2024-2025學年新教材高中數學第二章等式與不等式單元綜合一課一練含解析新人教B版必修第一冊VIP

PAGEPAGE1專題突破專練專題1利用不等式性質求范圍1.(2024·北京西城區(qū)高二聯(lián)考)已知-3<b<a<-1,-2<c<-1,則(a-b)c2的取值范圍是。

答案：(0,8)解析：依題意0<a-b<2,1<c2<4,所以0<(a-b)c2<8。2.已知實數a滿意ab2>a>ab,求實數b的取值范圍。答案：解:若a<0,則b2<1<b,產生沖突,所以a>0,則b2>1>b,解得b<-1,即b的取值范圍為(-∞,-1)。3.(2024·山東微山高二月考)若-π2<α<β<π6,求α-答案：解:∵-π2<β<π6,∴-π6<-β<π2?！?π2∴-2π3<α-β<2π3。又∵α<β,∴α-β<0,∴-2π3<α-4.(2024·北京日壇中學高二月考)已知a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],求4a-2b的取值范圍。答案：解:∵a-b∈[0,1],a+b∈[2,4],∴4a-2b=(a+b)+3(a-b)=[2,4]+3[0,1]=[2,7],∴4a-2b的取值范圍為[2,7]。專題2敏捷運用均值不等式求最值5.(2024·江蘇南通高三三縣聯(lián)考)已知x,y為正實數,則4xx+3y+3yA.53 B.103 C.3答案：D解析：4xx+3y+3yx=4xx+3y+x+3yx-1≥24x6.(2024·山東濰坊一中高二月考)求y=x2+7x+10答案：解:y=x2+7x+10x+1=當x>-1,即x+1>0時,y≥2(x+1)·4x+1+5=9,當且僅當x=1時取“7.(2024·遼寧鞍山一中高二月考)已知a,b都是負實數,求aa+2b答案：解:∵a,b為負實數,∴a+2b<0,a+b<0,∴a+ba+2b>0,a∴aa+2b+ba=2(a+≥22(a+當且僅當2(a+b)a+2b=a故aa+2b+ba+8.已知x>0,y>0,x+2y+2xy>8,則x+2y的最小值是。

答案：4解析：x+2y=8-x·(2y)≥8-x+2y22(當且僅當x=2y時取等號),整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0,即(x+2y-4)(x+2y+8)≥0,又x+2y>0,所以x+2y≥4(當且僅當x=2y時取等號),則x+29.(2024·江蘇淮安清江中學高三第一次階段測試)設a>0,b>0,a+b=5,則a+1+b+3的最大值為答案：32解析：本題主要考查均值不等式。因為a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=5+4=9。因為(a+1+b+3)2=(a+1)+(b+3)+2a+1·b+3=9+2a+1·b+3≤9+(a+1)+(b+3)=18,當且僅當a+1=b+3=92,即a=72,b=32時等號成立,所以a+1+b+3≤18專題3依據不等式求參數范圍10.(2024·甘肅天水月考)若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x對隨意實數x均成立,則實數a的取值范圍是()。A.(-2,2) B.(-2,2]C.(-∞,-2)∪[2,+∞) D.(-∞,2]答案：B解析：不等式ax2+2ax-4<2x2+4x可化為(a-2)x2+2(a-2)x-4<0,當a-2=0,即a=2時,不等式恒成立,符合題意;當a-2≠0時,要使不等式恒成立,需a-2<0,Δ<0,解得-2<a<211.(2024·廣東惠州調研)關于x的不等式ax-b>0的解集是12,+∞,求關于x答案：解:因為不等式ax-b>0的解集是12,+∞,所以a>0,且a-2b=0,所以不等式ax-2b-x+5>0等價于x-1-x12.(2024·黑龍江齊齊哈爾八校聯(lián)考)若對x>0,y>0,x+2y=1,有2x+1y≥m恒成立,求答案：解:∵x>0,y>0,x+2y=1,∴2x+1y=(x+2y)·2x+1y=2+2+4yx+xy≥4+24yx·xy=8,當且僅當x=12,y=14時取等號,∴2x+1y的最小值為8,又213.(2024·山東威海一中高二月考)若不等式m≤12x+21-x當x∈(0,1)答案：解:當x∈(0,1)時,1-x>0,∴12x+21-x=1-x+x2x+2(1-x)+2x1-x=1-x2x+2x1-x+12+2≥52+21=14.(2024·吉林長春模擬)若正數m,n滿意m+n+3=mn,不等式(m+n)x2+2x+mn-13≥0恒成立,求實數x的取值范圍。答案：解:令m+n=a,則mn=a+3,故m,n是方程x2-ax+a+3=0的兩個正實數根,∴Δ=a2-4不等式(m+n)x2+2x+mn-13≥0恒成立?不等式ax2+2x+a-10≥0在a≥6時恒成立。即函數f(a)=(x2+1)a+2x-10≥0在a∈[6,+∞)時恒成立。f(6)=6(x2+1)+2x-10≥0?x≥23或x≤-1專題4含參數一元二次不等式15.(2024·遼寧鞍山三中高二月考)解不等式:ax2+(a+2)x+1>0。答案：解:(1)當a=0時,不等式可化為2x+1>0,解得x>-12。解集為x(2)當a≠0時,∵Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,解得方程ax2+(a-2)x+1=0兩根為x1=-a-2-a2∴當a>0時,解集為xx>-a-2+a2+42a當a<0時,解集為x-a-2+a2+42a16.(2024·山東定陶一中高二測試)解不等式ax2-5ax+6a>0(a≠0)。答案：解:∵a(x2-5x+6)=a(x-2)(x-3)>0,∴當a>0時,解集為{x|x<2或x>3};當a<0時,解集為{x|2<x<3}。17.解不等式x2+ax+4>0。答案：解:∵Δ=a2-16,∴當a∈(-4,4),即Δ<0時,解集為R;當a=±4,即Δ=0時,解集為x|當a>4或a<-4,即Δ>0時,兩根分別為x1=-a+a2-162,x2=-a∴不等式的解集為xx>-a+a2-162或18.解不等式x2-a+1ax+1<0(a答案：解:原不等式可化為(x-a)x-1a<0,令a=1a,可得a=±1,∴當a<-1或0<a<1時,此時原不等式的解集為x|當a=1或a=-1時,a=1a,可得其解集為?當-1<a<0或a>1時,a>1a,解集為x19.(2024·北京北航附中高二月考)解不等式x2-5ax+6a2>0(a≠0)。答案：解:原不等式可化為(x-2a)(x-3a)>0,對應方程(x-2a)(x-3a)=0的兩根為x1=2a,x2=3a,當a>0,即2a<3a時,解集為{x|x>3a或x<2a};當a<0,即2a>3a時,解集為{x|x>2a或x<3a}。20.(2024·日照第一中學高二周練)解關于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0。答案：解:若a=0,原不等式?-x+1<0?x>1;若a<0,原不等式?x-1a(x-1)>0?x<1若a>0,原不等式?x-1a其解的狀況由1a和1的大小確定,(1)當a=1時,不等式的解集為?;(2)當a>1時,不等式的解集為x|(3)當0<a<1時,不等式的解集為x|1綜上所述,當a<0時,解集為x|當a=0時,解集為{x|x>1};當0<a<1時,解集為x|1當a=1時,解集為?;當a>1時,解集為x|真題分類專練題組1不等式的性質1.(2024·湖北黃岡高二學考·T4)若a,b為實數,則“0<ab<1”是“b<1a”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案：D解析：依據題意,若“0<ab<1”,當a,b均小于0時,b>1a,即“0<ab<1”?“b<1a”為假命題;若“b<1a”,當a<0時,ab>1,即“b<1a”?“0<ab<1”為假命題。綜上,“0<ab<1”是“b<1a2.(四川卷文·T5)若a>b>0,c<d<0,則肯定有()。A.ad>bc B.aC.ac>bd D.a答案：B解析：因為c<d<0,所以-c>-d>0,0<1-c<1-d,又a>b>0,所以a-d>b-c>0,變形得ad<bc,故A不成立;由a>b>0,c<0可得ac<bc<0,故B成立;3.(湖南長沙高二學考·T3)已知a,b,c∈R,且a>b,ab≠0,則下列不等式肯定成立的是()。A.a3>b3 B.ac2>bc2C.1a<1b D.a2>答案：A解析：由函數y=x3在R上是增函數可知A項正確;B項,c=0時不正確;C項,a=1,b=-1時不正確;D項,a=1,b=-1時不正確。4.(2024·湖北仙桃高一(上)學考·T4)給出下列命題,其中正確的是()。A.若a>b,c>d,則ac>bdB.若a>b>0,則1a2C.若a>b>0,c>d>0,則ab>D.若a>b>0,c>0,則ca>答案：C解析：若a>b>0,c>d>0,則ac>bd>0,兩邊同時除以bc,得ab>dc>0,所以ab>dc,所以選項C正確題組2求不等式的解集5.(2024·全國Ⅰ卷·T2)已知集合A={x|x2-x-2>0},則?RA=()。A.{x|-1<x<2}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|x<-1}∪{x|x>2}D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}答案：B解析：解不等式x2-x-2>0得x<-1或x>2,所以A={x|x<-1或x>2},所以可以求得?RA={x|-1≤x≤2},故選B。6.(2024·全國Ⅱ卷·T1)設集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},則A∩B=().A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(-3,-1) D.(3,+∞)答案：A解析：由題意,得A={x|x<2或x>3},B={x|x<1},則A∩B={x|x<1}。故選A。7.(安徽馬鞍山高一(下)學考·T4)不等式2x+3-x2>0的解集為()。A.{x|x<-3或x>1}B.{x|-3<x<1}C.{x|x<-3或x>1}D.{x|-1<x<3}答案：D解析：與不等式2x+3-x2>0對應的方程2x+3-x2=0的兩個根為-1,3,結合與之對應的二次函數圖像可知不等式的解集為{x|-1<x<3}。8.(2024·遼寧學考·T6)不等式(x+2)(x-3)<0的解集是()。A.{x|-2<x<3} B.{x|-3<x<2}C.{x|x<-2或x>3} D.{x|x<-3或x>2}答案：A解析：因為(x+2)(x-3)=0的根為-2,3,所以由不等式(x+2)(x-3)<0,解得-2<x<3,不等式(x+2)(x-3)<0的解集是{x|-2<x<3},故選A。9.(2024·新疆學考·T2)不等式-3x+6<0的解集是()。A.{x|x<-2} B.{x|x<2}C.{x|-2<x} D.{x|2<x}答案：D解析：∵-3x+6<0,∴x>2,∴解集是{x|2<x},選D。10.(上海卷文·T15)下列不等式中,與不等式x+8x2+2x+3A.(x+8)(x2+2x+3)<2B.x+8<2(x2+2x+3)C.1x2D.x2+2答案：B解析：因為x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0,x+8可能是正數、負數或零,所以由x+8<2(x2+2x+3)可得x+8x2+2x+3<2,所以與不等式x+8x2+2x+311.(大綱卷文·T3)不等式組x(x+2)>A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}答案：C解析：∵x(x+2)>0,|x|<112.(2024·廣東一月學考·T7)不等式x2-9<0的解集為()。A.{x|x<-3} B.{x|x<3}C.{x|x<-3或x>3} D.{x|-3<x<3}答案：D解析：由x2-9<0,可得x2<9,解得-3<x<3。故選D。13.(2024·天津卷·T10)設x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范圍為。

答案：-解析：3x2+x-2<0,即(x+1)(3x-2)<0,即-1<x<23,故x的取值范圍是-14.(2024·江蘇卷·T23)設x∈R,解不等式|x|+|2x-1|>2。答案：x解析：當x<0時,原不等式可化為-x+1-2x>2,解得x<-13當0≤x≤12時,原不等式可化為x+1-2x>2,即x<-1,無解當x>12時,原不等式可化為x+2x-1>2,解得x>1綜上,原不等式的解集為x|題組3均值不等式的應用15.(湖南卷文·T7)若實數a,b滿意1a+2b=ab,則ab的最小值為(A.2 B.2 C.22 D.4答案：C解析：∵1a+2b=ab,∴a>0,b>0。∵ab=1a+2b≥21a×2b=22ab,∴ab≥22(當且僅當b=2a時取等號),16.(2024·浙江11月學考·T16)若實數a,b滿意ab>0,則a2+4b2+1ab的最小值為()A.8 B.6 C.4 D.2答案：C解析：實數a,b滿意ab>0,則a2+4b2+1ab≥4ab+1ab≥4,當且僅當a=2b時等號成立。故選17.(2024·北京十五中會考)假如a>b>0,且a+b=1,那么下列不等式中肯定成立的是()。A.ab<1 B.1bC.1b+1a<1ab D.答案：D解析：∵a≠b,∴ab<a+b22=14,∴D肯定18.(2024·浙江卷·T5)若a>0,b>0,則“a+b≤4”是“ab≤4”的()。A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件答案：A解析：當a>0,b>0時,a+b≥2ab,則當a+b≤4時,有2ab≤a+b≤4,解得ab≤4,充分性成立;當a=1,b=4時,滿意ab≤4,但此時a+b=5>4,必要性不成立,綜上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要條件。19.(2024·天津卷·T13)設x>0,y>0,x+2y=5,則(x+1)(答案：43解析：(x+1)(2y∵x>0,y>0,x+2y=5,xy>0,∴2xy+6xy≥22xy·6xy=43,當且僅當xy=3,即x=3,20.(2024·天津卷·T12)若a,b∈R,ab>0,則a4+4b答案：4解析：a4+4b4+1ab≥4a2b2+1ab=4ab+1ab≥24ab·1ab=4,前一個等號成立條件是a2=2b2,后一個等號成立的條件是ab=1221.(湖南卷·T18)設a>0,b>0,且a+b=1a+1證明:(1)a+b≥2;答案：證明:由a+b=1a+1b=a+bab,a>0,b由均值不等式及ab=1,有a+b≥2ab=2,即a+b≥2。當且僅當a=b時取“=”。(2)a2+a<2與b2+b<2不行能同時成立。答案：假設a2+a<2與b2+b<2同時成立,則由a2+a<2及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,從而ab<1,這與ab=1沖突。故a2+a<2與b2+b<2不行能同時成立。題型4不等式的綜合應用22.(2024·江蘇卷·T10)某公司一年購買某種貨物600噸,每次購買x噸,運費為6萬元/次,一年的總存儲費用為4x萬元。要使一年的總運費與總存儲費用之和最小,則x的值是。

答案：30解析：總費用為4x+600x×6=4x+900x≥4×2900=240,當且僅當x=900x【點睛】在利用基本不等式求最值時,要特殊留意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿意均值不等式中“正”(即條件要求中字母為正數)、“定”(不等式的另一邊必需為定值)、“相等”(等號取得的條件)的條件才能應用,否則會出現(xiàn)錯誤。23.(2024·湖北黃岡高二會考·T14)若直線xa+yb=1(a>0,b>0)過點(1,2),則2a+b的最小值為答案：