高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類）課后習(xí)題及答案第八章空間解析幾何答案

1

習(xí)題8-1(A)

1.求空間兩點(diǎn)A(l,2,2)與B(-1,0,1)之間的距離.

解：|明=J(_]_l)2+(0_2)2+(l_2)2=3.

2.寫(xiě)出點(diǎn)A(4,-5,6)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)：

(1)分別關(guān)于xOy、yOz,xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)分別關(guān)于x軸、y軸、z軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo).

答案：(1)(4,-5,-6)；(-4,-5,6)；(4,5,6).

(2)(4,5,-6)；(-4,-5,-6)；(-4,5,6).

(3)(—4,5,~6).

3.判斷由4(123),6(3,15),C(2,4,3)三點(diǎn)構(gòu)成的三角形的形狀.

解：因?yàn)閨4B|=J(3_1)2+(1―2)2+(5—3)2=3,

|AC|=J(2_l)2+(4_2j+(3-3)2=后,

|BC|=J(2-3『+(4-1『+(3-5『=9,

進(jìn)一步，計(jì)算可得|/3『+|4?！?忸?！?，

所以AA6C為直角三角形.

4.求點(diǎn)M(x,y,z)到各個(gè)坐標(biāo)軸之間的距離.

答案：M點(diǎn)到x軸的距離4=J]+z2,M點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離d,=G+z2,

M點(diǎn)到z軸的距離d:=J,+)/.

5.在x軸上求一點(diǎn)M,使它到點(diǎn)A(—3,2,1)和8(3,1,4)的距離相等.

解：由題意設(shè)點(diǎn)“(X,0,0),且滿足=即J(-3-xf+2,+F=J(3—牙+F+42,

2

解得X=l,所以M(l,o,o).

6.一動(dòng)點(diǎn)A/(x,y,z)與定點(diǎn)Mo(Xo，%,Zo)的距離為R(7?>0),求動(dòng)點(diǎn)A/(x,y,z)所滿足的方程.

解：由題意|MM()|二R，所以J(X—//+⑶一為了+屹―Z0)2=R，

即(X—X°)2+(>—%)2+(Z-Z0)2=肥.

7.一動(dòng)點(diǎn)加(乂、2)與兩定點(diǎn)4(1,2,3)與5(2,-1,4)距離相等，求動(dòng)點(diǎn)〃(x,y,z)所滿足的方

程.

解：由題意=即J(l)2+(y_2)2+(z_3)2=J(x-2)2+(y+1>+-4)2,

整理得2%一6),+2z-7=0.

習(xí)題8-2(A)

1.設(shè)向量〃=Q+%-3C,v=3a-b+2c,求2u—

解：2v-w=(6-l)tz+(-2-2)b+(4+3)c=5。-4石+7c.

2.已知點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，。是線段AB外一點(diǎn)，若礪=￡,OB=b,求].

解：由題意知％方=萬(wàn)一3,/=,通=2二4，

22

因此，OC=OAAC=a+—=—.

+22

3.設(shè)點(diǎn)M,N分別是四邊形A8CD兩對(duì)角線BD與AC之中點(diǎn)，若麗=3,麗=",求麗.

解：設(shè)BC中點(diǎn)為E,中位線￡必=,。方='[,中位線詬=,4月=，￡,

2222

所以在AMNE中，MN^ME+EN=-^(a+c).

4.已知向量a=(1,2,-3),求-2。以及與。平行的單位向量e.

解：-2a=-2(1,2,-3)=(-2,-4,6),

與。平行的單位向量e=±AT=±-7=(l,2,-3).

\a\V14

5.若同=2,W=l,且向量￡與坂的夾角為:，求：

(1)ci'b；(2)(2a)-(-3b)；(3)(a+b)*(o-2b)；

(4)p/x^l；(5)|(2a)x(-35)|；(6)|(^+^)x(a-2^)|.

解：(1)=|^|cos0=21-=V3；

(2)(2a)?(-3b)=-6a-b=-6>/3；

一一——一2———2I-12―一I_|2

(3)(。+辦(。-26)=a-ab-2b=\a\-ab-2\b\-=22-V3-2-l2=2->/3；

(4)|?x^|=pz||z?|sin^=2-l~=1；

(5)|(2a)x(-3B)卜61=6；

(6)|(6z+/?)x(6r—2Z?)|=^axa-2axb+bxa-2bxl^=二卜3"0=3,乂0=3.

4

6.已知向量。=(2,-2,1)、b=(1,2,3),求a?石、ax]&Prj/.

解：?-S=2-l+(-2)-2+l-3=l；

ijk

axb=2_21=-87-57+6^=(-8,-5,6)；

123

|《=3,|/?|=V14,由a?B=1可知cos0=3，所以Prj/=Wcos6=g.

7.設(shè)M（l,2,3）,N（2,1,3+逝），求向量麗的方向角和方向余弦.

解：W=（1,-1,V2）,|wv|=2,

方向余弦cosa=；,cos〃=-g,cosy=(

、.ATV_27rTC

方I可z角cc=-，p=—,y=一

334

8.一向量的終點(diǎn)為8（2,-1,7）且它在x軸、y軸、z軸上的投影依次為4,-4和7,求這個(gè)向

量的起點(diǎn)A的坐標(biāo).

解：由題意可知|而1=（4,一4,7）,設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（玉）,%/0）,

則2-七=4,-1—y0=—4,7—z0=7,

解得%=-2,%=3,zo=O,所有A點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,3,0).

9.若向量2=(4,2,-1)與向量5=(2,—2,3%)垂直，求■值.

解：a-b=k2-4-3k=0,解得左=—1或％=4.

10.求與向量3=(2,2,1)、方=(4,5,3)都垂直的單位向量.

ijk

解：由題意"=3XB=221=；-2]+2E=(1,一2,2)，且同=3,

453

故所求單位向量為土;(1,一2,2).

11.已知點(diǎn)M(1,1,1),4(2,2,1),3(2,1,2),求NAMB.

解：因?yàn)闃?biāo)=(1』,0),MB=(1,0,1),

5

MAMB11+10+01TT

所以cosZAMB=因此=

河H碉V2-V223

12.若3與5垂直且都是單位向量，求以Z=Z+B,3=為鄰邊的平行四邊形面積.

答案：2.

解析：由題意同=忖=1,由向量積的幾何意義可知該平行四邊形的面積為:

S=|MXV=|(a+B)x(a-B)|=|axa-axB+Bxa-Bxq=卜2axM=2,*目

=2。缶sin^=2-1-1-1=2.

習(xí)題8-2(B)

1.證明向量(B.c)a-(a-c歷與向量c垂直.

證：［(B?c)a—(a-c)SJ-c-(b-c)a-c—(a-c)b-c-(b-c)(a-c)-(a-c)(h?c),

因?yàn)棰莄)(a-c)=(a-c)(B-c),故,所以［(%)￡一(￡.")可_1_".

2.用向量證明三角不等式ac〈忸q+|A6|.

證：設(shè),有=",AC=b,BC^a,則￡+2=九兩邊平方得

—?—*c—?2-2-27*2_-*2I-*|2-2|一|2一2If2

(a+c)~=b,即a+c+lac=b.又因a=pz|,c=|c|,/?=|/?|,

又忙=|a|2+|c|2+2|^||c|cosB,所以即用v@+用+2同@,故|AC|v忸。|+|明.

3.已知向量滿足卜4=5,忖=6,卜XB|=15,求

解：,乂0=17|卜卜皿6=305也6=15,sin9=；,cos6=±孝，

所以a,B=HWcos8=±15ji.

4.已知向量滿足〃_LB,且忖=3,忖=4,求+.

解：(Q+B)x(a-B)=axa-axB+BxQ-BxB,

因?yàn)镼XQ=0,bxb=0,axb=-bxa,

則(〃+5卜(4一制二卜2々、q=2卜x@=2,帆sin6,又因a\.b.sin8=1,

6

所以+=2同qsin6=24.

5.已知向量〃、b>c兩兩垂直，且卜卜1、W=2、卜|=3,設(shè)s=a+B+c,求卜I以及s與a

的夾角.

解：s=(a+B+c)2=〃+B+c+2aB+2Bc+2ac=1+4+9=14,所以卜

又因s?a=(a+B+c)?a=a"=1,所以s?a=M，dcos6=>/i^cose=l,故

--1

s與。的夾角0=arccos—T=.

V14

6.兩個(gè)非零向量。和B滿足如下條件：向量。+3方與7。一5另垂直，并且向量。一4弓與7。一2萬(wàn)垂

直，求向量￡,B的夾角.

解：設(shè)向量￡與5的夾角為，，由0+36)，(7￡-5力，有

0=(a+3h)-(7a-5b)=Ja-a—\5b-b+\6a-h-一15Ml+16同網(wǎng)cos6；

由(”-45)J_(7〃-26),有

0=(a-4h)-(7a-2h)=7a-a+Sb-b-30a-b=7p/|+8，］—30,口/，cos6,

ijr一一TT

上述兩個(gè)方程聯(lián)立，解得cos6=上，得。=2,所以向量。與〃的夾角為上.

233

7

習(xí)題8-3(A)

1.分別求滿足下列各條件的平面方程：

(1)過(guò)點(diǎn)M(3,—2,T)且垂直于x軸；

(2)過(guò)點(diǎn)M(2,0,—1)且平行于平面3x—7y+5z=3；

(3)過(guò)點(diǎn)"(2,9,6)且與線段0M垂直，其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)；

(4)過(guò)三點(diǎn)A(2,—l,4),B(-l,3,-2),C(0,2,3)；

(5)線段AB的垂直平分面，其中A(0,3,6),5(2,-1,4)；

(6)平行于xOz平面且過(guò)點(diǎn)M(2,-4,3)；

(7)過(guò)y軸和點(diǎn)

(8)過(guò)x軸且垂直于平面5x+4y-2z+3=0；

(9)過(guò)原點(diǎn)及點(diǎn)〃(6,3,2)且垂直平面51+4y-32=8；

(10)過(guò)點(diǎn)M(2,l,-1)且在x軸和y軸上的截距分別為2和1.

解：(1)由于所求平面垂直于x軸，故所求平面平行于yOz平面，所以所求平面的方程為x=3；

(2)設(shè)所求平面為3x—7y+5z=3又因?yàn)槠溥^(guò)點(diǎn)加(2,0,-1),代入得％=1,所以所求平面方

程為3x—7y+5z=l；

(3)向量而=(2,9,6)即為所求平面的法向量，又平面過(guò)點(diǎn)“(2,9,6),所以所求平面方程為

2(%-2)+9(y-9)+6(z-6)=0,即2x+9y+6z=⑵；

(4)所求平面的法向量為n=ABxAC=(-3,4,-6)x(-2,3,-1)=(14,9,-1),代入點(diǎn)A(2,-l,4),

得到所求平面方程為14(x—2)+9(y+l)—(z—4)=0,即14x+9y—z=15；

(5)A方=(2,-4,-2)即為所求平面的法向量，且過(guò)線段的中點(diǎn)(1,1,5),所以所求平面方程

^j2(x-l)-4(y-l)-2(z-5)=0,即x-2y-z+6=0；

(6)由題意所求平面垂直于y軸，且過(guò)點(diǎn)”(2,-4,3),所以所求平面方程為y=-4；

(7)設(shè)所求平面方程為Ax+Cz=0,代入點(diǎn)”(1,7,—1)得A=C,所以所求平面方程為

8

x+z=0；

(8)所求平面的法向量為3=ix0=(l,0,0)x(5,4,—2)=(0,2,4),且過(guò)原點(diǎn)，所以所求平面方程

為y+2z=0；

(9)所求平面的法向量為7=3而x]=(6,3,2)x(5,4,—3)=(—17,28,9),所以所求平面方程為

—17x+28y+9z=0：

(10)由題意設(shè)所求平面的截距式方程為2+上+三=1,其中c為平面在z軸上的截距，

21c

代入點(diǎn)1),解得c=l,所以所求平面為二+2+三=1.

211

2.指出下列各平面的特殊位置，并作平面的草圖：

(1)z=0；(2)2x—l=0；

(3)x+y-1；(4)x-2z=0；

XVz

(5)x+y+z—0；(6)-----I———1.

234

答案：(1)xOy平面；(2)垂直于x軸的平面；(3)平行于z軸的平面；

(4)平行于y軸的平面；(5)在x軸、y軸和z軸上截距全為1的平面；

(6)在x軸、y軸和z軸上截距分別為2、—3和4的平面；

3.求平面2x—y+z—7=0與平面x+y+2z-11=0的夾角.

解：成=(2,-1,1),后=(1,1,2),

雇，12-1+211

cos6——一=I=]:——?

/1(|卜].4+1+1.J1+1+42

所以兩平面夾角。=四.

3

4.一平面過(guò)點(diǎn)"(5,4,3)且在各坐標(biāo)軸上的截距相等，求該平面方程.

解：由題意設(shè)所求平面方程為，(x+y+z)=l,代入M(5,4,3)得。=12,

a

所以所求平面為x+y+z=12.

5.一平面過(guò)點(diǎn)M(3,—1,-5),且與平面3x—2y+2z=—7和5x—4y+3z=—1都垂直，求該平面

方程.

9

解：由題意知所求平面的法向〃=勺x%=(3,—2,2)x(5,—4,3)=(2,1,—2),

又知其過(guò)點(diǎn)加(3,-1,-5),所以得到所求平面方程為

2(x—3)+(y+l)—2(z+5)=0,即2x+y-2z=15.

6.求點(diǎn)M(4,2,—3)到平面x+2y—z=5的距離.

解：由點(diǎn)到平面的距離公式可得

d_|例+B%+Cz。+必_|4+4+3-5|_瓜

2

VA+B2+C2J,+22+(_l)2

習(xí)題8-3(B)

1.一平面過(guò)兩點(diǎn)4(0,4,-3),3(6,-4,3),且在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距之和為零，求該平面方程.

YVZ

解：設(shè)所求平面方程為一+2+—=1,且a+/?+c=0,將點(diǎn)A(0,4,-3),5(6,-4,3)代入平

abc

面方程中，聯(lián)立方程組解得a=3,b=6,c=-9,或a=3,b=-2,c=-l,

所以所求平面方程為二+?+二=1或二+2+二=1.

36-93-2-1

2.一動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)與平面x+y=l的距離等于它到z軸的距離，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.

|x+y-1

解：由題意點(diǎn)M到Z軸的距離為點(diǎn)M到平面x+y=l的距離為,所以

解得Y+y2-2盯+2x+2y—1=0,即為動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.

7Z

3.設(shè)平面乃位于平面巧：x-2y+z-2=0與平面%2：x-2y+z-6=0之間，且將此兩平面

的距離分為1：3,求平面》的方程.

|-6+2|4

解：平面跖與萬(wàn)2之間的距離為

2+(-2)2+12V6

設(shè)所求平面方程為mx-2y+z+D-0,則左與勺的距離應(yīng)為&乃與乃2的距離應(yīng)為

3|D+2||D+6|....

4=飛,而4=七」、&=七」，于是|。+2|=1、|￡>+q=3,得￡>=—3,所以所求

平面方程為加x—2)，+z—3=0.

10

4.一平面與平面6x+3y+2z+12=0平行，若點(diǎn)M(0,2,-1)到兩平面的距離相等，求該平面的

方程.

解：依題意設(shè)所求平面方程為6x+3y+2z+O=0,又點(diǎn)M(0,2,—l)到兩平面的距離相等，則

|6x0+3x2+2x(-l)+12|_|6xO+3x2+2x(-l)+Z)|

，即i6=|4+q,

V62+32+22A/62+32+22

得。=-20,D=12(舍),

所以所求平面方程為6x+3y+2z-20=0.

5.求過(guò)x軸且與點(diǎn)M(2,0,5)的距離為百的平面方程.

解：由打過(guò)x軸，設(shè)所求平面方程為8)，+Cz=0,由點(diǎn)M(2,0,5)到打的距離為有，有

|5C|l,

「?=/,即5c2=82+。2,得B=±2c，所求方程為±2Cy+Cz=0,即2y±z=0.

7fi2+C2

6.求平行于平面2x+y+2z+5=0且與三坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積為1個(gè)單位的平面的方

程.

解：設(shè)所求平面的方程為2x+y+2z+O=0,即*■+々+々=1，

由題意V=---\-D\--=l,解得。=±2%,所求平面方程為2x+y+2z±2百=0.

622

11

習(xí)題8-4(A)

1.分別求滿足下列各條件的直線方程：

(1)過(guò)點(diǎn)"(1,2,一1)且與直線*[=3=￡平行;

2-34

(2)過(guò)原點(diǎn)垂直于平面x+y+z-3=0；

(3)過(guò)兩點(diǎn)A(3,—2,1),B(-l,0,2)；

(4)過(guò)點(diǎn)M(0,2,4)且與兩平面x+2z=l及y-3z=2都平行;

X4~y_2z_]=0,

(5)過(guò)點(diǎn)M(-1,2,1)且與直線4平行.

x+2y-z+l=0

x-1y-2z+1

答案：(1)(2)x—y—z；

~Y~-3~~r

x-3y+2z-1yz-2、xy-2z-4

(3)(或----=-=-----)；(4)一=-----~T~

2~~T-421-23

1+1_y-2_z-1

(5)

2.分別求滿足下列各條件的平面方程:

.一一一，2x+y—z=0,

(1)過(guò)點(diǎn)M(2,1,1)且垂直于直線1

x+2y—z+1=0；

(2)過(guò)點(diǎn)M(3,1,-2)及直線上二3=^^=三；

521

x+y+z+l=0,

(3)過(guò)z軸，且平行于直線￡：<?

2x-y+3z+4=0；

(4)過(guò)兩平行直線上口=3=三與二=上二1=3.

23-123-1

答案：(1)x+y+3z=6；(2)8x-9y—22z=59；(3)x+4y=0；(4)6x-y+9z=7.

3.用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線\X~y+Z=-1'

2x—y+3z=-4.

z-y=-2

解：先在直線上找一點(diǎn)，令x=l,解方程組17，得y=0,z=-2.

y-3z=6

故點(diǎn)(1,0,—2)在直線上.

再求直線的方向向量由題意可知1=%工區(qū)=(-2,-1])，所以對(duì)稱式方程為

12

￡zlJL￡±2,從而參數(shù)式方程為＜

==y=T,

-2-11

z—2+1.

4.求兩直線4：三土=2二2與A：［x+y+2=o的夾角.

1-41-x+2z=0

解：由己知，有直線4的方向向量為直線右的方向向量為（2,-2,-1）,由夾角公式可

得

WJX2+(-4)X―上所以。/

712+(-4)2+12722+(-2)2+(-1)224

5-求直線Ix+'y+3z-=1與平面xe2z=。的夾角夕.

k

x+y+3z=1

解：直線1的方向向量§=113=(2,4,—2)=2(1,2,-1),

x-y-z=3]

-1-1

平面x—y+2z=0的法線向量而=（1,一1,2）,由直線與平面的夾角公式，有

Min

(P-arcsinH,arcsin=arcsin=

忖洞V6.V626

6.試確定下列各組中的直線與平面的位置關(guān)系:

(1)^^=^^=三和4x-2y-2z=3；

-2-73

(2)'=上=三和3x-2y+7z=8；

3-27

,x—2y+2z-3

(3x)=-=---------和xx+y+z=3；

31-4

3x+y-z+l=0

(4)和x+2y+5z=3.

2x-y-2=0

答案：（1）平行；（2）垂直；（3）平行；（4）垂直.

7.求直線W=2口=三與平面x—y+z—10=0的交點(diǎn).

3-21

解：將直線出_=￡二=三改寫(xiě)為參數(shù)方程x=3r—l、y=-2t+l,z=f,將其代入到平面方程

3-21

x—y+z-10=0之中，有3f—l+2f—l+f—10=0,即6f—12=0,得，=2,再將。=2代到

直線的參數(shù)方程之中，得x=5、y=-3、z=2,所以直線與平面的交點(diǎn)為（5,-3,2）.

13

8.設(shè)直線L,:1—x*=z+l,「=y—1=—彳，求同時(shí)平行于4,4且與它們等距的

平面方程.

解：所求平面的法向量7=/>己=(—5,—2,—1),則其方程為5x+2y+z+O=0,下面求。.

在乙上取點(diǎn)—1),在4上取點(diǎn)(-2』,2),利用點(diǎn)到平面距離相等可得：

|5xl+2xO+lx(-l)+￡>||5x(-2)+2xl+lx2+D|

V52+22+l2=V52+22+l2'

解得。=1.因此，所求平面為5x+2y+z+l=0.

9.求點(diǎn)M(—1,2,0)在平面點(diǎn)x+2y-z+1=0上的投影.

解：做過(guò)點(diǎn)M(—1,2,0)且垂直于平面x+2y—z+l=0的直線方程為早=該直線

與平面的交點(diǎn)(-之,2,21即為所求的投影點(diǎn).

習(xí)題8-4(B)

1.求點(diǎn)4(2,1,3)關(guān)于直線L：±±1=)二11=三的對(duì)稱點(diǎn)M的坐標(biāo).

32-1

解：設(shè)z0),過(guò)A(2,l,3)做平面n_LL,則的方程為n3x+2y—z=5,求得直線L與

<2133、

平面門(mén)的交點(diǎn)為B—,一,-一，則點(diǎn)B是線段AM的中點(diǎn)，因此由中點(diǎn)公式得

(777)

10

亍7

2.求原點(diǎn)關(guān)于平面6x+2y-9z—121=0的對(duì)稱點(diǎn).

x=6t

解：過(guò)原點(diǎn)做該平面的垂線y=2,，代入平面方程解得/=1,得直線與平面的交點(diǎn)為(6,2,-9).

z=-9/

設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)為(x,y,z),則有半=6,?O=2，U=-9,所以(x,y,z)=(12,4,—18).

3.求點(diǎn)M(1,1,4)到直線—=?=不的距離.

解：過(guò)點(diǎn)M(l,l,4)作一個(gè)垂直于直線一=)二=三的平面，方程為

14

(x—l)+(y—l)+2(z-4)=0，即x+y+2z—10=0

x=t+2

將直線—=匕口=—的參數(shù)方程，y=r+3代入到平面方程中，得/=一!

1122

z=27+4

所以直線與平面的交點(diǎn)坐標(biāo)為［|,|,3),所以

點(diǎn)〃(1,1,4)到直線三2一>3_z4的距離為點(diǎn)"(1,1,4)與交點(diǎn)C，m，3)的距離，即所求

12

距離為李

f2y-3z=lx+z=2

4.設(shè)直線￡在義?2平面上的投影方程為，,，在zOx平面上的投影方程為《

x=0y=0

求直線L在X0y平面上的投影方程.

解：設(shè)過(guò)直線L的平面束方程為2y—3z—l+2(x+z—2)=0,

即/lx+2y+(；l—3)z—1—24=0,若該平面與z軸平行，則有;1=3,

3x+2y=7

所以L在xOy平面上的投影方程為《

z=0

x—3v-17x+2V-4-7—3

5.若直線4：二=」二二與L,:''=2'=二二相交，求加的值及其交點(diǎn)的坐標(biāo).

坊2m-323-40

解：兩直線相交即共面，有［*1.加河=0,1x1=(—12,—9,—8—3㈤，瓶聞=(—5,3,3),

所以m=1.下面求交點(diǎn)：將直線方程改寫(xiě)為參數(shù)方程

x=21+3x=3k-22t+3=3k-2

4與4相交時(shí)，下列方程組應(yīng)有解：(，+1=-4&+4,

Lj:<y=1+1L2:<y=-4k+4,

z=-3tz=3—3t=3

解得?=—1,%=I,代入?yún)?shù)方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0,3).

x+28y—2z+17—0

6.求過(guò)直線4且與球面％92+:9/+292=1相切的平面方程.

5x+8y—z+1=0

解：所求平面為x+28y—2z+17+X(5x+8y—z+l)=0,

即(l+5/l)x+(28+8/l)y—(2+/l)z+17+/l=0,球心為原點(diǎn)，到平面的距離等于半徑1,

15

所以d=1」=1,分子分母平方相等化簡(jiǎn)得

7(1+5九)2+(28+8X)2+(_2_團(tuán)2

89川+4282+500=0,即(4+2)(892+250)=0,

250

解得見(jiàn)=一如或;1=一2,代入方程,得所求平面為387%-164y-24z=421或31-今=5.

x=z-3

7.求過(guò)原點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)。(1,一1,0)到直線’的垂線的平面方程.

y=2x-4

解:由已知得L的方向向量s=(l,2,1),

過(guò)點(diǎn)P做直線L的垂直平面，其方程為(x—l)+2(y+l)+z=0,即x+2y+z+l=0.

2Q11

設(shè)交點(diǎn)4(%,%,Z。)為直線L與此平面的交點(diǎn)，解得X。=§,%=—§,Zo=1.

由于所求平面過(guò)原點(diǎn)，可設(shè)其方程為4+5y+Cz=0,

A-B^O,

將P、《坐標(biāo)代入平面方程得：［2811解得A=8=Uc.

-A—B-\—C=0,6

1333

故所求平面方程為1lx+1ly+6z=0.

16

習(xí)題8-5(A)

1.分別寫(xiě)出滿足下列各條件的曲面方程：

(1)以點(diǎn)M0(l,2,—3)為球心，R=2為半徑的球面方程；

(2)以點(diǎn)為球心，且過(guò)原點(diǎn)的球面方程；

(3)與兩定點(diǎn)A(l,2,-1)和5(3,1,4)等距的動(dòng)點(diǎn)軌跡；

(4)與原點(diǎn)。及定點(diǎn)A(2,3,4)的距離之比為1：2的動(dòng)點(diǎn)軌跡.

答案：(1)(x-l)2+(y-2)2+(z+3)2=4；

(2)(x-l)2+(y+l)2+(z-2)2=6；

(3)2x-y+5z=10；

,、(2丫，八2(4丫116

⑷卜+1+(產(chǎn)1)+y

2.求出下列球面方程的球心坐標(biāo)及半徑：

(1)x2+y2+z2-2z-3=0；

(2)+y~+z?—2x+4y+2z=0.

答案：(1)球心(0,0,1),半徑2；

(2)球心(1,—2,—1),半徑庭.

3.寫(xiě)出滿足下列條件的旋轉(zhuǎn)曲面方程：

(1)yOz面上拋物線z=V繞z軸旋轉(zhuǎn)一周；

(2)yOz面上直線y=2z繞y軸旋轉(zhuǎn)一周；

(3)xOy面上橢圓/+3>2=i分別繞x及丁軸旋轉(zhuǎn)一周；

(4)xOy面上雙曲線/一2>2=1分別繞光及y軸旋轉(zhuǎn)一周.

2222

答案：(1)z=x+y;(2)y=±2y/x+z；

(3)繞x軸：x2+3(y2+z2)=l,繞y軸：x2+z2+3y2=1；

(4)繞x軸：x2-2(y2+z2)=l；繞y軸：x2+z2-2y21.

17

4.分別在平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系下，指出下列方程所表示的圖形名稱：

(1)x=3；(2)x2->,2=1；(3)X2+2>,2=2,

答案：(1)在平面直角坐標(biāo)系下表示一條直線，在空間直角坐標(biāo)系下表示一個(gè)平面；

(2)在平面直角坐標(biāo)系下表示一條雙曲線，在空間直角坐標(biāo)系下表示一個(gè)雙曲柱面；

(3)在平面直角坐標(biāo)系下表示一個(gè)橢圓，在空間直角坐標(biāo)系下表示一個(gè)橢圓柱面；.

5.畫(huà)出下列各方程所表示的曲面：

22

(1)(x-1)2+y2=1；(2)匕一土=1

94

V-22

(3)——+—=1；(4)x2+z=2.

94

答案：略.

習(xí)題8-5(B)

1.一球面過(guò)原點(diǎn)和A(4,0,0)、8(1,3,0)和C(0,0,-4),求該球面的方程.

解：設(shè)球面方程為x2+y2+z2+0x+￡y+Ez=O,由于它過(guò)A(4,(),0)、8(1,3,())和

C(0,0,-4),因此

16+40=0,￡>=—4,

-l+9+D+3E=0,解得=—2,

16—4/=0F=4.

因此，該球面的方程為x2+y2+z2-4x-2y+4z^0.

2.畫(huà)出下列各曲面所圍立體的圖形：

(1)z=0,z=3,x=y,x=^3y,x2+y2=l(在第一卦限內(nèi))；

(2)x=0,y=0,z=0,x1+y2=R2,y2+z2=R2(在第一卦限內(nèi)).

答案：略.

18

習(xí)題8-6(A)

1.說(shuō)出下列曲線的名稱，指出曲線的特點(diǎn)并作出曲線的草圖.

29

x=LZ=X+y,

(1)《(2)<

y=2；z=1；

x2-y2=2z,x2-2y2=8z,

(3)4

z=8；y=-2.

答案：（1）直線；（2）圓；（3）雙曲線；（4）拋物線.

2.分別在平面直角坐標(biāo)系和空間直角坐標(biāo)系下，指出下列方程所表示的圖形名稱.

x2+2y2=1,

⑴y=5x+2,

(2)41

[y=3x-2;y=--

2

答案：（1）在平面直角坐標(biāo)系下表示一個(gè)點(diǎn)，在空間直角坐標(biāo)系下表示一條直線;

（2）在平面直角坐標(biāo)系下表示兩個(gè)點(diǎn)，在空間直角坐標(biāo)系下表示兩條直線.

3求曲線二廠已在g面上的投影?

z=yl2-x2-y2,有f+y2=]

解：由，

Z=If

221

z=y/2-x2-y-,在面上的投影為,廠+y-=1,

因此，曲線xOy

Z=1z=0.

2x2+y2+z2=16,

4.求曲線《在xOz面上的投影.

x2-y2+z2=0

2x2+y2+z2=16,

解:由4c-,有3f+2z2=16.

x2—y"+z~-0,

2x2+v2+z2=16,出?+2z?=16,

因此，曲線1:,在xOz面上的投影為《

x2-y2+z2=0[y=0.

5.畫(huà)出下列空間區(qū)域Q的草圖.

（1）。由平面x+y+z=l及三個(gè)坐標(biāo)面圍成;

（2）Q由圓錐面z=Jx2+y2及上半球面z=J2—/圍成;

(3)Q由拋物面12=1-z,平面y=0,z=0及％+y=l圍成;

19

(4)。是由不等式，+z2WR2及y2+z2WR2確定的第一卦限的部分.

答案：略.

6.作出下列空間區(qū)域在xOy面及xOz面上的投影區(qū)域.

(1)介于球面/+y2+z2=4cz2內(nèi)的圓柱體(x-a)2+y2<a2；

(2)Q由圓錐面z=及拋物柱面z2=2x圍成.

答案：略.

習(xí)題8-6(B)

2x2+y2+z2=16

1.分別求母線平行于x軸與y軸且都通過(guò)曲線,；,的柱面方程.

%--y+z-=0

222

答案：平行于x軸：3/-Z=16;平行于y軸：3X+2Z=16.

fI2y+z?=9

2.求曲線(,~的參數(shù)方程.

、y=z

x=3cos。

答案：<y=y/3sin0,(O<0<2TC).

z=gsin8

20

總習(xí)題八

一、填空題

1.設(shè)向量a=/”+〃，b-m-2n,且/〃|=2,曬=1,加與〃的夾角。=],則向量a與力的

數(shù)量積a-b=；

答案：1.

解析：a-b=(m+n)(m-In)-m-inn-In-|/n|-|m||/j|cos^-2|/?|=4-2-g-2=l.

2.同時(shí)垂直于3=(1,2,1)和石=(3,4,5)的單位向量為；

答案：±—(6,—2,—2).

2VII

ijk

解析：c^axb=121=(6,-2,-2),忖=2萬(wàn)

345

1

所以2°(6,-2,-2),即為所求單位向量.

-o12To

3.設(shè)單位向量。的兩個(gè)方向余弦為cosa=-，cos/=—,則向量。的坐標(biāo)為

33

?、-o

答案：ci

2

解析：設(shè)第三個(gè)方向角為/,由以拈2。+(：(為2，+(：052/=1,得cosy=±§

所以a"=1—,±—j.

U33J

%+2y+z=l,2x-y-z--3,的平面方程

4.過(guò)點(diǎn)加(3,-1,2)且平行于直線乙：＜和直線乙：4

2x+3y+2z=9x+3y+z=4

是______________

答案：x+3y+z=2.

解析：由題意可求得兩直線的方向向量分別為^=(1,2,1)x(2,3,2)=(1,0,-1),

=(2,-1,-1)x(1,3,1)=(2,-3,7),所以所求平面的法向量為E=，XW=(—3,—9,—3),又因?yàn)?/p>

所求平面過(guò)點(diǎn)M(3,—l,2),由點(diǎn)法式得平面方程為一3。-3)-9(y+l)-3(z-2)=0,化簡(jiǎn)得

21

x+3y+z=2.

5.過(guò)點(diǎn)M(0,2,—3)且與平面x+2z=3垂直的直線方程為；

■田y—2z+3

答案：X=------=--------

02

解析：因?yàn)樗笾本€與所給平面垂直，所以方向向量為石=(1,0,2)

由對(duì)稱式得所求直線方程為X=g=壬.

02

6.過(guò)點(diǎn)(3-1,3)且通過(guò)直線—=早=式的平面方程是；

答案：—2x+4y+z=—7.

解析：點(diǎn)(3,-1,3)與題中的直線共面，所以點(diǎn)(