高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論

高考數(shù)學(xué)公式大全：集合與常用邏輯用語

1集合的0”…的子集個數(shù)共有甲個；真子集有2"T個；非空子集有2"T個。

2含有一個量詞的否定：'量詞改變，結(jié)論否定'

即趣命題的否定

VxeM.p(x)切€J/,-p(X0)

VxeM~p(x)

3x0e3/sp(^o)

3直值表：同直L'且'真，后假'或'假

pqP或qP且q非P

真真M真假

真假直假假

假真真假M(fèi)

假假假假直

4常見結(jié)論的否定形式：

原結(jié)論否定詞原結(jié)論否定詞

大于不大于至少有力個至多有（〃-1）個

都是不都是至多有“個至少有（“+D個

至少有一個一個也沒有P或qrP且->q

至多有一個至少有兩個尸且q或-《q

四種命題的相互關(guān)系：（師命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假.）

充要條件：（1）、png,則p是q的充分條件，反之，q是P的必要條件；

（2）、P=＞q＞且qT^p,則P是q的充分不必要條件；

（3）、p#＞p,且g=p,則P是q的必要不充分條件；

（4）、p聲＞p,且qp,則P是q的既不充分又不必要條件。

（5）、X鼠B,A是B的充分條件（小范圍=大范圍）

二、函數(shù)?

r三次函標(biāo)的解析式的三種形式：

（1）一般式/（x）=ax2+bx+c（a=0）；

（2）頂點式f（x）=a（x-32+MaH0）;（當(dāng)日眥儂的頂點坐標(biāo)（瓦左）時，設(shè)為此式）

（3）零點式〃x）=a（x-XiXx-毛X4HO）；（當(dāng)已失眥雌與刀軸的交點坐標(biāo)為（再，0），（孫0）時）

2函數(shù)單調(diào)性：

熠函數(shù)：X］＜巧,/（不）＜/（巧）=f（X）在x€D上是減函數(shù)。（y隨x的增大而熠大）

減函數(shù)：Xj＜x,,/（jq）＞/（x2）=f（x）在x^D上是減困數(shù)。（y隨x的增大而減小）

等價關(guān)系：

（1）設(shè)甬,均e［。*］,再h毛那么

（再一巧）［/（再）一/（巧）］＞0="三）?（&）＞o=f（x）在［。力］上是增函徼；

天一七

。一々）［〃再）-/（々）］＜0=C（x?）＜o(jì)=/（力在口”上是減醴.

再一巧

（2）設(shè)J=/（x）在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果八x）＞0,則f（x）增3如果八力＜0,則/（幻滋.

單調(diào)性性質(zhì)：（1）增函數(shù)-增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)-;就函數(shù)=減函數(shù)；（兩個函數(shù)定義域交集）

（2）熠函數(shù)-減函數(shù)=熠函數(shù)；減函數(shù)-增函數(shù)=減函數(shù),

（3）-^-,-/（X）與f（x）單調(diào)性相反，J7而與/（X）單調(diào)性相反。（有意義的前提）

/（X）

復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：）'=f［g（x）］,由）,=/1（〃）和〃=g（x）復(fù)合，同真異減。

3函數(shù)的奇偶性：（注：是勘物數(shù)的前提緩住是出域必竊壬原點理）

奇函數(shù)：在前提條件不，若有/（-X）=-/（x）°V（-x）+/（x）=0,則f（X）就是奇函數(shù)。

性質(zhì)：（1）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱；

（2）奇函數(shù)在x＞0和x＜0上具有相同的單調(diào)區(qū)間；

（3）定義在R上的奇函數(shù)，有f（0）=0.

偶函數(shù)：在前提條件下，若有f（-x）=f（x）,則f（x）就是偶函數(shù)。

性質(zhì)：（1）偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱；

（2）偶函數(shù)在x＞0和x＜0上具有相反的單調(diào)區(qū)間；

奇偶函數(shù)間的關(guān)系：

（1）奇函數(shù)?偶函數(shù)=奇函數(shù)；奇函數(shù)?奇函數(shù)=偶函數(shù)；

（2）偶奇函數(shù)?偶函數(shù)=偶函數(shù)；偶函數(shù)土偶函數(shù)=偶函數(shù)；

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,

那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù).

4函數(shù)的周期性：

定義：對函數(shù)f（x）,若存在THO,使得f（既D=f（x）=T是f（x）的一個周期。

周期函數(shù)幾種常見的表述形式：

(Df(x+T)=-f(x),此時周期為2T;

<2)f(殳期)=f(茨墳)，此時周期為2加一;

(3)f(x+m)=--此時周期為2m;

/(x)

(4)兩條對稱軸：x=a,x=b,此時周期為丁=2,-6|；(形如y=sinx.y=cosx)

(5)兩個對稱點：(qO),(瓦0),此時周期為T=l\a-b\i(形如y=sinx,>=cosx)

⑹一條對稱軸：一個對稱點：x=a,(6,0),此時周期為7=4卜-同；(形如p=sinxj=cosx)

5對稱性：對于回數(shù)v=/(x)(xe&),

①/(—x)=/(x)=函數(shù)/(X)關(guān)于y軸對稱

②f(-x)=-/(x)O國數(shù)f(x)關(guān)于原點對

?f(x+a)=f(b-x)=函數(shù)f(x)的對稱軸是x=三士

特別地：f(x)=f(2a-x)=函數(shù)f(x)的對稱軸是x=a

@f(x+a)=-f(b-x)Q函數(shù)/(x)關(guān)于點(亨，0)對稱

特別地：/(x)=-/(2a-x)=函數(shù)/(x)的對稱點(我)

⑤j=f(x)與y=g(x)互為反函數(shù)=v=/(x)與y=g(x)關(guān)于y=x對稱

特別地：(。力)與(仇。)關(guān)于》=》對稱

6圖像變換：

①平移變-=/(工)沿x軸方向平移。個單位長度y=f(x+a)左加右減

y=/(X)沿1軸方向平移h個單位長良y=/(x+d)上加下減

②對稱變換：1=八》與^=”-力關(guān)于｝軸對稱

V=/(X)與V=-/(X)關(guān)于X軸對稱

y=/(X)與y=-/(-X)關(guān)于原點對稱

y=/(x)與y=f(2a-x)關(guān)于x=a成軸對稱

y=f(x)與y=-f(2a-x)關(guān)于(a,0)成點對稱

③他緇頻：y=Ax)縱坐標(biāo)伸縮為原來的9倍y=Af(x)

y=〃X)橫坐標(biāo)伸縮為原來的工倍y=/(.4x)

-----------------

④翻折通：

>'=|/(x)|:作出y="x)的圖像，保留x軸上方圖像，將X軸下方圖像沿著X軸翻折上去。

尸了(國)：作出y=/(x)的圖像，保留j軸右方圖像，將其沿著關(guān)于j軸翻折到左邊，右邊極。

()=/(|力是偶醴)

分?jǐn)?shù)指數(shù)早與根式的性J^：

(1)an=y/a^(.a>Q,m,n&N',目”>1).

上11

(2)an=—-=—==(a>0.w.w6A7*,且〃>1).

(3)(病”=a.

⑷當(dāng)，訪掰婀，"“3當(dāng)”為償婀，海=團(tuán)=『"々°八.、N

［一小。<0\卜浜/

8指數(shù)式：logaN=b=a，=N(a>0：a=1：N>0).0<a^k/>y

9指數(shù)與寸鼬函數(shù)：_一邛、

指數(shù)性質(zhì)：一

mnnK

(1)1、a-p=4；(2)、a°=l(。工0)；(3)sa=(a)

ap

⑷、ara:=a~\a>0.r.5e0);⑸、a11—；

指數(shù)函數(shù)：(1)、y=，(a>l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)、y=ax(0<fl<l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)。

注：爭數(shù)觥圖就恒過點回1L

10對數(shù)與對教酗(：

對數(shù)性質(zhì)：若。>0,。工1/，>0,">0,貝1」

(1)、iogaM+logaN=\oga(AlN)；(2)、logaJf-loga.V=loga4-；產(chǎn)109/

n，:

(3)、logab=w-logaZ>)⑷、log^.b=—logab;(5)^Iqbg^j^Q^ZZ

(6)、logaa=l;(7)、a^=b?產(chǎn)1

對數(shù)的換底公式:loga.yjog*(a>0,且a#1,m>0,且也#1,*V>0).

log—

對數(shù)函數(shù)：(1)、>=loga^>l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)、>=log3x(0<a<l)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞遍函數(shù)：

注：對數(shù)觥圖象都恒過息

(3)、log3x>0<^a,x6(0:l)°Sa:x6(l:+x)

(4)slogax<0?>ae(0:l)IJ>iJxe(L-Hr)或ae(L+oo^lJxe(01l)

11幕函數(shù):基函數(shù)在第一象限的情況：

(1)所有的圖形都通過(1,1)這點，a大于0,函數(shù)過(0,0)；

(2)當(dāng)a大于0時，幕函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時，幕函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

12平均管長率的i礴(負(fù)增長時P<o)：

如果原來產(chǎn)值睡礎(chǔ)財H,平均皤長率為P,則對于時間1的總產(chǎn)值P,有丁=人9+尸)、

三、導(dǎo)教：

lf(x)在出處的魏(或變化率)：

/'&)=，二=螞於+弋一

瞬時速度：。=s'G)=lim—=lims"+&)—(/).

3。Aza-Ar

—E.../八..AvvO+Az)-vO)

瞬時加速度：a=v(r)=lim—=lim------------.

At->oAT->oA,

2函數(shù)N=f(x)在點X：處的翱的幾何意義：

醴嚴(yán)〃力在點毛處的熟是崎)=/(x)在尸(不J?))處砸嘴率/'(不)，相應(yīng)的班新

程是y-y0=f'(x^x-x^.

3幾種常見魔的導(dǎo)數(shù)：

(1)<7=0(C為翻).⑵3)'=叔T(〃eQ).(3)(sinx)'=cosx.

(4)(cosxy=-sinx.(5)(fax)r=-;0ogxy=—loge.

XaXa

⑹(e")'=e'；(a")'=a'Ina.

4導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：

，*

(1)(u±v)=u±v.(2)(uv)=〃y+〃v.(3)(—)=---：——(v0).

5復(fù)合翻(的導(dǎo)數(shù)：'V

y=fL(x)],由y=/Q)和u=g(x)復(fù)合，y=/[g(x)]=f(u)-g(x)'o

6導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用：

(1)N=/(x)在區(qū)間Iq6的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)：

在&》內(nèi)恒有f(力>0=>v=f(x)遞增

在E加內(nèi)恒有/(x)<0=y=f(x)遞減

在(。力)內(nèi)恒有/(x)=0v=f(x)是常數(shù)函數(shù)

y=〃x)在遞增=/(x)>0

y=f8在(a,方)遞J=/(x)<0

(2)判別/(f)是極大(小)值的方法：

當(dāng)函數(shù)/(x)在點X-處朝時，

(1)如果在占附近的左側(cè)/'(x)>0,右側(cè)尸(力<0,則/(%)是極大值；

<2)如果在受附近的左側(cè)f'(x)<0,右側(cè)f'(x)>0,則〃天)是極小通

7定積分的性質(zhì)：

Jkf(x}dx=kJf(x)dx

bpbpb

\f(x)±g(x)]dx=f{x)dx±S(x)dx

(2)JaJa

rbpcpb

f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx

(3)aJaJc

[f(x)dx>

(4)如果在區(qū)間[則上，f(X)20廁Ja0

8微積熠本包里：

如果f(x)是囪⑼上的朝I，并且有'尸'(x)=f(x),那么「/(x心?=尸(%)]；=尸⑸一尸⑷

9定積分的幾何意義：由連續(xù)曲線y=/(x)(/(x)之0)和x=a,x=5及j=0圍成的平面圖形

乂出必稱為曲邊梯形.

1)若/(x)40,如圖5-8所示，則面積為

s=-[V(x)^

2)把由直線尸c,尸d(c<中及兩條連續(xù)曲線產(chǎn)自3),x=g：(y)(g-.(y)(y))

所圍成的平面圖形稱為尸型圖形.V

d

一

x一蓑

-

g2

-

00

)》

X

陰影部分的面積：S=f|X（x）-工（冷汝

10定積分在物理上的應(yīng)用。

（1）變速用火以之。）時間在上引段，路程S=1v?山

*！

（2）變力F=F（x）,物體沿力的方向從a移司倒6,儂功甲=1F（x）小

四、三角函數(shù)：

1三角不等式：

(1)若xe(0，),JiJlsinx<x<tanx.

2

(2)若xw(0：令，JiJl1<sinx+cosx<^2.

(3)|sinx|+|cosx^l.

2同角三角醴融本關(guān)系式：sin^+cos^=l,tan8="

cos6

3正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限)

4和角與差角公式

sin(a±)8)=sinacos)5±cosasinJ3；cos(a±j3)=cosacosy^Tsinasin/3；

.-tana±tanB

tanz(a±￡)=---------------—.

1千tanatan(3

asina+icosa=y/a:+b2sin(a+<p)(輔助角夕所在象限由點(a/)限決定,tan(2?=-).

a

5二倍角公式及醒公式

.、、.2tana

sm2a=2sma-cosa=--------s-

1+tan*a

?2?2.21-tan"CL

cosla=cosa-sina=2cosa-l=l-2sina=--------—

1+tan'a

-2tana

tan2a=--------—.

1—tan*a

.i1-cos2a21+cos2a

sin*a=------------.cos，a=-------------

22

6三角醴的雕公式

函數(shù).1，=5m（?！?0）及幽（》=??（0》+0）血3,。為常數(shù)，目樣。）的周期T=就；

函數(shù)P=tan（0x+。）,x^k7T+-,kEZ且血）的雕T=’.

2⑷

三角函數(shù)的圖像:

=a=sin46=2RsinBzc=2RsinC

a:6:c=sinJ:sin5:sinC

(a>b=X>8=sind>sin3)

8余弦定理：

cT=b2+c'-2bccosA;

b2=c2+/-ICOQQSB；

c1=a24-i2-2abeosC.

9面積定理：

<Ds=ga%=汕二四（V%4加W；a、b、ca±粽）.

(2)S=-aisinC=-icsinA=-casinB.

222

10三角形內(nèi)焦和定理：

在△ABC中，有X+3+C=/r=C=;r-(X+3)

=C=2一=2C=2兀-2(/+3).

222

五、平面向量：

1實數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)尢、以為實數(shù)，那么：

⑴結(jié)合律：X（Ha）=（kH）a；

⑵第一分配律：（入+四）萬=入3+四3;

⑶第二分配律:X（5+6）=X5+Xi.

23與b的數(shù)量積（或內(nèi)積）：a-b=\a\\b|cos^（）

3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：

⑴設(shè)石=（不比），6=（孫川，則1+5=（巧+程達(dá)+%）一

⑵設(shè)石=（甬,M）,6=（孫必），則1“=（再-巧,%

⑶設(shè)A（a%）,B（孫心），則=OB-OA=（x1-xl,y1-y｛）.

⑷設(shè)石=（兌&R,則/a=（Ax,Ay）.

（5）設(shè)石=（甬布），6=（孫汝），則不,1=巧巧+>仍?

4求夾角：cos6=?:%一=一,一,％,：+“?。?=（毛,兇），石=（孫必））.

1。卜伊1收+才7,+因

求長度：同=7^=-jx：+三，

5平面兩點間的距離公式：

=I⑷31=?鋁=再+（?’2一/）'（A（項,川），B（孫乃））■

6共線向量定理：空間任意兩個向量萬、b（5^0）,d/亦存在刻z,使石=北。

(1)三A、B、C=AB=AAC<=>OC=xOA+yOB(其中x+y=l)

（2）與石共線的單位向量為土M

Pl

7共面向量

（1）定義：一般地，能平移到同T面內(nèi)的向撤H做共面向*說明：空間任意的兩向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果兩個向量萬石不共線，石與向量3萬共面的條件是存在實數(shù)x,y使

p=xa+ybo

(3)四回面：若A、B、C.PAP=xAB+yAC

oOP=xQ/<+jOB+zOC(其中x+「+z=1)

8向量的平行與垂直：設(shè)d=（甬,兒），8=（巧,）3）,且3工6,則：

a116<=>h=X5<=>xjv2-x,vj=0.（交叉相乘差為零）

a_b（5H6）=G-bKOXjX；+}i”=0.（對應(yīng)相乘和為零）

9線段的定比分公式：設(shè)4（再J。，R^y.）,P（xj）是線段耳巴的分點,義是實數(shù)，目肝=2屬

N+%

x=

1+A

則.EgOP=tO^+(\-t)Ofi----)

出+元也1+A

>-

1+A

1。三角形踵心坐標(biāo)公式：ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（x：,y：）、B（x”yJ、C（x”外），則麗的

重心的坐標(biāo)是不+；+專,&苫二竺）.

11三角形四“心”向量形式的充要條件：

設(shè)。為所在平面上一點，角45,C所對邊長分別為。也c,則

（1）。為4奶c的外心（外接圓的圓心，中垂線的交點）=。^3'二?《二

（2）。為A13C的重心（中線的交點，三等分點（中位線比））^>OA+OB+OC=Q.

（3）。為，必。的垂心（高的交點）=9質(zhì)=礪反=歷屆.

（4）。為，18C的內(nèi)心（內(nèi)切圓的圖口，角平分線的交點）^>aOA+bOB+cOC=0.

六、數(shù)列：

1等差數(shù)列：

（1）通項公式：（D%=4+（”一1財，其中q為首項，d為公差，n為項數(shù)

<2）4和酥繇S￡C、（注:該公趙任髭夢周蒯）

一一