高中數(shù)學(xué)習(xí)題1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第二冊 等比數(shù)列的前n項和公式

4.3.2等比數(shù)列的前n項和同步練習(xí)

一.選擇題（共8小題）

1.已知等比數(shù)列應(yīng)｝的前〃項和為S“，q=l,4+6=2,若邑=11,則〃的值為

416

（）

A.4B.5C.6D.不存在

2.在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃“｝中，已知4>1,其前”項積為7；，且兀=4,

則7,取得最大值時，〃的值是（）

A.10B.10或11C.11或12D.12或13

3.已知正項等比數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,q+4=9,4+4=竺，則其=（

28

）

A1052115327

A.D.rL.—un,——

81642

4.明代數(shù)學(xué)家程大位編著的《算法統(tǒng)宗》是中國數(shù)學(xué)史上的一座豐碑.其中有

一段著述“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一.”注：“倍加增”

意為“從塔頂?shù)剿祝啾扔谏弦粚?，每一層燈的盞數(shù)成倍增加”，則該塔從塔

底數(shù)第二層燈的盞數(shù)為（）

A.3B.6C.96D.192

5.記正項等比數(shù)列｛4｝的前“項和為S,,若4=4,S4=5S2,則$6=（)

A.2B.-21C.32D.63

6.設(shè)5“是等比數(shù)列｛〃“）的前〃項和，若2s3=%+1，2s2=4+1，則4=（）

A.-2B.-1C.1D.2

7.已知等比數(shù)列｛a,,｝的前”項和為S.，且滿足q=2,S-3吟，則數(shù)列｛凡｝的

前4項和為（）

A.史B.史r65n70

27812781

8.等比數(shù)列｛4｝滿足4=1,且,，1工成等差數(shù)列，則數(shù)列伍“｝的前10項

%

和為（）

A.10B.20C.256D.510

二.多選題（共4小題）

9.已知等比數(shù)列｛勺｝的前〃項和為S,,,公比g>l,ncN.,則（）

A.他“｝一定是遞增數(shù)列

B.他“｝可能是遞增數(shù)列也可能是遞減數(shù)列

C.a3,a7,a”仍成等比

D.PnwN*,5,尸0

10.已知等比數(shù)列｛七｝公比為q,前〃項和為S“，且滿足4=8%，則下列說法正

確的是（）

A.q=2B.邑=9

$3

C.S3,S6,品成等比數(shù)列D.S?=2an+at

11.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕，其前〃項和為S“，前”項積為7；,并滿足條件

q>l,且%）20%>21>1，（%）20-1）（。2021-1）<0，卜列結(jié)論正確的是（）

A,^2020<$2021B?a2?10a2022-1<0

C.數(shù)列區(qū)｝無最大值D.（⑼是數(shù)列工｝中的最大值

12.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,其前〃項和為5“，前〃項積為7“，并滿足條件

4>1,%）19a2020>1，~-<0,下列結(jié)論正確的是（）

“2020-]

A.S2019Vs2020“2019"2021—I<°

C.%20是數(shù)列｛。｝中的最大值D.數(shù)列國,｝無最大值

三.填空題（共4小題）

13.已知等比數(shù)歹!]他“）的前w項和S“=ax3"-2,則〃=.

14.設(shè)等比數(shù)列｛““｝的前”項和為5,，若4+12=0,邑+12=0,則％+%=-

15.已知數(shù)列應(yīng)｝為等比數(shù)列，4=32,公比q=若7；是數(shù)列應(yīng)｝的前〃項積,

則當〃=時，7；有最大值為.

16.已知等比數(shù)列｛〃〃｝的公比夕>1,前〃項和為S〃，%[=a,4+46=5,則

$20=

:一?

四.解答題（共4小題）

17.在各項都是正數(shù)的等比數(shù)列｛〃"｝中，4=1,%=4%.

(I)求數(shù)列｛““｝的通項公式；

(H)記S.為數(shù)列｛對｝的前"項和，若S,“=31,求正整數(shù)m的值.

18.在遞增的等比數(shù)列｛6J中，出=9,々2+4=30.

(1)求數(shù)列｛〃“｝的通項公式；

(2)若2=log.34”，求數(shù)列電｝的前〃項和.

19.已知等比數(shù)列｛叫滿足公比4=2,前3項和$3=7.等差數(shù)列也｝滿足仇=4，

4+々=0.

(1)求｛4｝的通項公式；

(II)設(shè)T“是｛么｝的前〃項和，求7；的最大值.

20.設(shè)伍“｝是等差數(shù)列，其前〃項和為S,,,電｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前和

為T”.已知4=1,4=d+2,d=%+%，4=4+24.

(1)求S,和，；

(2)若邑+(工+為+…+7；)=%+也,求正整數(shù)〃的值.

參考答案與試題解析

一.選擇題（共8小題）

1?【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為％

若4=1,%+%=：,即4+%=1+/=[,解可得q=土;，

當4」時，若S“=U，即皿二82=2（1-二）=1,此時無解，

2"16\-qT16

當44時，若5“="，即）=—#-=U，即1-（」）"=生，解可得〃=5,

2"16\-q316232

2

故〃=5,

故選：B.

2.【解答】解：因為等比數(shù)列的前〃項積為7；,且兀=（，

所以%,%>?斯=1，

所以8=1,所以牝=1，

又q>1,所以當11時，a”>1，

當〃..13時，0<a?<l,

所以6，%為前〃項積的最大值.

故選：C.

3.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,q>0,

_____45

則有有“=、陛運=4=1,

'q+4\52

V2

又由q+g=4+'|0，解可得4=1.

211

所以$5=

-1?

故選：B.

4.【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)從上向下每一層的燈的數(shù)記為｛%｝,

則數(shù)列他“｝是以2為公比的等比數(shù)列，

則有S?==（27-1）<?]=127a,=381?

解得4=3,則4=a4=3x2,=96>

則該塔從塔底數(shù)第二層燈的盞數(shù)為96.

故選：C.

5?【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q,（4>0）

若邑=5工，貝則—山=5，"（一步,解可得d=4,

\-q\-q

又由q>0,則q=2,

又由生=4,則q=4=1,

q

則$6=小匕?=63,

i-q

故選：D.

6.【解答】解：2s3=%+1，2邑=%+L

兩式相減可得2%=%-%,即4=3。3，則公比q=3,

/.2(4+34)=9%+1,

q=-1,

故選：B.

7?【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為外

若q=2,S4-S3=—,E|J6/4=—,

4327427

則夕3=5=,則4=2,

q273

故數(shù)列｛““｝的前4項和與=我貯=空，

\-q27

故選：A.

8.【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛”“｝的公比為仆

2

貝Uq=］，a2=q,a3=q,

L成等差數(shù)列，

axa2a3

2,1

一二1-I—T，

qq

：.(q~1)~=0,

：.q=\,

故數(shù)列｛a?｝的前10項和為10q=10;

故選：A.

二.多選題(共4小題)

9.【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,當q<0時，若g>l,｛q｝為遞減數(shù)列，A錯誤，

對于3,已知4>1,當q<0時，｛4｝為遞減數(shù)列，當q>0時，伍“｝為遞增數(shù)列，

8正確，

對于C,數(shù)列｛%｝為等比數(shù)列，則為，%,人仍成等比，C正確，

對于。，等比數(shù)列口｝中，4>1,則S“=必有5,尸0,。正確，

i-q

故選：BCD.

10?【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛凡｝中，

對于A,若4=8見，則有4—^=8,解可得4=2,A正確，

%

4(1-/)

對于5,由4=2,則2=上<=*=9,3正確，

57

1一夕

對于C,由4=2,則$3=皿二◎=7《，$6=4"力=634,=""")=51lq,

1-i7\-q\-q

S『S6，Sg不是等比數(shù)列，C錯誤，

M

對于￡>,由q=2,則S"=(2-1)0],a?=alxq"-'=2"-'%,S?=2ali+q不成

"q

立，。錯誤,

故選：AB.

11.【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛4｝的公比為q,若內(nèi)加々⑼>1，則

（q/9）（4產(chǎn)。）=（%>（產(chǎn)）9>i,

又由4>1,必有4>0,則數(shù)列伍“｝各項均為正值，

若（《2020—1）（%>21-1）<°，必有。2020>1，0<02021<1,則必有。<4<1，

依次分析選項：

對于A,數(shù)列｛q｝各項均為正值，則S"S202G=*>0,必有邑020Vs詆，A正確;

對于B,若Ova2021c1,貝!|a2020aM22—1=（02G21）2—1<0,5正確，

對于C,根據(jù)4>%>...>］儂>1>—>...>0,可知（020是數(shù)列億,｝中的最大項，

C錯誤；

對于O,易得。正確，

故選：ABD.

12?【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列&｝的公比為夕，若a刈4⑼>1,則

20,8|924037

（?,9）（?,^）=（?|）（（?）>1,

又由q>l,必有q>0,則數(shù)列｛《,｝各項均為正值，

又由&U1二<0,即―）（峻-1）<0,則有卜99;或

“2020一?1^2020>11^2020<1

又由4>1,必有0<”1,則有［"'"I,

［“2020<1

對于A，有420-S刈9=*>0，即5239<邑回，則A正確;

2

對于8，有a2020<1,則a20l9a202l=(a2O2O)<1,貝BIE確；

對于。，K^>1則是數(shù)列",｝中的最大值，c錯誤，同理。錯誤;

1?2020<1

故選：AB.

三.填空題(共4小題)

13.【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛為｝的前〃項和S,=〃x3"-2,

則4=S]=3〃-2,

%=$2-=(9a—2)—(3a—2)-6a，

a3=s3-s2=(27a-2)-(9a-2)=18a,

則有(3a-2)xl8a=(6a)2,

解可得a=2或。=0(舍)

故4=2,

故答案為：2

14?【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)等比數(shù)列｛《｝的公比為外

若%+12=0,$3+12=0,即％=T2,53=-12,

貝U有S3=4+1+〃3=-12+^^+—^=-12,解得q=-l,

qq

則4+45=—05+“5=0，

故答案為：0.

15.【解答】解：根據(jù)題意，數(shù)列伍“｝為等比數(shù)列，4=32,公比q=L,則

6

a?=aiq'-'=2-,

當〃=6時，當〃v6時，＞1,當〃＞6時，＜1，

若《是數(shù)列｛”“｝的前〃項積，當”..2時，〃,=工，

4一1

則當〃＜6時，豈＞1,貝1J7；〉?；一，

當〃＞6時，，＜1，則毒＜如，

4T

當〃=6時，?=1，則4=加，

故當〃=5或6D寸，7；有最大值，且其最大值7；="=32xl6x8x4x2xl=32768,

故答案為：5或6,32768.

16?【解答】解：?.,等比數(shù)列｛〃〃｝的公比q＞1,前〃項和為S“，。［1=瓜,4+〃16=5,

4夕"，=瓜

手癇5=5,

=5

令t=d，則府-%+而=0,解得"逅或”逅,

32

1.?.瓜5V6

22

.上=上4----------=1+/。=2.

510~^~(1一心2

1-9

故答案為：—.

2

四.解答題（共4小題）

17.【解答】解：（I）設(shè)等比數(shù)列｛”“｝的公比為q，

?在各項都是正數(shù)的等比數(shù)列｛a“｝中，q=l,

O解得

數(shù)列U｝的通項公式與=21-'.

（II）記S“為數(shù)列｛4｝的前”項和,

..￡=31,.?￡=3口2=31,

w1-2

解得正整數(shù)m=5.

18?【解答】解：（1）根