2022年暑假天天練-選擇性必修第一冊1

人教A版（2019）選擇性必修第一冊1.4空間向量的應(yīng)用

同步練習

一、單選題

1.在空間直角坐標系中，若直線/的方向向量為2=（1,-2,1）,平面a的法向量為

"=（2,3,4）,則（）

A.H/aB./1?C./ua或〃/eD./與a斜交

2.平面a的一個法向量是萬=（g,T,g）,平面夕的一個法向量是比=（-3,6,-2）,則平

面a與平面夕的關(guān)系是（）

A.平行B.重合C.平行或重合D.垂直

3.已知直線/的方向向量為而，平面a的法向量為3，則“百工=0”是“〃/a”的（）

A.充要條件B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條

件D.必要不充分條件

4.已知平面a內(nèi)的兩個向量。=（1,1,1）,6=（0,2,-1）,且c=〃za+m+（4,T,1）.若"為平

面a的法向量，則”〃的值分別為（）

A.-1,2B.1,-2C,1,2D,-1,-2

5.已知平面a內(nèi)有一點〃（1,-1,2）,平面夕的一個法向量為〃=（6,-3,6）,則下列點尸

中，在平面a內(nèi)的是（）

A.尸（2,3,3）B.P（-2,0,l）

C.尸（T,4,0）D.尸（3,-3,4）

6.已知正方體A8C￡?-AAG2的棱長為a,則平面與平面的距離為

（）

A.aB.島C.正aD.走a

33

7.如圖，在三棱錐P—ABC中，已知E4=BB=:AC=0,AB=BC=2,平面

平面ABC,則異面直線尸C與A3所成角的余弦值為（

p

c,縣

D

3-T

8.已知斜二棱柱ABC-AAC［中，底面AABC是直角三角形，且ABJ_AC,AB=3,

AC=4,AA=2,44］與AB、AC都成60。角，則異面直線AQ與瓦C所成角的余弦值為

（）

A.變B.硬C.立DT

141433

9.長方體A3C￡）—A耳GA,AB=BC=1,3月=2,點p在長方體的側(cè)面BCG與上

運動，APLBR,則二面角P-AD-6的平面角正切值的取值范圍是（）

10.已知點P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點，如果麗=（2,-l,T）,

而=（4,2,0）,衣=（-1,2,-1）.對于結(jié)論：①|(zhì)而|=6；②APLAD；③而是平面

ABC。的法向量；④而〃麗.其中正確的是（）

A.②④B.②③C.①③D.①②

11.如圖，已知正方體ABC。-A4C。中，尸為線段BG的中點，E為線段AG上的

動點，則下列四個結(jié)論：①存在點E,使E尸〃BD；②存在點E,使平面

AB?。；③EF與AQ所成的角不可能等于60。；④三棱錐用-ACE的體積隨動點E

的變化而變化.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

12.在棱長為2的正方體A5cO—A44R中，點￡在棱AA上，AE=3A石，點G是

棱CD的中點，點尸滿足喬=2西H<彳<!|,當平面EFG與平面ABCD所成

(銳)二面角的余弦值為逅時，經(jīng)過及RG三點的截面的面積為()

3

A.2瓜B.友C.717D.還

46

二、填空題

13.已知直線4的一個方向向量為彳=(1,-1,2),直線4的一個方向向量為

^^(3,-3,0),則兩直線所成角的余弦值為.

14.如圖所示，點A、3、C分別在空間直角坐標系。-孫z的三條坐標軸上，

)=(0,0,2),平面ABC的一個法向量為1(2,1,2),平面ABC與平面A3。的夾角為

0，貝！Jcos0=.

15.如圖所示，ABC0出尸GH為邊長等于1的正方體，若P點在正方體的內(nèi)部且滿足

__.3__k1__,2__.

AP=-AB+-AD+-AE,則尸點到直線AB的距離為_______.

423

16.如圖，邊長為1的正方形A3C。所在平面與正方形ABEF所在平面互相垂直，動點

M、N分別在正方形對角線AC和所上移動，且CM=8N=《O<a<0).則下列結(jié)

論:

c

①MN長度的最小值為受；

2

②當。=：時，ME與CN相交；

③MV始終與平面BCE平行；

④當a=變時，A—MN—3為直二面角.

2

正確的序號是.

17.如圖，在三棱錐O-ABC中，AB=BC=CD=DA,ZABC=90°,E,F,。分別

為棱BC,DA,AC的中點，記直線E尸與平面BOD所成角為6,則6的取值范圍是

三、解答題

18.四棱錐尸-ABCD,底面為正方形ABCD,邊長為4,E為A3中點，PEL平面

ABCD.

⑴若△上4B為等邊三角形，求四棱錐尸-A3CD的體積；

(2)若CD的中點為尸，尸尸與平面A3CD所成角為45。，求PL(與AC所成角的大小.

19.如圖，在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCD是矩形，叢，平面ABCD,

PA=AD^4,AB=2,M是中點.

(1)求直線AD與平面ACM的夾角余弦值；

(2)求點尸到平面ACM的距離.

20.如圖在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，ZBAD=—,P=APD,點、E為

線段AD的中點且PE_LCD,設(shè)平面PAD與平面P5C的交線為直線a.

(1)證明：直線?！ㄆ矫鍭BCD；

(2)若AB=2尸E=2,求二面角A-PD—C的余弦值.

21.在多面體ABCDEF中，正方形A3CD和矩形3DEF互相垂直，Ga分別是QE

和3C的中點，AB=BF=2.

(1)求證：￡D_L平面ABCD.

(2)在8C邊所在的直線上存在一點尸，使得EP〃平面AG”,求小的長;

參考答案:

1.c

由73=0可得，所以/ua或〃/a,即可得正確選項.

【詳解】

直線/的方向向量為￡=(1,-2,1),平面a的法向量為5=(2,3,4),

因為-5=(2,3,4).(1,-2,1)=2-6+4=0,

所以aJL〃，

所以/ua或〃/0,

故選：C.

2.C

由題設(shè)知玩='力，根據(jù)空間向量共線定理，即可判斷平面。與平面夕的位置關(guān)系.

【詳解】

???平面a的一個法向量是萬,平面夕的一個法向量是加=(-3,6,-2),

m=—6n,

平面。與平面夕的關(guān)系是平行或重合.

故選：C.

3.D

利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合空間線面關(guān)系與空間向量之間的關(guān)系判斷可得出結(jié)論.

【詳解】

若正i=0，則〃/a或/ua；

另一方面，若〃/a,則能/=0.

因此，“百工=0”是“〃/a”的必要不充分條件

故選：D.

4.A

c-a=O

由空間向量線性關(guān)系的坐標運算求"坐標，再根據(jù)"為平面a的法向量有一一，即可求

c-b=Q

m,n

【詳解】

111

c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-ri)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1).

一c-a=Q3m+n+1=0\m=-l

由c為平面a的法向量，得〈一一，即m+5n-9=0,解得jw=2

c-b=Q

故選：A

5.A

可設(shè)出平面內(nèi)a內(nèi)一點坐標尸(x，V，z),求出與平面a平行的向量^^(x-Ly+Lz-Z),利

用數(shù)量積為0可得到x,y,z的關(guān)系式，代入各選項的數(shù)據(jù)可得結(jié)果.

【詳解】

解：設(shè)平面a內(nèi)一點尸(x,y,z),貝|J：

MP=(x—1,y+l,z—2),

????=(6,-3,6)是平面a的法向量，

n±MP,n-MP=6(x—1)—3(y+l)+6(z—2)=6x—3y+6z—21,

由5?9=0得6x-3y+6z-21=°

2%—y+2z=7

把各選項的坐標數(shù)據(jù)代入上式驗證可知A適合.

故選：A.

本題考查空間向量點的坐標的概念，法向量的概念，向量數(shù)量積的概念.

6.D

建立空間直角坐標系，用空間向量求解

【詳解】

由正方體的性質(zhì)，AB"/DCi,RB"/DB,AB^D}BX=BX,DCt^DB=D,

易得平面A2Q//平面BZ）G，

則兩平面間的距離可轉(zhuǎn)化為點B到平面AB】Q的距離.

以。為坐標原點，DA,DC,所在的直線分別為x軸、y軸、z軸

建立空間直角坐標系，

則A（a,O,O）,B（a,a,O）,（a,O,a）,C（O,a,O）,B[（a,a,a）,D{（0,0,a）

所以C4j=（a,_6Z,a）,SA=（0,_a,0）,ABt=（0,a,a）,耳2=（-a,-a,0）.

連接AC,由5,AB]=（a,—a,a）-（0,a,a）=。，CAiBlDl=（（7,-a,a）-（-a,-a,0）=0,且

ABtIB{D{=Bt,可知AC_L平面ABtDt,

得平面ABQ的一個法向量為河=（L-LI）,

則兩平面間的距離d==a=當0.

故選：D

7.A

取A3的中點為O,連接PD,證明尸。,平面ABC,ABA.BC,然后建立空間直角坐標

系，利用向量求解即可.

【詳解】

取的中點為O,連接PD

因為B1=P3,所以PD_LAB,

因為平面B4B_L平面ABC,平面上鉆c平面ABC=AB,尸Du平面RIB

所以PD_L平面ABC

因為尸4=依=。。=亞AB=BC=2

2

所以AB_L3C

如圖建立空間直角坐標系，則川0,0,0b4（0,2,0）,P（0,l,l）,C（2,0,0）

所以荏=（0,—2,0）,定=（2,-1,-1）

\AB-PC\2_76

所以異面直線PC與AB所成角的余弦值為

|AB|-|PC|2.屈6

故選：A

8.A

設(shè)通=4，AC=B，A4,=c,即可求出萬5-c,B々，再用力、b>1表示出AC1、

麻，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算律求出m?麻、|藕|、回q,最后根據(jù)夾角公式計算

可得;

【詳解】

解：設(shè)通=萬，AC=b，麗=1,則無5=0，a-c=|?|-|c|cos60°=3,

5.1=|斗向cos60°=4,

所以蒐=*+您=,+1，B^=B^B+BC=^BBx+AC-AB=-a+b-c,所以

AC[，B]C=(b+cj,(—萬+6—=—u,b+Z?~—b?c—u,c+b'c—=9,

M卜“_彳+5-^^yla2+b2+c2-2a-b-2b-c+2a-c^3y[3,

所以儂日E。*亍。\"同蕊府.配=加H

故選：A

9.B

根據(jù)題中的線面關(guān)系建立空間坐標系，運用空間向量求解即可.

【詳解】

如圖以點。為坐標原點建立空間坐標系

設(shè)點P的坐標為(x,l,z)圖中各點的坐標表示如下:

B(l,1,0),0/(0,0,2),A(l,0,0)

/.^B=(l,l,-2),AP=(x-l,l,z),又?.?〃5_LAP.?.取而=0

即，x-l+l-2z=0,所以x-2z=0

所以點P在平面BCGS內(nèi)的軌跡為由點C到BS四等分點(靠近B點)的一條線段,

且點P由C點向88/四等分點移動過程中，二面角34￡>-尸逐漸增大

當點尸位于C點處時，二面角氏AZXP最小，最小值為0

當點尸為與BB/四等分點處時，二面角8/O-P最大，此時，

即為二面角84。-尸的平面角，43耳1

Ldnz_rVi￡>=----------=—=—

AB12

所以二面角84。-尸正切值的取值范圍為[0,g].選項ACD錯誤，選項B正確

故選：B.

10.B

求出|布|=2君判斷①不正確；根據(jù)而.而=0判斷②正確；由APLM,APLAD判

-1=22

斷③正確；假設(shè)存在力使得方=2而，由<2=32無解，判斷④不正確.

—1=44

【詳解】

由荏=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1),知：

在①中，|而|=416+4+0=2遂*6,故①不正確；

在②中，AP-AD=-4+4+0=0.AP±AD>.-.AP±AD,故②正確；

在③中，Q.通=一2-2+4=0，.\AP±AB,又因為AP_LAD,ABr>AD=A,知/

是平面ABCZ)的法向量，故③正確；

-1=2彳

在④中，BD=AD-AB=(,2,3,4),假設(shè)存在幾使得麗=幾麗，貝1J，2=3X,無解，故④

—1=4A

不正確；

綜上可得：②③正確.

故選：B.

本題考查命題真假的判斷，考查空間向量垂直、向量平行等基礎(chǔ)知識，考查了平面的法向

量以及空間向量的模，考查推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.D

設(shè)正方體的棱長為1,以點。為坐標原點，以DA,DC,所在的直線為無，y,z軸

建立空間直角坐標系，利用空間線面平行與垂直的判定及性質(zhì)定理、向量的夾角判斷異面

直線所成角、三棱錐的體積計算公式即可得出.

【詳解】

解：設(shè)正方體的棱長為1,以點。為坐標原點，以D4,DC,所在的直線為%y,

z軸建立空間直角坐標系，

則。(0,0,0),A(l,0,0),3(1,1,0),c(o,1,0),0,(0,o,1),4(1,0,1),

B?,1,1),C,(0,1,1),點

貝。55=西+*,而甲=彳冰(滕氏1),oq=(o,i,i),q4=(i,-i,o),

QE=(2,-2,0),因止匕詼=(%』一/1』),

.-.E=(2,1-2,1),=,

-1_-1_0

對于①而言就是否存在實數(shù)彳，使EF//BD,而瓦5=(-1,-1,0),1—~-T--T,此即

---A--

22

?=O，T=|T=。，這樣的義不存在，，①錯誤；

對于②而言就是否存在實數(shù)2,使斯，平面A耳G。，首先我們在平面內(nèi)任意找到

兩條相交直線的方向向量，不妨就找場和空，

*于是;=4=；,即就是當E為CH的中點的時候，.??②正確；

EFC,D=01°八2

i---Z=U

12

同理，對于③而言，還是判斷這樣的實數(shù)幾是否存在，ADI=(_1,0,1),EF=(--A,A,,

AD^EF_________zt-i

設(shè)其夾角為。，則cos9=

>/2x^(1-A)2+A2+i

2-1

令6=60。,此即將上式平方解得2=1,將2回代原式結(jié)論成

6科”+儲+；

立，，這樣的力存在；③錯誤;

對于④來說，E點無論在4G上怎樣移動，底面AACE的高不變，故而底面面積不變，三

棱錐的高為定值，所以其體積不會隨著E點的變化而變化，故④錯誤.

所以正確的個數(shù)為1個.

以。為坐標原點，分別以DADCOR所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，由空

間向量結(jié)合平面跳G與平面ABCD所成二面角的余弦值為好求出X的值，畫出截面圖，

3

求出截面五邊形的邊長，再由等腰三角形及等腰梯形的面積求和可得答案

【詳解】

解：如圖，以。為坐標原點，分別以D4,DC,OQ所在的直線為x,y,z軸，建立空間直角坐

3—3—?

標系，則G(0,l,0),E(2,0,3),"2,2,22),所以GE=(2,-1,萬),GF=(2,1,22),

設(shè)平面EFG的一個法向量為正=(x,y,z),則

m-GE=2無-y+—z=0ri-3/I31\

-2,取z=l則加=z0?T+J)，

m-GF=2x+y+22z=0

平面ABC。的一個法向量為3=(0,0,1),

m-n__________i___________V|113

由題意得雨解得2或2=三(舍去),

1.32.2..3.2~3

J(—?—)+(-XH—)+1

V824

延長EF,A3,設(shè)EFnAB=/,連接/G,交BC于K,延長/G,交AD的延長線于L,連

接EL,交D1于H,則五邊形EFKG”為截面圖形,

由題意求得￡尸=百,FK==—,GK=0，HG=—,EH=45,

22

FH=2夜，截面五邊形EFKGH如圖所示，

則等腰三角形EFH底邊切上的高為6，等腰梯形HGKF的高為正,

2

則截面面積為S」x2后x君+L(0+20)X走=地

2224

故選：B

關(guān)鍵點點睛：此題考查二面角的平面角及其求法，考查平面的基本性質(zhì)及推理，考查運算

能力，解題的關(guān)鍵是建立空間直角坐標系，由平面EFG與平面ABCD所成（銳）二面角的

余弦值為好求出彳=1,屬于中檔題

34

13.B

3

根據(jù)空間向量的夾角公式代入計算即可.

【詳解】

一~^%3+3A/Sn

cos<匕，匕>=向F=娓3應(yīng)=T，所以兩直線所成角的余弦值為y--

故答案為：徨

3

分析可知平面的一個法向量為無，利用空間向量法可求得cos。的值.

【詳解】

由題意可知，平面的一個法向量為反=（0,0,2）,所以

、2

故答案為：--

過P作尸MJ_平面ABCQ于M,過M作MN_LAB于N,連接PN,則PN即為所求，由已知

317

可得AN=Z，NM=],PM=§,即可求出.

【詳解】

解析：過尸作平面ABCD于過M作MN_LAB于N,連接PN,則尸N即為所求,

如圖所示.

.3—>1—?2—>

因為A尸=++

312

所以A7V=77vM=/，PM=g，

所以尸N=1PM2+MN?=]&)+[g]=|.

即P點到直線AB的距離為二.

o

故答案為:.

O

16.①③

以點B為坐標原點，BA、BE、8c所在直線分別為x、＞、z軸建立空間直角坐標系，利

用空間中兩點間的距離公式、二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷①的正誤，證明CM、CN、CE

不共面可判斷②的正誤，利用空間向量法可判斷③的正誤，利用二面角的定義可判斷④的

正誤.

【詳解】

因為平面ABCO_L平面ABEF,平面ABNCDpI平面ABEF=AB,BCLAB,BCu平面

ABCD,:.BCL平面ABEF,

因為以點B為坐標原點，54、BE、8c所在直線分別為x、y、z軸建立空間

直角坐標系，

D

則4(1,0,0)、3(0,0,0)、C(0,0,l)、。(1,0,1)、￡(0,1,0)、F(1,1,0),

a,0,1-^-a、N坐,旦,。］

M22

2JIJ

、2

r啰丫

對于①，\MN\------CL+C1-l--④---aVH---2-----，

22J222

7\IJ

當且僅當?？紩r，等號成立，①正確;

對于②，當。=；時，M

,N

,0,1-(44J

\手,孝,-1,CE=(O,l,-l),

CM=?,CN=

77

■--m=-V-2-

44

與

設(shè)西="?西+〃園，即Vn=,該方程組無解，所以，②錯誤;

4

一包…一1

4

72)"a,。］

對于③，M4Z,0,1------a、N

2)I22J

I22J平面BCE1的一個法向量為m=(1,0,0),

MN-n=0,則麗_L正，?.?MNZ平面BCE,；.MN〃平面BCE,③正確;

對于④，當”=變11

時,?

222

設(shè)平面AAW的法向量為々=(x,y,z),AM=,俞C),

111I。:

11八

一/+/=0_

成?畫7=0

,；；,取％=1,可得1=(1,1,1),

由^-AN=0，骨

「2%+5%=°

［，*，麗

設(shè)平面BACV的法向量為％=(尤2，%，22)，BM=IT0}

11八

=

-X94---Z,0

兀?麗=。加2:2:，取％=1,可得一巧=/(1,一1,-1)、,

由K-BN=0'侍

產(chǎn)+y=0

所以，晨鼠=1-1-l=-lw0,此時，二面角A-MN-3不是直二面角，④錯誤.

故答案為：①③.

結(jié)論點睛：利用空間向量法處理平行與垂直問題：設(shè)直線乙、乙的方向向量分別為

。=(占,乂，4),b=(x2,y2,z2),平面a、夕的法向量分別為〃=(玉,%，23)，v=(%4,y4,z4).

>

(1)4//A^a//b^a=A.b^-^xl,y1,zi^=A^x2,y2,z2)^>xl=Ax2,弘=彳%，

Z]—^^"2；

(2)li//a^a-Lu<^a-u=0<^x[x3+yYy3+z1z3=0；

(3)all/3=ull?Qu=pv=X3="X4,%=Z3二/；

(4)I1±Z2<^a-Lb<^>a-b=0<^x,x2+yry2+2^2=0；

(5)“/a="〃〃=〃=0〃=%=/七,%二夕%，4二用；

(6)6z±/?<^>w±vow-v=0<^>+y3y4+z3z4=0.

17.

易證得OD，AC,05,AC,引入輔助角變量，設(shè)N5OD=da?0,?),以。為原點建立

空間直角坐標系，利用向量法求得線面角的正弦值，從而可判斷所求角的范圍.

【詳解】

解：因為AB=3C=CD=ZM,AB=BA,

所以△ABC三△ADC,

所以NADC=NASC=90。，

又因為。為AC的中點，

所以O(shè)D_LAC,O31,AC,

又ODcOB=O,所以AC_L平面BOD,

設(shè)NBOD=<2,(ze(0,萬),

如圖，以。為原點建立空間直角坐標系,

則平面80。與平面xOz重合，

不妨設(shè)AB=8C=CO=ZM=血，

貝|JQ4=O3=OC=OD=1,

則A(0,-1,0),B(l,0,0),C(0,1,0),￡>(cosa,0,sin(z),

111.

E一cosa,——,—sincr

222

貝UEF=f(coscr-1),-1,sincr

因為AC_L平面5。。,

所以方二（0,1,0）即為平面50。的一條法向量,

7T

因為直線友與平面8OD所成角為凡9e0,-

_______________1_____________72

i^cosa-l)2+(-2)2+sin2a-1-cosa，

因為ae(0,%),所以cosae(-1,1),

所以sin。e

所以，e

7171

故答案為:75

18.(1)/ABCD=;(2)arccos^-.

r-no^LJc36，

(1)由棱錐體積公式計算；

(2)建立空間直角坐標系，用空間向量法求二面角.

【詳解】

(1):正方形ABCD邊長為4,△R4B為等邊三角形，E為A3中點，

??.PE=26V…十4?出=弩;

(2)如圖以￡A,EF,E尸為羽y,z軸建立空間直角坐標系，貝。尸(0,0,4),￡>(-2,4,0),

A(-2,0,0),

C(2,4,0),PD=(-2,4,-4),AC=(4,4,0),

uumuuu「

PDAC-8+16+0V2

cos0—-me----tftffi-=----------j=—=--------,

\PD\-\AC\6x4V26

即PD與AC所成角的大小為arccos—

6

19.(1)叵;(2)偵

由于底面A3CD是矩形，叢_1平面45。。，所以可得AB,AD,AP兩兩垂直，所以如圖建立

空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可

【詳解】

因為R41,平面ABCD,A3i平面ABCD,AOu平面ABCD,

所以以_LAB,PA_LAT),

因為四邊形ABCD為矩形，所以AB_LAZ>,

所以AB,AZ),AP兩兩垂直，所以以A為坐標原點，分別以所在的直線為x，%z

軸，建立空間直角坐標系，如圖所以示，

因為B4=AD=4,AB=2,M是PC中點，

所以A(0,0,0),BQ,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),P(0,0,4),M(0,2,2),

所以衣=(2,4,0),AM=(0,2,2),

設(shè)平面ACM的法向量為正=(x,y,z),貝。

”-,.

m-AC=2x+4y=0一

，令z=l,則m=(2,—l,l),

m,AM=2y+2z=0

(1)AD=(0,4,0),設(shè)直線AD與平面ACW的夾角為a,

則sina-

474+1+1

JI

因為1€[0,5]

所以cosa=Vl-sin2a=

(2)因為AP=(0,0,4),面ACM的法向量為根=(2,-1,1),

所以點P到平面ACM的距離為

4_2A/6

IT于

(1)由于