2025版 數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章 第六節(jié) 第2課時 直線和雙曲線含答案

14版數(shù)學(xué)《高中全程復(fù)習(xí)方略》（提升版）人教A版第九章第六節(jié)第2課時直線和雙曲線第2課時直線和雙曲線【核心考點·分類突破】考點一直線與雙曲線的位置關(guān)系[例1](1)(一題多法)直線3x-4y=0與雙曲線y29-x216=1的交點個數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選A.方法一:聯(lián)立直線3x-4y=0與雙曲線y29-x216=1的方程,y29方法二:由y29-x216=0,得3x±4y=0,所以雙曲線的漸近線方程為3因為直線3x-4y=0是雙曲線y29-x(2)(2022·全國甲卷)記雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為e,寫出滿足條件“直線y=2x與【解析】C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),所以C結(jié)合漸近線的特點,只需0<ba≤2,即b可滿足條件“直線y=2x與C無公共點”,所以e=ca=1+b2a2又因為e>1,所以1<e≤5.答案:2(答案不唯一,滿足1<e≤5皆可)【解題技法】直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法(1)聯(lián)立方程,消元化為關(guān)于x(或y)的一元方程;(2)討論最高次數(shù)項系數(shù)是否為零求解;(3)依據(jù)方程解的個數(shù),判斷交點的個數(shù).設(shè)直線l:y=kx+m,雙曲線x2a2-y2b聯(lián)立解得:(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0.①m=0時,-ba<k<bk≥ba,k≤-ba,或②m≠0時,若b2-a2k2=0,k=±ba若b2-a2k2≠0,Δ=(-2a2mk)2-4(b2-a2k2)·(-a2m2-a2b2)=4a2b2(m2+b2-a2k2),Δ>0,m2+b2-a2k2>0,直線與雙曲線相交于2點;Δ=0,m2+b2-a2k2=0,直線與雙曲線相切于1點;Δ<0,m2+b2-a2k2<0,直線與雙曲線相離.【對點訓(xùn)練】1.(2024·哈爾濱模擬)雙曲線x29-y24=1與直線y=-23x+m(m∈RA.0 B.1 C.0或1 D.0或1或2【解析】選C.因為雙曲線x29-y24=1的漸近線方程為y=±23x,所以,當m=0時,直線l:y=-23當m≠0時,直線l與雙曲線的一條漸近線平行,此時直線l與雙曲線有一個交點.2.(2024·鹽城模擬)定義曲線a2x2-b2y2=1為雙曲線x2a2-y2b2=1的“伴隨曲線”.在雙曲線C1:x2-y2=1的伴隨曲線C2上任取一點P,過P分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為MA.0 B.1C.2 D.與點P的位置有關(guān)系【解析】選B.雙曲線C1:x2-y2=1的伴隨曲線C2為1x2-設(shè)P(m,n)為1x2-1y2=1上一點,則過P分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為M,N,則M(m,0),N(0,n),所以直線MN:y=-nmx+n聯(lián)立x2得(1-n2m2)x2+2n2所以Δ=2n2m2-4×(1-n=4n4(1+1n2)-4×1-n則直線MN與曲線C1的公共點的個數(shù)為1.3.(2024·東營模擬)已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),A為雙曲線C的左頂點,B為虛軸的上頂點,直線l垂直平分線段AB,若直線l與C存在公共點,則雙曲線A.(2,3) B.(2,+∞)C.(3,+∞) D.(1,2)【解析】選B.依題意,可得A(-a,0),B(0,b),則kAB=b-00+又因為直線l垂直平分線段AB,所以kl=-ab因為直線l與C存在公共點,所以-ab>-ba,即a2<b則a2<c2-a2,即2<c2a2,e2>2,解得e所以雙曲線C的離心率的取值范圍是(2,+∞).【加練備選】(2024·吉林模擬)已知直線L:y=12x+m與曲線C:y=12|4-x2A.(-2,2) B.(-2,2)C.(1,2) D.(1,3)【解析】選C.由題意得曲線C:y=12|4-x2|,即2y=|4-當4-x2≥0時得到4y2=4-x2即x24+y2=1(y≥0);當4-x2<0時得到x24-y由以上可得曲線C的圖象如圖所示,易知直線L:y=12x+m與雙曲線x24-y2=1的一條漸近線y=把直線y=12x向上平移到(0,1)點時,即y=12x+1與曲線C有兩個交點,此時繼續(xù)向上平移至與半橢圓相切前有3個交點.當直線與橢圓的上半部分相切時,聯(lián)立直線與橢圓的方程y=12x+mx24Δ=16m2-8(4m2-4)=0即m=2或-2(舍),由圖示可得m<2;綜上可知1<m<2.考點二直線與雙曲線相交的有關(guān)問題【考情提示】直線與雙曲線相交問題是近幾年高考命題的熱點,它常與函數(shù)、方程、不等式相結(jié)合考查弦長、中點弦等內(nèi)容.角度1弦長問題[例2](2024·天津模擬)在平面直角坐標系xOy中,點P(23,1)在雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上,C的一條漸近線的方程為x-3y=0,左、右焦點分別為F1,F2,過點F2作斜率為3的直線,分別交C的兩條漸近線于A,①雙曲線的離心率為23②直線AB的方程為3x-y-23=0;③直線AB截雙曲線所得弦長為3;④OA·OB=9.A.1 B.2 C.3 D.4【解析】選C.由題意雙曲線的漸近線的方程為x-3y=0,焦點在x軸上,所以ba=13,所以雙曲線的離心率為:e=ca=1+b2a2因為點P(23,1)在雙曲線C上,所以(23)2a2-12b2=1?12a2-1b2=1,聯(lián)立ba=13,解得:a=3,b=3,所以c=a2+b2=23,所以F2(23,0),所以過點F2作斜率為3的直線AB為:y=3(x-23)?3x-y解得:x1=93+34,x2所以直線AB截雙曲線所得弦長為:1+k2|x1-x2|=1+(3)2×|由雙曲線的漸近線方程為:x±3y=0,由x+3y=03x-由x-3y=03所以O(shè)A·OB=332×33+(-32)×3=9,故角度2中點弦問題[例3](多選題)(2024·南通模擬)已知曲線C:x24-y2m=1(m≠0),下列結(jié)論正確的是A.若曲線C表示橢圓,則m<0且m≠-4B.若m=-5,則以P(1,1)為中點的弦AB所在的直線方程為5x-4y-1=0C.當m<-4時,F1,F2為焦點,P為曲線上一點,且△PF1F2為直角三角形,則△PF1F2的面積等于4D.若m>0,則存在四條過點(0,1)的直線l與曲線C有且只有一個公共點【解析】選ACD.對于A,若曲線C表示橢圓,則m<0且m≠-4,故A正確;對于B,m=-5時,曲線C為橢圓x24+設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),中點P(1,1),故x1+x2=2,y1+y2=2,又x124+y125=1x224所以AB所在的直線方程為y-1=-54(x-1),即5x+4y對于C,當m<-4時,曲線C:y2-m+x24=1表示焦點在y軸上的橢圓,則|PF1|+|PF2|=2-m,則(|PF1|+|PF2|)2=-4m,即|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=-4m①,由PF1⊥PF2,得|PF1|對于D,m>0時,曲線C:x24-y2m=1表示焦點在x軸上的雙曲線,由題意,過點(0,1)的直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y=kx+1,代入雙曲線方程x24-y2m=1,消去y整理得(m-4k2)x2-8kx-4-4m=0,因為直線l與曲線C有且只有一個公共點,當m-4k2≠0時,Δ=64k2-4(m-4k2)(-4-4m)=0,即4k2=當m-4k2=0時,k=±m(xù)2,直線l與漸近線平行,符合題意.故m>0時,存在四條過點(0,1)的直線l與曲線C有且只有一個公共點,故D正確【解題技法】1.解決直線與雙曲線相交有關(guān)問題的解題策略(1)解決弦長問題,可聯(lián)立直線與雙曲線方程,消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的一元方程,利用弦長公式即可求解;(2)解決中點弦問題,常常采用點差法求解,但一定要注意直線是否與雙曲線相交的判斷.2.相交弦AB的弦長公式AB=1+k2x或AB=1+1k2【對點訓(xùn)練】1.(2023·全國乙卷)設(shè)A,B為雙曲線x2-y29=1上兩點,下列四個點中,可為線段AB中點的是 (A.(1,1) B.(-1,2)C.(1,3) D.(-1,-4)【解析】選D.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則AB的中點M(x1+x22,y1+y22),可得k因為A,B在雙曲線上,則x1兩式相減得(x12-x2所以kAB·k=y12對于選項A:可得k=1,kAB=9,則AB:y=9x-8,聯(lián)立方程y=9消去y得72x2-2×72x+73=0,此時Δ=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直線AB與雙曲線沒有交點,故A錯誤;對于選項B:可得k=-2,kAB=-92則AB:y=-92x-52,聯(lián)立得方程組消去y得45x2+2×45x+61=0,此時Δ=(2×45)2-4×45×61=-2880<0,所以直線AB與雙曲線沒有交點,故B錯誤;對于選項C:可得k=3,kAB=3,則AB:y=3x,由雙曲線方程可得a=1,b=3,則AB:y=3x為雙曲線的漸近線,所以直線AB與雙曲線沒有交點,故C錯誤;對于選項D:k=4,kAB=94,則AB:y=94x-聯(lián)立得方程組y=94x-74x2-y29=1,消去2.已知焦點在x軸上的雙曲線Γ經(jīng)過點M(6,2),N(-23,-6).(1)求雙曲線Γ的離心率e;【解析】(1)設(shè)雙曲線Γ的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,所以c2=a2+b2=5,e=ca=152.已知焦點在x軸上的雙曲線Γ經(jīng)過點M(6,2),N(-23,-6).(2)若直線l:y=33x-1與雙曲線Γ交于A,B兩點,求弦長|AB|【解析】(2)由(1)得雙曲線Γ的方程為x23-設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由x23-y22=1y=33x-1,得x2+23x-9=0,|AB|=(=(1+1故弦長|AB|為8.【加練備選】(2024·寶雞模擬)設(shè)動點P(x,y)與點F(10,0)之間的距離和點P到直線l:x=102的距離的比值為2,記點P的軌跡為曲線(1)求曲線C的方程;【解析】(1)由動點P(x,y)與點F(10,0)之間的距離和到直線l:x=102的距離的比值為2可得(x-10)2+y2|x-102|=2(2024·寶雞模擬)設(shè)動點P(x,y)與點F(10,0)之間的距離和點P到直線l:x=102的距離的比值為2,記點P的軌跡為曲線(2)若O為坐標原點,直線y=12x+1交曲線C于A,B兩點,求△OAB的面積【解析】(2)聯(lián)立方程組y=12x+1x設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),可得x1+x2=43,x1x2所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+14×又由點O到直線y=12x+1的距離d=11+1所以△OAB的面積S=12|AB|·d=12×2953×考點三雙曲線的綜合問題[例4](1)(多選題)(2024·南昌模擬)已知F1,F2分別是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,以F2為圓心,4為半徑的圓與C的一條漸近線切于點P,過F1的直線l與C交于A,B兩個不同的點,若C的離心率e=A.|PF1|=213B.|AB|的最小值為32C.若|AF2|=7,則|AF1|=13D.若A,B同在C的左支上,則直線l的斜率k∈(-∞,-43)∪(4【解析】選ACD.對于A選項,設(shè)雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線為y=b則F2(c,0)到直線bx-ay=0的距離為|bc|b因為以F2為圓心的圓與l相切于點P,所以|PF2|=b=4,因為e=53,即ca=53,則c=53a,又a2+b2=c2,即a2+16=259a2,所以在Rt△PF2O中,cos∠PF2F1=bc=4在△PF2F1中,|F1F2|=2c=10,|PF2|=4,|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2-2|所以|PF1|=213,故A正確;對于B選項,當直線l的斜率為0時,A,B兩點分別為雙曲線的頂點,則|AB|=2a=6,又因為6<323,即|AB|的最小值不可能為32對于C選項,因為|AF2|=7,又a+c=8,且|AF2|<a+c,所以A在C的右支上,所以|AF1|-|AF2|=2a=6,所以|AF1|=|AF2|+6=7+6=13,故C正確;對于D選項,當直線l的斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x+5),設(shè)點A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=k(x+5)x29-y216=1,可得(16-9k2)所以16-解得k<-43或k>43(2)(2024·鄭州模擬)過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一點A(-3,0)作兩條漸近線的垂線,垂足分別為D,B,且|①求雙曲線C的方程.【解析】①雙曲線C的漸近線方程為bx±ay=0,雙曲線C上一點(x0,y0)到漸近線距離之積為|bx0+ay0由題知a2=3,a2b2c2=32.因為c2=a2+b2,所以a=b=3,故雙曲線C(2)(2024·鄭州模擬)過雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上一點A(-3,0)作兩條漸近線的垂線,垂足分別為D,B,且|②已知點P(2,-1),兩個不重合的動點M,N在雙曲線C上,直線PM,PN分別與y軸交于點E,F,點Q在直線MN上,OE+OF=0且PQ⊥MN,試問是否存在定點T,使得|QT|為定值?若存在,求出點T的坐標和|QT|;若不存在,請說明理由.【解析】②顯然直線MN的斜率存在,設(shè)直線MN的方程為y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立方程得y=kx+m,x2-y2=3,整理得(1-k2)x2-2kmx-m2-3=0,則1-k2≠0,Δ=4(m2+3-3k2)>0,x1+直線PM的方程為y=y1+1x令x=0,則y=x1+2y12-x1,得E(0,x1+2y12-x所以x1+2(所以[(2k+1)x1+2m](2-x2)+[(2k+1)x2+2m](2-x1)=(4k+2-2m)(x1+x2)-(4k+2)x1x2+8m=(4k-2m+2)×2km1-k2-(4k整理得m2+(2k+4)m+6k+3=(m+3)(m+2k+1)=0.當m+2k+1=0,即m=-2k-1時,直線MN的方程為y=k(x-2)-1,過點P(2,-1),與PQ⊥MN矛盾,舍去;當m=-3時,直線MN的方程為y=kx-3,恒過點G(0,-3),設(shè)PG的中點為T,則T(1,-2),因為PQ⊥MN,所以|QT|=12|PG|=2,為定值故存在T(1,-2),使|QT|為定值2.【解題技法】雙曲線的綜合問題(1)當與圓、橢圓有關(guān)時,常常結(jié)合圓、橢圓的方程或性質(zhì),構(gòu)造函數(shù)解決問題;(2)當與直線有關(guān)時,常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程,消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造相關(guān)數(shù)量關(guān)系求解;(3)當與向量知識結(jié)合時,注意運用向量的坐標運算,將向量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為點的坐標問題,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系,將所求問題與條件建立聯(lián)系求解.【對點訓(xùn)練】(多選題)(2024·玉溪模擬)已知雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)與橢圓x29+y25=1的焦點相同,雙曲線E的左右焦點分別為F1,F2,過點F2的直線與雙曲線E的右支交于P,Q兩點,PF1與y軸相交于點A,△PAF2的內(nèi)切圓與邊AFA.雙曲線E的離心率為2B.雙曲線E的方程為x2-y2C.若PF1⊥PF2,則△PAF2的內(nèi)切圓面積為3πD.過點(1,1)與雙曲線E有且僅有一個交點的直線有3條【解析】選ACD.如圖,設(shè)PF1,PF2與△PAF2的內(nèi)切圓分別相切于M,N兩點,所以|PM|=|PN|,|AM|=|AB|=1,|F2N|=|F2B|,且|AF1|=|AF2|,因為2a=|PF1|-|PF2|=|PM|+|AM|+|AB|+|F2B|-|PN|-|F2N|=2,可得a=1,雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,所以c2=b2+a2=9-5=4,可得b2=3,所以雙曲線E的離心率為ca所以雙曲線E的方程為x2-y2對于C,若PF1⊥PF2,設(shè)|PF2|=m,則|PF1|=m+2,|F1F2|=4,由|PF1|2+|PF2|2=|F1可得|PA|=|PM|+1,|AF2|=1+|F2B|=1+|F2N|=1+7-1-|PN|=7-|PN|,由|PA|2+|PF2|2=|AF2|2得(|解得|PM|=4-73,即內(nèi)切圓的半徑為r則△PAF2的內(nèi)切圓面積為4-對于D,當過點(1,1)的直線與x軸垂直時,其方程為x=1,與雙曲線方程聯(lián)立得x2可得y=0,即直線x=1與雙曲線E有一個交點;當過點(1,1)的直線與x軸不垂直時,設(shè)其方程為y-1=k(x-1),與雙曲線方程聯(lián)立得x2可得(3-k2)x2+(2k2-2k)x+2k-4-k2=0,當k=±3時,此時可得直線y-1=k(x-1)與雙曲線E有一個交點;當3-k2≠0即k≠±3時,由(2k2-2k)2-4(3-k2)(2k-4-k2)=0得-24k+48=0,可得k=2,此時直線y綜上所述,過點(1,1)與雙曲線E有且僅有一個交點的直線有4條,故D錯誤.第七節(jié)拋物線【課程標準】1.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程,以及它們的幾何性質(zhì).(范圍、對稱性、頂點、離心率)2.通過拋物線與方程的學(xué)習(xí),進一步體會數(shù)形結(jié)合思想.3.了解拋物線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用.【考情分析】考點考法:拋物線的方程與性質(zhì)是高考?？純?nèi)容,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),直線與拋物線的位置關(guān)系常以解答題的形式出現(xiàn),試題難度中等.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、直觀想象【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點,直線l叫做拋物線的準線.【微點撥】若點F在直線l上,則點的軌跡是過點F且與直線l垂直的直線.2.拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準線l的距離圖形頂點坐標O(0,0)對稱軸x軸y軸焦點坐標F(p2,0F(-p2,0F(0,p2F(0,-p2離心率e=1準線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R開口方向向右向左向上向下【微點撥】四種不同拋物線方程的共同點(1)原點都在拋物線上;(2)焦點都在坐標軸上;(3)準線與焦點所在坐標軸垂直,垂足與焦點關(guān)于原點對稱,它們與原點的距離都等于一次項系數(shù)的絕對值的14,即2p4【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號13241.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論正確的是 ()A.拋物線關(guān)于頂點對稱B.拋物線只有一個焦點,一條對稱軸,無對稱中心C.拋物線的標準方程雖然各不相同,但是其離心率都相同D.拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點到準線的距離是相同的,離心率也相同【解析】選BCD.拋物線是軸對稱圖形,不是中心對稱圖形,所以A錯誤;拋物線只有一個焦點,一條對稱軸,無對稱中心,所以B正確;所有拋物線的離心率為1,所以拋物線的標準方程雖然各不相同,但是其離心率都相同,所以C正確;拋物線x2=4y,y2=4x的x,y的范圍是不同的,但是其焦點到準線的距離是相同的,都為2,離心率也相同,所以D正確.2.(弄錯焦點位置)拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標為2的點到焦點的距離為5,則該拋物線的方程為 ()A.x2=12y B.x2=10yC.x2=8y D.x2=6y【解析】選A.因為拋物線x2=2py(p>0)上縱坐標為2的點到焦點的距離為5,則根據(jù)拋物線的定義可得2+p2=5,解得p所以拋物線的方程為x2=12y.3.(人A選擇性必修第一冊P138習(xí)題3.3T1變條件)拋物線x=14ay2的焦點坐標為 (A.(116a,0) B.(C.(0,116a) D.(0,【解析】選B.拋物線x=14ay2可化為y2=4ax,它的焦點坐標是(a4.(2023·全國乙卷)已知點A(1,5)在拋物線C:y2=2px上,則A到C的準線的距離為________.

【解析】由題意可得:(5)2=2p×1,則2p=5,拋物線的方程為y2=5x,準線方程為x=-54,點A到C的準線的距離為1-(-答案:9【巧記結(jié)論·速算】【常用結(jié)論】1.焦半徑:拋物線y2=2px(p>0)上一點P(x0,y0)到焦點F(p2,0)的距離|PF|=x0+p2.通徑:過焦點垂直于對稱軸的弦,長等于2p,通徑是過焦點最短的弦.【即時練】1.過拋物線y2=4x的焦點的直線l交拋物線于P(x1,y1),Q(x2,y2)兩點,如果x1+x2=6,則|PQ|等于 ()A.9 B.8 C.7 D.6【解析】選B.拋物線y2=4x的焦點為F(1,0),準線方程為x=-1.根據(jù)題意可得,|PQ|=|PF|+|QF|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=8.2.設(shè)動圓圓心為P,該動圓過定點F(a,0),且與直線x=-a相切(a>0),圓心P軌跡為曲線C.過點F的直線l與x軸垂直,若直線l與曲線C交于A,B兩點,則|AB|等于 ()A.a2 B.a C.2a D.4【解析】選D.設(shè)P(x,y),由題意可得|PF|=x-(-a),所以由拋物線的定義可知,曲線C的軌跡為y2=4ax,由題意知AB為拋物線的通徑,故|AB|=4a.【核心考點·分類突破】考點一拋物線的定義及標準方程[例1](1)(一題多法)(2022·全國乙卷)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|= ()A.2 B.22 C.3 D.32【解析】選B.方法一:由題意可知F(1,0),準線方程為x=-1,設(shè)A(y024,y0),由拋物線的定義可知|AF|=y由|AF|=|BF|,可得y024+1=2,解得所以A(1,2)或A(1,-2),不妨取A(1,2),故|AB|=(1-3方法二:由題意可知F(1,0),|BF|=2,所以|AF|=2,拋物線通徑為4,所以|AF|=2為通徑的一半,所以AF⊥x軸,所以|AB|=22+2(2)設(shè)圓C與圓x2+(y-3)2=1外切,與直線y=0相切,則圓心C的軌跡為 ()A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.圓【解析】選A.由題意知,圓C的圓心到點(0,3)的距離比到直線y=0的距離大1,即圓C的圓心到點(0,3)的距離與到直線y=-1的距離相等,根據(jù)拋物線的定義可知,所求軌跡是一條拋物線.(3)(2024·包頭模擬)拋物線C的頂點為坐標原點,焦點在x軸上,直線x=2交C于P,Q兩點,C的準線交x軸于點R,若PR⊥QR,則C的方程為 ()A.y2=4x B.y2=6x C.y2=8x D.y2=12x【解析】選C.由題可設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0),則準線方程為x=-p2,當x=2時,可得y=±2p可得P(2,2p),Q(2,-2p),又R(-p2,0),PR⊥QR所以2p2+p2·-2p2+所以C的方程為y2=8x.(4)(2024·沈陽模擬)已知P為拋物線y2=4x上的任意一點,F為拋物線的焦點,點A坐標為(3,2),則|PA|+|PF|的最小值為 ()A.4 B.3 C.22 D.13【解析】選A.由拋物線y2=4x知p=2,則F(1,0),準線l方程為x=-1.如圖所示,點A在拋物線內(nèi),過點P作拋物線準線l的垂線段,垂足為點P',過點A作AH⊥l于點H.由拋物線的定義得|PF|=|PP'|,所以|PA|+|PF|=|PA|+|PP'|≥|AH|,當且僅當點P是線段AH與拋物線的交點(即A,P,H三點共線)時取等號.故|PA|+|PF|的最小值為|AH|=3+p2=4【解題技法】1.利用拋物線的定義可解決的常見問題(1)軌跡問題:用拋物線的定義可以確定動點與定點、定直線距離有關(guān)的軌跡是否為拋物線.(2)距離問題:涉及拋物線上的點到焦點的距離和到準線的距離問題時,注意在解題中利用兩者之間的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.2.求拋物線的標準方程的方法(1)因為拋物線方程有四種標準形式,因此求拋物線方程時,需先定位,再定量.(2)因為未知數(shù)只有p,所以只需利用待定系數(shù)法確定p的值.【對點訓(xùn)練】1.(2024·青島模擬)設(shè)拋物線C:x2=2py的焦點為F,M(x,4)在C上,|MF|=5,則C的方程為 ()A.x2=4y B.x2=-4yC.x2=-2y D.x2=2y【解析】選A.拋物線x2=2py的開口向上,由于M(x,4)在C上,且|MF|=5,根據(jù)拋物線的定義可知4+p2=5,p所以拋物線C的方程為x2=4y.2.(2024·北京模擬)已知拋物線C:y2=8x的焦點為F,點M在C上.若M到直線x=-1的距離為3,則|MF|= ()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】選A.如圖所示:根據(jù)題意可得拋物線的準線方程為x=-2,若M到直線x=-1的距離為MM2=3,則M到拋物線的準線x=-2的距離為MM1=4,利用拋物線定義可知MF=MM1=4.3.(2023·岳陽模擬)已知拋物線y=14x2的焦點為F,P為拋物線上一動點,點Q(1,1),當△PQF的周長最小時,點P的坐標為________【解析】如圖,設(shè)l:y=-1是拋物線的準線,過P作PH⊥l于H,作QN⊥l于N,則PF=PH,F(0,1),FQ=1,PF+PQ=PQ+PH,易知當Q,P,H三點共線時,PQ+PH的值最小,且最小值為1+1=2,所以△PQF的周長最小值為3,此時xP=1,yP=14,即P(1,14答案:(1,14【加練備選】1.(2024·杭州模擬)頂點在原點、坐標軸為對稱軸的拋物線,過點(-1,2),則它的方程是 ()A.x2=12y或y2=-4x B.y2=-4x或x2=2C.x2=-12y D.y2=-4【解析】選A.當拋物線的焦點在x軸上時,設(shè)拋物線的方程為y2=-2px(p>0).因為拋物線過點(-1,2),記為點P,如圖,所以22=-2p·(-1),所以p=2,所以拋物線的方程為y2=-4x;當拋物線的焦點在y軸上時,設(shè)拋物線的方程為x2=2py(p>0).因為拋物線過點(-1,2),所以(-1)2=2p·2,所以p=14所以拋物線的方程為x2=122.已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=________.【解析】方法一:依題意可知,拋物線的焦點F(2,0),設(shè)N(0,t),由中點坐標公式得M(1,t2),|MF所以|FN|=2|MF|=6.方法二:如圖,過M,N分別作拋物線準線的垂線,垂足分別為M1,N1,設(shè)拋物線的準線與x軸的交點為F1,則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因為M為FN的中點,所以|MM1|=3,由拋物線的定義知|FM|=|MM1|=3,從而|FN|=2|FM|=6.答案:6

考點二拋物線的幾何性質(zhì)[例2](1)已知點F為拋物線y2=2px(p>0)的焦點,點P在拋物線上且橫坐標為8,O為坐標原點,若△OFP的面積為22,則該拋物線的準線方程為()A.x=-12 B.xC.x=-2 D.x=-4【解析】選B.拋物線y2=2px(p>0)的焦點F(p2由y2=16p,可得y=±4p,不妨令P(8,4p),則S△OFP=12×p2×4p=pp=22,解得p=2,則拋物線方程為y2=4x,其準線方程為x(2)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,O為坐標原點.拋物線上有M,N兩點,若△MON為正三角形,則△MON的邊長為________.

【解析】因為△MON為正三角形,所以|OM|=|ON|=|MN|,由拋物線對稱性可知MN⊥x軸,設(shè)MN:x=t,則y2=2pt,解得y1=2pt,y2=-2pt.所以|MN|=2所以tan30°=12|MN|t解得t=6p.所以|MN|=43p.答案:43p(3)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標原點,拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,P為C上一點,PF與x軸垂直,Q為x軸上一點,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,則C的準線方程為______________.

【解析】由題易得|OF|=p2,|PF|=p,∠OPF=∠PQF,所以tan∠OPF=tan∠PQF所以|OF||PF|=|PF|所以C的準線方程為x=-32答案:x=-3【解題技法】應(yīng)用拋物線幾何性質(zhì)的技巧涉及拋物線幾何性質(zhì)的問題常結(jié)合圖形思考,通過圖形可以直觀地看出拋物線的頂點、對稱軸、開口方向等幾何特征,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.【對點訓(xùn)練】1.已知點A,B在拋物線y2=2px(p>0)上,O為坐標原點,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰好是此拋物線的焦點F,則直線AB的方程是 ()A.x-p=0 B.4x-3p=0C.2x-5p=0 D.2x-3p=0【解析】選C.如圖所示,因為F為△AOB的垂心,F為焦點,|OA|=|OB|,所以O(shè)F垂直平分線段AB,所以由拋物線的對稱性可知直線AB垂直于x軸.設(shè)A(2pt2,2pt),B(2pt2,-2pt),其中t>0.因為F為垂心,所以O(shè)B⊥AF,所以kOB·kAF=-1,即-2pt2pt2·2所以直線AB的方程為x=2pt2=52p,即2x-5p=02.設(shè)點F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點,過拋物線上一點P作其準線的垂線,垂足為Q,已知直線FQ交y軸于點A(0,2),且△PQF的面積為10,則該拋物線的方程為____________.

【解析】根據(jù)題意作出滿足題意的幾何圖形如圖所示.其中,F(p2,0),直線QE為拋物線的準線,且準線方程為x=-p2,PQ⊥QE,A設(shè)P(x0,y0),則Q(-p2,y0),|PQ|=x0+p在△QEF中,O為EF的中點,則A為QF的中點,即|QE|=4,y0=4.因為△PQF的面積為10,所以12(x0+p即x0=5-p2.因為y02=2px0,所以42=2p即p2-10p+16=0.所以p=2或p=8.所以該拋物線的方程為y2=4x或y2=16x.答案:y2=4x或y2=16x【加練備選】1.(2021·新高考Ⅱ卷)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點到直線y=x+1的距離為2,則p= ()A.1 B.2 C.22 D.4【解析】選B.拋物線的焦點坐標為p2,0,其到直線xd=p2-0+1解得p=2(p=-6舍去).2.(多選題)設(shè)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,準線為l,A為C上一點,以F為圓心,|FA|為半徑的圓交l于B,D兩點,若∠ABD=90°,且△ABF的面積為93,則下列選項正確的是 ()A.|BF|=3B.△ABF是等邊三角形C.點F到準線的距離為3D.拋物線C的方程為y2=12x【解析】選BC.根據(jù)題意,作出滿足題意的幾何圖形如圖所示,由拋物線及圓的定義可得|AB|=|AF|=|BF|,所以△ABF是等邊三角形,故B正確;由△ABF的面積為34|BF|2=93可知|BF|=6.故A錯誤;∠FBD=30°,又點F到準線的距離為|BF|sin30°=3=p,故C正確;該拋物線的方程為y2=6x.故D錯誤.考點三拋物線的綜合問題【考情提示】拋物線的綜合問題一直是高考命題的熱點,重點考查直線與拋物線的位置關(guān)系,常與函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容相結(jié)合.角度1焦點弦問題[例3](2024·貴陽模擬)直線l經(jīng)過拋物線y2=6x的焦點F,且與拋物線交于A,B兩點.若|AF|=3|BF|,則|AB|= ()A.4 B.92 C.8 D.【解析】選C.拋物線的焦點坐標為(32,0),準線方程為x=-32,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),y12=6x1,y因為|AF|=3|BF|,所以x1+32=3(x2+32),得x1=3x2因為|AF|=3|BF|,所以|y1|=3|y2|,即x1=9x2,②由方程①②可得x1=92,x2=1所以|AB|=x1+32+x2+32=x1+x2【解題技法】關(guān)于焦點弦的幾個常用技巧(1)過拋物線y2=2px的焦點的直線方程常設(shè)為x=my+p2(2)拋物線的焦點弦長為2psin2(3)過拋物線的焦點弦的兩個端點作拋物線的切線,兩條切線的交點在準線上.角度2直線與拋物線的相交問題[例4](1)(多選題)(2024·朔州模擬)已知A(x1,y1),B(x2,y2)是拋物線C:y=14x2上異于坐標原點O的兩個動點,且以AB為直徑的圓過點O,過點O作OM⊥AB于點M,則 (A.直線AB的斜率為xB.直線AB過定點(0,4)C.點M的軌跡方程為x2+(y-2)2=4D.△ABO的重心G的軌跡為拋物線【解析】選ABD.因為y1=14x12,y2=14x22,兩式相減,得y1-y2=14(x1-x2)(x因為以AB為直徑的圓過原點O,所以O(shè)A⊥OB,即OA·OB=0,所以x1x2+y1y2=0,又y1y2=(x1x2)216,所以x1x2+(x1x2因為直線AB的斜率存在,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,由y=14x2y=kx+m,消去y所以x1x2=-4m,故-4m=-16,即m=4,所以直線AB的方程為y=kx+4,所以直線AB過定點(0,4),所以B正確;因為OM⊥AB于M,直線AB過定點D(0,4),所以點M的軌跡是以O(shè)D為直徑的圓(除去原點O),其方程為x2+(y-2)2=4(y≠0),所以C不正確;設(shè)△ABO的重心為G(x,y),則x=x1+x23由方程(*)可知,x1+x2=4k,y1+y2=k(x1+x2)+8=4k2+8,所以x=4k3y=4k2+83因為k∈R,所以△ABO的重心G的軌跡為拋物線,所以D正確.(2)(2024·濰坊模擬)傾斜角為60°的直線l過拋物線C:y2=4x的焦點,且與C交于A,B兩點.①求拋物線的準線方程;【解析】①由已知可得,p=2,焦點在x軸上,所以,拋物線的準線方程為x=-1.(2)(2024·濰坊模擬)傾斜角為60°的直線l過拋物線C:y2=4x的焦點,且與C交于A,B兩點.②求△OAB的面積(O為坐標原點).【解析】②因為拋物線的方程為y2=4x,所以拋物線的焦點坐標為F(1,0).又因為傾斜角為60°的直線l,所以斜率為3,所以直線AB的方程為y=3(x-1).代入拋物線方程消去y并化簡得3x2-10x+3=0.方法一:解得x1=13,x2所以|AB|=1+k2|x1-x2|=1+3×|3-13|又點O到直線3x-y-3=0的距離為d=32所以S△OAB=12|AB|·d=12×163×3方法二:Δ=100-36=64>0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=103過A,B分別作準線x=-1的垂線,設(shè)垂足分別為E,D如圖所示.|AB|=|AF|+|BF|=|AE|+|BD|=x1+1+x2+1=x1+x2+2=163點O到直線3x-y-3=0的距離為d=32所以S△OAB=12|AB|·d=12×163×3【解題技法】(1)直線與拋物線的弦長問題注意直線是否過拋物線的焦點.若過拋物線的焦點,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不過焦點,則必須用一般弦長公式.(2)涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.提醒:涉及弦的中點、斜率時一般用“點差法”求解.角度3與拋物線有關(guān)的最值問題[例5](1)(多選題)(2024·泉州模擬)已知A(a,0),M(3,-2),點P在拋物線y2=4x上,則下列選項正確的是 ()A.當a=1時,|PA|的最小值為1B.當a=3時,|PA|的最小值為3C.當a=1時,|PA|+|PM|的最小值為4D.當a=3時,|PA|-|PM|的最大值為2【解析】選ACD.當a=1時,A(1,0)為拋物線的焦點,設(shè)P(x0,y0),x0≥0,則|PA|=x0+1≥1,故|PA|的最小值為1,A正確;當a=1時,設(shè)拋物線的準線為l:x=-1,如圖(1),過點P作PN⊥l于點N,此時|PA|+|PM|=|PN|+|PM|,故當N,P,M三點共線時,|PA|+|PM|取得最小值,此時(|PA|+|PM|)min=3+1=4,C正確;當a=3時,A(3,0),如圖(2),連接AM,并延長AM交拋物線于點P'.當P在P'位置時,此時|P'A|-|P'M|=|AM|為最大值,當P在其他位置時,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊,可知均小于|AM|,因為|AM|=(3-3)2+(-2-當x0=1時,|PA|min=22,B錯誤.(2)拋物線y=4x2上一點到直線y=4x-5的距離最短,則該點的坐標是________.

【解析】方法一:設(shè)與y=4x-5平行的直線y=4x+b與y=4x2相切,將y=4x+b代入y=4x2,得4x2-4x-b=0.①由Δ=16+16b=0得b=-1,代入①得x=12所以所求點的坐標為(12,1)方法二:設(shè)該點坐標為A(x0,y0),那么有y0=4x0設(shè)點A到直線y=4x-5的距離為d,則d=|4x0-y0-5=117|4x02-4x0+5|=117|4(x0-1當且僅當x0=12時,d將x0=12代入y=4x2解得y0=1故點A的坐標為(12,1)答案:(12【解題技法】與拋物線有關(guān)的最值問題的求解策略(1)求解拋物線上的點到焦點與到定點(或定直線)距離的和、差最值問題,常利用定義將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離,再結(jié)合圖形及平面幾何的有關(guān)性質(zhì)求解.(2)涉及拋物線上的點的坐標有關(guān)的最值問題,可借助于拋物線的有關(guān)知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解,但要注意拋物線上的點的坐標的取值范圍.【對點訓(xùn)練】1.(多選題)(2024·惠州模擬)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,直線l:y=k(x-1)(k≠0)與拋物線C交于A,B兩點,下面說法正確的是 ()A.拋物線C的準線方程為x=-2B.∠AOB>πC.k=1時,|AB|=42D.1|AF|【解析】選BD.由題意,可得F(1,0),p=2,準線為x=-1,故A錯誤;設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),根據(jù)拋物線的定義可得|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,y2=4xy=k(x-1)?k2x2-(2k2+4)x+k2=0,則x1+x2=2+4k2,x1x2=1,根據(jù)拋物線的定義可得|AB|=x1+1+x21|AF|+1|BF|=1x取AB的中點M,則M為以AB為直徑的圓的圓心,設(shè)|AB|=2r,過M作MN⊥準線a于N,過A作AA1⊥準線a于A1,過B作BB1⊥準線a于B1,根據(jù)梯形的性質(zhì)和拋物線的定義可得|MN|=|AA1|+|B即以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切,則O在以AB為直徑的圓的內(nèi)部,故∠AOB>π2,故B正確2.已知拋物線方程為y2=4x,直線l:x+y+2=0,拋物線上一動點P到直線l的距離的最小值為________.

【解析】設(shè)與直線l平行且與拋物線相切的直線方程為x+y+m=0,由x+y+m=0y2=4則Δ=16-16m=0,得m=1,所以切線方程為x+y+1=0,所以拋物線上一動點P到直線l的距離的最小值為d=2-12答案:2【加練備選】(2024·西安模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的準線方程是x=-12(1)求拋物線的方程;【解析】(1)因為拋物線y2=2px(p>0)的準線方程為x=-p2,所以-p2=-12所以拋物線的方程為y2=2x.(2024·西安模擬)已知拋物線y2=2px(p>0)的準線方程是x=-12(2)設(shè)直線y=k(x-2)(k≠0)與拋物線相交于M,N兩點,若|MN|=210,求實數(shù)k的值.【解析】(2)如圖,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=k(x-2)代入y2=2x,消去y整理得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0.當Δ=4(2k2+1)2-4x1+x2=2(2k2+1)k2=|MN|=1+k2|x1-x=1+=1+k2(化簡得:(1+k2)(16k2+4)=40k4,解得k2=1,經(jīng)檢驗,此時Δ>0,故k=±1.【重難突破】拋物線的結(jié)論及其應(yīng)用【考情分析】(1)過拋物線焦點的直線與拋物線的關(guān)系尤為重點,這是因為在這一關(guān)系中具有很多性質(zhì),并通過這些性質(zhì)及運算推導(dǎo)出很多有用的結(jié)論,常常是高考命題的切入點.(2)熟悉并記住拋物線焦點弦的結(jié)論,在解選擇題、填空題時可直接運用,減少運算量;在做解答題時也可迅速打開解題思路.【常用結(jié)論】我們以拋物線y2=2px(p>0)為例來研究【探究】已知AB是過拋物線y2=2px(p>0)焦點F的弦,α為直線AB與x軸正半軸的夾角,若A(x1,y1),B(x2,y2),則有下列結(jié)論:結(jié)論1:y1y2=-p2,x1x2=p2結(jié)論2:|AB|=x1+x2+p=2p結(jié)論3:1|AF|+1結(jié)論4:|AF|=x1+p2=p|BF|=x2+p2=p結(jié)論5:S△AOB=12|OF|·|y1-y2|=p【結(jié)論證明】通常在證明上述結(jié)論時,設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)關(guān)系求解,特別地,還要討論斜率存在與否的情況,過程煩瑣,運算量大.下面我們提供比較簡單的證明結(jié)論的方法:【證明】由圖可知|AF|-|AF|cosα=p,得|AF|=p1同理可得|BF|=p1+cosα1|AF|+1|BF|=1|AB|=|AF|+|BF|=p1-cosα+p由圖可知y1=|AF|sinα,y2=-|BF|sinα,則y1y2=-|AF||BF|sin2α=-p1-