

⑴BC+BA=BD,BA+AF=~BF<BC-AF=BE,

(2)：而=而,

?*-BC+AF=AD+AF，

即是根據(jù)平行四邊形法則求作而和”的合向量.

圖形如下所示：所作而即為所求.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，注意平面向量定義及平行四邊形法則的熟練學(xué)

握.

-1--1-2-

18.(1)a+—b,作圖見(jiàn)解析；(2)BD=—a+-6.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)平面向量加減混合計(jì)算的順序和法則，先化簡(jiǎn)，再作圖；

(2)首先求出恁，再根據(jù)AD：CD=2：1,求出而，根據(jù)麗=麗+而計(jì)算即可解決

問(wèn)題

【詳解】

解：(1)(3a+b)-(2a+—b)=3a+b-2a--b=a+—b；

222

如圖，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)F,使BF=；BC,連接FA,以即為所求.

Fr.

答案第9頁(yè)，共13頁(yè)

(2)VAC=BC+BA=b-aAb=-[b-d]tAD：DC=2：1,

：?AD二一AC,

3

,BD=BA+AD，

——2/-\12-

.**BD=an—(。一a)=—ctH—b.

3V'33

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量，平面向量的加法法則，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解

決問(wèn)題.

3_31_

19.(1)—b—a；(2)-a+b-作圖見(jiàn)解析

443

【解析】

【分析】

(1)先求出AE占AC得幾分之幾，然后再根據(jù)向量運(yùn)算的三角形法則計(jì)算即可；

(2)先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CF占CD得幾分之幾，然后再根據(jù)向量運(yùn)算的三角形

法則以及平行四邊形法則計(jì)算并畫(huà)圖即可.

【詳解】

解：(1)???平行四邊形ABC。中

.,.AO=OC=1AC

VOE=EC=^OC=-AC

24

1Q

:.AE=AO+OC=gAC+-AC=-AC

244

,:AC=BC-BA=b-a

/.AE=—AC=-(b-a\=-b--a；

44V744

3-3-

故答案為；

44

13

(2)VEC=-AC,AE=^AC

?EC1

??,平行四邊形MCQ

/.AB//CD

答案第10頁(yè)，共13頁(yè)

AAFCE^ABAE

.FCEC1Hn_1

ABAE33

VAB//FC

.?.無(wú)=；麗，即比=；￡

：.BF^CF+BC+=-a+b

3

故答案為：—o+b.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面向量的三角形法則、平行四邊形法則等知識(shí)，靈活運(yùn)用向量運(yùn)算的運(yùn)

算法則成為解答本題的關(guān)鍵.

14416

20.(1)-a，b~-a亍石-王Q;(2)見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

14

(1)根據(jù)即可求出恁，根據(jù)反=麗+而即可求出京,先證明EG=,

UUIU

EC,即可求出EG;

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)G作GM〃AB,GN//BC,根據(jù)平行四邊形法則即可求得答案.

【詳解】

解：(1)'''BA—a<AE—^BA,

.-----1—

??AE=-af

EC^EB+BC^麗=-§。，BC=h，

.—4-

??EC=b-§a

答案第II頁(yè)，共13頁(yè)

,:CD〃EB,

：.EG：CG=EB：8=4：3,

：.EG：EC=4：7,

.uiuu4_16-

??EG=qb--a>

14416

故答案為：-a>b~—a>~b