2020-2021學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)數(shù)列5.2等差數(shù)列5.2.1.2等差數(shù)列的性質(zhì)課時(shí)素養(yǎng)檢測(cè)含解析

四等差數(shù)列的性質(zhì)(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.在等差數(shù)列{an}中,若a2=4,a4=2,則a6= () B.0 【解析】6=2a4-a2=2×2-4=0.2.等差數(shù)列{an}中a2=5,a6=33,則a3+a5= () B.38 【解析】3+a5=a2+a6=38.3.等差數(shù)列{an}中,已知a3=10,a8=-20,則公差d= () B.-6 【解析】選B.由等差數(shù)列的性質(zhì),得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d=QUOTE=-6.4.設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,則a37+b37等于()A.0 B.37 C.100 【解析】選C.因?yàn)閧an},{bn}都是等差數(shù)列,所以{an+bn}也是等差數(shù)列.又因?yàn)閍1+b1=100,a2+b2=100,所以an+bn=100,故a37+b37=100.5.在{an}中,a1=15,3an+1=3an-2(n∈N*),則該數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)的乘積為負(fù)數(shù)的項(xiàng)是()21和a22 22和a2323和a24 24和a25【解析】n+1=3an-2,得an+1=an-QUOTE,所以數(shù)列{an1=15,d=-QUOTE,所以an=-QUOTEn+QUOTE,由an>0,得-QUOTEn+QUOTE>0,所以n<QUOTE,所以a23=QUOTE>0,a24=-QUOTE<0,所以a23·a24<0.6.(多選題)若a,b,c成等差數(shù)列,則二次函數(shù)y=ax2-2bx+c的圖像與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)可能為 ()A.0 B.1 C.2 【解析】選BC.因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c,所以Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.所以二次函數(shù)y=ax2-2bx+c的圖像與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2.二、填空題(每小題5分,共10分)7.某工廠的三個(gè)車間共生產(chǎn)了3600件產(chǎn)品,在出廠前要檢查這批產(chǎn)品的質(zhì)量,決定采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽取,若從第一、二、三車間抽取的產(chǎn)品數(shù)分別為a,b,c,且a,b,c構(gòu)成等差數(shù)列,則第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為______.

【解析】因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c,所以QUOTE=b,所以第二車間抽取的產(chǎn)品數(shù)占抽樣產(chǎn)品總數(shù)的QUOTE.根據(jù)分層抽樣的性質(zhì),可知第二車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)占總數(shù)的QUOTE,即為QUOTE×3600=1200.答案:12008.在等差數(shù)列QUOTE中,若a2+a8=10.則QUOTE-2a5=__________.

【解析】因?yàn)閿?shù)列QUOTE為等差數(shù)列,a2+a8=a4+a6=2a5=10,所以QUOTE-2a5=102-10=90.答案:90三、解答題(每小題10分,共20分)9.兩個(gè)等差數(shù)列{an}:5,8,11,…和{bn}:3,7,11,…都有100項(xiàng),那么它們共有多少個(gè)相同的項(xiàng)?【解析】方法一:設(shè)已知兩數(shù)列的所有相同的項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列為{cn},c1=11,又?jǐn)?shù)列5,8,11,…的通項(xiàng)公式為an=3n+2,數(shù)列3,7,11,…的通項(xiàng)公式為bn=4n-1,所以數(shù)列{cn}為等差數(shù)列,且d=12,所以cn100=302,b100=399,所以cn=12n-1≤302,所以n≤25QUOTE,所以已知兩數(shù)列共有25個(gè)相同的項(xiàng).方法二:因?yàn)閍n=3n+2,bn=4n-1,設(shè)an=bm,則有3n+2=4m-1(n,m∈N*)即n=QUOTEm-1(n,m∈N*).要使n為正整數(shù),m必須是3的倍數(shù).設(shè)m=3k(k∈N*),代入n=QUOTE≤3k≤100,且1≤4k-1≤100,所以1≤k≤25,所以共有25個(gè)相同的項(xiàng).10.在等差數(shù)列{an}中,若a1+a2+…+a5=30,a6+a7+…+a10=80,求a11+a12+…+a15.【解析】方法一:由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1+a11=2a6,a2+a12=2a7,…,a5+a15=2a10.所以(a1+a2+…+a5)+(a11+a12+…+a15)=2(a6+a7+…+a10).所以a11+a12+…+a15=2(a6+a7+…+a10)-(a1+a2+…+a5)=2×80-30=130.方法二:因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a1+a2+…+a5,a6+a7+…+a10,a11+a12+…+a15也成等差數(shù)列,即30,80,a11+a12+…+a15成等差數(shù)列,所以30+(a11+a12+…+a15)=2×80,a11+a12+…+a15=130.(35分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)1.已知函數(shù)fQUOTE=QUOTE,在等差數(shù)列QUOTE中,a7=7,a9=11,則fQUOTE= () B.2 【解析】7+a9=2a8,即7+11=2a8,所以a8=9,則fQUOTE=fQUOTE=1+log39=3.2.已知等差數(shù)列{an}滿足a4+a5=24,a1+a2+a3+a4+a5+a6=48,則{an}的公差為 () B.2 【解析】1+a2+a3+a4+a5+a6=48,所以3(a3+a4)=48,即a3+a4=16①,又因?yàn)閍4+a5=24②,②-①得a5-a3=8,故d=QUOTE=4.3.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列,上面4節(jié)的容積共3升,下面3節(jié)的容積共4升,則第5A.1升 B.QUOTE升 C.QUOTE升 D.QUOTE升【解析】選B.設(shè)所構(gòu)成的等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公差為d,則有QUOTE即QUOTE解得QUOTE所以a5=a1+4d=QUOTE,即第5節(jié)的容積為QUOTE升.4.(多選題)在等差數(shù)列{an}中,已知a5=10,a12>31,則公差d的取值可以為() B.4 C.5【解析】1,由題意,可知QUOTE解得d>3.所以d的取值范圍是(3,+∞).二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知△ABC中三邊a,b,c成等差數(shù)列,QUOTE,QUOTE,QUOTE也成等差數(shù)列,則△ABC的形狀為________.

【解析】由題可得QUOTE②2-①,得2QUOTE2=ac,又(a+c)2=4b2,即(a+c)2=4ac,所以a2-2ac+c2=0,即(a-c)2=0,所以a=c,代入①,可得a=b=c,所以△ABC為等邊三角形.答案:等邊三角形6.如果等差數(shù)列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a4=________;a1+a2+…+a7=________.

【解析】由a3+a4+a5=3a4=12,所以a4=4,a1+a2+…+a7=7a4=28.答案:4287.在等差數(shù)列{an}中,a5+a6=4,則log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=________.

【解析】在等差數(shù)列{an}中,a5+a6=4,所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4,所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20,則log2(QUOTE·QUOTE·…·QUOTE)=log2QUOTE=a1+a2+…+a10=20.答案:208.已知(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的4個(gè)根組成首項(xiàng)為QUOTE的等差數(shù)列,則|m-n|=________.

【解析】因?yàn)閥=x2-2x+m與y=x2-2x+n有相同的對(duì)稱軸,設(shè)四個(gè)根分別為x1,x2,x3,x4,不妨設(shè)x1,x4為x2-2x+m=0的兩根,x2,x3為x2-2x+n=0的兩根,則QUOTE不妨令x1=QUOTE,所以x4=QUOTE,x2=QUOTE,x3=QUOTE,所以m=QUOTE,n=QUOTE,所以|m-n|=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共30分)9.設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,bn=QUOTE,且b1+b2+b3=QUOTE,b1b2b3=QUOTE,求通項(xiàng)公式an.【解析】因?yàn)閎1b2b3=QUOTE,又bn=QUOTE,所以QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以a1+a2+a3=3.又{an}成等差數(shù)列,所以a2=1,a1+a3=2.所以b1b3=QUOTE,b1+b3=QUOTE,所以QUOTE或QUOTE所以QUOTE或QUOTE設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,當(dāng)a1=-1,a3=3時(shí),d=2,所以an=-1+2(n-1)=2n-3;當(dāng)a1=3,a3=-1時(shí),d=-2,所以an=3-2(n-1)=-2n+5.綜上所述,an=2n-3(n∈N*)或an=-2n+5(n∈N*).10.已知無(wú)窮等差數(shù)列{an}中,首項(xiàng)a1=3,公差d=-5,依次取出序號(hào)能被4除余3的項(xiàng)組成數(shù)列{bn}.(1)求b1和b2;(2)求{bn}的通項(xiàng)公式;(3){bn}中的第503項(xiàng)是{an}中的第幾項(xiàng)?【解析】數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的一個(gè)子數(shù)列,其序號(hào)構(gòu)成以3為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,由于{an}是等差數(shù)列,則{bn}也是等差數(shù)列.(1)因?yàn)閍1=3,d=-5,所以an=3+(n-1)×(-5)=8-5n.數(shù)列{an}中序號(hào)被4除余3的項(xiàng)是{an}中的第3項(xiàng),第7項(xiàng),第11項(xiàng),…,所以b1=a3=-7,b2=a7=-27.(2)設(shè){an}中的第m項(xiàng)是{bn}中的第n項(xiàng),即bn=am,則m=3+4(n-1)=4n-1,所以bn=am=a4n-1=8-5×(4n-1)=13-20n,即{bn}的通項(xiàng)公式為bn=13-20n(n∈N*).(3)b503=13-20×503=-10047,設(shè)它是{an}中的第m項(xiàng),則-10047=8-5m,解得m=2011,即{bn}中的第503項(xiàng)是{an}中的第2011項(xiàng).11.已知等差數(shù)列{an}中,公差d>0,a2·a3=45,a1+a4=14.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)令bn=QUOTE(n∈N*),是否存在一個(gè)非零常數(shù)c,使數(shù)列{bn}也為