復(fù)數(shù)-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)知識考點培優(yōu)講義（人教A版2019必修第二冊）【解析版】

專題04復(fù)數(shù)

<---------；

知識概要，

知識占一數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的概念

1.復(fù)數(shù)的定義：形如〃+歷（八6GR）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2=—l.

全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做復(fù)數(shù)集.

2.復(fù)數(shù)的代數(shù)表示：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即2=°+歷（a、6GR）,這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,

與b分別叫做復(fù)數(shù)Z的實部與虛部.

3.復(fù)數(shù)相等的充要條件

設(shè)a、b、c、d都是實數(shù)，那么a+bi=c+di=a=c且b=d.

4.復(fù)數(shù)z=a+Z?i（a、%GR）,z=0的充要條件是a=0且。=0,a=0是z為純虛數(shù)的必要不充分條件.

5.復(fù)數(shù)的分類

[a=0

（1）復(fù)數(shù)z=a+歷（a,%WR）,z為實數(shù)o》=0,z為虛數(shù)=厚0,z為純虛數(shù)oj/。.

（2）集合表示:

復(fù)數(shù)集（C）

6.共輾復(fù)數(shù)：一般地，當兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共鈍復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)

的共規(guī)復(fù)數(shù)記作巳

知識占二復(fù)數(shù)的幾何意義

1.復(fù)平面的定義

建立了直角坐標系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸，實軸上的點都表示實數(shù),

除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).

2.復(fù)數(shù)的幾何意義

(1)每一個復(fù)數(shù)都由它的實部和虛部唯一確定，當把實部和虛部作為一個有序數(shù)對時，就和點的坐標一樣,

從而可以用點表示復(fù)數(shù)，因此復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點是一一對應(yīng)關(guān)系.

(2)若復(fù)數(shù)z=a+歷5、(GR),則其對應(yīng)的點的坐標是(a,b),不是(a,bi).

(3)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為始點的向量也可以建立一一對應(yīng)關(guān)系.

如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+齒色、6CR)可以用點Z(m份或向量0m表示.

復(fù)數(shù)z=a+歷(a、6GR)與點Z(a,與和向量。彳的——對應(yīng)關(guān)系如下:

復(fù)數(shù)z=a+bi(。力WR)

平而向量該

點Z(ab)

3.復(fù)數(shù)的模

復(fù)數(shù)z=a+歷(a、66R)對應(yīng)的向量為。2,則。2的模叫做復(fù)數(shù)z的模，記作|z|且|z|=y/a2+b2

當6=0時，z的模就是實數(shù)”的絕對值.

4.復(fù)數(shù)模的幾何意義

復(fù)數(shù)模的幾何意義就是復(fù)數(shù)z=a+bi所對應(yīng)的點Z(a,切到原點(0,0)的距離.

由向量的幾何意義知，Z2|表示在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)Z］與Z2對應(yīng)的兩點之間的距離.

知識點三復(fù)數(shù)的四則運算

1.復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運算法則

設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d@R),則

(1)zi±z2=(a±c)+(b±d)i；

(2)zi?Z2=(ac—bd)+(ad+bc)i；

2.復(fù)數(shù)的加、減法幾何意義及運算律

Z|、Zi、Z3《C,設(shè)龍I、靈2分別與復(fù)數(shù)zi=a+bi,Z2=c+di(。、b、c、dGR)相對應(yīng)，且岳卜龍2不

共線

幾何卜4

-op---------------J

意義

復(fù)數(shù)的和Z|+Z2與向量靈|+應(yīng)2=旅復(fù)數(shù)的差ZI—Z2與向量應(yīng)1—位=技1的坐標

的坐標對應(yīng)對應(yīng)

交換律Z1+Z2=Z2+Z]

運算律(Z]+Z2)+Z3

結(jié)合律

=Z1+(Z2+Z3)

3.復(fù)數(shù)乘法的運算律

對任意復(fù)數(shù)zi、Z2、z3ec,有

交換律Z-Z2=Z2，Z]

結(jié)合律(zrZ2)?Z3=zr(Z2Z)

分配律Z|(Z2+Z3)=Z]Z2+Z]Z3

【點撥】復(fù)數(shù)的有關(guān)性質(zhì)

1.i"(〃6N*)的性質(zhì)

計算復(fù)數(shù)的乘積要用到虛數(shù)的單位i的乘方，i"有如下性質(zhì):

i1=i,i2=-1,i3=i-i2=—i,i4=i3i=—ii=i,

從而對于任何"GN*,都有i4"+i=i4".i=(i4)".i=i,

同理可證i4"+2=-l,y+3=—i,i4"+4=l.

這就是說，如果〃eN*,那么有

;4n+l——；；4〃+2———1;4〃+3———;;4〃+4——i

1——1，1——1,1——1f1——1.

1-i

由此可進一步得(l+i)2=2i,(1—i)2=-2i,TV7

2.1的三次虛根的性質(zhì)

由方程/一1=0,得

-1+小i—1-小i

元]=1,12=2,X3=2?

若取3=幽魚，則了二二1?應(yīng)，有如下關(guān)系:

⑴/=CD3=1；(2)\+CD+CO2=0;

---------------11

(3)/2=CD；(4)co?CO=1；(5)CD=彳，co=^^；

5CD

⑹①3”=1,爐”+1=3,方〃一』6

3.共胡與模是復(fù)數(shù)的重要性質(zhì)，運算性質(zhì)有：

22

⑴Z]±z2=Z]±z2；(2)Zjxz2=z,xz2；(3)z-z=|z|=|z|；(4)||z||-|z2||<|z,±z2|<|z]|+|z2|;

⑸|中21Tzi,㈤；唱唱?

知識占四復(fù)數(shù)的三角形式及其運算

1.復(fù)數(shù)的三角表示式及復(fù)數(shù)的輻角和輻角的主值

一般地，任何一個復(fù)數(shù)2=。+6都可以表示成McosO+isin。)的形式，其中，r是復(fù)數(shù)z的模；。是以尢軸

的非負半軸為始邊，向量0Z所在射線(射線0Z)為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+hi的輻角，我們規(guī)定在0<0<2n

范圍內(nèi)的輻角。的值為輻角的主值，通常記作argz.NcosS+isin。)叫做復(fù)數(shù)2=。+〃的三角表示式，簡稱

三角形式.〃+歷叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.

2.復(fù)數(shù)三角形式的乘、除運算

若復(fù)數(shù)zi=〃(cosa+isina)，Z2=r2(cosOz+isin&),且z&2，則

(l)ziZ2=n(cos仇+isina)?/^(cosJz+isin仇)=

r\〃2[cos(。]+02)+isin(0i+&)]

zi門cos仇+isin仇

Q)Z2廠2cos02+isin&

[cos(4一02)+isin(仇一仍)].

即：兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和.

兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻

角所得的差.

《一?一?―???????「

X胞考點速覺/

工潮考點精折/

-____________________J

考點01復(fù)數(shù)的概念

【典例1】（2023?高一課時練習(xí)）已知z=m+（〃7+，）（meR）,下列關(guān)于復(fù)數(shù)z的描述中，不正確的是（）

A.z不可能是實數(shù)B.z不可能是純虛數(shù)

C.Rez-Imz>0D.Imz>2

【答案】D

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念依次判斷即可得出答案.

【詳解】對A,w+-=0,即加+1=0無實數(shù)解，故z不可能是實數(shù)，故A正確；

tn

對B,加片0,故z不可能是純虛數(shù)，故B正確；

對c,Rez-Imz="7（m+\）二/+1〉0,故C正確；

對D,Imz=/%+1~,當mvO時，ImzvO,故D錯誤，

m

綜上，不正確的是D選項.

故選：D.

【典例2】（2023?高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=cosa+icos2a（0<a<2兀）的實部與虛部互為相反數(shù)，則。

的取值不可能為（）

A.-B.—C.兀D.5兀

33

【答案】B

【分析】由實部和虛部互為相反數(shù)，結(jié)合二倍角公式可構(gòu)造關(guān)于COSQ的一元二次方程，解方程求得COSQ,

根據(jù)特殊角三角函數(shù)值和。的范圍可求得結(jié)果.

【詳解】由題意可得，cosa+cos2a=0,

/.2cos2a+cosa-1=0.

一1

cosa=-1或「.cosa=-

2

()<a<2兀

7T5兀

a=兀，一,—,

33

故選：B.

【總結(jié)提升】

(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：

若z=q+歷，只有當a、6WR時，“才是z的實部，Z?才是z的虛部，且注意虛部不是歷，而是/?.

(2)不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆，實數(shù)也是復(fù)數(shù)，實數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分.學(xué)習(xí)本章必須準確理

解復(fù)數(shù)的概念.

(3)虛數(shù)單位i的性質(zhì)

①產(chǎn)=T

②i與實數(shù)之間可以運算，亦適合加、減、乘的運算律.

③由于i2<0與實數(shù)集中a2K)(aeR)矛盾，所以實數(shù)集中很多結(jié)論在復(fù)數(shù)集中不再成立.

例如：復(fù)數(shù)集中不全是實數(shù)的兩數(shù)不能比較大小.

考點02復(fù)數(shù)的分類

【典例3)【多選題】(2022?全國?高一假期作業(yè))下列說法中正確的有()

A.若aeR,則(〃+l)i是純虛數(shù)

B.若l+(f+3x+2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)x=±l

C.若a40,則z=〃-從+(a+|a|)i(a,8eR)為實數(shù)

D.若a,beR,且a>b,則歷2>工

【答案】CD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念與分類，逐項判定，即可求解.

【詳解】對于A中，當a=—1,可得的(a+Di=0不是純虛數(shù)，故A錯誤；

對于B中，當x=—1,可得W+3x+2=0,此時丁―l+(V+3x+2)i=0不是純虛數(shù)，所以B錯誤；

對于C中，當a40時，可得|a|+a=0,所以z=/-〃為實數(shù)，所以C正確;

對于D中，由i2=—1，且所以歷2>32,所以D正確.

故選：CD

【典例4】(2022春?山東臨沂?高一?？茧A段練習(xí))已知復(fù)數(shù)z=m(〃L3)+(m-3)i,其中i為虛數(shù)單位.若z滿

足下列條件，求實數(shù)用的值：

(l)z為實數(shù)；

(2)z為純虛數(shù)；

(3)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y=x上.

【答案】(1)帆=3；

(2)m=0；

(3)tn=1或桃=3.

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)為實數(shù)其虛部為0；復(fù)數(shù)為純虛數(shù)其實部為0,虛部不為0；點在直線y=x上，其實部與

虛部相等；

(1)為實數(shù)，二，"-3=0,解得：加=3；

pw(/n-3)=0,

<=>zn=0

(2)為純虛數(shù)，⑺-3二0,.

(3)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y=x上，

機(加一3)=機-3=機=1或帆=3.

【總結(jié)提升】

1.判斷一個含有參數(shù)的復(fù)數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，首先要保證參數(shù)值使虛數(shù)表達式有意義，

其次要注意復(fù)數(shù)代數(shù)形式的條件，另外對參數(shù)值的取舍，是取“并''還是"交”，非常關(guān)鍵，解答后進行驗算是

很必要的.

2.形如歷的數(shù)不一定是純虛數(shù)，只有限定條件6GR且厚0時，形如歷的數(shù)才是純虛數(shù).

考點03復(fù)數(shù)相等

【典例5】(2023?高一課時練習(xí))若共物復(fù)數(shù)為>滿足。+}92-3頊=4-&,則x,y共有組解.

【答案】4

【分析】待定系數(shù)法，再利用復(fù)數(shù)相等的條件可得方程組，解出答案即可.

【詳解】設(shè)x=a+歷,則y=a-砥a,beR),

V(x+>,)2-3孫i=4-6i,

(a+bi+a-bi)2-3(a+6i)(a-6i)i=4面-3,2+")i=4-6i,

4/=4,/=i,

3(a2+b2^-6[b2=1."

...共有4組解.

故答案為：4.

【總結(jié)提升】

復(fù)數(shù)相等的充要條件是“化復(fù)為實”的主要依據(jù)，多用來求解參數(shù)的值.步驟是：分別分離出兩個復(fù)數(shù)的實

部和虛部，利用實部與虛部分別相等列方程組求解.

考點04復(fù)數(shù)的幾何意義

【典例6】(2022?高一單元測試)已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)-2+3i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求出答案.

【詳解】-2+3i在復(fù)平面所對應(yīng)的點為(-2,3),位于第二象限.

故選：B.

【典例7】(2023?高一課時練習(xí))在正方形OMNP中，若OM對應(yīng)的復(fù)數(shù)為l+2i,則NP對應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

【答案】-l-2i

【分析】在正方形。MNP中，NP=-OM，根據(jù)向量與復(fù)數(shù)的關(guān)系即可求出結(jié)果.

【詳解】因為OM對應(yīng)的復(fù)數(shù)為l+2i,所以O(shè)M=(1,2)

在正方形OMNP中，NP=-OM=(-1,—2)

則NP對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-l-2i

故答案為：-l-2i

【總結(jié)提升】

1.復(fù)數(shù)的幾何意義包含兩種：

(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點的對應(yīng)關(guān)系：每一個復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的一個點對應(yīng)，復(fù)數(shù)的實部、虛部分別是對應(yīng)點

的橫坐標、縱坐標.

(2)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對應(yīng)關(guān)系：當向量的起點在原點時，該向量可由終點唯一確定，從而可與該終點

對應(yīng)的復(fù)數(shù)建立一一對應(yīng)關(guān)系，借助平面向量的有關(guān)知識，可以更好的理解復(fù)數(shù)的相關(guān)知識.

2.有關(guān)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位置(在實軸上、虛軸上、某個象限內(nèi)、某條已知直線上等)的題目，先找出

復(fù)數(shù)的實部、虛部，再按點所在的位置列方程或不等式(組)求解.

考點05復(fù)數(shù)模的計算

【典例8】(2022春?黑龍江?高一哈九中?？计谥?已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=l+i,則下列命題不正確的是

()

A.z的共朝復(fù)數(shù)為彳=1TB.z的虛部為i

C.z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一?象限D(zhuǎn).|z|=V2

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的定義和幾何意義解決即可.

【詳解】由題知，復(fù)數(shù)z=l+i=(l,l)的共班復(fù)數(shù)為三=l-i,虛部為1,在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(1,1)在第一

象限，|z|=』,故B錯誤

故選：B

【典例9】已知復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+8i,求復(fù)數(shù)z.

【答案】

【解析】設(shè)z="+%i(a,〃6R),代入等式后，可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求出a,h.

解法一：設(shè)z=a+4(a、&GR),則憶|=Ja2+=2,

代入方程得a+bi+y/a2+b2=2+8i,

a+J/+b2=2a=-15

??.17,解得1..?.z=—15+8i.

b=8[b=8

解法二：原式可化為z=2一|z|+8i,

???|z|6R,；.2一0是z的實部，于是|z|=J(2—|z|)2+82,

即|Z|2=68-4|Z|+|Z『,；.|Z|=17.

代入z=2一|z|+8i得z=-15+8i.

【總結(jié)提升】

計算復(fù)數(shù)的模時，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實部和虛部，然后利用模的公式進行計算.兩個虛數(shù)不能比較大小，但

它們的?？梢员容^大小.

考點06復(fù)數(shù)的四則運算

【典例10】（2022春?山西呂梁?高一校聯(lián)考期中）設(shè)iz=4-3i,則復(fù)數(shù)Z=（）

A.-3-4iB.-3+4iC.3-4iD.3+4i

【答案】A

【分析】由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運算法則即可求得z的值.

【詳解】由題意可得：z=—=^^=—=-3-4i.

ii2-1

故選：A.

【典例11］（2023?高一課時練習(xí)）若（a-2i）（2+i）=b-i（a典牧R,i為虛數(shù)單位）,則儲+/=

【答案】73

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算及復(fù)數(shù)相等求出”,〃得解即可.

［詳解】因為（“_2i）（2+i）="_io2a+2+（a_4）i=b_i,

2a+2-b

所以解得a=3力=8,

a—4=—1

貝=9+64=73.

故答案為：73

【總結(jié)提升】

復(fù)數(shù)四則運算的解題策略

（1）復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運算可以類比多項式的運算.

（2）復(fù)數(shù)的除法運算是分子、分母同乘以分母的共朝復(fù)數(shù)，即分母實數(shù)化.

（3）在含有z,z,|z|中至少兩個的復(fù)數(shù)方程中，可設(shè)z=a+bi,a,b《R,變換方程，利用兩復(fù)數(shù)相等的

充要條件得出關(guān)于a,b的方程組，求出a,b,從而得出復(fù)數(shù)z.

（4）注意應(yīng)用：①（1土i）2=±2i；②JW=i，*=—力

考點07共朝復(fù)數(shù)

l-2i

【典例12］（2022春.河南洛陽.高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)z=——（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)W對應(yīng)

1

的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求得z,從而求得），進而求得結(jié)果.

【詳解】復(fù)數(shù)2=匕2=業(yè)包=出=-2-i,故2=—2+i,對應(yīng)點的坐標為（-2,1）,位于第二象限.

iii-1

故選：B.

【典例13】(2023?貴州貴陽?統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知li是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)(l-2i)2的共朝復(fù)數(shù)的虛部為()

A.4iB.-3C.4D.-4

【答案】C

【分析】利用復(fù)數(shù)乘方運算得到(l-2i)2=-3-4i,從而得到(l-2i)2的共軌復(fù)數(shù)及其虛部.

【詳解】(l-2i)2=l-4i+4i2=l-4-4i=-3-4i,

故復(fù)數(shù)(l-2i)2的共輾復(fù)數(shù)為-3+4i,故共扼復(fù)數(shù)的虛部為4.

故選：C

【總結(jié)提升】

1.由比較復(fù)雜的復(fù)數(shù)運算給出的復(fù)數(shù)，求其共輒復(fù)數(shù)，可先按復(fù)數(shù)的四則運算法則進行運算，將復(fù)數(shù)寫成代

數(shù)形式，再寫出其共貌復(fù)數(shù).

2.注意共舸復(fù)數(shù)的簡單性質(zhì)的運用.

考點08復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義

【典例14】(2023?高一課時練習(xí))復(fù)平面上給定四個點O,A8,C可以構(gòu)成一個平行四邊形，其中四個點對

應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z0=0,zA=l+i,2c=3+2i,則分=.

【答案】4+3i或-2-i或2+i

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)求對應(yīng)點,再應(yīng)用。，48,C構(gòu)成平行四邊形，分情況計算即可.

【詳解】因為z0=0,z“=l+i,zc=3+2i,又因為O,A,5,Cu]■以構(gòu)成一個平行四邊形，分情況可得

當OABC為平行四邊形，則%=+Zc=l+i+3+2i=4+3i；

當O54C為平行四邊形，則z4=+z—即ZR=z「zc=l+i—(3+2i)=-2—i

當O3C4為平行四邊形，則Zc=ZN+Z“，即Zp=Zc—z.=3+2i—(l+i)=2+i

故答案為：4+3i或-2-i或2+i

【典例15]已知|zi|=|Z2|=|zi—Z2|=l,求|zi+z2|.

【答案】V3

【解析】設(shè)出Z|、Z2,將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題或利用復(fù)數(shù)運算的幾何意義求解.

解法一：設(shè)zi=a+bi,Z2=c+di(a、b、c、dWR),

V|zi|=|z2|=|zi-22|=b

C.cr+lr—c^-^cf-X,①

(a-c)2+(b—d)2=I,②

由①?得2ac+2bd=l.

22=百

|Zj+z2|=y/(a+c)+(b+d)

解法二：作出zi、z2對應(yīng)的向量QZ|、0Z；,

則ZI—Z2對應(yīng)Z,Z1,

|zi|=|z2|=1)7；OZ]、0Z,共線，

則|zi-zzLRZ]|=2或0,與已知矛盾.

與不共線.

???OZ\OZ2

又|Z1|=|Z2|=|Z1—Z2],

.?.△OZ|Z2為等邊三角形.

.../Z|OZ2=60°,

設(shè)ZI+Z2對應(yīng)向量OZ,則NOZiZ=120°,

二在AOZiZz中，由余弦定理得：

|<9Z|=Vl2+l2-2xlxlxcosl20°=^12+12-2xlxlx(-1)=5/3.

【總結(jié)提升】

1.對于一些較復(fù)雜的復(fù)數(shù)運算問題，特別是與復(fù)數(shù)的模有關(guān)的問題可將復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的向量

加以轉(zhuǎn)化，利用幾何意義給予幾何解釋，數(shù)形結(jié)合解決.

2.若幾何圖形的變換可以坐標化，可利用向量、點與復(fù)數(shù)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)的運算處理.

例如關(guān)系式|ZI+Z2|=|ZI—Z2|的幾何解釋為：平行四邊形兩對角線長相等，故四邊形0AC8為矩形.，

考點09復(fù)數(shù)的三角形式及運算

【典例16】(2021?全國?高一課時練習(xí))將復(fù)數(shù)z=-26+2i化成三角形式是.

【答案】4(cos：7t+isin：k)

【分析】

由概念求出模長『和輻角9,再根據(jù)z=r(cos0+isin。)即可求解

【詳解】

模長|Z|=J(-2G)2+22=4,設(shè)輻角為仇tane=T，且點(-26,2)在第二象限，得輻角主值為"故

(5..5)

I66J

故答案為：4(cos，+isin"

I6o

ITTTJTIT

【典例17](2021?全國?高一課時練習(xí))6(cos—+isin—)-e-2(cos—+isin—)=

3366

【答案】挈+ji

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的運算法則，準確計算，即可求解.

【詳解】

根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形式的運算法則，可得:

7T兀兀九67t7T7T兀

6(cos-+isin—)+2(cos—+isin—)=--[cos(------)+isin(-------)]

336623636

=3.(cos-+isin-)=—+-i

6622

3+3.

故答案為:------F—1

2---2

【總結(jié)提升】

1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟

(1)先求復(fù)數(shù)的模.

(2)決定輻角所在的象限.

(3)根據(jù)象限求出輻角.

(4)求出復(fù)數(shù)的三角形式.

2.提醒:

(1)任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差2m的整數(shù)倍.

(2)復(fù)數(shù)0的輻角是任意的.

(3)在0&9<2兀范圍內(nèi)的輻角0的值為輻角的主值，通常記作argz,且OWargz<2n.

(4)兩個非零復(fù)數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.

(5)一般在復(fù)數(shù)三角形式中的輻角，常取它的主值，這使表達式簡便，又便于運算，但三角形式輻角不一

定取主值.

3.三角形式稱、除法：

(1)乘法法則：模相乘，輻角相加.

(2)除法法則：模相除，輻角相減.

(3)復(fù)數(shù)的n次幕，等于模的n次幕，輻角為n倍.

拓廣：

(1)有限個復(fù)數(shù)相乘，結(jié)論亦成立.

即zi-Z2...zw=n(cosa+isin0i)-r2(cos仇+isin仍)(cos仇+isin0tJ)=n-r2...6I[COS(0I+02+...+fti)+isin(0i

+優(yōu)+…+0,j)]?

(2)當zi=Z2=...=z”=z時，即r\=n=...=rft=r,…有z〃=[r(cosJ+isine)]"=/(cos

+isin^）,這就是復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則，即：模數(shù)乘方，輻角〃倍.

考點10復(fù)數(shù)的三角形式運算的幾何意義

【典例18]在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)3—小i對應(yīng)的向量分別按逆時針和順時針方向旋錯，求所得向量對應(yīng)的

復(fù)數(shù).

【答案】-2小i.

【解析】因為3—小i=2?。ê酢?）=2?。╟os/t+isiiry

所以2同COS^TI+isin-iXcos楙+isiny^

=2V^[cos(%+§+isin(-31n

石兀+1?

=2#(cos卷兀+isirr^it)

=2網(wǎng)(兀I..兀

cos^+isin^

=3+小i

2s(cos*y■兀+isiiry■兀)x[cos|7T+isin(-凱

=2利cos(}-9+isin借V)]=2呵cos|n+isin旅)=-2小i.

故把復(fù)數(shù)3—小i對應(yīng)的向量按逆時針旋轉(zhuǎn)爭導(dǎo)到的復(fù)數(shù)為3+^31,按順時針旋轉(zhuǎn)爭導(dǎo)到的復(fù)數(shù)為一2小i.

【規(guī)律方法】

―>—?

兩個復(fù)數(shù)zi，Z2相乘時，先分別畫出與Z1,Z2對應(yīng)的向量OZ”O(jiān)Z2,然后把向量OZ|繞點。按逆時針方向旋

—?—>

轉(zhuǎn)角仇如果。2<0,就要把OZl繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)角|打，再把它的模變?yōu)樵瓉淼摹?倍，得到向量OZ,

OZ表示的復(fù)數(shù)就是積ZIZ2.

考點11復(fù)數(shù)的綜合問題

【典例19]（2023?高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)z=cosa+icos2a（0<。<2兀）（i為虛數(shù)單位）的實部與虛部互

為相反數(shù)，則a的取值不可能為（）.

7Tc2兀-c5兀

A.—B.—C.兀D.—

333

【答案】B

【分析】由已知得到cosa+cos2a=0,解出cosa,對選項逐一驗證即可.

【詳解】由已知可得cosa+cos2a=0,即2cos^c+cosa-1=0,

解得cosa=-1或coscr=—

2

計算選項中的三角函數(shù)可得，

7i12n115兀I

COS—=-,COS一=一一,COS7l=-l,COS—=~

323232

故選：B.

【典例20】（2023?高一課時練習(xí)）已知4、Z2GC,且|zj=l,^z,+z2=2i,則匕-z21的最大值是（）.

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

【分析】設(shè)4=“+萬，得至U/+〃=i,Z2=-a+（2-b）i,計算得到|z「Z21=應(yīng)筋，根據(jù)范圍得到最值.

22

【詳解】設(shè)4=。+仇（a,beR）,㈤=1,tha+b=1?zt+z2=2i,則z2=—a+（2—A）i,

14-Z21=|2“+（26-2）i卜J（26-23+（2a）2=sj4b2-8b+4+4a2=18-81,

當6=-l時，匕-22|有最大值為4.

故選：C

【典例21】（2023?高一課時練習(xí)）在復(fù)平面上的單位圓上有三個點Z-Z2,Z3,其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為4,z2,

Z3.若|Z|-Z2|=6|Z|+Z3|=6,則△ZZ2Z3的面積S=.

【答案】立或立

24

【分析】由題意可知㈤=|即=閆=1,根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法法則的幾何意義及余弦定理求出NZQZl120°、

：

ZZ,OZ3=60,進而分類討論當OZ2與（9Z3反向、線段。Z.3在的內(nèi)部時的面積，即可求解.

【詳解】由題意知，歸|=|221Tz31=1,

由復(fù)數(shù)的加減法法則的幾何意義及余弦定理，得

cosNZ0Z,=㈤+憶二卜_z?|=_J_即/aOZ2=120",

-2㈤憶I2

Z+

cosZZ,OZ3=-.I!AL=L即NZ0Z3=60°,

2|zirlz3|2

當線段或3在NZQZ2的內(nèi)部時，S，x也乂1=昱,

224

所以△ZZzZ的面積為正或且.

24

故答案為：B或顯.

24

【典例22］（2023?高一課時練習(xí)）設(shè)復(fù)數(shù)4是方程/-6》+25=0的一個根.

⑴求z”

⑵設(shè)Z2=a+i（其中i是虛數(shù)單位，awR）,若z2的共輾復(fù)數(shù)］滿足中?司=⑵石，求z）

【答案】（l）3+4i或3—4i；

（2）3±4i.

【分析】（1）利用實系數(shù)一元二次方程的求根公式解得；

C2）根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算及復(fù)數(shù)的模的運算可得。=±2,進而即得.

【詳解】（1）因為f-6x+25=0,

所以△=（-6）2-4x25=-64,

所以X=四回=3±4i,

2

所以4=3+4或Z]=3-4i；

(2)由z?=a+i,可得z2=a—i,

當4=3+4i時，3.司=卜+町.(4—i)卜1256,

所以125以+1=125石,解得a=±2.

當a=2時，z：=(2+ip=3+4i,

當a=-2時，z^=(-2+i)2=3-4i.

<---------

真題探秘/

1.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)若z=-l+后,則二J=()

zz-1

A.-1+^iB.-1-V3iC.?D.」力

3333

【答案】C

【分析】由共聊復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算即可得解.

【詳解】z=-1-5/31,z7=(-l+^i)(-l-^3i)=1+3=4.

z—1+I\/3.

----------=----------------=--------1--------1

ZZ-1333

故選：C

2.(2022?全國?統(tǒng)考高考真題)已知z=l-2K且z+應(yīng)+人=(),其中mb為實數(shù),則()

A.a=l,b=—2B.a=—1/=2C.a=l,b=2D.a=-l,b=-2

【答案】A

【分析】先算出z，再代入計算，實部與虛部都為零解方程組即可

【詳解】z=l-2Z

z+應(yīng)+〃=1-2i+a(l+2i)+〃=(1+a+〃)+(2a-2)i

由z+aN+〃=(),結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件為實部、虛部對應(yīng)相等,

1+〃+/?=0a=l

得，即

2a-2=0b=-2

故選:A

一、單選題

1.（2022春?河南洛陽?高一校考階段練習(xí)）復(fù)數(shù)z滿足iz=3+2i,則它的虛部為（）.

A.-3B.3C.2D.-3i

【答案】A

【分析】先求出復(fù)數(shù)z,在分析它的虛部即可.

【詳解】由iz=3+2i,

3+2i（3+2i）?（-i）

所以z=——J.J.；2-3i,

ii（-i）

所以復(fù)數(shù)z的虛部為：-3,

故選：A.

2.（遼寧省營口市2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）復(fù)數(shù)z滿足z=?+3i（i是虛數(shù)單位），則z

的共輾復(fù)數(shù)三對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，根據(jù)共輾復(fù)數(shù)的定義求三，根據(jù)復(fù)數(shù)的兒何意義確定三在復(fù)

平面上的對應(yīng)點的坐標，由此確定其象限.

【詳解】因為z=二與1+3i=-l+i,

所以W=-l-i，

所以［在復(fù)平面上的對應(yīng)點的坐標為（-1,-1），點（-1,-1）位于第三象限.

故選：C.

二、多選題

3.（2022春?廣西百色?高一?？计谥校┤魪?fù)數(shù)z=x+yi（x,yeR），且滿足Iz-4i|=|z+2|,則匚〉的值可為（）

A.x=y=lB.x=；,y=l

C.x=1,y=-D.x=2,y=—

22

【答案】AD

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運算結(jié)合復(fù)數(shù)的模列方程，整理可得x+2y=3,分析選項即可得答案.

［詳解］解：；|z一4i|=|z+2］,z=x+yi(x,yeR)

.-.|A-+(>'-4)i|=|(x+2)+>i|,

x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,

.'.x+2y-3

的值符合條件的只有選項A,D.

故選：AD.

4.(2023?吉林?統(tǒng)考二模)已知復(fù)數(shù)z=l+i,則下列說法正確的是()

A.z的共扼復(fù)數(shù)是>i

B.z的虛部是i

C?一=1

z

D.若復(fù)數(shù)z。滿足％-z|=l,則％|的最大值是0+1

【答案】AD

【分析】利用共軌復(fù)數(shù)的定義可判斷A選項：利用復(fù)數(shù)的概念可判斷B選項；利用復(fù)數(shù)的除法可判斷C選

項；利用復(fù)數(shù)模的三角不等式可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，因為z=l+i,則］=IT，A對；

對于B選項，復(fù)數(shù)z的虛部為1,B錯；

對于c選項，三z七1+1=￡+：).、嚀2=?c錯；

對于D選項，令4=x+yi,(x,yeR),則區(qū)_2「=(x—l)2+(y_l)2=1,

即z0在圓心為(1,1)半徑為1的圓上，而％|表示圓上點到原點的距離，

山圓心(LD到原點的距離為正，結(jié)合圓上點到定點距離范圍易知：的最大值為a+1,D對.

故選：AD.

三、填空題

5.(2023?高一課時練習(xí))若空2+i=0(a,6eR),則a=,b=.(其中i是虛數(shù)單位)

【答案】10

【分析】先化簡題給條件，再利用復(fù)數(shù)相等列關(guān)于“、力的方程組，解之即可求得4、人的值

空%i=9型+i=0

【詳解】ii-(-i)I)

1-?=067=1

則《hn，解之得

￡7=06=0

故答案為：1;0

6.（2023?高一課時練習(xí)）已知ABC頂點的直角坐標分別為A（",4）,8（0力），C（c,0）,若虛數(shù)x=2+ai（a>0）

是實系數(shù)一元二次方程x2-cx+5=0的根，且2A是鈍角，則實數(shù)6的取值范圍是.

131616

7,+8

【答案】Z,T

【分析】根據(jù)條件求出a，。的值，然后由AB-AC<0可得答案，注意排除A8,A。共線的情況.

【詳解】由已知，虛數(shù)x=2-d也是實系數(shù)一元二次方程/一6+5=0的根,

(2+ai)+(2-ai)=c

所以解得。=1>0,c=4,

(2+ai)(2—ai)=5

則A、。的坐標為4（1,4為C（4,0）,

所以48=（-1,8一4）,AC=（3,-4）?因NA是鈍角，AB-AC=13-4b<0解得

4

乂當"，AC共線時有4=3?！?）,即〃=g.

所以匕的取值范圍是借m印+。）.

故.壯答生案為、1：（仁13與16卜、日（16,+可、

四、解答題

7.（2023?高一課時練習(xí)）已知復(fù)數(shù)4、Z2滿足團=㈤=1,K|Z（+Z2|=V2.求卜一2]的值.

【答案】41

【分析】由題意求出z￡=Z2Z=l和zg+Z2W=0,再對|z「Z2|平方代入即可得出答案.

【詳解】因為閔=同=1,所以Z]Z]=z2z2=\.又L+Z2I=正，

所以(4+Z2”]+Z2=2,

所以(Z1+Z2),+Z2)=2,所以Z1W+z2z,=0.

因為憶I-Z2『=（z,-z2）z,-z,=（Z|-z2）^zt-z2^=ztz}+z2z2-zlz2-z2z]=2,

所以|Z1—Zzl=0.

故答案為：V2.

8.（2022春?山西呂梁?高一校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)4滿足（l+i）z=-l+5i,Z2=“-2-i,其中i為虛數(shù)單位，

aeR,若上112卜團，求。的值.

【答案】1或7.

【分析】化簡復(fù)數(shù)為分式的形式，利用復(fù)數(shù)同乘分母的共輾復(fù)數(shù)即可得到4,根據(jù)模長之間的關(guān)系，得到

關(guān)于。的方程，解出。的值即可.

-l+5i（-l+5i）（l-i）—

【詳解】解：4=「-=\公」=2+3i,z2=a-2-i,z2=a—2+i,

14-1+/

所以卜[-z2]=|（2+3。一（4一2+以=|4-〃+2i|=J（4-a）2+4,

乂因為團=萬，卜1-22卜同，

所以J（4-a）2+4=Vii,

所以/-84+7=0，解得a=l或a=7.

所