《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第4節(jié)　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

第一章

第4節(jié)等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)知識分類落實(shí)考點(diǎn)分層突破課后鞏固作業(yè)內(nèi)容索引///////123//////////////知識分類落實(shí)夯實(shí)基礎(chǔ)回扣知識1知識梳理///////1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法>＝<>＝<(1)對稱性：若a＝b，則b＝a.(2)傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c.(3)可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c.(4)可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd.2.等式的性質(zhì)(1)對稱性：a＞b?b＜a；(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；(3)可加性：a＞b?a＋c

b＋c；a＞b，c＞d?a＋c

b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac

bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac

bd；(5)可乘方：a＞b＞0?anbn(n∈N，n≥1)；3.不等式的性質(zhì)＞＞＞＞＞＞1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) (1)a＞b?ac2＞bc2. (

) (2)a＝b?ac＝bc. (

)××解析

(1)由不等式的性質(zhì)，ac2＞bc2?a＞b；反之，c＝0時(shí)，a＞b?ac2＞bc2.(2)由等式的性質(zhì)，a＝b?ac＝bc；反之，c＝0時(shí)，ac＝bc?a＝b.×√解析

因?yàn)閏＜d＜0，B＞解析

由x>y，得－x<－y，所以2－x<2－y，故選B.B解析

由a＞|b|可知，當(dāng)b≥0時(shí)，a＞b；當(dāng)b＜0時(shí)，a＞－b，則a＞0＞b，綜上可知，當(dāng)a＞|b|時(shí)，a＞b恒成立，故選B.B6.(多選題)(2021·山東新高考模擬)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，則下列不等式不成立的是 (

) A.xy＞yz B.xy＞xz C.xz＞yz D.x|y|＞|y|zACD解析

因?yàn)閤＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符號無法確定，對于A，因?yàn)閤＞z，若y＜0，則xy＜0＜yz，故A不正確；對于B，因?yàn)閥＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正確；對于C，因?yàn)閤＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C不正確；對于D，因?yàn)閤＞z，當(dāng)|y|＝0時(shí)，x|y|＝|y|z，故D不正確.考點(diǎn)分層突破題型剖析考點(diǎn)聚焦2當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，考點(diǎn)一比較數(shù)(式)的大小///////自主演練2.若a，b為正數(shù)，且a≠b，則a3＋b3________a2b＋ab2(用符號>、<、≥、≤填空).

解析(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2

＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)

＝(a－b)2(a＋b)， ∵a>0，b>0且a≠b， ∴(a－b)2>0，a＋b>0， ∴(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0， 即a3＋b3>a2b＋ab2.＞所以b>c.即c<b<a.B由f′(x)>0，得0<x<e；由f′(x)<0，得x>e.∴f(x)在(0，e)為增函數(shù)，在(e，＋∞)為減函數(shù).∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.4.若a＞0，b＞0，則p＝(ab)與q＝ab·ba的大小關(guān)系是 (

) A.p≥q B.p≤q C.p＞q D.p＜qA解析由題意知p＞0，q＞0，則1.作差法一般步驟：(1)作差；(2)變形；(3)定號；(4)結(jié)論.其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當(dāng)兩個(gè)式子都為正數(shù)時(shí)，有時(shí)也可以先平方再作差.2.作商法一般步驟：(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大??；(4)結(jié)論.3.函數(shù)的單調(diào)性法：將要比較的兩個(gè)數(shù)作為一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得出大小關(guān)系.4.特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.感悟升華解析

因?yàn)閥＝x

在(0，＋∞)上是增函數(shù)，考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)///////師生共研ABC當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，所以D不成立，故選ABC.因?yàn)閍＋b＜0，ab＞0，ACB中，因?yàn)閎＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故B錯(cuò)誤；C中，因?yàn)閎＜a＜0，D中，因?yàn)閎＜a＜0，根據(jù)y＝x2在(－∞，0)上為減函數(shù)，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)，所以lnb2＞lna2，故D錯(cuò)誤.由以上分析，知A，C正確.解決此類題目常用的三種方法：(1)直接利用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；(2)利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案，利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意前提條件；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)直接利用不等式的性質(zhì)不能比較大小時(shí)，可以利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.感悟升華【訓(xùn)練1】(1)(2020·海南模擬改編)已知a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，則下列選項(xiàng)中一定成立的是 (

) A.ab＞ac B.c(b－a)＜0 C.cb4＜ab4 D.ac(a－c)＞0

解析

因?yàn)閍，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0， 所以c＜0＜a.對于A， 因?yàn)閎＞c，a＞0， 所以ab＞ac，故A正確； 對于B，因?yàn)閎＜a，c＜0， 所以b－a＜0，c＜0， 所以c(b－a)＞0， 故B不正確；A對于C，因?yàn)閏＜a，b4≥0，所以cb4≤ab4，故C不正確；對于D，因?yàn)閍c＜0，a－c＞0，所以ac(a－c)＜0，故D不正確，故選A.解析A中，當(dāng)c＝0時(shí)不成立，c＜0時(shí)也不成立，故A不正確.故B不正確.DC中，因?yàn)閍＞b，(－c)＜(－d)，不滿足不等式的同向相加性，故C不正確.D中，因?yàn)閍b＞0，所以a，b同號，故D正確.故選D.【例2】某學(xué)習(xí)小組由學(xué)生和教師組成，人員構(gòu)成同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：

(1)男學(xué)生人數(shù)多于女學(xué)生人數(shù)；

(2)女學(xué)生人數(shù)多于教師人數(shù)；

(3)教師人數(shù)的兩倍多于男學(xué)生人數(shù). ①若教師人數(shù)為4，則女學(xué)生人數(shù)的最大值為________. ②該小組人數(shù)的最小值為________.

解析

令男學(xué)生、女學(xué)生、教師人數(shù)分別為x，y，z，且2z>x>y>z， ①若教師人數(shù)為4，則4<y<x<8，當(dāng)x＝7時(shí)，y取得最大值6. ②當(dāng)z＝1時(shí)，1＝z<y<x<2，不滿足條件； 當(dāng)z＝2時(shí)，2＝z<y<x<4，不滿足條件； 當(dāng)z＝3時(shí)，3＝z<y<x<6，y＝4，x＝5，滿足條件.

所以該小組人數(shù)的最小值為3＋4＋5＝12.考點(diǎn)三不等式及其性質(zhì)的應(yīng)用///////多維探究角度1

不等式及其性質(zhì)的應(yīng)用612【例3】(經(jīng)典母題)已知－1<x<4，2<y<3，則x－y的取值范圍是_______________，3x＋2y的取值范圍是________________.

解析

因?yàn)椋?<x<4，2<y<3， 所以－3<－y<－2， 所以－4<x－y<2. 由－1<x<4，2<y<3，得－3<3x<12，4<2y<6， 所以1<3x＋2y<18.角度2

求代數(shù)式的取值范圍典例遷移(1，18)

(－4，2)【遷移1】將本例條件改為“－1<x<y<3”，求x－y的取值范圍.

解

因?yàn)椋?<x<3，－1<y<3， 所以－3<－y<1，－4<x－y<4. ①

又因?yàn)閤<y，所以x－y<0， ② 由①②得－4<x－y<0， 故x－y的取值范圍是(－4，0).【遷移2】將本例條件改為“已知－1<x－y<4，2<x＋y<3”，求3x＋2y的取值范圍.

解設(shè)3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)， 即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y， ∵－1<x－y<4，2<x＋y<3，1.解決有關(guān)不等關(guān)系的實(shí)際問題，應(yīng)抓住關(guān)鍵字詞，例如“要”“必須”“不少于”“大于”等，從而建立相應(yīng)的方程或不等式模型.2.利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，但應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是必須嚴(yán)格運(yùn)用不等式的性質(zhì)；二是在多次運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)有可能擴(kuò)大了變量的取值范圍.解決的途徑是先建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，最后通過“一次性”不等關(guān)系的運(yùn)算求解范圍.感悟升華又1<a<3，(4，24)

課后鞏固作業(yè)提升能力分層訓(xùn)練3一、選擇題1.限速40km/h的路標(biāo)，指示司機(jī)在前方路段行駛時(shí)，應(yīng)使汽車的速度v不超過

40km/h，寫成不等式為 (

) A.v<40km/h B.v>40km/h C.v≠40km/h D.v≤40km/h

解析

由汽車的速度v不超過40km/h， 即小于等于40km/h， 即v≤40km/h， 故選D.D解析運(yùn)用倒數(shù)性質(zhì)，又正數(shù)大于負(fù)數(shù)，A正確，C錯(cuò)誤，故選A，B，D.ABDA故選A.A所以，當(dāng)a>b>0時(shí)，f(a)>f(b)必定成立，但g(a)>g(b)未必成立，故選A.5.已知a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，記M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，則M與N的大小關(guān)系是(

) A.M<N B.M>N C.M＝N D.不確定 解析

M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)， 又a1∈(0，1)，a2∈(0，1)， ∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0， ∴M>N.BC∴－π＜2α＜π.7.(2019·全國Ⅱ卷)若a>b，則 (

) A.ln(a－b)>0 B.3a<3b C.a3－b3>0 D.|a|>|b|

解析法一由函數(shù)y＝lnx的圖象(圖略)知， 當(dāng)0<a－b<1時(shí)，ln(a－b)<0，故A不正確； 因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)a>b時(shí)，3a>3b，故B不正確； 因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增， 所以當(dāng)a>b時(shí)，a3>b3，即a3－b3>0，故C正確； 當(dāng)b<a<0時(shí)，|a|<|b|，故D不正確.

故選C.

法二當(dāng)a＝0.3，b＝－0.4時(shí)，ln(a－b)<0，3a>3b，|a|<|b|，故排除A，B，D.

故選C.C8.已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c.且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，則 (

) A.c≤3 B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9

解析

由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)

則f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c， 由0<f(－1)≤3，得0<－1＋6－11＋c≤3，即6<c≤9.C<10.設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________.

解析

設(shè)f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n為待定系數(shù))， 則4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b. ∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).

又∵1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4. ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤1