全國數(shù)學(xué)競賽

2009年第一屆全國大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試題及答案一、填空題（每小題5分，共20分）1．計(jì)算____________，其中區(qū)域由直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.解令，則，，（*）令，則，，，，2．設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿足,則____________.解令，則，,解得。因此3．曲面平行平面的切平面方程是__________.解因平面的法向量為，而曲面在處的法向量為，故與平行，因此，由，知，即，又，于是曲面在處的切平面方程是，即曲面平行平面的切平面方程是。4．設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且，則________________.解法1方程的兩邊對求導(dǎo)，得即因，故，即，因此解法2方程取對數(shù)，得（1）方程（1）的兩邊對求導(dǎo)，得（2）即（3）方程（2）的兩邊對求導(dǎo)，得（4）將（3）代入（4），得將左邊的第一項(xiàng)移到右邊，得因此二、（5分）求極限，其中是給定的正整數(shù).解法1因故因此解法2因故三、（15分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，，且，為常數(shù)，求并討論在處的連續(xù)性.解由和函數(shù)連續(xù)知，因，故，因此，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，這表明在處連續(xù).五、（10分）已知，，是某二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求此微分方程.解設(shè)，，是二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的三個(gè)解，則和都是二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解，因此的特征多項(xiàng)式是，而的特征多項(xiàng)式是因此二階常系數(shù)線性齊次微分方程為，由和，知，二階常系數(shù)線性非齊次微分方程為六、（10分）設(shè)拋物線過原點(diǎn).當(dāng)時(shí),,又已知該拋物線與軸及直線所圍圖形的面積為.試確定,使此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.解因拋物線過原點(diǎn)，故，于是即而此圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積為即令，得即因此,,.七、（15分）已知滿足,且,求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)之和.解，即由一階線性非齊次微分方程公式知即因此由知，，于是下面求級數(shù)的和：令則即由一階線性非齊次微分方程公式知令，得，因此級數(shù)的和八、（10分）求時(shí),與等價(jià)的無窮大量.解令，則因當(dāng)，時(shí)，，故在上嚴(yán)格單調(diào)減。因此即又，，所以，當(dāng)時(shí),與等價(jià)的無窮大量是。第二屆(2010年)全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷及參考答案（非數(shù)學(xué)類）(150分鐘)一、（25分，每小題5分）（1）設(shè)其中求（2）求。（3）設(shè)，求。（4）設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，，求。（5）求直線與直線的距離。解：（1）====(2)令x=1/t,則原式=（3）（4）略（不難，難得寫）（5）用參數(shù)方程求解。答案好像是第三屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽決賽試卷一、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）計(jì)算下列各題（要求寫出重要步驟）.(1)解：(2)解：（令）(3)設(shè)函數(shù)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),滿足且,是由方程所確定的函數(shù).求解：依題意有，是函數(shù)，、是自變量。將方程兩邊同時(shí)對求導(dǎo)，，則，于是(4)求不定積分解：(5)求曲面和所圍立體的表面積解：聯(lián)立，，解得兩曲面的交線所在的平面為，它將表面分為與兩部分，它們在平面上的投影為，在上在上則二、（本題13分）討論的斂散性，其中是一個(gè)實(shí)常數(shù).解：記①若，；則發(fā)散②若，則，而；所以發(fā)散。③若，即，考級數(shù)斂散性即可當(dāng)時(shí)，對任何，我們有這樣，存在，使得.從而可知，當(dāng)，時(shí)，所討論的積分收斂，否則發(fā)散。六、（本題共16分，第1小題6分，第2小題10分）(1)求解微分方程(2)如為上述方程的解，證明第五屆全國大學(xué)生數(shù)學(xué)競賽預(yù)賽試卷解答下列各題（每小題6分共24分，要求寫出重要步驟）1.求極限.解因?yàn)椤?分）；原式…………………………(2分)；………(2分)2.證明廣義積分不是絕對收斂的解記，只要證明發(fā)散即可?！?分）因?yàn)椤！?分）而發(fā)散，故由比較判別法發(fā)散?！?分）3.設(shè)函數(shù)由確定，求的極值。解方程兩邊對求導(dǎo)，得…（1分）故，令，得或………（2分）將代入所給方程得，將代入所給方程得，………（2分）又，故為極大值，為極小值?！?分）4.過曲線上的點(diǎn)A作切線，使該切線與曲線及軸所圍成的平面圖形的面積為，求點(diǎn)A的坐標(biāo)。解設(shè)切點(diǎn)A的坐標(biāo)為，曲線過A點(diǎn)的切線方程為………………………（2分）；令，由切線方程得切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。從而作圖可知，所求平面圖形的面積，故A點(diǎn)的坐標(biāo)為?！?分）二、（滿分12）計(jì)算定積分解…………………（4分）……（2分）…………………（4分）…………（2分）三、（滿分12分）設(shè)在處存在二階導(dǎo)數(shù)，且。證明：級數(shù)收斂。解由于在處可導(dǎo)必連續(xù)，由得………………（2分）…………（2分）由洛必塔法則及定義………（3分）所以…………………（2分）由于級數(shù)收斂，從而由比較判別法的極限形式收斂。……（3分）四、（滿分12分）設(shè)，證明解因?yàn)椋栽谏蠂?yán)格單調(diào)增，從而有反函數(shù)………………………（2分）。設(shè)是的反函數(shù)，則………（3分）又，則，所以…（3分）……（2分）七（滿分14分）判斷級數(shù)的斂散性，若收斂，求其和。解