高中數(shù)學(xué) 1-4計(jì)數(shù)應(yīng)用題規(guī)范訓(xùn)練 蘇教版選修2-3

1.4計(jì)數(shù)應(yīng)用題eq\a\vs4\al\co1(雙基達(dá)標(biāo)限時(shí)15分鐘)1．4名不同科目的實(shí)習(xí)教師被分配到三個(gè)班級(jí)，每班至少有一人的不同分法有________．解析將4名教師分三組，然后全排列分配到不同的班級(jí)，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．答案36種2．從2,3,4,5,6,7,8,9這8個(gè)數(shù)中任取2個(gè)不同的數(shù)分別作為一個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)和復(fù)數(shù)，則可以組成________個(gè)不同的對(duì)數(shù)值．解析Ceq\o\al(2,8)＝56，又log24＝log39，又log39＝log24，log23＝log49，log49＝log23所以可以組成52個(gè)對(duì)數(shù)值．答案523．某外商計(jì)劃在5個(gè)候選城市投資3個(gè)不同的項(xiàng)目，且在同一個(gè)城市投資的項(xiàng)目不超過2個(gè)，則該外商不同的投資方案有________．解析分兩類：第一類，每個(gè)城市只能投資一個(gè)項(xiàng)目，共有Aeq\o\al(3,5)種方案；第二類，有一個(gè)城市投資2個(gè)項(xiàng)目，共有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,4)種方案．由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有Aeq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,4)＝120(種)方案．答案1204．甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有________．解析排除法：從反面考慮：Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,4)－Ceq\o\al(2,4)＝6×6－6＝30.答案305．5名乒乓球隊(duì)員中，有2名老隊(duì)員和3名新隊(duì)員．現(xiàn)從中選出3名隊(duì)員排成1,2,3號(hào)參加團(tuán)體比賽，則入選的3名隊(duì)員中至少有1名老隊(duì)員，有1,2號(hào)中至少有1名新隊(duì)員的排法有________種(用數(shù)字作答)．解析(1)當(dāng)有1名老隊(duì)員時(shí)，其排法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝36(種)；(2)當(dāng)有2名老隊(duì)員時(shí)，其排法有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,2)＝12(種)，∴共有36＋12＝48(種)．答案486．某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，其中(1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？(2)甲、乙均不能參加，有多少種選法？(3)甲、乙兩人至少有一人參加，有多少種選法？(4)隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？解(1)只需從其他18人中選3人即可，共有Ceq\o\al(3,18)＝816(種)；(2)只需從其他18人中選5人即可，共有Ceq\o\al(5,18)＝8568(種)；(3)分兩類：甲、乙中有一人參加，甲、乙都參加，共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(4,18)＋Ceq\o\al(3,18)＝6936(種)；(4)法一(直接法)至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生的選法可分四類：一內(nèi)四外；二內(nèi)三外；三內(nèi)二外；四內(nèi)一外，所以共有Ceq\o\al(1,12)Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(2,12)Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,12)Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(4,12)Ceq\o\al(1,8)＝14656(種)．法二(間接法)由總數(shù)中減去五名都是內(nèi)科醫(yī)生和五名都是外科醫(yī)生的選法種數(shù)，得Ceq\o\al(5,20)－(Ceq\o\al(5,12)＋Ceq\o\al(5,8))＝14656(種)．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時(shí)30分鐘)7．用數(shù)字0,1,2,3,4,5,6組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有________個(gè)(用數(shù)字作答)．解析分兩大類：(1)四位數(shù)中如果有0，這時(shí)0一定排在個(gè)、十、百位的任一位上，如排在個(gè)位，這時(shí)，十、百位上數(shù)字又有兩種情況：①可以全是偶數(shù)；②可以全是奇數(shù)．故此時(shí)共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,4)＝144(種)．(2)四位數(shù)中如果沒0，這時(shí)后三位可以全是偶數(shù)，或兩奇一偶．此時(shí)共有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)＝180(種)．故符合題意的四位數(shù)共有144＋180＝324(種)．答案3248．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加上海世博會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，每人從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作之一，每項(xiàng)工作至少有一人參加．甲、乙不會(huì)開車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是________．解析依題意得，這四項(xiàng)工作中必有一項(xiàng)工作有2人參加．因?yàn)榧?、乙不?huì)開車，所以只能先安排司機(jī)，分兩類：(1)從丙、丁、戊三人中任選一人開車；再從其余四人中任選兩人作為一個(gè)元素同其余兩人從事其他三項(xiàng)工作，共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種方案；(2)先從丙、丁、戊三人中任選兩人開車，其余三人從事其他三項(xiàng)工作，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)種方案，所以不同安排方案的種數(shù)是Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝126.答案1269．3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是________．解析先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則有Ceq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,4)種排法，再從中排除甲站兩端的排法，∴所求排法種數(shù)為Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,3)·(Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,4)－2Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,3))＝6×(6×12－24)＝288.答案28810．某省高中學(xué)校自實(shí)施素質(zhì)教育以來，學(xué)生社團(tuán)得到迅猛發(fā)展．某校高一新生中的五名同學(xué)打算參加“春暉文學(xué)社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個(gè)社團(tuán)．若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數(shù)為________．解析設(shè)五名同學(xué)分別為甲、乙、丙、丁、戊，由題意，如果甲不參加“圍棋苑”，有下列兩種情況：(1)從乙、丙、丁、戊中選一人(如乙)參加“圍棋苑”，有Ceq\o\al(1,4)種方法，然后從甲與丙、丁、戊共4人中選2人(如丙、丁)并成一組與甲、戊分配到其他三個(gè)社團(tuán)中，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種方法，這時(shí)共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種參加方法；(2)從乙、丙、丁、戊中選2人(如乙、丙)參加“圍棋苑”，有Ceq\o\al(2,4)種方法，甲與丁、戊分配到其他三個(gè)社團(tuán)中有Aeq\o\al(3,3)種方法，這時(shí)共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)種參加方法；綜合(1)(2)，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180(種)參加方法．答案18011．4位參加辯論比賽的同學(xué)，比賽規(guī)則是：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一題做答，選甲題答對(duì)得100分，答錯(cuò)得－100分；選乙題答對(duì)得90分，答錯(cuò)得－90分．若4位同學(xué)的總分為0分，則這4位同學(xué)有多少種不同得分情況？解分兩類：第一類四位同學(xué)中有兩人選甲，兩人選乙，有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝24(種)不同的情況；第二類四位同學(xué)中都選甲或都選乙，有2Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝12(種)不同的情況．共有24＋12＝36(種)不同的情況．12．已知10件不同產(chǎn)品中有4件是次品，現(xiàn)對(duì)它們進(jìn)行一一測(cè)試，直至找出所有4件次品為止．(1)若恰在第5次測(cè)試，才測(cè)試到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？(2)若恰在第5次測(cè)試后，就找出了所有4件次品，則這樣的不同測(cè)試方法數(shù)是多少？解(1)先排前4次測(cè)試，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)種不同測(cè)試方法，再從4件次品中選2件排在第5和第10的位置上測(cè)試，有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)(種)測(cè)法，再排余下4件的測(cè)試位置，有Aeq\o\al(4,4)種測(cè)法．所以共有不同排法Aeq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝103680(種)．(2)第5次測(cè)試恰為最后一件次品，另3件在前4次中出現(xiàn)，從而前4次有一件正品出現(xiàn)．所以不同測(cè)試方法共有Aeq\o\al(1,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(1,6)·C\o\al(3,3)))Aeq\o\al(4,4)＝576(種)．13．(創(chuàng)新拓展)如圖所示，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個(gè)點(diǎn)C1，C2，…，C6，直徑AB上有異于A，B的四個(gè)點(diǎn)D1，D2，D3，D4.則：(1)以這12個(gè)點(diǎn)(包括A，B)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)四邊形？(2)以這10個(gè)點(diǎn)(不包括A，B)中的3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可作出多少個(gè)三角形？其中含點(diǎn)C1的有多少個(gè)？解(1)構(gòu)成四邊形，需要四個(gè)點(diǎn)，且無三點(diǎn)共線，可以分成三類：①四個(gè)點(diǎn)從C1，C2，…，C6中取出，有Ceq\o\al(4,6)個(gè)四邊形；②三個(gè)點(diǎn)從C1，C2，…，C6中取出，另一個(gè)點(diǎn)從D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(1,6)個(gè)四邊形；③二個(gè)點(diǎn)從C1，C2，…，C6中取出，另外二個(gè)點(diǎn)從D1，D2，D3，D4，A，B中取出，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,6)個(gè)四邊形．故滿足條件的四邊形共有N＝Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\