2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章函數(shù)應(yīng)用單元整合一課一練含解析北師大版必修第一冊(cè)

PAGEPAGE1第五章函數(shù)應(yīng)用單元整合1.☉%￥6*@702#%☉(2024·衡水中學(xué)月考)函數(shù)f(x)=e-x+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()。A.-14,C.14,1答案：D解析：因?yàn)閒(x)=e-x+4x-3,所以f-14=e14-1-3<0,f(0)=-2<0,f14=e-14+1-3=e-14-2<0,f12=e-12+2-3=e-12-1<0,f34=e-34+3-3=e-34>0,故f-142.☉%#*6@￥335%☉(2024·雅禮中學(xué)期末)下列函數(shù)圖像中(如圖5-3),能用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的是()。圖5-3答案：D解析：由題意以及零點(diǎn)判定定理可知,只有選項(xiàng)D能夠應(yīng)用二分法求解函數(shù)的零點(diǎn)。故選D。3.☉%@91*￥5￥6%☉(2024·黃岡中學(xué)高一期中)函數(shù)f(x)=2x-1+log2x的零點(diǎn)所在區(qū)間是()。A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)答案：A解析：依據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可得當(dāng)x→0時(shí),f(x)→-∞,且f(1)=1>0,∴f(0)·f(1)<0,依據(jù)零點(diǎn)存在定理,可得函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間是(0,1)。故選A。4.☉%5￥4￥#0@1%☉(2024·武漢二中高一期末)函數(shù)f(x)=lnx+2x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間是()。A.(0,1)B.(2,3)C.(1,2)D.(3,4)答案：C解析：因?yàn)閒(x)=lnx+2x-3單調(diào)遞增,且f(1)=0+2-3=-1<0,f(2)=ln2+22-3=ln2+1>0,所以f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(1,2)。故選C。5.☉%￥8￥#3*13%☉(2024·宜林中學(xué)模擬)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x+1)=-f(x),且x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,則函數(shù)h(x)=f(x)-log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()。A.6B.8C.2D.4答案：D解析：∵定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿意f(x+1)=-f(x),∴滿意f(x+2)=f(x),故函數(shù)f(x)的周期為2。又當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)=x,故當(dāng)x∈[-1,0]時(shí),f(x)=-x。函數(shù)h(x)=f(x)-log3|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=log3|x|的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=log3|x|的圖像如圖。明顯函數(shù)y=f(x)的圖像與函數(shù)y=log3|x|的圖像有4個(gè)交點(diǎn)。故選D。6.☉%5#6￥#3*2%☉(2024·鄭州一中期中)某企業(yè)2024年全年投入研發(fā)資金150萬(wàn)元,為激勵(lì)創(chuàng)新,該企業(yè)支配今后每年投入的研發(fā)資金比上年增長(zhǎng)8%,則該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金起先超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù):lg1.08≈0.033,lg2≈0.301,lg3≈0.477)()。A.2024年B.2024年C.2024年D.2024年答案：C解析：設(shè)該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金起先超過(guò)200萬(wàn)元的年份為n,則150×(1+8%)n-2025>200,則n>2024+2lg2-lg3lg1.08≈2024+0.602-0.4777.☉%@07@8*7￥%☉(2024·六安一中期中)設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)隨意的x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),且當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=12x-1,若關(guān)于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a>1)在區(qū)間(-2,6]內(nèi)恰有3個(gè)不同實(shí)根,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(A.(43,48)B.(C.(43,2)D.(3答案：B解析：因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),故f(2-x)=f(x-2),所以f(x+2)=f(x-2),所以f(x)的周期為4,因?yàn)閤∈[-2,0]時(shí),f(x)=12x-1,所以f(x)在(-2,6]上的圖像如圖。因?yàn)閒(x)-loga(x+2)=0有3個(gè)不同的解,所以f(x)的圖像與y=loga(x+2)的圖像有3個(gè)不同的交點(diǎn),故f(2)>loga(2+28.☉%8*9@7￥1#%☉(2024·成都七中高一期中)已知函數(shù)f(x)(對(duì)應(yīng)的曲線連綿不斷)在區(qū)間[0,2]上的部分對(duì)應(yīng)值如下表:x00.881.301.4061.431f(x)-2-0.963-0.340-0.0530.145x1.521.621.701.8752f(x)0.6251.9752.5454.055由此可推斷:當(dāng)精確度為0.1時(shí),方程f(x)=0的一個(gè)近似解為。(精確到0.01)答案：1.41(答案不唯一)解析：由所給的表格可以看出,x=1.406與x=1.431對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的符號(hào)不同,即f(1.406)·f(1.431)<0,∴函數(shù)的零點(diǎn)在(1.406,1.431)上,故當(dāng)精確度為0.1時(shí),方程f(x)=0的一個(gè)近似解為1.41。9.☉%@#7￥23@9%☉(2024·黃岡中學(xué)期末)已知函數(shù)f(x)=x2+ax+1(a>0)。(1)若f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),求關(guān)于x的方程f(x)=4的解;答案：解:因?yàn)閒(x)的值域?yàn)閇0,+∞),所以f(x)min=f-a2=14a2-12a2+1=0。因?yàn)閍>0,所以a=2,則f(x)=x2+2x+1。因?yàn)閒(x)=4,所以x2+2x+1=4,即x2+2x-3=0,解得x=-3(2)當(dāng)a=2時(shí),函數(shù)g(x)=[f(x)]2-2mf(x)+m2-1在[-2,1]上有三個(gè)零點(diǎn),求m的取值范圍。答案：g(x)=[f(x)]2-2mf(x)+m2-1在[-2,1]上有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程[f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0在[-2,1]上有三個(gè)不同的實(shí)根。因?yàn)閇f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0,所以f(x)=m+1或f(x)=m-1。由(1)知f(x)=x2+2x+1。結(jié)合f(x)在[-2,1]上的圖像可知,要使方程[f(x)]2-2mf(x)+m2-1=0在[-2,1]上有三個(gè)不同的根,則f(x)=m+1在[-2,1]上有一個(gè)實(shí)數(shù)根,f(x)=m-1在[-2,1]上有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根,即1<m+1≤4,0<m-1≤10.☉%#6555#@￥%☉(2024·武漢外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期末)已知函數(shù)f(x)=ax2-4x+2,函數(shù)g(x)=13(1)若函數(shù)f(x)在(-∞,2]和[2,+∞)上單調(diào)性相反,求f(x)的解析式;答案：解:由單調(diào)性知,函數(shù)f(x)=ax2-4x+2為二次函數(shù),其對(duì)稱軸為直線x=--42a=2,解得a=1,∴f(x)=x2-4(2)若a<0,不等式g(x)≤9在x∈0,12上恒成立,求答案：依題意得13f(x)≤9=13-2,即13ax2-4x+2≤13-2在x∈0,12上恒成立,轉(zhuǎn)化為ax2-4x+2≥-2在x∈0,12上恒成立,即ax2-4x+4≥0在x∈0,12上恒成立,轉(zhuǎn)化為a≥4x-4x2=4x-4x2在x∈0,12上恒成立,令1x=t((3)已知a≤1,若函數(shù)y=f(x)-log2x8在區(qū)間[1,2]內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),試確定實(shí)數(shù)a答案：∵y=f(x)-log2x8=ax2-4x+5-log2x,設(shè)r(x)=ax2-4x+5,s(x)=log2x,x∈[1,2],則原命題等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)r(x)與s(x)的圖像在區(qū)間[1,2]內(nèi)有唯一交點(diǎn)。當(dāng)a=0時(shí),r(x)=-4x+5在[1,2]內(nèi)為減函數(shù),s(x)=log2x,x∈[1,2]為增函數(shù),且r(1)=1>s(1)=0,r(2)=-3<s(2)=1,∴兩函數(shù)圖像在區(qū)間[1,2]上有唯一交點(diǎn);當(dāng)a<0時(shí),r(x)圖像開(kāi)口向下,對(duì)稱軸為直線x=2a<0,∴r(x)在[1,2]內(nèi)為減函數(shù),s(x)=log2x,x∈[1,2]為增函數(shù),且r(1)≥s(1),r(2)≤s(2)?a+1≥0,4a-3≤1?-1≤a≤1,∴-1≤a<0。當(dāng)0<a≤1時(shí),r(x)的圖像開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為直線x=2a≥2,∴r(x)在[1,2]內(nèi)為減函數(shù),s(x11.☉%**18*92*%☉(2024·南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中)通過(guò)探討學(xué)生的學(xué)習(xí)行為,專家發(fā)覺(jué),學(xué)生的留意力隨著老師講課時(shí)間的改變而改變,講課起先時(shí),學(xué)生的愛(ài)好激增,中間一段時(shí)間,學(xué)生保持較志向的狀態(tài),隨后學(xué)生的留意力起先分散,設(shè)f(t)表示學(xué)生留意力隨時(shí)間t(min)的改變規(guī)律(f(t)越大,表明學(xué)生留意力越集中),經(jīng)試驗(yàn)分析得知:f(t)=-(1)講課起先多少分鐘,學(xué)生的留意力最集中?能持續(xù)多少分鐘?答案：解:當(dāng)0<t≤10時(shí),f(t)=-t2+24t+100是增函數(shù),當(dāng)20<t≤40時(shí),f(t)=-7t+380是減函數(shù),且f(10)=f(20)=240,所以講課起先10min,學(xué)生的留意力最集中,能持續(xù)10min。(2)講課起先后5min與講課起先后25min比較,何時(shí)學(xué)生的留意力更集中?答案：因?yàn)閒(5)=195,f(25)=205,所以講課起先后25min比講課起先后5min學(xué)生的留意力更集中。(3)一道數(shù)學(xué)難題,須要講解24min,并且要求學(xué)生的留意力至少達(dá)到180,那么經(jīng)過(guò)適當(dāng)支配,老師能否在學(xué)生達(dá)到所須要的狀態(tài)下講完這道題目?答案：當(dāng)0<t≤10時(shí),令f(t)=-t2+24t+100=180,得t=4,當(dāng)20<t≤40時(shí),令f(t)=-7t+380=180,得t≈28.57,又28.57-4=24.57>24,所以經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)闹?老師可以在學(xué)生達(dá)到所須要的狀態(tài)下講完這道題目。1.☉%7@4￥99#*%☉(2024·浙江高考)設(shè)a,b∈R,函數(shù)f(x)=x(x<0),13x3-12(a+1)x2+A.a<-1,b<0B.a<-1,b>0C.a>-1,b<0D.a>-1,b>0答案：C解析：由題意可得,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)-ax-b=13x3-12(a+1)x2-b,令f(x)-ax-b=0,則b=13x3-12(a+1)x2=16x2[2x-3(a+1)]。因?yàn)閷?duì)隨意的x∈R,f(x)-ax-b=0有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,所以要滿意條件,則當(dāng)x≥0時(shí),b=16x2[2x-3(a+1)]必需有2個(gè)零點(diǎn),所以3(a+1)2.☉%29￥@9#@9%☉(2024·全國(guó)Ⅰ高考)已知函數(shù)f(x)=ex(x≤0),lnx(x>0),g(x)=f(x)+x+a。若g(A.[-1,0)B.[0,+∞)C.[-1,+∞)D.[1,+∞)答案：C解析：函數(shù)g(x)=f(x)+x+a存在2個(gè)零點(diǎn),即關(guān)于x的方程f(x)=-x-a有2個(gè)不同的實(shí)根,即函數(shù)f(x)的圖像與直線y=-x-a有2個(gè)交點(diǎn),作出直線y=-x-a與函數(shù)f(x)的圖像,如圖,由圖可知,-a≤1,解得a≥-1,故選C。3.☉%#￥5￥6*64%☉(2024·全國(guó)Ⅲ高考)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=()。A.-12B.1C.12答案：C解析：由f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),得f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+a[e2-x-1+e-(2-x)+1]=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),所以f(2-x)=f(x),即x=1為f(x)圖像的對(duì)稱軸。由題意,知f(x)有唯一零點(diǎn),所以f(x)的零點(diǎn)只能為x=1,即f(1)=12-2×1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=12,故選C4.☉%5#8#1**2%☉(2024·山東高考)已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí),函數(shù)y=(mx-1)2的圖像與y=x+m的圖像有且只有一個(gè)交點(diǎn),則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是()。A.(0,1]∪[23,+∞)B.(0,1]∪[3,+∞)C.(0,2)∪[23,+∞)D.(0,2]∪[3,+∞)答案：B解析：當(dāng)0<m≤1時(shí),需滿意1+m≥(m-1)2,解得0≤m≤3,故這時(shí)0<m≤1。當(dāng)m>1時(shí),需滿意(m-1)2≥1+m,解得m≥3或m≤0,故這時(shí)m≥3。綜上可知,正實(shí)數(shù)m的取值范圍為(0,1]∪[3,+∞)。故選B。5.☉%#*￥6￥921%☉(天津高考)已知函數(shù)f(x)=x2+(4a-3)x+3a(x<0),loga(x+1)+1(x≥0)A.0,B.2C.13,2D.13,答案：C解析：當(dāng)x<0時(shí),f(x)單調(diào)遞減,必需滿意-4a-32≥0,故0<a≤34,此時(shí)函數(shù)f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,若f(x)在R上單調(diào)遞減,還需3a≥1,即a≥13,所以13≤a≤34。結(jié)合函數(shù)圖像(圖略),當(dāng)x≥0時(shí),函數(shù)y=|f(x)|的圖像和直線y=2-x有且只有一個(gè)公共點(diǎn),即當(dāng)x≥0時(shí),方程|f(x)|=2-x只有一個(gè)實(shí)數(shù)解。因此,只需當(dāng)x<0時(shí),方程|f(x)|=2-x恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解。依據(jù)已知條件可得,當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0,即只需方程f(x)=2-x恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解,即x2+(4a-3)x+3a=2-x,即x2+2(2a-1)x+3a-2=0在(-∞,0)上恰有唯一的實(shí)數(shù)解。判別式Δ=4(2a-1)2-4(3a-2)=4(4a2-7a+3)=4(a-1)(4a-3),因?yàn)?3≤a≤34,所以Δ≥0。當(dāng)3a-2<0,即13≤a<23時(shí),方程x2+2(2a-1)x+3a-2=0有一個(gè)正實(shí)根、一個(gè)負(fù)實(shí)根,滿意要求;當(dāng)3a-2=0,即a=23時(shí),方程x2+2(2a-1)x+3a-2=0的一個(gè)根為0,一個(gè)根為-23,滿意要求;當(dāng)3a-2>0,即23<a<34時(shí),因?yàn)?(2a-1)<0,此時(shí)方程x2+92(2a-1)x+3a-2=0有兩個(gè)負(fù)實(shí)根,不滿意要求;當(dāng)a=34時(shí),方程x2+2(2a-1)x6.☉%13￥9@5#*%☉(2024·天津高考)已在a>0,函數(shù)f(x)=x2+2ax+a(x≤0),-x2+2ax-2a答案：(4,8)解析：設(shè)g(x)=f(x)-ax=x2+ax