2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第八章 第五節(jié) 空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示含答案

11版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第八章第五節(jié)空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示第五節(jié)空間向量的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示課程標(biāo)準(zhǔn)1.了解空間直角坐標(biāo)系,會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置;探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式.2.了解空間向量的概念、空間向量基本定理、空間向量投影的概念及其意義.3.掌握空間向量的線性運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.考情分析考點(diǎn)考法:常以空間向量的表示為載體,考查空間向量投影、線性運(yùn)算、數(shù)量積的運(yùn)算.空間向量數(shù)量積的運(yùn)算是高考熱點(diǎn),在選擇題或填空題中體現(xiàn).核心素養(yǎng):直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.空間向量有關(guān)概念(1)單位向量:模為1的向量.(2)共線向量:如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量叫做共線向量或平行向量.(3)共面向量:平行于同一個(gè)平面的向量.【微點(diǎn)撥】(1)零向量與任意向量平行;(2)空間中任意兩個(gè)向量是共面向量,任意三個(gè)向量不一定是共面向量.2.空間向量有關(guān)定理(1)共線向量定理:對(duì)空間中任意兩個(gè)向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果兩個(gè)向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb.(3)空間向量基本定理:如果三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使p=xa+yb+zc.a,b,3.空間向量有關(guān)運(yùn)算設(shè)a=a1,a2,a3,b=(b1(1)坐標(biāo)運(yùn)算:則a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R.(2)數(shù)量積運(yùn)算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|cos<a,b>.【微點(diǎn)撥】向量a在向量b方向上的投影向量:acos<a,b>·bb=a·b4.空間向量有關(guān)公式(1)空間兩點(diǎn)間距離公式已知P1x1,y1,z1,P(2)空間兩點(diǎn)的中點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)P(x,y,z)為P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中點(diǎn),則x=(3)空間向量共線與垂直公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,則a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2+z1z2=0.a∥b?a=λb?x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(4)空間向量模與夾角公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則|a|=a·a=cosa,b=a·b|a||【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)12,341.(多維辨析)(多選題)下列說(shuō)法正確的是()A.若A,B,C,D是空間任意四點(diǎn),則AB+BC+CD+DA=0B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件C.空間中任意兩非零向量a,b共面D.對(duì)于空間非零向量a,b,若a·b<0,則a與b的夾角為鈍角【解析】選AC.A中由向量的運(yùn)算可知正確;B中若|a|-|b|=|a+b|,則兩向量反向共線,若兩向量同向共線時(shí)不成立,錯(cuò)誤;C正確;D中若a·b<0,則a與b可能反向,夾角等于180°.2.(選擇性必修一P6T5·變形式)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若AB=a,AD=b,AA1=c,則下列向量中與BM相等的向量是(A.-12a+12b+c B.12a+1C.-12a-12b+c D.12a-1【解析】選A.BM=BB1+B1M=AA1+12(AD-AB)=c+12(b-a)=-3.(選擇性必修一P5例1·變形式)若a與b不共線,且m=a+b,n=a-b,p=a,則()A.m,n,p共線 B.m與p共線C.n與p共線 D.m,n,p共面【解析】選D.因?yàn)?a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=12m+12n,又m與n不共線,所以m,n,p4.(忘記開方導(dǎo)致錯(cuò)誤)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),則EF的長(zhǎng)為______.

【解析】|EF|2=EF2=(EC+CD+DF)2=EC2+CD2+DF2+2(EC·CD+EC·DF+=12+22+12+2(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,所以|EF|=2,所以EF的長(zhǎng)為2.答案:2【巧記結(jié)論·速算】1.對(duì)空間任意一點(diǎn)O,若三點(diǎn)P,A,B滿足PA=λPB?OP=xOA+yOB(x+y=1)?P,A,B三點(diǎn)共線.2.證明空間四點(diǎn)共面的方法對(duì)空間任意一點(diǎn)O,若四點(diǎn)P,M,A,B滿足MP=mMA+nMB?OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)?P,M,A,B四點(diǎn)共面.【即時(shí)練】O為空間中任意一點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)不共線,且OP=34OA+18OB+tOC,若P,A,B,C四點(diǎn)共面,則實(shí)數(shù)【解析】因?yàn)镻,A,B,C四點(diǎn)共面,所以34+18+t=1,所以t=答案:1【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一空間向量的線性運(yùn)算[例1](1)(2023·武漢模擬)如圖,M是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在線段OM上,且MN=13OM,設(shè)OA=a,OB=b,OC=c,則下列向量與AN相等的向量是(A.-a+13b+13c B.a+13bC.-a+16b+16c D.a+16b【解析】選A.因?yàn)镸是四面體OABC的棱BC的中點(diǎn),MN=13OM,所以AN=ON-OA=23OM-OA=23×12(=13OB+13OC-OA=-a+13(2)在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四邊形BB1C1C的中心,且AA1=a,AB=b,AC=c,則A1A.12a+12b+B.12a-12b+C.12a+12b-D.-12a+12b+【解析】選D.A1D=A1A=-AA1+AB+12(B=-AA1+AB+12AA1+=-12AA1+12AB+12AC=-1【解題技法】用已知向量表示某一向量的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)用已知向量來(lái)表示某一向量,一定要結(jié)合圖形,以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.(2)要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量.(3)在立體幾何中,三角形法則、平行四邊形法則仍然成立.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點(diǎn),試用a,b,(1)AP;(2)A1(3)MP+NC【解析】(1)因?yàn)镻是C1D1的中點(diǎn),所以AP=AA1+A1D1+D1=a+c+12AB=a+c+1(2)因?yàn)镹是BC的中點(diǎn),所以A1N=A1A+AB+BN=-a=-a+b+12AD=-a+b+1(3)因?yàn)镸是AA1的中點(diǎn),所以MP=MA+AP=12A=-12a+a+c+12b=1又NC1=NC+CC1=12BC=12c+a所以MP+NC1=1=32a+12b+3考點(diǎn)二共線、共面向量的應(yīng)用[例2](1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是()A.2,12 B.-13C.-3,2 D.2,2【解析】選A.因?yàn)閍∥b,所以設(shè)b=xa,所以x(λ+1)=6(2)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若點(diǎn)P滿足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,則點(diǎn)P可以是正方體表面上__________的點(diǎn).

【解析】因?yàn)辄c(diǎn)P滿足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以點(diǎn)A,M,N,P四點(diǎn)共面,又因?yàn)镸和N分別是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,連接MN,AB1,則MN∥AB1,所以△AB1C即為經(jīng)過(guò)A,M,N三點(diǎn)的平面與正方體的截面,故P點(diǎn)可以是正方體表面上線段AB1,B1C,AC上的點(diǎn).答案:線段AB1(線段B1C或線段AC)上(答案不唯一)(3)如圖,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)M,N分別在AC1和BC上,且滿足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k①向量MN是否與向量AB,AA②直線MN是否與平面ABB1A1平行?【解析】①因?yàn)锳M=kAC1,BN=k所以MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+=k(C1A+BC)+AB=k(C1A=kB1A+AB=AB-kAB1=AB-k(=(1-k)AB-kAA所以由共面向量定理知向量MN與向量AB,AA1②當(dāng)k=0時(shí),點(diǎn)M,A重合,點(diǎn)N,B重合,MN在平面ABB1A1內(nèi).當(dāng)0<k≤1時(shí),MN不在平面ABB1A1內(nèi),又由①知MN與AB,AA所以MN∥平面ABB1A1.【解題技法】1.共線、共面向量定理的應(yīng)用(1)向量共線可以用來(lái)判斷直線平行、三點(diǎn)共線;(2)向量共面可以用來(lái)判斷直線與平面平行,四點(diǎn)共面;(3)根據(jù)向量共線和向量共面求參數(shù)取值;(4)與a同向的單位向量為aa,反向的單位向量為-aa,共線的單位向量為±2.證明四點(diǎn)P,M,A,B共面的方法(1)MP=xMA+yMB;(2)對(duì)空間任意一點(diǎn)O,OP=OM+xMA+yMB;(3)對(duì)空間任意一點(diǎn)O,OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1);(4)PM∥AB或PA∥MB或PB∥AM.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知空間中A,B,C,D四點(diǎn)共面,且其中任意三點(diǎn)均不共線,設(shè)P為空間中任意一點(diǎn),若BD=6PA-4PB+λPC,則λ等于()A.2 B.-2 C.1 D.-1【解析】選B.BD=6PA-4PB+λPC,即PD-PB=6PA-4PB+λPC,整理得PD=6PA-3PB+λPC,由A,B,C,D四點(diǎn)共面,且其中任意三點(diǎn)均不共線,可得6-3+λ=1,解得λ=-2.2.在空間直角坐標(biāo)系中,A(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),若A,B,C,D四點(diǎn)共面,則()A.2x+y+z=1 B.x+y+z=0C.x-y+z=-4 D.x+y-z=0【解析】選A.因?yàn)锳(1,1,-2),B(1,2,-3),C(-1,3,0),D(x,y,z)(x,y,z∈R),所以AB=(0,1,-1),AC=(-2,2,2),AD=(x-1,y-1,z+2).因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)共面,所以存在實(shí)數(shù)λ,μ使得AD=λAB+μAC,即(x-1,y-1,z+2)=λ(0,1,-1)+μ(-2,2,2),所以x-1=-2μy-1=考點(diǎn)三空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用[例3](1)在正三棱錐P-ABC中,O是△ABC的中心,PA=AB=2,則PO·PA等于 ()A.59 B.63 C.423 【解析】選D.因?yàn)镻-ABC為正三棱錐,O為△ABC的中心,所以PO⊥平面ABC,所以PO⊥AO,所以PO·OA=0,|AO|=23·|AB|·sin60°=2故PO·PA=PO·(PO+OA)=|PO|2=|AP|2-|AO|2=4-43=8(2)已知A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4).①求<AB,BC>;②求AC在AB上的投影向量.【解析】(2)①因?yàn)锳(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4),所以AB=(0,3,3),BC=(2,-2,0).因?yàn)锳B·BC=0×2+3×(-2)+3×0=-6,|AB|=32,|BC|=22,所以cos<AB,BC>=AB·BC|AB||BC|=-63②因?yàn)锳C=(2,1,3),AB=(0,3,3),所以AC·AB=0+1×3+3×3=12.因?yàn)閨AB|=32,|AC|=14,所以cos<AC,AB>=AC·AB|AC||AB|=1214×32=277,所以AC在AB上的投影向量為|AC|cos<AC,AB【解題技法】空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),OA+λOB與OB的夾角為120°,則λ的值為()A.±66 B.66 C.-66 【解析】選C.由于OA+λOB=(1,-λ,λ),OB=(0,-1,1),則cos120°=λ+λ1+2λ2·2=-12,解得λ=±66.2.已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(1)求線段AC1的長(zhǎng);(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值;(3)證明:AA1⊥BD.【解析】(1)如圖所示,設(shè)AB=a,AD=b,AA1=則|a|=|b|=1,|c|=2.a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos120°=-1.因?yàn)锳C1=AB+BC+CC1=a+所以|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+22所以|AC1|=2.即線段AC1的長(zhǎng)為(2)因?yàn)锳C1=a+b+c,A1D=所以AC1·A1D=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-b·c+b·c-c2=1+12又|A1D|2=(b-c)2=b2+c2-2b·c=1+4+2=7,所以|A1所以cos<AC1,A1D>=AC所以異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為147(3)因?yàn)锳A1=c,BD=b-所以AA1·BD=c·(b-a)=c·b-c·a所以AA1⊥BD,即AA1第一節(jié)基本立體圖形及幾何體的表面積與體積課程標(biāo)準(zhǔn)1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形,認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征,能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu).2.知道球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式,能用公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.能用斜二測(cè)畫法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及簡(jiǎn)單組合體)的直觀圖.考情分析考點(diǎn)考法:高考命題常以空間幾何體及其組合體為載體,考查表面積、體積的求法.與球相關(guān)的問(wèn)題是高考的熱點(diǎn).常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相平行且全等多邊形互相平行且相似側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn),但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形【微點(diǎn)撥】(1)棱柱概念中的“側(cè)棱平行且相等”要特別關(guān)注;(2)棱臺(tái)概念中的“上下兩底相似”要特別關(guān)注.2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等,垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)-軸截面矩形等腰三角形等腰梯形圓側(cè)面展開圖矩形扇形扇環(huán)-3.直觀圖(1)畫法:常用斜二測(cè)畫法.(2)規(guī)則:①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直,直觀圖中,x'軸、y'軸的夾角為45°(或135°),z'軸與x'軸、y'軸所在平面垂直.②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段,直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸.平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉?lái)的一半.4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式名稱圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)=2πrlS圓錐側(cè)=πrlS圓臺(tái)側(cè)=π(r'+r)l【微點(diǎn)撥】(1)S直棱柱側(cè)=ch(c為底面周長(zhǎng),h為高).(2)S正棱錐側(cè)=12ch'(c為底面周長(zhǎng),h'為斜高)(3)S正棱臺(tái)側(cè)=12(c'+c)h'(c',c分別為上、下底面周長(zhǎng),h'為斜高)(4)圓臺(tái)、圓柱、圓錐的轉(zhuǎn)化:當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑與下底面半徑相等時(shí),得到圓柱;當(dāng)圓臺(tái)的上底面半徑為零時(shí),得到圓錐.S圓柱側(cè)=2πrlS圓臺(tái)側(cè)=π(r+r')lS圓錐側(cè)=πrl.V圓柱=S底·hV圓臺(tái)=13h(S上+S下+S上V圓錐=13S底·h.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編高考題號(hào)12,341.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是()A.臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差B.錐體的體積等于底面積與高之積C.已知球O的半徑為R,其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a,則R=32D.圓柱的一個(gè)底面積為S,側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形,那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS【解析】選AC.臺(tái)體是由錐體截得,故A正確;錐體的體積等于底面積與高之積的三分之一,故B錯(cuò)誤;球的內(nèi)接正方體的體對(duì)角線等于球的直徑,故C正確;由題意這個(gè)圓柱的側(cè)面積為4πS,故D錯(cuò)誤.2.(必修第二冊(cè)P120T3·變形式)現(xiàn)有一個(gè)封閉的棱長(zhǎng)為2的正方體容器,當(dāng)按如圖所示水平放置時(shí),水面的高度正好為棱長(zhǎng)的一半.若將正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn),則容器中水面的最大高度為()A.1 B.2 C.3 D.22【解析】選B.因?yàn)檎襟w的面對(duì)角線的長(zhǎng)為22,故將正方體繞下底面(底面與水平面平行)的某條棱任意旋轉(zhuǎn)的最大高度是22.又因?yàn)槿萜骼锼捏w積正好是容器體積的一半,所以容器里水面的最大高度是面對(duì)角線長(zhǎng)度的一半,即容器中水面的最大高度為2.3.(必修第二冊(cè)P119例4·變形式)如圖所示,以圓柱的下底面為底面,并以圓柱的上底面圓心為頂點(diǎn)作圓錐,則該圓錐與圓柱等底等高.若圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形,則圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為________.

【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r,由題意圓錐的軸截面是一個(gè)正三角形,可知圓錐的側(cè)面積為πr·2r=2πr2,圓柱的側(cè)面積為2πr·3r=23πr2,所以圓柱的側(cè)面積與圓錐的側(cè)面積之比為23πr答案:34.(2023·新高考Ⅱ卷)底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截,截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2,高為3的正四棱錐,所得棱臺(tái)的體積為________.

【命題意圖】本題主要考查臺(tái)體體積的運(yùn)算公式,突出考查學(xué)生的空間想象能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)公式、原理解決實(shí)際問(wèn)題的能力.【解析】方法一:由棱臺(tái)性質(zhì)可知,上下兩個(gè)底面邊長(zhǎng)的相似比為1∶2,故截后棱臺(tái)的高為3,上底面為邊長(zhǎng)為2的正方形,下底面為邊長(zhǎng)為4的正方形,代入棱臺(tái)體積公式得:V=13×3×(22+42+22方法二:由題意易求正四棱錐高為6,V棱臺(tái)=V大四棱錐-V小四棱錐=13×4×4×6-13答案:28【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一基本立體圖形【考情提示】基本立體圖形作為考查空間想象能力的載體,因特殊幾何體的概念貫穿于立體幾何的考查中,成為高考題熱點(diǎn),涉及相關(guān)的概念及性質(zhì).角度1直觀圖[例1]在平面直角坐標(biāo)系中水平放置的直角梯形OABC如圖所示.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(22,0),B(22,2),C(0,6).在用斜二測(cè)畫法畫出的它的直觀圖中,四邊形O'A'B'C'的周長(zhǎng)為 ()A.8 B.10C.5+22 D.6+22【解析】選D.如圖,畫出直觀圖,過(guò)點(diǎn)A'作A'D⊥O'C',垂足為D.因?yàn)镺'C'=12OC=3,∠C'O'A'=∠B'A'x'所以O(shè)'C'∥A'B',O'D=A'D=2,C'D=1=A'B',則A'D=B'C'=2,故四邊形O'A'B'C'的周長(zhǎng)為O'A'+A'B'+B'C'+O'C'=6+22.角度2側(cè)面展開圖[例2]一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為2π3,弧長(zhǎng)為2π的扇形,則該圓錐的體積等于(A.423π B.2C.223π D.【解析】選C.設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,則2π=2π3l,解得l=3,又2πr=2π,解得r=1,所以圓錐的高為h=l2-r2=22,所以圓錐的體積是V=13×πr2【解題技法】空間幾何體結(jié)構(gòu)特征判斷技巧(1)說(shuō)明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的,只要舉出一個(gè)反例即可;(2)斜二測(cè)畫法中,平行于x軸、z軸的線段平行性不變,長(zhǎng)度不變,平行于y軸的線段平行性不變,長(zhǎng)度減半.(3)在解決空間折線(段)最短問(wèn)題時(shí),一般考慮其展開圖,采用化曲為直的策略.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.如圖所示,在四邊形OABC中,OA=2,AB=22,BC=3,OA⊥AB且OA∥BC,則四邊形OABC水平放置時(shí),用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖面積為()A.52 B.5 C.52 D.【解析】選C.如圖所示,O'A'B'C'為OABC的直觀圖,根據(jù)斜二測(cè)畫法的規(guī)則可知O'A'=2,A'B'=2,B'C'=3,A'B'平行于y'軸,所以該圖形的面積為S=12×3+22×22=52.已知圓錐的表面積為12πm2,且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的體積為()A.62πm3 B.833C.233πm3 D.4【解析】選B.設(shè)圓錐的底面半徑為r,側(cè)面展開圖半圓的半徑為R,則2πr=12×2πR,即R=2故圓錐的表面積為S=πr2+12πR2=3πr2=12π(m2解得r=2,圓錐的高為h=R2-r2故圓錐的體積為V=13πr2·h=13×4π×23=833【加練備選】如圖,正三棱錐A-BCD中,∠BAD=30°,側(cè)棱AB=2,BD平行于過(guò)點(diǎn)C的截面CB1D1,則截面CB1D1與正三棱錐A-BCD側(cè)面交線的周長(zhǎng)的最小值為()A.2 B.23 C.4 D.22【解析】選D.把正三棱錐A-BCD的側(cè)面展開,兩點(diǎn)間的連接線CC'即是截面周長(zhǎng)的最小值.正三棱錐A-BCD中,∠BAD=30°,所以AC⊥AC',AB=2,所以CC'=22,所以截面周長(zhǎng)的最小值是22.考點(diǎn)二空間幾何體的表面積與側(cè)面積[例3](1)如圖,位于西安的大雁塔,是我國(guó)現(xiàn)存最早的四方樓閣式磚塔.塔頂可以看成一個(gè)正四棱錐,其側(cè)棱與底面所成的角為45°,則該正四棱錐的一個(gè)側(cè)面與底面的面積之比為()A.32 B.22 C.33 【解析】選D.塔頂是正四棱錐P-ABCD,如圖,PO是正四棱錐的高,設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,則底面積為S1=a2,AO=22a,又因?yàn)椤螾AO=45°,所以PA=2×22a=a,則△PAB是正三角形,面積為S2=34a2,所以S(2)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長(zhǎng)都為a,且a=1,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為()A.5π B.π C.113π D.7【解析】選D.由三棱柱所有棱的長(zhǎng)a=1,可知底面為正三角形,底面三角形的外接圓直徑2r=1sin60°=233,所以r=則有R2=r2+(a2)2=13+14所以該球的表面積S=4πR2=73π【解題技法】空間幾何體表面積的求解策略1.旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其軸截面及側(cè)面展開圖的應(yīng)用,并弄清底面半徑、母線長(zhǎng)、與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中邊的關(guān)系.2.多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和,組合體的表面積注意銜接部分的處理.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.如圖,已知正方體的棱長(zhǎng)為a,沿圖1中對(duì)角面將它分割成兩個(gè)部分,拼成如圖2的四棱柱,則該四棱柱的表面積為()A.8+22a2 B.2+42C.4+22a2 D.6-【解析】選C.由題意,拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個(gè)截面,減少了原來(lái)兩個(gè)正方形面,由于截面為矩形,長(zhǎng)為2a,寬為a,所以面積為2a2,所以拼成的幾何體的表面積為4a2+22a2=(4+22)a2.2.如圖,某沙漏由上、下兩個(gè)圓錐組成,圓錐的底面直徑和高均為16,當(dāng)細(xì)沙全部在上面的圓錐內(nèi)時(shí),其高度為圓錐高度的12(中間銜接的細(xì)管長(zhǎng)度忽略不計(jì)).當(dāng)細(xì)沙全部漏入下部后,恰好堆成一個(gè)蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆,則此沙堆的側(cè)面積為(A.45π B.85πC.3217π D.1617π【解析】選D.細(xì)沙在上部圓錐內(nèi)時(shí)的體積V=13×π×42×8=128π3,漏入下部后的圓錐形沙堆底面半徑為8,設(shè)高為h1,則13×π×82·h1=128π3,所以h1=2,下部圓錐形沙堆的母線長(zhǎng)l=82+22=217,故此沙堆的側(cè)面積考點(diǎn)三空間幾何體的體積[例4](1)六氟化硫,化學(xué)式為SF6,在常壓下是一種無(wú)色、無(wú)臭、無(wú)毒、不燃的穩(wěn)定氣體,有良好的絕緣性,在電氣工業(yè)方面具有廣泛的用途.六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)(每個(gè)面都是正三角形的八面體),如圖所示,硫原子位于正八面體的中心,6個(gè)氟原子分別位于正八面體的6個(gè)頂點(diǎn).若相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為233,則以六氟化硫分子中6個(gè)氟原子為頂點(diǎn)構(gòu)成的正八面體的體積是(氟原子的大小可以忽略不計(jì))(A.423 B.823 C.42 【解析】選D.如圖,連接AC,BD,設(shè)AC,BD交于點(diǎn)O,連接OE,因?yàn)锳E=CE,BE=DE,O為AC的中點(diǎn),也是BD的中點(diǎn),所以O(shè)E⊥AC,OE⊥BD,因?yàn)锳C∩BD=O,AC,BD?平面ABCD,所以O(shè)E⊥平面ABCD,令相鄰兩個(gè)氟原子之間的距離為2a,則2a=233,a=3因?yàn)锳B=BC=AE=2a,所以AC=22a,因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以AO=12AC=2a所以O(shè)E=AE2-A所以該正八面體的體積是13×2a2×2a×2=823a3=8(2)某種藥物呈膠囊形狀,該膠囊中間部分為圓柱,左右兩端均為半徑為1的半球.已知該膠囊的表面積為10π,則它的體積為()A.356π B.103π C.133π D【解析】選C.設(shè)圓柱的高為h,所以4π·12+2π·1·h=10π,所以h=3;所以V=43π·13+π·12·3=13π(3)某校高一年級(jí)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)客活動(dòng),利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖,該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去正四棱臺(tái)ABCD-EFGH后所得的幾何體,其中AB=2EF=2BF,AB=BC=6cm,AA1=4cm,為增強(qiáng)其觀賞性和耐用性,現(xiàn)對(duì)該模型表面鍍上一層金屬膜,每平方厘米需要金屬膜2mg,不考慮損耗,所需金屬膜的質(zhì)量為________mg.

【解析】由題意,長(zhǎng)方體側(cè)面4個(gè)面的面積和為4×4×6=96(cm2),底面積為6×6=36(cm2),正方形EFGH的面積為3×3=9(cm2).因?yàn)樘菪蜛BFE的高為BF2-故正四棱臺(tái)的側(cè)面積為4×123+6×332=27故該模型的表面積為96+36+9+273=141+273cm2故所需金屬膜的質(zhì)量為2×141+273=282+543答案:282+543【解題技法】求空間幾何體體積的常