2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章 第八節(jié) 圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)問(wèn)題含答案

6版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章第八節(jié)圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)問(wèn)題第八節(jié)圓錐曲線(xiàn)中的定點(diǎn)問(wèn)題【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題角度1橢圓中的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題[例1](2024·鄭州模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2,圓x2+(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;【解析】(1)設(shè)橢圓C的半焦距為c.當(dāng)圓x2+y2=4在橢圓C的內(nèi)部時(shí),b=2,c=1,a2=b2+c2=5,橢圓C的方程為x25+y當(dāng)圓x2+y2=4在橢圓C的外部時(shí),a=2,c=1,b2=a2-c2=3,橢圓C的方程為x24+y[例1](2024·鄭州模擬)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2,圓x2+(2)已知結(jié)論:若點(diǎn)(x0,y0)為橢圓x2a2+y2b2=1上一點(diǎn),則橢圓在該點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為x0xa2+y0yb2=1.若橢圓C【解析】(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).因?yàn)闄E圓C的短軸長(zhǎng)小于4,所以C的方程為x24+y23=1.則由已知可得,切線(xiàn)AT的方程為x1x4+y將T(8,t)代入AT,BT的方程整理可得,6x1+ty1-3=0,6x2+ty2-3=0.顯然A,B的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程6x+ty-3=0,故直線(xiàn)AB的方程為6x+ty-3=0,令y=0,可得x=12,即直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(12角度2雙曲線(xiàn)中的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題(規(guī)范答題)[例2](12分)(2023·新高考II卷)已知雙曲線(xiàn)C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),左焦點(diǎn)為(-25,0),離心率為5.(1)求C的方程;(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,過(guò)點(diǎn)(-4,0)的直線(xiàn)與C的左支交于M,N兩點(diǎn),M在第二象限,直線(xiàn)MA1與NA2交于P,證明:P在定直線(xiàn)上.審題導(dǎo)思破題點(diǎn)·柳暗花明(1)思路:題目給出雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率,根據(jù)各參數(shù)之間的關(guān)系,求出曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)思路:考查直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系,可以從多個(gè)角度理解直線(xiàn)MN.選擇確定直線(xiàn)MN的初始參變量不同,將導(dǎo)致解題過(guò)程的運(yùn)算量大小不同.[路徑1]把M,N分別看成直線(xiàn)MA1,NA2與雙曲線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn).[路徑2,3]把M,N看成直線(xiàn)MN與雙曲線(xiàn)的兩個(gè)交點(diǎn),但路徑2與3的直線(xiàn)MN設(shè)法不同.規(guī)范答題微敲點(diǎn)·水到渠成【解析】(1)設(shè)雙曲線(xiàn)C的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-25,0)可知c=25,由e=ca=5關(guān)鍵點(diǎn)由焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率可求出c和a.所以雙曲線(xiàn)C的方程為x24-y216=1(2)解法1(以直線(xiàn)MA1,NA2的斜率為參數(shù)):設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線(xiàn)MA1:y=m(x+2),直線(xiàn)NA2:y=n(x-2),由y得(4-m2)x2-4m2x-(4m2+16)=0.因?yàn)?2x1=4m所以x1=2m2+84-m2,y由y得(4-n2)x2+4n2x-(4n2+16)=0.因?yàn)?x2=4n所以x2=2n2+8n2-4,y由題設(shè)知x1+4y1掃清障礙利用直線(xiàn)MN的斜率建立關(guān)系式,起到承上啟下的作用,為后續(xù)解題起到橋梁和紐帶作用.所以(mn-4)(m+3n)=0,由題意知mn<0,故m=-3n. ………………[10分]點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足y=m(x+2)且滿(mǎn)足y=n(x-2),所以x=-1. 故P在定直線(xiàn)x=-1上.………………[12分]解法2(以直線(xiàn)MN的斜率為參數(shù)):設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),(i)當(dāng)MN的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)MN:y=k(x+4)(|k|≠2),由y得(4-k2)x2-8k2x-(16k2+16)=0.由于x1+x2=8k24-k2,x ………………[5分]直線(xiàn)MA1:y=y1x1直線(xiàn)NA2:y=y2x2聯(lián)立方程得,x=2( ………………[7分]掃清障礙此處如果直接求解運(yùn)算量會(huì)很大,可以對(duì)照分式的特征,采用分子+分母,再進(jìn)行運(yùn)算,求出和值,即可求出比值.因?yàn)?(y1x2+y2x1-2y1+2y2)+(-y1x2+y2x1+2y1+2y2)=4kx1x2+10kx2+10kx1+16k=2k(2x1x2+5x2+5x1+8)=2k[2×16(k2=2k[-8(所以x=-1.…[10分](ii)當(dāng)MN的斜率不存在時(shí),避誤區(qū)解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)綜合問(wèn)題時(shí),注意分直線(xiàn)斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行說(shuō)明,避免造成不必要的失分.直線(xiàn)MN:x=-4,M(-4,43),N(-4,-43),直線(xiàn)MA1:y=-23(x+2),直線(xiàn)NA2:y=233(聯(lián)立方程得P(-1,-23),此時(shí)點(diǎn)P在定直線(xiàn)x=-1上. 綜上,P在定直線(xiàn)x=-1上.…[12分]解法3:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),顯然,直線(xiàn)MN的斜率不為0,所以設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=my-4,關(guān)鍵點(diǎn)避免對(duì)直線(xiàn)MN斜率是否存在進(jìn)行討論.則x1=my1-4,x2=my2-4.聯(lián)立得x=得(4m2-1)y2-32my+48=0. …[5分]因?yàn)橹本€(xiàn)MN與雙曲線(xiàn)C的左支交于M,N兩點(diǎn),所以4m2-1≠0,且Δ>0.由根與系數(shù)的關(guān)系得y1+y2=32m4m2-1y1y因?yàn)锳1,A2分別為雙曲線(xiàn)C的左、右頂點(diǎn),所以A1(-2,0),A2(2,0).直線(xiàn)MA1的方程為y=y1x1直線(xiàn)NA2的方程為y=y2x2…[8分]因?yàn)橹本€(xiàn)MA1與NA2交于P,可得,x+2x-2=y破題有招求x+2x-2的值相對(duì)于直接聯(lián)立方程求=my1y指點(diǎn)迷津構(gòu)造-2(y1+y2)的巧妙之處是可以運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求值.=m·484m2由x+2x-2=-13,解得x所以點(diǎn)P在定直線(xiàn)x=-1上.…[12分]角度3拋物線(xiàn)中的直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題教考銜接教材情境·研習(xí)·探究類(lèi)[例3](人教A版選擇性必修第一冊(cè)P138·T6)如圖,直線(xiàn)y=x-2與拋物線(xiàn)y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),求證:OA⊥OB.【證明】不妨假設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則OA=(x1,y1),OB=(x2,y2),聯(lián)立方程y消去x得y2-2y-4=0,由根與系數(shù)的關(guān)系知y1+y2=2,y1y2=-4,所以x1x2=(y1+2)(y2+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=4,所以O(shè)A·OB=x1x2+y1y2=4-4=0,因此OA⊥OB.【探究1】將已知條件和結(jié)論的位置調(diào)換.1.若直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)y2=2x相交于A,B兩點(diǎn),OA⊥OB,求證直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(2,0).【解析】由題意可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)l的方程為x=my+n,其中n≠0,聯(lián)立方程x消去x得y2-2my-2n=0,由根與系數(shù)關(guān)系知y1+y2=2m,y1y2=-2n,所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2.因?yàn)镺A⊥OB,所以O(shè)A·OB=0,則x1x2+y1y2=n2-2n=0,解得n=2,進(jìn)而可得直線(xiàn)方程為x=my+2.所以直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,0).【探究2】將拋物線(xiàn)y2=2x變?yōu)閥2=2px(p>0):2.A,B是拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且OA⊥OB,求證:(1)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積為定值.【證明】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),(1)kOA=y1x1,kOB=因?yàn)镺A⊥OB,所以kOA·kOB=-1,即x1x2+y1y2=0,因?yàn)閥12=2px1,y22所以y122p·y22因?yàn)閥1≠0,y2≠0.所以y1y2=-4p2,x1x2=4p2.2.A,B是拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),且OA⊥OB,求證:(2)直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn).【證明】設(shè)(2)直線(xiàn)AB的方程為x=my+n,其中n≠0,則x-my故y2=2px·x-所以ny2+2pmxy-2px2=0,所以nyx2+2pmyx因?yàn)镺A⊥OB,所以y1x1·y所以n=2p,則直線(xiàn)AB的方程為x=my+2p,故直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)2p【探究3】將“kOA·kOB=-1”變?yōu)椤発OA·kOB=t”或“kOA+kOB=t”(t為常數(shù)).3.A,B是拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),記直線(xiàn)OA,OB的斜率分別為kOA,kOB.(1)若kOA·kOB=t(t為常數(shù)),求證直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(-2p【證明】設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+n,A(x1,y1),B(x2,y2),類(lèi)似于探究2可得,可得nyx2+2pmyx則y1x1·y2x2=-2p(1)若kOA·kOB=t,則y1x1·y2x故n=-2p則直線(xiàn)AB的方程為x=my-2p故直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)-23.A,B是拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),記直線(xiàn)OA,OB的斜率分別為kOA,kOB.(2)若kOA+kOB=s(s為常數(shù)),求證直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(0,2ps【證明】(2)若kOA+kOB=s,則y1x1+y2x故n=-2pms,則直線(xiàn)x=my-2pms=m故直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)0,【探究4】若點(diǎn)O不是坐標(biāo)原點(diǎn),而是拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn).4.A,B是拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),Mx0,y0為拋物線(xiàn)上一定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作兩條弦(1)若kMA·kMB=m,則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn);【證明】設(shè)Ay122p,y1則kMA=2py0+y1,kMB=2則直線(xiàn)AB的方程為y-y1=2p即(y1+y2)y-y1y2-2px=0.①(1)因?yàn)閗MA·kMB=m,所以2py0+yy1y2=4p2m-y0(y1+y2)-將②代入①得,(y1+y2)(y+y0)+y02-4p2m所以當(dāng)y=-y0時(shí),x=y022即直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)y04.A,B是拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)上異于頂點(diǎn)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),Mx0,y0為拋物線(xiàn)上一定點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作兩條弦(2)若kMA+kMB=n,則直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn).【證明】(2)因?yàn)閗MA+kMB=n,所以2py0+yy1y2=2p-ny0n(y1+將③代入①得,(y1+y2)y-2p-ny0n-4py0-ny02即直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)y0高考鏈接已知拋物線(xiàn)E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在拋物線(xiàn)E上,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,且|PF|=2,A,B是拋物線(xiàn)E上異于O的兩點(diǎn).(1)求拋物線(xiàn)E的標(biāo)準(zhǔn)方程;【解析】(1)由題意得,F(p2,0),點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,且|PF|=2,則2=1+p2,所以所以?huà)佄锞€(xiàn)E的方程為y2=4x;已知拋物線(xiàn)E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在拋物線(xiàn)E上,點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,且|PF|=2,A,B是拋物線(xiàn)E上異于O的兩點(diǎn).(2)若直線(xiàn)OA,OB的斜率之積為-4,求證:直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn).【解析】(2)當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí),設(shè)A(t24,t),B(t24,-因?yàn)橹本€(xiàn)OA,OB的斜率之積為-4,則tt24×-tt所以A(1,t),B(1,-t),此時(shí)直線(xiàn)AB的方程為x=1.當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y2=4xy=kx+b,化簡(jiǎn)得ky2-4根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得y1y2=4b因?yàn)橹本€(xiàn)OA,OB的斜率之積為-4,所以y1x1·y2x2=-4,即y1y2即y1y2+4·y124解得y1y2=0(舍去)或y1y2=-4,所以y1y2=4bk=-4,即b=-滿(mǎn)足Δ=16(1-kb)>0,所以y=kx-k,即y=k(x-1),綜上所述,直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)(1,0).[溯源點(diǎn)評(píng)](1)本題主要考查了直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題,一般方法是設(shè)出直線(xiàn)方程,聯(lián)立圓錐曲線(xiàn)方程,可得根與系數(shù)關(guān)系式,要結(jié)合題設(shè)進(jìn)行化簡(jiǎn)得到參數(shù)之間的關(guān)系式,結(jié)合直線(xiàn)方程即可證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).(2)解題時(shí)也可參考探究過(guò)程,利用探究的解題方法進(jìn)行求解.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·滄州模擬)已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)(1,p),直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)C相交于M,N兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn),與直線(xiàn)y=-x交于點(diǎn)G,點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P,且O,N,P三點(diǎn)共線(xiàn).(1)求拋物線(xiàn)C的方程;1.(2024·滄州模擬)已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)(1,p),直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)C相交于M,N兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn),與直線(xiàn)y=-x交于點(diǎn)G,點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P,且O,N,P三點(diǎn)共線(xiàn).【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C:y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)(1,p),所以p2=2p,所以p=2,所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y2=4x.1.(2024·滄州模擬)已知拋物線(xiàn)C:y2=2px(p>0)過(guò)點(diǎn)(1,p),直線(xiàn)l與該拋物線(xiàn)C相交于M,N兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線(xiàn),與直線(xiàn)y=-x交于點(diǎn)G,點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P,且O,N,P三點(diǎn)共線(xiàn).(2)若過(guò)點(diǎn)Q(2,0)作QH⊥l,垂足為H(不與點(diǎn)Q重合),是否存在定點(diǎn)T,使得|HT|為定值?若存在,求出該定點(diǎn)和該定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(2)設(shè)點(diǎn)M(y124,y1),N(y224得G(y124又因?yàn)辄c(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)G的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P,所以點(diǎn)P(y124,-y1由O,N,P三點(diǎn)共線(xiàn),可得kOP=kON,即-y12化簡(jiǎn)得2(y1+y2)+y1y2=0,設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+n,聯(lián)立x=my+ny2=4x,消去x則Δ=(4m)2-4×(-4n)>0,即m2+n>0,可得y1+y2=4m,y1y2=-4n,代入2(y1+y2)+y1y2=0,可得8m-4n=0,可得n=2m,所以直線(xiàn)l的方程:x=my+n,即x=my+2m,則x=m(y+2),所以直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)E(0,-2),因?yàn)镼H⊥l,所以點(diǎn)H的軌跡是以EQ為直徑的圓(除去E,Q兩點(diǎn)),圓心為(1,-1),半徑為2,所以存在定點(diǎn)T(1,-1),使得|HT|為定值,該定值為2.2.(2024·成都模擬)已知橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1)與橢圓C2:x212+y2b2=1(0<b<23)的離心率相同,且橢圓C(1)求實(shí)數(shù)a和b的值;【解析】(1)由橢圓C1的方程可得其焦距為2a2-1由橢圓C2的方程可得其焦距為212-b2由題意知212解得a2=1b2=12(舍)或a2=42.(2024·成都模擬)已知橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1)與橢圓C2:x212+y2b2=1(0<b<23)的離心率相同,且橢圓C(2)若梯形ABCD的頂點(diǎn)都在橢圓C1上,AB∥CD,CD=2AB,直線(xiàn)BC與直線(xiàn)AD相交于點(diǎn)P,且點(diǎn)P在橢圓C2上,證明直線(xiàn)CD恒過(guò)定點(diǎn).【解析】(2)設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(x0,y0),則x0212因?yàn)锳B∥CD,CD=2AB,所以A,B分別為PD,PC的中點(diǎn),所以B(x1+x02,y1+y0所以x02+2x1x0+8y1y0+4因?yàn)閤0212+y023=1,所以x02+4y02=12,所以2x1x0+8y1y0=0,即x同理可得:x2x0+4y2y0=0,所以直線(xiàn)CD的方程為x0x+4y0y=0,所以直線(xiàn)CD恒過(guò)定點(diǎn)(0,0).3.已知雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±33x,且過(guò)點(diǎn)P(3,2)(1)求C的方程;【解析】(1)因?yàn)殡p曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±33x則可設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為x29-y23=將點(diǎn)P(3,2)代入得99-23=λ,解得λ=所以雙曲線(xiàn)C的方程為x23-y3.已知雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)方程為y=±33x,且過(guò)點(diǎn)P(3,2)(2)設(shè)Q(1,0),直線(xiàn)x=t(t∈R)不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn),若直線(xiàn)BQ與C交于另一點(diǎn)D,求證:直線(xiàn)AD過(guò)定點(diǎn).【解析】(2)顯然直線(xiàn)BQ的斜率不為零,設(shè)直線(xiàn)BQ的方程為x=my+1,B(x1,y1),D(x2,y2),A(x1,-y1),聯(lián)立x23-y2=1x=my+1,消依題意得m2-3≠0且Δ=4m2+8(m2-3)>0,即m2>2且m2≠3,y1+y2=-2mm2-3,y1直線(xiàn)AD的方程為y+y1=y2+y1x2令y=0,得x=(x2-x1=(=2=2m·-2所以直線(xiàn)AD過(guò)定點(diǎn)(3,0).考點(diǎn)二其他曲線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題[例4](2024·成都模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l:x=-2與x軸交于點(diǎn)A,過(guò)l右側(cè)的點(diǎn)P作PM⊥l,垂足為M,且|PA|=|PM|+|OA|.(1)求點(diǎn)P的軌跡C的方程;【解析】(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),因?yàn)閨PA|=|PM|+|OA|,所以(x+2)2+化簡(jiǎn)得y2=4(x+3)(x>-2),所以軌跡C的方程為y2=4(x+3)(x>-2).[例4](2024·成都模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線(xiàn)l:x=-2與x軸交于點(diǎn)A,過(guò)l右側(cè)的點(diǎn)P作PM⊥l,垂足為M,且|PA|=|PM|+|OA|.(2)過(guò)點(diǎn)B(1,0)的動(dòng)直線(xiàn)l'交軌跡C于S,T.證明:以線(xiàn)段ST為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).【解析】(2)設(shè)直線(xiàn)l':x=my+1,S(x1,y1),T(x2,y2),聯(lián)立y2=4(x+3),x=my+1得y2-4my-16=0,Δ=16m2+64>0,從而y1+于是x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,x1x2=(my1+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=-16m2+4m2+1=1-12m2.以線(xiàn)段ST為直徑的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,所以x2+y2-(4m2+2)x-4my-12m2-15=0.由對(duì)稱(chēng)性知定點(diǎn)在x軸上,令y=0得x2-(4m2+2)x-12m2-15=0,于是(4x+12)m2-(x2-2x-15)=0,由m的任意性,得4x+12=0x2-2【解題技法】含有參數(shù)的圓過(guò)定點(diǎn)的解題策略1.選取適當(dāng)?shù)膮?shù);2.求出適合題設(shè)條件的圓的方程;3.化簡(jiǎn)圓的方程(將參數(shù)集中在一起);4.令某些值或系數(shù)為零,得出定點(diǎn)坐標(biāo).【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】(2024·泉州模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是22,上、下頂點(diǎn)分別為A,B.圓O:x2+y2=2與x軸正半軸的交點(diǎn)為(1)求E的方程;【解析】(1)由已知得A(0,b),B(0,-b),P(2,0).則PA=(-2,b),PB=(-2,-b),PA·PB=2-b2=-1,所以b2=3.因?yàn)閑=ca=22,又b2+c2=a2,所以c2=3,a2=6.故E的方程為x26(2024·泉州模擬)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是22,上、下頂點(diǎn)分別為A,B.圓O:x2+y2=2與x軸正半軸的交點(diǎn)為(2)直線(xiàn)l與圓O相切且與E相交于M,N兩點(diǎn),證明:以MN為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn).【解析】(2)當(dāng)直線(xiàn)l的斜率存在時(shí),設(shè)l的方程為y=kx+m,即kx-y+m=0.因?yàn)橹本€(xiàn)l與圓O相切,所以|m|k2+1=2,即m2=2k2+2.設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則y1=kx1+m,y2=kx2+m.由y=kx+m,x26+y23=1,化簡(jiǎn),得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-6=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-4km2k2+1,x1x2=2m2-62k2+1,所以y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k故OM⊥ON,即以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O.當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不存在時(shí),l的方程為x=2或x=-2.這時(shí)M(2,2),N(2,-2)或M(-2,2),N(-2,-2)或M(2,-2),N(2,2)或M(-2,-2),N(-2,2).顯然,以MN為直徑的圓也過(guò)原點(diǎn)O.綜上,以MN為直徑的圓恒過(guò)原點(diǎn)O.【加練備選】已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,T為橢圓C上任意一點(diǎn),(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;【解析】(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為22所以ca=2又當(dāng)T位于上頂點(diǎn)或者下頂點(diǎn)時(shí),△TF1F2的面積最大,即bc=1.又a2=b2+c2,所以b=c=1,a=2.所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為22,其左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,T為橢圓C上任意一點(diǎn),(2)已知A(0,1),過(guò)點(diǎn)(0,12)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,直線(xiàn)AM,AN與x軸的交點(diǎn)分別為P,Q,證明:以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)【解析】(2)由題知,直線(xiàn)l的斜率存在,所以設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=kx+12設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),將直線(xiàn)l代入橢圓C的方程得(4k2+2)x2+4kx-3=0,由根與系數(shù)的關(guān)系得:x1+x2=-4k4k2+2,x1x2=-34k2+2,直線(xiàn)AM的方程為y所以P(-x1y1-所以以PQ為直徑的圓為(x+x1y1-1)(x+整理得x2+y2+(x1y1-1+x2y因?yàn)閤1x=4=-12令①中的x=0,可得y2=6,所以,以PQ為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)(0,±6).第二節(jié)兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系【課程標(biāo)準(zhǔn)】1.能根據(jù)斜率判定兩條直線(xiàn)平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo).3.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式,會(huì)求兩條平行直線(xiàn)間的距離.【考情分析】考點(diǎn)考法:兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系在高考中一般不單獨(dú)成題,點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式時(shí)常與圓相結(jié)合出現(xiàn)在選擇題或填空題中.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系項(xiàng)目斜截式一般式方程y=k1x+b1,y=k2x+b2A1x+B1y+C1=0(A12+A2x+B2y+C2=0(A22+相交k1≠k2A1B2-A2B1≠0垂直k1k2=-1A1A2+B1B2=0平行k1=k2,且b1≠b2A1A重合k1=k2,且b1=b2A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0(2)交點(diǎn)坐標(biāo)若直線(xiàn)l1:A1x+B1y+C1=0(A12+l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)相交,則l1與l22.三種距離公式(1)兩點(diǎn)間的距離公式①條件:點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2).②結(jié)論:|P1P2|=.③特例:點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O(0,0)的距離|OP|=x2(2)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離點(diǎn)P(x0,y0)到直線(xiàn)l:Ax+By+C=0的距離d=.(3)兩條平行直線(xiàn)間的距離兩條平行直線(xiàn)l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0間的距離d=.【微點(diǎn)撥】點(diǎn)到直線(xiàn)、兩平行線(xiàn)間的距離公式的使用條件(1)求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離時(shí),應(yīng)先化直線(xiàn)方程為一般式.(2)求兩平行線(xiàn)之間的距離時(shí),應(yīng)先將直線(xiàn)方程化為一般式,且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等.【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類(lèi)型辨析改編易錯(cuò)題號(hào)12,34,51.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.若兩條直線(xiàn)斜率相等,則兩直線(xiàn)平行B.若l1∥l2,則k1=k2C.若兩直線(xiàn)中有一條直線(xiàn)的斜率不存在,另一條直線(xiàn)的斜率存在,則兩直線(xiàn)相交D.若兩直線(xiàn)斜率都不存在,則兩直線(xiàn)平行或重合【解析】選CD.A.兩直線(xiàn)有可能重合,故A錯(cuò)誤;B.可能出現(xiàn)兩直線(xiàn)斜率不存在的情況,故B錯(cuò)誤;C.若兩直線(xiàn)中有一條直線(xiàn)的斜率不存在則直線(xiàn)垂直于x軸,另一條直線(xiàn)的斜率存在,則直線(xiàn)不與x軸垂直,所以?xún)芍本€(xiàn)相交,故C正確.D.兩直線(xiàn)斜率都不存在,可能重合,可能平行,故D正確.2.(選擇性必修第一冊(cè)P57例5變形式)以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)為頂點(diǎn)的三角形是 ()A.銳角三角形B.鈍角三角形C.以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形D.以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形【解析】選D.直線(xiàn)AB的斜率kAB=1-(-1)1-5=-12,直線(xiàn)由kAB·kBC=-1,所以AB⊥BC,故△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的直角三角形.3.(選擇性必修第一冊(cè)P57練習(xí)T2變條件)若直線(xiàn)3x-2y-1=0與3x-ay+6=0平行,則a= ()A.-2 B.-1 C.12 【解析】選D.由題意32=3a,則a=2.4.(忽視直線(xiàn)斜率不存在的情形致誤)(多選題)若A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,3),D(1,0),且直線(xiàn)AB與CD平行,則m的值為 ()A.-1 B.0 C.1 D.2【解析】選BD.當(dāng)AB與CD的斜率均不存在時(shí),m=2m,m+1=1,故得m=0,此時(shí)AB∥CD;當(dāng)kAB=kCD,即m≠0時(shí),m+1m=3m,解得m=2,此時(shí)5.(誤用兩平行線(xiàn)間的距離公式致誤)直線(xiàn)l1:3x+4y-7=0與直線(xiàn)l2:6x+8y+1=0之間的距離為 ()A.8 B.4 C.85 D.【解析】選D.因?yàn)閘1∥l2,所以直線(xiàn)l1與直線(xiàn)l2之間的距離d=|-14-1【巧記結(jié)論·速算】1.直線(xiàn)系方程(1)與直線(xiàn)Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直線(xiàn)系方程是Ax+By+m=0(m∈R,且m≠C).(2)與直線(xiàn)Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直線(xiàn)系方程是Bx-Ay+n=0(n∈R).(3)過(guò)直線(xiàn)l1:A1x+B1y+C1=0(A12+B12≠0)與l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B22≠0)的交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程為A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C22.點(diǎn)關(guān)于特殊的直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的結(jié)論:點(diǎn)的坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)P(x0,y0)y=x(y0,x0)y=-x(-y0,-x0)x+y+t=0(-t-y0,-t-x0)x-y+t=0(y0-t,x0+t)【即時(shí)練】1.過(guò)點(diǎn)(1,0)且與直線(xiàn)x-2y-2=0平行的直線(xiàn)方程是 ()A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0【解析】選A.因?yàn)樗笾本€(xiàn)與直線(xiàn)x-2y-2=0平行,所以設(shè)直線(xiàn)方程為x-2y+c=0,又直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,0),得出c=-1,故所求直線(xiàn)方程為x-2y-1=0.2.設(shè)△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)是A(3,-1),∠B,∠C的平分線(xiàn)的方程分別是x=0,y=x,則直線(xiàn)BC的方程是 ()A.y=3x+5 B.y=2x+3C.y=2x+5 D.y=-x2+【解析】選C.A關(guān)于直線(xiàn)x=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A'(-3,-1),關(guān)于直線(xiàn)y=x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A″(-1,3),由角平分線(xiàn)的性質(zhì)可知,點(diǎn)A',A″均在直線(xiàn)BC上,所以直線(xiàn)BC的方程為y=2x+5.【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】考點(diǎn)一兩條直線(xiàn)的平行與垂直[例1](一題多法)已知直線(xiàn)l1:ax+2y+6=0和直線(xiàn)l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(1)試判斷a為何值時(shí),l1與l2平行;【解析】(1)方法一:當(dāng)a=1時(shí),l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當(dāng)a=0時(shí),l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當(dāng)a≠1且a≠0時(shí),兩直線(xiàn)方程可化為l1:y=-a2x-3,l2:y=11-ax-(a+1),l1∥解得a=-1,綜上可知,當(dāng)a=-1時(shí),l1∥l2.方法二:顯然a≠0,l1∥l2,則1a=a-12≠a可得a=-1,故當(dāng)a=-1時(shí),l1∥l2.[例1](一題多法)已知直線(xiàn)l1:ax+2y+6=0和直線(xiàn)l2:x+(a-1)y+a2-1=0.(2)當(dāng)l1⊥l2時(shí),求a的值.【解析】(2)方法一:當(dāng)a=1時(shí),l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直,故a=1不成立;當(dāng)a=0時(shí),l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不垂直于l2,故a=0不成立;當(dāng)a≠1且a≠0時(shí),l1:y=-a2xl2:y=11-ax-(a+1),由(-a2)·11方法二:由A1A2+B1B2=0,得a+2(a-1)=0,可得a=23【解題技法】1.已知兩直線(xiàn)的斜率存在,判斷兩直線(xiàn)平行或垂直的方法(1)兩直線(xiàn)平行?兩直線(xiàn)的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等;(2)兩直線(xiàn)垂直?兩直線(xiàn)的斜率之積等于-1.提醒:當(dāng)直線(xiàn)斜率不確定時(shí),要注意斜率不存在的情況.2.由一般式確定兩直線(xiàn)位置關(guān)系的方法直線(xiàn)方程l1:A1x+B1y+C1=0(A12+l2:A2x+B2y+C2=0(A22+l1與l2平行的充要條件Al1與l2垂直的充要條件A1A2+B1B2=0l1與l2相交的充要條件A1A2≠B1B2l1與l2重合的充要條件A1A2=提醒:在判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系時(shí),比例式A1A2與B1【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.(2024·合肥模擬)直線(xiàn)l1:x+ay-1=0與直線(xiàn)l2:ax+y+1=0平行,則a= ()A.0 B.1 C.-1 D.1或-1【解析】選B.因?yàn)橹本€(xiàn)l1:x+ay-1=0與直線(xiàn)l2:ax+y+1=0平行,所以1×1=a×a,所以a=1或a=-1.當(dāng)a=-1時(shí),直線(xiàn)l1:x-y-1=0與直線(xiàn)l2:-x+y+1=0重合,舍去,故a=1.2.(2024·貴陽(yáng)模擬)已知直線(xiàn)l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,則m的值為 ()A.12 B.13 C.2 【解析】選A.因?yàn)橹本€(xiàn)l1:mx+y+3=0,l2:2x-y+3=0,若l1⊥l2,則2m-1=0,解得m=12【加練備選】若a,b為正實(shí)數(shù),直線(xiàn)2x+(2a-4)y+1=0與直線(xiàn)2bx+y-2=0互相垂直,則ab的最大值為12【解析】由兩直線(xiàn)垂直得4b+2a-4=0,即2=a+2b≥22ab,ab≤1當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=12時(shí),等號(hào)成立,故ab的最大值為1考點(diǎn)二距離問(wèn)題[例2](1)已知直線(xiàn)3x+y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是 ()A.4 B.1020 C.104 【解析】選D.由直線(xiàn)平行可得3m-6=0,解得m=2,因此直線(xiàn)方程為6x+2y+1=0,即3x+y+12=0,則所求距離是|12(2)過(guò)點(diǎn)A(-1,2),到原點(diǎn)的距離等于1的直線(xiàn)方程為3x+4y-5=0或x=-1.

【解析】當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí),設(shè)所求直線(xiàn)的斜率為k,則直線(xiàn)的方程為y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.由題意可得|k+2|1+k2=1,解得k=-34,因此所求直線(xiàn)的方程為3x+4綜上,所求直線(xiàn)的方程為3x+4y-5=0或x=-1.一題多變[變式1]將例(1)變?yōu)?求到兩平行直線(xiàn)3x+y-3=0和6x+my-1=0距離相等的直線(xiàn)的方程.【解析】由題意得63=m1≠-1將直線(xiàn)3x+y-3=0化為6x+2y-6=0,則所求直線(xiàn)方程可以設(shè)為6x+2y+t=0(t≠-1,且t≠-6),由|t+1|62+2因此所求直線(xiàn)的方程為6x+2y-72=0[變式2]將例(1)變?yōu)?已知兩直線(xiàn)3x+y-3=0和6x+2y-1=0,點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)分別在兩條直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),求(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值.【解析】(x1-x2)2+(y1-y2)2的幾何意義是點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間距離的平方,由題意知,兩直線(xiàn)3x+y-3=0,即6x+2y-6=0和6x+2y-1=0平行,因此該距離的最小值即兩條平行直線(xiàn)間的距離,|-1+6|62+可知(x1-x2【解題技法】距離問(wèn)題的求解策略(1)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離可直接利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求解,注意直線(xiàn)方程應(yīng)為一般式.(2)兩平行線(xiàn)間的距離的求法①利用“轉(zhuǎn)化法”將兩條平行線(xiàn)間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線(xiàn)上任意一點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的距離.②利用兩平行線(xiàn)間的距離公式求解,利用公式前需把兩平行線(xiàn)方程化為一般式,且x,y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等,即一定要化成l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0的形式.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知點(diǎn)A(3,3a+3)與點(diǎn)B(a,3)之間的距離為5,則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.-1 B.85 C.-1或85 【解析】選C.因?yàn)辄c(diǎn)A(3,3a+3)與點(diǎn)B(a,3)之間的距離為5,可得AB=(a-3整理得10a2-6a-16=0,即5a2-3a-8=0,解得a=-1或a=852.(2024·北京模擬)設(shè)d為動(dòng)點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線(xiàn)x-y-2=0的距離,則d的最大值為 ()A.2-1 B.322 C.1+2【解析】選C.點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線(xiàn)x-y-2=0的距離d=|cos|2因?yàn)?1≤cos(θ+π4)≤1,則-2-2≤