《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第3節(jié)　變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例

第九章

第3節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例知識(shí)分類落實(shí)考點(diǎn)分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識(shí)分類落實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)回扣知識(shí)1知識(shí)梳理///////1．相關(guān)關(guān)系與回歸分析回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計(jì)圖是：

；統(tǒng)計(jì)量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù)．(1)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從

到

的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān)．(2)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從

到

的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān)．(3)如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在

附近，稱兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系．散點(diǎn)圖左下角右上角左上角右下角一條直線2．線性回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的

最小的方法叫做最小二乘法．距離的平方和斜率

(1)定義：對(duì)具有

的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.(2)樣本點(diǎn)的中心：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中

稱為樣本點(diǎn)的中心．(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量

；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量

．r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性

．r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于

時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．3.回歸分析相關(guān)關(guān)系正相關(guān)負(fù)相關(guān)越強(qiáng)0.75(1)利用隨機(jī)變量K2來(lái)判斷“兩個(gè)分類變量

”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．(2)列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表．假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)為4．獨(dú)立性檢驗(yàn)有關(guān)系a＋b

b＋d

a＋b＋c＋d

√

√

√

√

2．為調(diào)查中學(xué)生近視情況，測(cè)得某校在150名男生中有80名近視，在140名女生中有70名近視．在檢驗(yàn)這些學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時(shí)，用下列哪種方法最有說(shuō)服力(

) A．回歸分析 B．均值與方差

C．獨(dú)立性檢驗(yàn) D．概率 解析

“近視”與“性別”是兩類變量，其是否有關(guān)，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)判 斷．C

BCD

A.1B．1.05C．1.2D．2x1234y0.8m1.41.5A

5．(2020·全國(guó)Ⅰ卷)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖： 由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是 (

) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx

解析由散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象附近． 故選D.D

6．(2021·衡陽(yáng)月考)某高校為調(diào)查學(xué)生喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了選修課程的55名學(xué)生，得到數(shù)據(jù)如下表：喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程不喜歡“應(yīng)用統(tǒng)計(jì)”課程男生205女生1020附表：A

考點(diǎn)分層突破題型剖析考點(diǎn)聚焦21．下列四個(gè)散點(diǎn)圖中，變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系的是(

)

解析觀察散點(diǎn)圖可知，只有D選項(xiàng)的散點(diǎn)圖表示的是變量x與y之間具有負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系． 故選D.考點(diǎn)一相關(guān)關(guān)系的判斷///////自主演練D

2．(2020·重慶診斷)某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤(rùn)率統(tǒng)計(jì)表如下：月份123456人均銷售額658347利潤(rùn)率(%)12.610.418.53.08.116.3

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是 (

) A．利潤(rùn)率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系

B．利潤(rùn)率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系

C．利潤(rùn)率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系

D．利潤(rùn)率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系 解析由統(tǒng)計(jì)表可得利潤(rùn)率與人均銷售額不是正比例關(guān)系，也不是反比例關(guān)系，排除C和D；其屬于正相關(guān)關(guān)系，A正確，B錯(cuò)誤．A

3．(多選題)(2020·淄博模擬)2019年女排世界杯是由國(guó)際排聯(lián)(FIVB)舉辦的第13屆世界杯賽事，比賽于2019年9月14日至9月29日在日本舉行，共有12支參賽隊(duì)伍．最終，中國(guó)女排以11戰(zhàn)全勝且只丟3局的成績(jī)成功衛(wèi)冕本屆世界杯冠軍．中國(guó)女排的影響力早已超越體育本身的意義，不僅是時(shí)代的集體記憶，更是激勵(lì)國(guó)人持續(xù)奮斗、自強(qiáng)不息的精神符號(hào)．以下是本屆世界杯比賽最終結(jié)果的相關(guān)數(shù)據(jù)，記每個(gè)隊(duì)的勝場(chǎng)數(shù)為變量x，積分為變量y(只列出了前6名)．排名123456勝場(chǎng)數(shù)x11108766積分y322823211918ACD

判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法：(1)散點(diǎn)圖法：如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系；如果樣本點(diǎn)的分布從整體上看大致在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系．(2)相關(guān)系數(shù)法：利用相關(guān)系數(shù)判定，|r|越趨近于1，相關(guān)性越強(qiáng)．感悟升華角度1線性回歸方程及應(yīng)用【例1】下面給出了根據(jù)我國(guó)2012～2018年水果人均占有量y(單位：kg)和年份代碼x繪制的散點(diǎn)圖和線性回歸方程的殘差圖．(2012年～2018年的年份代碼x分別為1～7) (1)根據(jù)散點(diǎn)圖分析y與x之間的相關(guān)關(guān)系； 解

從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)的分布整體上在一條直線附近， 且當(dāng)x由小變大時(shí)，y也由小變大， 所以y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān)．考點(diǎn)二回歸分析///////多維探究

解

由殘差圖可以看出歷年數(shù)據(jù)的殘差均分布在－2～2之間，且圖中各點(diǎn)比較均勻地分布在數(shù)值0所在直線附近，帶狀區(qū)域很窄，說(shuō)明對(duì)應(yīng)的回歸直線擬合效果較好．角度2非線性回歸方程及應(yīng)用【例2】

(2021·四川七市一診)已知某地區(qū)某種昆蟲(chóng)產(chǎn)卵數(shù)和溫度有關(guān)．現(xiàn)收集了一只該品種昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)y(個(gè))和溫度x(℃)的7組觀測(cè)數(shù)據(jù)，其散點(diǎn)圖如圖所示：解由(1)可得，lny＝0.255x－3.348，于是產(chǎn)卵數(shù)y關(guān)于溫度x的回歸方程為y＝e0.255x－3.348.當(dāng)x＝26時(shí)，y＝e0.255×26－3.348＝e3.282≈27；當(dāng)x＝36時(shí)，y＝e0.255×36－3.348＝e5.832≈341.∵函數(shù)y＝e0.255x－3.348為增函數(shù)，∴氣溫在26℃～36℃之間時(shí)，估計(jì)該品種一只昆蟲(chóng)的產(chǎn)卵數(shù)的范圍是[27，341]內(nèi)的正整數(shù)．感悟升華【訓(xùn)練1】(2021·榆林模擬)根據(jù)統(tǒng)計(jì)，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y(百千克)與某種液體肥料每畝使用量x(千克)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖如圖所示：

(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請(qǐng)計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說(shuō)明(若|r|>0.75，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合)；【例3】

(2020·全國(guó)Ⅲ卷)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：考點(diǎn)三獨(dú)立性檢驗(yàn)///////師生共研鍛煉人次空氣質(zhì)量等級(jí)[0，200](200，400](400，600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1，2，3，4的概率；空氣質(zhì)量等級(jí)1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09【例3】(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)； 解一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為【例3】(3)若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228根據(jù)列聯(lián)表得由于5.820>3.841，故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．感悟升華

【訓(xùn)練2】為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女7205%

解析

K2的觀測(cè)值k≈4.844，這表明小概率事件發(fā)生．根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立， 并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為5%.課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3一、選擇題1．對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是 (

) A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3 C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3A

解析

由散點(diǎn)圖知圖(1)與圖(3)是正相關(guān)，故r1>0，r3>0，圖(2)與圖(4)是負(fù)相關(guān)， 故r2<0，r4<0，且圖(1)與圖(2)的樣本點(diǎn)集中在一條直線附近，因此r2<r4<0<r3<r1， 故選A.2．有下列說(shuō)法：①在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選用的模型比較合適；②用相關(guān)指數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，R2值越接近于1，說(shuō)明模型的擬合效果越好；③比較兩個(gè)模型的擬合效果，可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好．正確的是(

) A．①②B．②③C．①③D．①②③D

3．(多選題)(2020·棗莊模擬)某大學(xué)為了解學(xué)生對(duì)學(xué)校食堂服務(wù)的滿意度，隨機(jī)調(diào)查了50名男生和50名女生，每位學(xué)生對(duì)食堂的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到如下所示的列聯(lián)表，經(jīng)計(jì)算K2的觀測(cè)值k≈4.762，則可以推斷出(

)滿意不滿意男3020女4010P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635AC

4．(多選題)(2021·武漢調(diào)研)已知某產(chǎn)品的銷售額y(單位：萬(wàn)元)與廣告費(fèi)用x(單位：萬(wàn)元)之間的關(guān)系如下表：x(單位：萬(wàn)元)01234y(單位：萬(wàn)元)1015m3035ABD

5．(多選題)(2021·廣東百校聯(lián)考)下表是我國(guó)某城市在2019年1月份至10月份期間各月最低溫度與最高溫度(單位：℃)的數(shù)據(jù)一覽表．月份12345678910最高溫度/℃59911172427303121最低溫度/℃－12－31－271719232510

已知該城市的各月最低溫度與最高溫度具有相關(guān)關(guān)系，根據(jù)該一覽表，則下列結(jié)論正確的是 (

) A．最低溫度與最高溫度為正相關(guān)

B．每月最高溫度與最低溫度的平均值在前8個(gè)月逐月增加

C．月溫差(最高溫度減最低溫度)的最大值出現(xiàn)在1月

D．1月至4月的月溫差(最高溫度減最低溫度)相對(duì)于7月至10月，波動(dòng)性更大ACD

解析將最高溫度、最低溫度、溫差列表如下：月份12345678910最高溫度/℃59911172427303121最低溫度/℃－12－31－271719232510溫差度/℃171281310787611由表格可知，最低溫度大致隨最高溫度的升高而升高，A正確；每月最高溫度與最低溫度的平均值在前8個(gè)月不是逐月增加，B錯(cuò)誤；月溫差的最大值出現(xiàn)在1月，C正確；1月至4月的月溫差相對(duì)于7月至10月，波動(dòng)性更大，D正確．6．2018世界特色魅力城市200強(qiáng)新鮮出爐，包括黃山市在內(nèi)的28個(gè)中國(guó)城市入選，美麗的黃山風(fēng)景和人文景觀迎來(lái)眾多賓客．現(xiàn)在很多人喜歡“自助游”，某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解“自助游”是否與性別有關(guān)，在黃山旅游節(jié)期間，隨機(jī)抽取了100人，得如下所示的列聯(lián)表：贊成“自助游”不贊成“自助游”總計(jì)男性301545女性451055總計(jì)7525100P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828參照公式，得到的正確結(jié)論是 (

)A．有99.5%以上的把握認(rèn)為“贊成‘自助游’與性別無(wú)關(guān)”B．有99.5%以上的把握認(rèn)為“贊成‘自助游’與性別有關(guān)”C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下，認(rèn)為“贊成‘自助游’與性別無(wú)關(guān)”D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下，認(rèn)為“贊成‘自助游’與性別有關(guān)”D

8．在一次對(duì)人體脂肪含量和年齡的關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)，并制成如圖所示的人體脂肪含量與年齡的關(guān)系的散點(diǎn)圖，下列結(jié)論中正確的是________(填序號(hào))． ①人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%； ②人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%； ③人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)等于20%； ④人體脂肪含量與年齡負(fù)相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%.

解析

觀察圖形，可知人體脂肪含量與年齡正相關(guān)，且脂肪含量的中位數(shù)小于20%.②

9．某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把500名使用血清的人與另外500名未使用血清的人一年中的感冒記錄作比較，提出假設(shè)H0：“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”，利用2×2列聯(lián)表計(jì)算得K2≈3.918，經(jīng)查臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.則下列結(jié)論中，正確結(jié)論的序號(hào)是________． ①有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”；②若某人未使用該血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③這種血清預(yù)防感冒的有效率為95%；④這種血清預(yù)防感冒的有效率為5%.

解析

K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.814)≈0.05，所以有95%的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”．要注意我們檢驗(yàn)的是假設(shè)是否成立和該血清預(yù)防感冒的有效率是沒(méi)有關(guān)系的，不是同一個(gè)問(wèn)題，不要混淆．①

解

分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對(duì)地塊分層，再對(duì)200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣．理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)性．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)．11．某公司為了準(zhǔn)確地把握市場(chǎng)，做好產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃，對(duì)過(guò)去四年的數(shù)據(jù)進(jìn)行整理得到了第x年與年銷售量y(單位：萬(wàn)件)之間的關(guān)系如下表：x1234y12284256 (1)在圖中畫(huà)出表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；

解

(1)作出的散點(diǎn)圖如圖：(2)根據(jù)散點(diǎn)圖選擇合適的回歸模型擬合y與x的關(guān)系(不必說(shuō)明理由)；解

根據(jù)散點(diǎn)圖觀察，可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.解

觀察(1)中散點(diǎn)圖可知各點(diǎn)大致分布在一條直線附近，列出表格：12．在吸煙與患肺癌這兩個(gè)分類變量的獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算中，下列說(shuō)法正確的是 (

) A．若K2的觀測(cè)值為k＝6.635，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為吸煙與患肺癌有