2022-2023學年江蘇省常州市鐘樓區(qū)北郊初級中學九年級（上）期中數(shù)學試卷（附答案詳解）

2022.2023學年江蘇省常州市鐘樓區(qū)北郊初級中學九年級(上)

期中數(shù)學試卷

1.一元二次方程4x2+5x=8化為一般式后的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為()

A.4,5,0B.4,5,8C.4x2,5x,-8D.4,5,-8

2.如圖是一個圓錐形冰淇淋外殼(不計厚度)，已知其母線長為12cm,圓錐口圓

面半徑為3cm,則這個冰淇淋外殼的側(cè)面積等于cm2.()Q]

A.157r\/

B.367r\/

C.307r

D.187r

3.用配方法解方程/-2x=2時，配方后正確的是()

A.(x+I)2-3B.(x+I)2-6C.(x—I)2-3D.(x—l)2-6

4.平面內(nèi)，。。的半徑為3,若直線/與。。相離，圓心。到直線/的距離可能為()

A.1B.2C.3D.4

5.某種商品原來每件售價為150元，經(jīng)過連續(xù)兩次降價后，該種商品每件售價為96元，設(shè)

平均每次降價的百分率為x,根據(jù)題意，所列方程正確的是()

A.150(1-x2)=96B.150(1-%)=96

C.150(1-x)2=96D.150(1-2%)=96

6.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于。。，點尸為上一點，則D

4EFC的度數(shù)為()

D.72。

7.定義新運算a*b：對于任意實數(shù)a,匕滿足a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右邊是通

常的加法、減法、乘法運算，例如3*2=(3+2)(3一2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k為實

數(shù))是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是()

A.有一個實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.有兩個相等的實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

8.如圖，已知乙4BC=60。，點。為BA邊上一點，8。=10,

作線段8。的垂直平分線，交B力于點。，再以點。為圓心,

BODA

線段。8長為半徑作弧，交BC于點E,連接DE,則QE的長是（）

A.5V5B.5V3C.5V2D.5

9.方程/=x的根是.

10.一個扇形的圓心角為120。，半徑為3,則這個扇形的弧長為.（結(jié)果保留〃）

11.關(guān)于x的一元二次方程%2+3%+m=0沒有實數(shù)根，則〃，的取值范圍是.

12.一圓形玻璃鏡面損壞了一部分，為得到同樣大小的鏡面，工人師傅用直角尺作如圖所示的

測量，測得4B=12cm,BC=5cm,則圓形鏡面的半徑為

13.已知的半徑長7cm,P為線段。4的中點，若點P在。。上，則OA的長是cm.

14.若a是一元二次方程久2-2久一3=0的一個根，則4a-2a2的值是.

15.將一個容積為360cm3的包裝盒剪開鋪平，紙樣如圖所示.利用容積列出圖中x（cm）滿足的

一元二次方程：（不必化簡）.

16.如圖，和OC分別是0。的直徑和半徑，4BOC=60。，點產(chǎn)

是直徑AB上的一個動點，射線CP與O。相交于點Q,若APOQ是

等腰三角形，則NCPB=.

17.解方程：

(1)(%-2)2-3=0；

(2)x2-3%+1=0；

(3)x2—5x-6=0；

(4)(2x+3)2=(3x+2)2.

18.如圖，△力BC是OO的內(nèi)接三角形.N8AC=45。,請用無刻度的直尺按要求畫圖.

(1)如圖①，請在圖①中畫出弦C￡>,使得CD=BC；

(2)如圖②，是0。的直徑，8M是。。的切線，點A,C,M在同一條直線上.在圖中畫

出aABM的邊8"上的中線力D.

19.已知關(guān)于x的一元二次方程*2+(m+3)x+m+1=0.

(1)求證：無論機取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)若已知方程的一個根為-2,求方程的另一個根以及m的值.

20.貴州六盤水群舸江“余月郎山，西陵晚渡”的風景描繪中有半個月亮掛在山上，月亮之上

有個“齊天大圣”守護洞口的傳說.真實情況是老王山上有個月亮洞，洞頂上經(jīng)常有猴子爬

來爬去，如圖是月亮洞的截面示意圖.

(1)科考隊測量出月亮洞的洞寬約是28機，洞高AB約是12加,通過計算截面所在圓的半

徑可以解釋月亮洞像半個月亮，求半徑OC的長(結(jié)果精確到0.1m).

(2)若=162。，點M在弧CO上，則NCMO=°,

21.已知：如圖所示.在△ABC中，NB=90°,AB=5cm,BC=7cm,點P從點A開始沿

AB邊向點B以Icm/s的速度移動，點。從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動.如

果P，Q分別從A,B同時出發(fā)，那么幾秒后，APBQ的面積等于4cm2?

22.如圖，已知四邊形4PBe中，乙4PB=60。，尸4、P8與過A、8、C三點的O。相切于點A、

B.

(1)求乙4cB的度數(shù)；

(2)若。。的半徑長為4cm,求圖中陰影部分的面積.

23.如圖，△ABC為。。的內(nèi)接三角形，45為。。的直徑，點。為。0上一點，且4ABD=

&BAC,過點。作OE〃BC交C4的延長線于點E.

(1)求證：OE為。。的切線；

(2)若4E=8,DE=12,求。。的半徑.

24.直播購物逐漸走進了人們的生活.某電商在抖音上對一款成本價為40元/件的小商品進行

直播銷售，如果按每件60元銷售，那么每天可賣出20件.通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品

售價每降低5元，日銷售量增加10件.

(1)若日利潤保持不變，商家想盡快銷售完該款商品，每件售價應定為多少元？

(2)小明的線下實體商店也銷售同款小商品，標價為每件62.5元.為提高市場競爭力，促進線

下銷售，小明決定對該商品實行打折銷售，使其銷售價格不超過(1)中所求的售價，則該商品

至少需打折銷售.

25.閱讀理解：如圖1,直線/與。。相離，P為直線/上一動點，過點P作的切線PM,

切點為連接OM、0P,當PM最小時，稱線段PM為直線/與。。的“極短切線”.

【理解】

(1)如圖2,04的半徑為1,4(0,2),分別過x軸上2、0、C三點作OA的切線BM、0P、

CQ,切點分別是M、P、Q,則這三條切線中是x軸與的“極短切線”，該“極短

切線”的長度為.

【應用】

(2)如圖3,。力的半徑為1,4(0,2),直線/：y=kx-2與的“極短切線”的長度

為百，求上的值.

(3)保持(2)中求得的直線/不動，將04沿著y軸向下平移，若直線/與。4的“極短切線”

的長度小于遍，求點A的縱坐標y的取值范圍.

圖3備用圖

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4x2+5x=8,

4x2+5x—8=0,

所以一元二次方程4/+5x=8化為一般式后的二次項系數(shù)一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為4,5,-8,

故選：D.

先化成一元二次方程的一般形式，再求出答案即可.

本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式是解此題的關(guān)鍵，一元二

次方程的一般形式是a/+匕刀+c=0(a、b、c為常數(shù)，a#0).

2.【答案】B

【解析】解：???底面圓的半徑為3cm,

二底面圓的周長為6兀(czn),即圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長為67rcm,

.?.這個冰淇淋外殼的側(cè)面積=1x12x6?r=36?r(cm2)

故選：B.

根據(jù)圓的周長公式求出圓錐底面圓的周長，得到圓錐側(cè)面展開圖扇形的弧長，根據(jù)扇形面積公式

計算，得到答案.

本題考查的是圓錐的計算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)

鍵.

3.【答案】C

【解析】解：x2-2x=2,

X2—2x+1=2+1,即(x—1)2=3.

故選：C.

方程左右兩邊都加上1,左邊化為完全平方式，右邊合并即可得到結(jié)果.

本題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵.

4.【答案】D

【解析】解：丫。。的半徑為3,若直線/與。。相離，

???圓心。到直線)的距離＞3,

故選：D.

根據(jù)直線/與O。相離得到直線/與圓心的距離大于半徑，于是得到結(jié)論.

本題考查直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握①當直線與圓心的距離小于半徑，直線與圓相交：②當

直線與圓心的距離大于半徑，直線與圓相離，③當直線與圓心的距離等于半徑，直線與圓相切是

解題的關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：第一次降價后的價格為150x(1-X),兩次連續(xù)降價后售價在第一次降價后的價格

的基礎(chǔ)上降低x,為150x(1-x)x(l-x),

則列出的方程是150(1-％)2=96.

故選：C.

可先表示出第一次降價后的價格，那么第一次降價后的價格x(l-降低的百分率)=96,把相應

數(shù)值代入即可求解.

此題主要考查了由實際問題抽象出一元二次方程中求平均變化率的方法.若設(shè)變化前的量為a,

變化后的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(l±x)2=b.

6.【答案】D

【解析】解：?.?正五邊形ABCDE內(nèi)接于O0，

.“歐=經(jīng)窄皿=1。8。，

???四邊形CDEF是。0外接四邊形，

???乙EFC+乙CDE=180°,

乙EFC=180°-Z.CDE=180°-108°=72°,

故選D.

先由正多邊形內(nèi)角和定理求出NCDE,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出NEFC.

本題主要考查了正多邊形和圓，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解決問題

的關(guān)鍵.

7.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：(%+fc)(x-fc)-l=2x,

整理得：x2—2%—1—fc2=0,

4=4-4(-1-k2)=4/c2+8>0,

???方程有兩個不相等的實數(shù)根.

故選：B.

已知等式利用題中的新定義化簡，計算出根的判別式的值，判斷即可.

此題考查了根的判別式，方程的定義，以及實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

【解析】解：由題意得，為圓的直徑，

則NBED=90。，

???Z.ABC=60°,

乙BDE=30°,

BE=^BD=5,

DE=y/BD2-BE2=5V3,

故選：B.

根據(jù)圓周角定理求出NBE。=90。，再根據(jù)勾股定理計算即可.

本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、圓周角定理，根據(jù)圓周角定理求出NBED=90。是解題的關(guān)

鍵.

9.【答案】%]=0,x2=1

【解析】解：%2-%=0,

x(x—1)=0,

???x=0或％-1=0,

%]=0,%2=1?

故答案為與=0,x2—1.

先把方程化為一般式，再把方程左邊因式分解得x(x-1)=0,方程就可轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程

%=0或工一1=0,然后解一元一次方程即可.

本題考查了利用因式分解法解一元二次方程aM+bx+c=0的方法：先把方程化為一般式，再把

方程左邊因式分解，然后把方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，最后解一元一次方程即可.

10.【答案】27r

【解析】解：根據(jù)弧長的公式，=黑,

loU

得到：1=又常=2兀,

1OU

故答案是：27r.

根據(jù)弧長的公式，=黑進行計算即可.

loU

本題考查了弧長的計算，熟記弧長公式是解題的關(guān)鍵.

11.【答案】2.25

【解析】解；根據(jù)題意得：21=9-4m<0,

解得：m>2.25,

故答案為：2.25.

先計算的值.再根的判別式求解.

本題考查了根的判別式，正確計算是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】ycm

【解析】解：連接AC,

圖1

v/.ABC=90°,且乙4BC是圓周角，

???4C是圓形鏡面的直徑，

由勾股定理得：AC=y/AB2+BC2=V122+52=13(cm),

所以圓形鏡面的半徑為學cm,

故答案為：-^-cm.

連接AC,根據(jù)=90。得出AC是圓形鏡面的直徑，再根據(jù)勾股定理求出AC即可.

本題考查了圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系和勾股定理等知識點，能根據(jù)圓周角定理得

出AC是圓形鏡面的直徑是解此題的關(guān)鍵.

13.【答案】14

【解析】解：根據(jù)點和圓的位置關(guān)系，得OP=7cm,

再根據(jù)線段的中點的概念，得。4=2OP=14cm.

故答案為：14.

根據(jù)點與圓的位置關(guān)系和中點定義進行解答即可.

本題考查了點與圓的位置關(guān)系，中點定義，熟知點和圓的位置關(guān)系與數(shù)量之間的等價關(guān)系是解決

問題的關(guān)鍵.

14.【答案】-6

【解析】解：???a是一元二次方程M—2x-3=0的一個根，

**.a?-2Q—3=0,

即小—2a=3,

A4a—2a2

=-2（小—2d）

=-2x3

=—6.

故答案為：—6.

根據(jù)一元二次方程的解的定義即可求出答案.

本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的定義，本題屬于基礎(chǔ)題

型.

15.【答案】15x(10-乃=360

【解析】解：由題意可得：長方體的長為：15,寬為：(20-2x)-2=10-x,

則根據(jù)題意，列出關(guān)于x的方程為：15x(10-%)=360.

故答案為：15x(10-x)=360.

根據(jù)題意表示出長方體的長與寬，進而表示出長方體的體積即可.

此題主要考查了有實際問題抽象出一元二次方程，正確表示出長方體的棱長是解題關(guān)鍵.

16.【答案】100°或40°或80°

【解析】解：當OP=QP時，點尸在。3上時，

乙Q=（POQ,

設(shè)NQ=乙POQ=a,

OC=OQ,

：?Z-C=Z-Q=a,

???zC+乙COQ+4Q=180°,

???a+a+60°+a=180°,

解得a=40。,

???Z,Q=Z.POQ=40°,

???乙CPB=Z-OPQ=100°；

當OP=QP時，點P在。4上時,

AB

叭/

**.jQ=乙POQ,

設(shè)“=(POQ=a,

???OC=OQ,

v乙BOC=60°,

???Z.COP=120°,

???Z-C=4=Q,

???NC+“OQ+“=180°,

Aa+a+120°4-a=180°,

解得a=20。，

???4=(POQ=20°,

???乙CPB=40°；

當OQ=QP時，

???Z.POQ=ZOPQ,

???OC=OQ,

，設(shè)“=Z-Q—a,

???Z.POQ=4OPQ=￡=a+60°,

vzC4-Z.COQ+Z-Q=180°,

???a+a+60°+a+60°=180°,

解得y=20°,

即NC=20°,

???乙CPB=Z.C+Z.COP=20°+60°=80°；

當OP=OQ,

???點尸是直徑AB上的一個動點，

當OP=OQ時，點P,。重合，

???此情況不存在.

綜上所述，若^POQ是等腰三角形，則NCPB=100?；?0。或80。.

若APOQ是等腰三角形，分。P=QP,0Q=QP,OP=0Q三種情況進行分類討論解答即可.

本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用等腰三角形的性質(zhì).有兩條邊相等的三角

形叫做等腰三角形.等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩腰相等.

17.【答案】解:(1)Q—2/一3=0,

(x—2y=3,

x—2=+V3,

解得/=2+y/3,x2=2-V3；

(2)x2—3x+1=0,

"a=1,b=—3,c=1>

???b2-4ac=(-3)2-4xlxl=5>0,

_-b±Jb2-4ac_3±V5

"*==F'

解得/=￥，小=竽；

(3)x2—5x-6=0,

(%-6)(%+1)=0,

x—6=0或％+1=0,

解得%i—6,x2——1;

(4)(2%+3)2=(3x+2)2,

(2久+3)2-(3%+2)2=0,

[(2x+3)+(3x+2)][(2x4-3)-(3x+2)]=0,

(5x+5)(—%+1)=0,

—5(%+1)(%—1)=0,

x+1=?；?—1=0,

解得％i=—1?x2—1.

【解析】(1)方程利用直接開平方法求解即可；

(2)方程利用公式法求解即可；

(3)方程利用因式分解法求解即可；

(4)方程利用因式分解法求解即可.

本題考查了解一元二次方程，掌握提公因式法因式分解以及求根公式是解答本題的關(guān)鍵.

18.【答案】解：(1)如圖①所示，

DC即為所求；

(2)如圖②：AD即為所求.

【解析】(1)利用連接8。并延長交

圓于點D,連接CD,則CD=BC.CD圖②

即為所求作的圖形；

(2)連接0M交BC于點P,連接AP并延長交8M于點Q,則A。就是邊8M上的中線.即為

所求作的圖形.

本題考查了復雜作圖、線段的垂直平分線，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，再

逐步操作.

19.【答案】(1)證明：???/=(m+3)2-4xlx(ni+l)

=m2+6m+9—4m—4

=zn2+2m+1+4

=(m+1)2+4>0,

???無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)解：設(shè)方程的另外一根為a,

根據(jù)題意，得：『；2=一：一3,

解得：”°1，

=-1

所以方程的另一根為0,，"的值為-1.

【解析】(1)由4=(機+3)2-4x1x(m+1)=(m+1)2+4>0可得答案；

(2)設(shè)方程的另外一根為“，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出｛:3,解之即可得出答案.

題主要考查根與系數(shù)關(guān)系、根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程a-+bx+c=0(aK0)

的根與4=/-4ac有如下關(guān)系：①當4>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；②當4=0時，方

程有兩個相等的實數(shù)根；③當4<0時，方程無實數(shù)根.與，冷是方程/+px+q=0的兩根時,

XX

%14-X2=-p，12=q，反過來可得p=-(%14-%2)，q=%62?

20.【答案】99

【解析】解：(1)設(shè)04=0C=Rm,

v0ALCD.

1

/.CB=BD=^CD=14m,

在RtZkCOB中，0C2=OB2+CB2,

???R2=142+(R-12)2,

85

?**Rn=

o

85

???0C=-g-x14.2m.

(2)補全。0,在CO的下方取一點N,連接CN,DN,

CM,DM,

1

???Z.N="C0D=81°,

???乙CMD+乙N=180°,

:.乙CMD=99°.

故答案為：99.

(1)設(shè)。4=。。=Rm,利用勾股定理求出R即可；

(2)補全O。，在CD的下方取一點N,連接CMDN,CM,DM,利用圓周角定理，圓內(nèi)接四邊

形的性質(zhì)求解即可.

本題考查垂徑定理的應用，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參

數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

21.【答案】解：設(shè)經(jīng)過x秒以后，aPB。面積為4cm2,

由題意得，。點從8到C所用時間為7+2=3.5,

0<%<3,5,

此時/P=xcm,BP=(5-x)cm,BQ=2xcm,

由”P.BQ=4得其5-工)X2x,

整理得：X2-5X+4=0,

解得：x=1或％=4(舍)；

答：1秒后APBQ的面積等于4cm2.

【解析】經(jīng)過x秒鐘，APSQ的面積等于4cm2,根據(jù)點P從A點開始沿AB邊向點8以lcm/s的

速度移動，點。從B點開始沿BC邊向點C以2on/s的速度移動，表示出3P和8Q的長可列方程

求解.

此題主要考查了一元二次方程的應用以及直角三角形面積的應用，找到關(guān)鍵描述語“△PBQ的面

積等于4cm2”得出等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

22.【答案】解：(1)如圖，連接04,OB,0P,

vPA.尸8與過A、B、C三點的。。相切于點A、B.

???Z,0AP=乙0BP=90°,

???Z-APB=60°,

??,乙A0B=360°-40BP-Z.0AP-Z.APB=120°,

vZ-AOB=2Z,ACB=120°,

???乙ACB=60°；

(2)???Z_04P=40BP=90°,OA=OB,OP=OP,

^,RtOAP^WRtOBP^P,

(OP=OP

lOA=OB'

???RtAOAP三RtAOBP(HL),

???Z,AOP=乙BOP=^/.AOB=60°,

:.AP=OA?tan60°=4>/3(cm),

???陰影部分的面積=2△0Ap的面積一扇形AOB的面積

11207rx42

=2x-xAO?AP-------c----

L360

1廠16

=2x—x4x4v3—71

=16A/3—

???陰影部分的面積為16百-竽7E

【解析】(1)連接OA,OB,OP,利用切線的性質(zhì)可得41OB=120。，然后根據(jù)圓周角定理即可解

決問題；

(2)利用⑴的結(jié)論可證Rt△OAP三Rt△OBP,從而利用全等三角形的性質(zhì)可得〃0P=lBOP=

^AOB=60%然后在RMCMP中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AP的長，最后根據(jù)陰影部分

的面積=2△0Ap的面積-扇形AOB的面積，進行計算即可解答.

本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，三角形的外接圓與外心，扇形面積的計算，根據(jù)題

目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】(1)證明：連接0。，如圖.D

E

???48為。。的直徑，點。在。。上，

???乙ACB=90°,

???DE//BC,

??.Z,E=180°-乙ACB=90°.

11

-Z.ABD=^AODfZ.ABD=^Z.BAC,

??Z.AOD=Z.BACf

:.OD//CE,

???4ODE+4E=180°,

???乙E=90°,

:.(ODE=90°,

即。。1DE,

。。是。。的半徑，

OE為。。的切線；

(2)解：過點A作AF_L。。于點F,如圖，

vZ.AFD=乙FDE=Z.E=90°,

四邊形AEQF為矩形，

???DF=AE=8,AF=DE=12.

設(shè)。。的半徑為R，則04=R,OF=R-8.

在RtAOA尸中，OF2+AF2=OA2,

即(R-8)2+122=R2,

解得R=13,

即。。的半徑為13.

【解析】(1)連接OD,如圖.根據(jù)圓周角定理得到N4CB=90。,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NE=1800-

乙4cB=90。.根據(jù)平行線的判定定理得到OD〃CE,得到?！癑LDE,根據(jù)切線的判定定理即可得到

結(jié)論；

(2)過點A作AF_L。。于點F,如圖，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CF=AE=8,4F=DE=12.設(shè)。。的

半徑為R,貝i」OA=R,OF=/?-8.根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；圓的切線

垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定理.

24.【答案】八

【解析】解：(1)設(shè)每件售價應定為x元，則每件的銷售利潤為(％-40)元，每天可售出20+10X

雪=(140-2x)件，

依題意得：(x-40)(140-2x)=(60-40)X20,

整理得：x2-110x+3000=0,

解得：xx=50,x2=60,

又???商家想盡快銷售完該款商品，

x—50.

答：每件售價應定為50元.

(2)設(shè)該商品打y折銷售，

依題意得：62.5x看W50,

解得：y<8,

該商品至少需打八折銷售.

故答案為：八.

(1)設(shè)每件售價應定為x元，則每件的銷售利潤為(X-40)元，每天可售出(140-2x)件，利用總

利潤=每件的銷售利潤x每天的銷售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值

即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)該商品打)，折銷售，利用售價=原價x折扣率，結(jié)合售價不超過50元，即可得出關(guān)于y的一

元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出結(jié)論.

本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關(guān)鍵是：(1)找準等量關(guān)系，

正確列出一元二次方程；(2)根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式.

25.【答案】OP娼

【解析】解：(1)如圖1,「PM是。。的切線，

???4PM。=90°,

???。。的半徑OM是定值，PM=7OP2—OM2,

???OP最小時，PM最小,此時0P1，，

在圖2中，???4。_Lx軸，

???0P是x軸與的“極短切線”，

OP=>JOA2—AP2=>/22—I2=V3>

故答案為：OP,V3；

(2)當k<0時，設(shè)直線/交x、y軸于，、G,FE是直線/與。4的“極短切線”，如圖：

???G（0