考研數(shù)學數(shù)一歷年真題(1987-2012年)

1987年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)

⑴當x=____________時,函數(shù)y=x?2'取得極小值.

(2)由曲線y=Inx與兩直線y=e+1-x及y=0所圍成的平面圖形的面積是.

'x=l

⑶與兩直，y=-1+f及四=212=3都平行且過原點的平面方程為.

=2+t

(4)設(shè)L為取正向的圓周》2+y2=9,則曲線積分j(2xy-2yg+(x2-4x)dy=.

⑸已知三維向量空間的基底為%=(1,1,0),&2=(1,0,1),&3=(0,1,1),則向量0=(2,0,0)在此基底下的坐標是

二、(本題滿分8分)

求正的常數(shù)a與b,使等式lim-i一[',dt=1成立.

bx-sinxy/a+t2

三、(本題滿分7分)

⑴設(shè)f、g為連續(xù)可微函數(shù),“=/(x,q),v=g(x+xy),求”,

oxox

-30r

(2)設(shè)矩陣A和B滿足關(guān)系式AB=A+2B,其中A=110，求矩陣B.

014

四、(本題滿分8分)

求微分方程)產(chǎn)+6y”+(9+a2)/=1的通解,其中常數(shù)。＞0.

五、選擇題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內(nèi))

⑴設(shè)lim,⑴一/，)=一1,則在x=a處

XT。(x-a)

(A)/(x)的導數(shù)存在,且/'(a)豐0(B)fix')取得極大值

(0/(%)取得極小值(D)/(%)的導數(shù)不存在

⑵設(shè)/(x)為已知連續(xù)函數(shù),/=，口f(tx)dx,其中，＞(),s＞0,則/的值

(A)依賴于s和，(B)依賴于S、7和X

(C)依賴于八x,不依賴于s(D)依賴于s,不依賴于f

⑶設(shè)常數(shù)k>0,則級數(shù)工(-1)"皆

(A)發(fā)散(B)絕對收斂

(C)條件收斂(D)散斂性與k的取值有關(guān)

(4)設(shè)A為〃階方陣，且A的行列式IA1=#0,而A*是A的伴隨矩陣，貝等于

(A)a(B)—

a

(0a"-1(D)a"

六、(本題滿分10分)

求蹇級8數(shù)?1=￡1的收斂域，并求其和函數(shù).

七、(本題滿分10分)

求曲面積分

I-|jx(8y+V)dydz+2(1-y2}dzdx-4yzdxdy,

￡

其中Z是由曲線/(尤)=尸=:'"3繞丫軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面,其法向量與y軸正向的夾角恒大于千

八、(本題滿分10分)

設(shè)函數(shù)/(x)在閉區(qū)間［0,1］上可微,對于［0,1］上的每一個x,函數(shù)/(x)的值都在開區(qū)間(0,1)內(nèi)，且f\x)豐1,

證明在(0,1)內(nèi)有且僅有一個x,使得/(x)=x.

九、(本題滿分8分)

問a,b為何值時,現(xiàn)線性方程組

'X1+x,+x3+x4=0

x2+2x3+2X4-1

-x2+(a-3)X3-2X4=b

、3%+2X2+￡+ax4-—1

有唯一解,無解,有無窮多解?并求出有無窮多解時的通解.

十、填空題(本題共3小題,每小題2分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)在一次實驗中,事件A發(fā)生的概率為p,現(xiàn)進行n次獨立試驗,則A至少發(fā)生一次的概率為

而事件A至多發(fā)生一次的概率為.

(2)有兩個箱子,第1個箱子有3個白球,2個紅球，第2個箱子有4個白球,4個紅球.現(xiàn)從第1個箱子中隨機地

取1個球放到第2個箱子里,再從第2個箱子中取出1個球,此球是白球的概率為..已知上述從第2個箱

子中取出的球是白球，則從第一個箱子中取出的球是白球的概率為.

已連隨機X的概率密度數(shù)為則x

⑶知續(xù)變量函/(x)=J=e4+2i,的數(shù)學期望為,X的方差

yj7T

為

十一、(本題滿分6分)

設(shè)隨機變量X,Y相互獨立,其概率密度函數(shù)分別為

10<%<1e-yy>0

AGO，A(3)

0其它o”0'

求z=2x+丫的概率密度函數(shù).

1988年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學(一)試卷

一、(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

(1)求蹇級數(shù)手的收斂域.

⑵設(shè)“X)=e,=1-x且(p(x)20,求e(x)及其定義域.

23

(3)設(shè)Z為曲面F+/+z=l的外側(cè),計算曲面積分I=W^dydz+ydzdx+/dxdy.

二、填空題(本題共4小題,每小題3分,滿分12分.把答案填在題中橫線上)

(1)若/QXlimMl+Ly",則/'?)=_____________.

XT8X

(2)設(shè)/(%)連續(xù)且［'=x,則/(7)=.

(3)設(shè)周期為2的周期函數(shù)，它在區(qū)間(-1,1］上定義為“X)［?T<x"。，則的傅里葉任。〃,.〃)級數(shù)在

、x20<x<l

x=1處收斂于.

(4)設(shè)4階矩陣A=［a,y2，Y3，Y4］，B=［P，Y2，Y3，Y4］，其中%0,丫2，丫3，丫4均為4維列向量，且已知行列式

|A|=4,冏=1,則行列式|A+B|=.

三、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設(shè)/(%)可導且廣?)=；,則八30時,/(x)在/處的微分dy是

(A)與以等價的無窮小(B)與Ax同階的無窮小

(0比Ar低階的無窮小(D)比Z高階的無窮小

ff

(2)設(shè)y=/(x)是方程y-2y'+4y=0的一個解且/(x0)>0,/7%0)=0,則函數(shù)/(x)在點不處

(A)取得極大值(B)取得極小值

(C)某鄰域內(nèi)單調(diào)增加(D)某鄰域內(nèi)單調(diào)減少

(3)設(shè)空間區(qū)域R:-+y2+/<R2,z20，a：/+y2+4R2,X20,y20,Z20,則

(A)肝小=4jj「v(B)肚小=4m必

a%A%

?JJJzdv=4jJJzdv(D)^xyzdv=A^xyzdv

aqna

(4)設(shè)塞級數(shù)f(x-1)"在x=-1處收斂,則此級數(shù)在x=2處

“=|

(A)條件收斂(B)絕對收斂

(C)發(fā)散(D)收斂性不能確定

(5)〃維向量組四,a2,…,%(3Ws<n)線性無關(guān)的充要條件是

(A)存在一組不全為零的數(shù)匕也，…人，使+&a2+…+/0

(B)叫,a2,…,風中任意兩個向量均線性無關(guān)

(0%,a2,…,見中存在一個向量不能用其余向量線性表示

(D)叫,a?,…,見中存在一個向量都不能用其余向量線性表示

四、(本題滿分6分)

設(shè)〃=W(￡)+xgg),其中函數(shù)f、g具有二階連續(xù)導數(shù),求刀注+)，￡=.

yxoxdxdy

五、(本題滿分8分)

設(shè)函數(shù)Y=y(x)滿足微分方程)，"-3y'+2y=2e\其圖形在點(0,1)處的切線與曲線y=爐一%—1在該點處的

切線重合,求函數(shù)y=y(x).

六、(本題滿分9分)

設(shè)位于點(0,1)的質(zhì)點A對質(zhì)點M的引力大小為二伏〉0為常數(shù)，為A質(zhì)點與M之間的距離)，質(zhì)點M沿直

r

線y二行工7自8(2,0)運動到。(0,0),求在此運動過程中質(zhì)點A對質(zhì)點例的引力所作的功.

七、（本題滿分6分）

'100''10o-

已知人「=8「,其中8=000,P=2-10，求A,A5.

00-1211

八、（本題滿分8分）

-200--200-

已知矩陣人=001與B二0y0相似.

01x00-1

⑴求x與y.

（2）求一個滿足P?AP=B的可逆陣P.

九、（本題滿分9分）

設(shè)函數(shù)/（x）在區(qū)間［凡回上連續(xù),且在（凡。）內(nèi)有/'（X）＞0,證明:在①,份內(nèi)存在唯一的。，使曲線y=/（x）與

兩直線y=fq）,x=a所圍平面圖形面積5；是曲線y=/（x）與兩直線y==h所圍平面圖形面積S2的3

倍.

十、填空題(本題共3小題,每小題2分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

19

(1)設(shè)在三次獨立試驗中，事件4出現(xiàn)的概率相等,若已知A至少出現(xiàn)一次的概率等于—,則事件A在一次試驗

中出現(xiàn)的概率是.

(2)若在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個數(shù)，則事件”兩數(shù)之和小于的概率為1

(3)設(shè)隨機變量X服從均值為10,均方差為0.02的正態(tài)分布,已知

0(x)=力，,0(2.5)=0.9938,

則X落在區(qū)間(9.95,10.05)內(nèi)的概率為____________.

十一、(本題滿分6分)

設(shè)隨機變量X的概率密度函數(shù)為人(外=布勺，求隨機變量丫=1-收的概率密度函數(shù)人0)

1989年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)

⑴已知八3)=2,則lim：0f(3)=_____________.

2。2/1

⑵設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，且/,(x)=x+2f/⑺力，貝f(x)=.

(3)設(shè)平面曲線L為下半圓周y=-Jf.則曲線積分［(%2+y2)ds=.

(4)向量場divu在點P(l,l,0)處的散度divu=.

300100

(5)設(shè)矩陣A=140,1010，則矩陣(A—2I)T=

003001

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)當x>0時,曲線y=xsin,

x

(A)有且僅有水平漸近線(B)有且僅有鉛直漸近線

(O既有水平漸近線,又有鉛直漸近線(D)既無水平漸近線,又無鉛直漸近線

(2)已知曲面z=4-/一>2上點p處的切平面平行于平面2x+2j+z-l=0,則點的坐標是

(A)(1,-1,2)(B)(-1,1,2)

(0(1,1,2)(D)(-1,-1,2)

(3)設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性方程的解是任意常數(shù),則該非齊次方程的通解是

(A)eg+，2%+%⑻cj+c2y2-(c,+c2)y3

(C)qy,+c2y2-U-G-c2)y3(D)q%+c2y2+(l-c,-c2)y3

(4)設(shè)函數(shù)/(x)=4x<1,而S(x)=sinnnx,-^<x<+oo,其中

/J=1

bn=2(x)sinn4xdx,〃=1,2,3,…，貝！jS(—J)等于

(A)——(B)-■-

24

(C)—(D)—

42

(5)設(shè)A是n階矩陣,且A的行列式|A|=0,則A中

(A)必有一列元素全為0(B)必有兩列元素對應(yīng)成比例

(0必有一列向量是其余列向量的線性組合(D)任一列向量是其余列向量的線性組合

三、(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

⑴設(shè)Z=/(2x-y)+g(x,盯)，其中函數(shù)二階可導,g(“,v)具有連續(xù)二階偏導數(shù)，求存.

dxdy

(2)設(shè)曲線積分［xy2dx+y(pMdy與路徑無關(guān),其中刎外具有連續(xù)的導數(shù),且以0)=0,計算

J.l)?

9y(p(x)dy的直

⑶計算三重積分JJJ(x+z)力，其中。是由曲面Z=G+y2與z=J——y2所圍成的區(qū)域.

Q

四、(本題滿分6分)

將函數(shù)f(x)=arctan—1+X展為x的塞級數(shù).

1-x

五、(本題滿分7分)

設(shè)/(x)=sinx—［：(XT)/⑺力，其中f為連續(xù)函數(shù),求/(X).

六、（本題滿分7分）

證明方程ln.r=--FJl—cos2xdx在區(qū)間（0,+oo）內(nèi)有且僅有兩個不同實根.

e上

七、（本題滿分6分）

問A為何值時，線性方程組

r

X,+x3=2

4xt+x2+2X3=2+2

有解,并求出解的一般形式.

八、（本題滿分8分）

假設(shè)X為〃階可逆矩陣A的一個特征值,證明

（1），為A-的特征值.

⑵國為A的伴隨矩陣A"的特征值.

A

九、(本題滿分9分)

設(shè)半徑為R的球面Z的球心在定球面d+y2+e=a\a>0)上，問當R為何值時，球面Z在定球面內(nèi)部的那

部分的面積最大？

十、填空題(本題共3小題,每小題2分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

⑴已知隨機事件A的概率P(A)=0.5.隨機事件B的概率P(8)=0.6及條件概率P(BIA)=0.8,則和事件

AU8的概率尸(AUB)=.

(2)甲、乙兩人獨立地對同一目標射擊一次，其命中率分別為0.6和0.5,現(xiàn)已知目標被命中，則它是甲射中的概

率為.

(3)若隨機變量自在(1,6)上服從均勻分布,則方程V+京+1=0有實根的概率是.

十一、(本題滿分6分)

設(shè)隨機變量X與丫獨立，且X服從均值為1、標準差(均方差)為V2的正態(tài)分布,而Y服從標準正態(tài)分布.試求

隨機變量Z=2X-Y+3的概率密度函數(shù).

1990年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)

'x=-t+2

(1)過點M(1,2-1)且與直線iy=3,-4垂直的平面方程是.

、z=r-l

(2)設(shè)a為非零常數(shù),貝him(Y士-\-n)'=_____________.

18X-a

fl|x|<l

⑶設(shè)函數(shù)，則/"(x)]=___________.

0|x|>1

(4)積分fdxfeidy的值等于.

(5)已知向量組%=(1,2,3,4),%=(2,3,4,5),a3=(3,4,5,6),a4=(4,5,6,7),

則該向量組的秩是，

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設(shè)/(x)是連續(xù)函數(shù),且F(x)=￡'則F'(x)等于

(A)—e、(B)-e-*+

(0er(D)erf(e-^+f(x)

⑵已知函數(shù),〃x)具有任意階導數(shù),且/'(X)=則當n為大于2的正整數(shù)時,f(幻的n階導數(shù)f(n)(x)是

(A)〃!"(x)嚴(B)n[f(x)r'

(C)"(x)]2"(D)?![/(<-

(3)設(shè)a為常數(shù),則級數(shù)V[則絲

?=in-

(A)絕對收斂(B)條件收斂

(0發(fā)散(D)收斂性與a的取值有關(guān)

(4)已知f(x)在x=0的某個鄰域內(nèi)連續(xù),且/(0)=0,lim/(V)=2,則在點x=0處/(%)

101-cosX

(A)不可導(B)可導，且/'(0)h0

(C)取得極大值(D)取得極小值

(5)已知口、也是非齊次線性方程組AX=》的兩個不同的解，叫、%是對應(yīng)其次線性方程組AX=0的基礎(chǔ)解

析,匕、k2為任意常數(shù),則方程組AX=》的通解(一般解)必是

(A)占叫+^2(?,+%)+*2"(B)%%+右(％—%)+A；國"

(0占叫+勺(也+也)+殳善⑻匕%+勺他—叼+良獸

三、(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

⑴求”?

⑵設(shè)z=f(2x-y,ysinx),其中/(M,v)具有連續(xù)的二階偏導數(shù),求存.

dxdy

⑶求微分方程y"+4y'+4y=不，的通解(一般解).

四、(本題滿分6分)

求零級數(shù)名(2”+1)￡’的收斂域,并求其和函數(shù).

”=0

五、(本題滿分8分)

求曲面積分/=Jjyzdzdx+2dxdy其中S是球面x2+y2+z2=4夕卜側(cè)在z>0的部分.

六、(本題滿分7分)

設(shè)不恒為常數(shù)的函數(shù)/(%)在閉區(qū)間［a,。］上連續(xù),在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導,且/(a)=f(b).證明在(凡㈤內(nèi)至少

存在一點,使得/'e)>().

七、(本題滿分6分)

設(shè)四階矩陣

一1-10o-一2134

01-100213

B=,c=

001-10021

00010002

且矩陣A滿足關(guān)系式

A(E-C'B)C=E

其中E為四階單位矩陣,C1表示C的逆矩陣,C'表示C的轉(zhuǎn)置矩陣.將上述關(guān)系式化簡并求矩陣A.

八、(本題滿分8分)

求一個正交變換化二次型/=X：+4x1+4x；-4.r,x2+4xtx3-8x2x3成標準型.

九、(本題滿分8分)

質(zhì)點P沿著以A3為直徑的半圓周,從點A(l,2)運動到點5(3,4)的過程中

受變力F作用(見圖).F的大小等于點P與原點。之間的距離,其方向垂直于線

段。尸且與y軸正向的夾角小于求變力F對質(zhì)點P所作的功.

十、填空題(本題共3小題,每小題2分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

(1)已知隨機變量X的概率密度函數(shù)/(x)=1e+l,-oo<x<+8則X的概率分布函數(shù)F(x)=.

(2)設(shè)隨機事件A、B及其和事件的概率分別是0.4、0.3和0.6,若后表示8的對立事件,那么積事件48的概

率P(A豆)=.

2*e-2

(3)已知離散型隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松(Poisson)分布，即P{X=6=—^,k=0,1,2,…，則隨機變

k!

SZ=3X-2的數(shù)學期望E(Z)=.

十一、(本題滿分6分)

設(shè)二維隨機變量(乂,丫)在區(qū)域。：0<8<1,況<8內(nèi)服從均勻分布,求關(guān)于乂的邊緣概率密度函數(shù)及隨機變量

2=2*+1的方差?！?.

1991年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)[x=]+則夕=_____________.

y=cosrdx^

⑵由方程xyz+ylx2+y2+z2=及所確定的函數(shù)z=z(x,y)在點處的全微分dz=.

⑶已知兩條直線的方程是乙：七L匕匚=2口;/2："2=)匚=±則過4且平行于4的平面方程是

'10-1221112

(4)已知當x-0時,(1+辦?戶-1與cosx-1是等價無窮小,則常數(shù)a=.

一5200_

2100

⑸設(shè)4階方陣A=,則A的逆陣A-'=____________

001-2

0011

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內(nèi))

1+b一

(1)曲線y=-----:

l-e-x

(A)沒有漸近線(B)僅有水平漸近線

(0僅有鉛直漸近線(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線

⑵若連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式f(x)=「+In2,則/(x)等于

出2

(A)evIn2(B)e2vIn2

(C)el+ln2(D)e2x+ln2

⑶已知級數(shù)￡(一1尸4=2,，＞2I=5,則級數(shù)等于

n=\n=\〃=1

(A)3(B)7

(C)8(D)9

(4)設(shè)D是平面雙)，上以(1,1).(-1,1)和(-1,-1)為頂點的三角形區(qū)域,2是。在第一象限的部分,則

JJ(孫+cosxsiny)dxdy等于

D

(A)2jjcosxsinydxdy(B)2^xydxdy

44

(C)4JJ(xy+cosxsiny)dxdy(D)0

D,

⑸設(shè)〃階方陣A、B、C滿足關(guān)系式ABC=E，其中E是〃階單位陣,則必有

(A)ACB=E(B)CBA=E

(C)BAC=E(D)BCA=E

三、(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

_乃

⑴求lim(cosy/xy.

XT0+

⑵設(shè)萬是曲面2/+3y2+=6在點p(i,i,i)處的指向外側(cè)的法向量,求函數(shù)"=擊二+8)’-在點p處沿方

Z

向n的方向?qū)?shù).

>，2

⑶川1(x2+y2+z)小，其中Q是由曲類=2z繞，軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面7=4所圍城的立體.

Cx=0

四、(本題滿分6分)

過點。(0,0)和A(4,0)的曲線族y=asinx(a>0)中,求一條曲線L,使沿該曲線。從到A的積分

1(1+y3)今+(2x+y)dy的值最小.

五、(本題滿分8分)

8I

將函數(shù)/(x)=2+兇(-1W1)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù),并由此求級數(shù)￡小的和.

n=l〃

六、(本題滿分7分)

設(shè)函數(shù)/(%)在［0,1］上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導,且3^f(x)dx=/(0),證明在(0,1)內(nèi)存在一點c,使/'(c)=0.

七、(本題滿分8分)

已知a】=(1,0,2,3),?2=(1,1,3,5),a3=(1,-1,a+2,1),=(1,2,4,a+8)及(J=(1,+3,5).

⑴a、h為何值時,p不能表示成a,,a2,ava4的線性組合？

(2)a、b為何值時邛有a1,a?,a?,a4的唯一的線性表示式?寫出該表示式.

八、(本題滿分6分)

設(shè)A是〃階正定陣,E是〃階單位陣,證明A+E的行列式大于1.

九、(本題滿分8分)

在上半平面求一條向上凹的曲線，其上任一點P(x,y)處的曲率等于此曲線在該點的法線段P。長度的倒數(shù)(Q

是法線與x軸的交點)，且曲線在點(1,1)處的切線與x軸平行.

十、填空題(本題共2小題,每小題3分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

(1)若隨機變量X服從均值為2、方差為er2的正態(tài)分布,且P{2<X<4}=0.3,則P{X<0}=.

(2)隨機地向半圓0<y<yj2ax-x\a為正常數(shù))內(nèi)擲一點,點落在半圓內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比,

則原點和該點的連線與x軸的夾角小于工的概率為.

十一、(本題滿分6分)

設(shè)二維隨機變量(X,Y)的密度函數(shù)為

2e-(x+2j)x>0,y>0

/(x，,)=

0其它

求隨機變量Z=X+2Y的分布函數(shù).

1992年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)

⑴設(shè)函數(shù)v=y(x)由方程ef'+cos(孫)=0確定,貝4也=_____________.

dx

2

⑵函數(shù)〃=ln(x+y2+[2)在點M(1,2,-2)處的梯度gradu\M=.

(3)設(shè)，(x)=l,一，則其以2萬為周期的傅里葉級數(shù)在點x=%處收斂于_____________.

1+x0<xW%

(4)微分方程y'+ytanx=cosx的通解為y=.

哂…哂

a?b[612bl???ab

⑸設(shè)A=2n，其中。產(chǎn)0,b,W0,(i=1,2,…貝隨陣A的秩r(A)=

a,hanb2…anbn

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內(nèi))

⑴當》f1時,函數(shù)^--e-1的極限

x-1

(A)等于2(B)等于0

。為8(D)不存在但不為s

(2)級數(shù)名(-1)"(1-cos巴)(常數(shù)a>0)

(A)發(fā)散(B)條件收斂

(C)絕對收斂(D)收斂性與a有關(guān)

(3)在曲線x=f,y=-產(chǎn),z=尸的所有切線中,與平面x+2y+z=4平行的切線

(A)只有1條(B)只有2條

(C)至少有3條(D)不存在

(4)設(shè)/(x)=3x3+x2|x|,則使尸">(0)存在的最高階數(shù)〃為

(A)0(B)l

(02(D)3

，1、

⑸要使G=0當1都是線性方程組AX=0的解,只要系數(shù)矩陣A為

20-1

(A)[-212](B)

011

01-1

02

(0(D)4-2-2

01-1

011

三、(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

..?ex—sinx-1

⑴求hm----7-.

-o1-7137

先

(2)設(shè)？=/(e(siny,x2+V),其中f具有二階連續(xù)偏導數(shù),求

dxdy

1+x2x<0

⑶設(shè)/(*)=<,求ff(x-2)dx.

9x>0

四、(本題滿分6分)

求微分方程y”+2y'-3)，=e與*的通解.

五、(本題滿分8分)

計算曲面積分||(x3+az2)dydz+()?，+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy,其中Z為上半球面j=-^a1-x1-y2的上

側(cè).

六、(本題滿分7分)

設(shè)f\x)<0,/(0)=0,證明對任何內(nèi)〉0,X2>0,有/(x,+x2)</(%,)+/(x2).

七、（本題滿分8分）

222

在變力戶=放:+4+町/的作用下，質(zhì)點由原點沿直線運動到橢球面=+與+==1上第一卦限的點

abc

M（4，〃，G，問當€、"、〈取何值時，力戶所做的功印最大?并求出W的最大值.

八、（本題滿分7分）

設(shè)向量組叫,%,%線性相關(guān),向量組%線性無關(guān)，問:

（1）%能否由a2,叫線性表出?證明你的結(jié)論.

⑵a4能否由%,a?,</3線性表出?證明你的結(jié)論.

九、（本題滿分7分）

設(shè)3階矩陣A的特征值為4=1,否=2,4=3,對應(yīng)的特征向量依次為

⑴將0用&GG線性表出.

(2)求A"0(〃為自然數(shù)).

十、填空題(本題共2小題,每小題3分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

(1)已知「(4)=75(8)=p(。)=工,73(48)=0,7}(4。)=7}(80=1，則事件4、B、C全不發(fā)生的概率為

46

(2)設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,則數(shù)學期望E{X+e-2X}=.

十一、(本題滿分6分)

設(shè)隨機變量x與y獨立,x服從正態(tài)分布N(〃,〃),y服從［-7T,4］上的均勻分布,試求z=x+y的概率分布

1上

密度(計算結(jié)果用標準正態(tài)分布函數(shù)中表示,其中①(x)=7A［e?dt).

1993年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)

(1)函數(shù)F(x)=f(2-9)力(x>0)的單調(diào)減少區(qū)間為.

⑵由曲線]3/+2/=12繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點(0,73,72)處的指向外側(cè)的單位法向量為

z=0

⑶設(shè)函數(shù)/(X)=乃工+X?(-萬<X<乃)的傅里葉級數(shù)展開式為出+￡(%cosnx+hnsinnx),則其中系數(shù)么的

2n=l

值為.

(4)設(shè)數(shù)量場u-Iny]x*2+y2+z2,則div(gradu)=.

(5)設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為零,且A的秩為〃-L則線性方程組AX=0的通解為.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項

前的字母填在題后的括號內(nèi))

⑴設(shè)/(x)=0*sin(『)力,g(x)=■?+/,則當x->0時,/(x)是g(x)的

(A)等價無窮小(B)同價但非等價的無窮小

(C)高階無窮小(D)低價無窮小

(2)雙紐線+y2)2=x2-y2所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為

(A)2『cos2%e(B)45cos2ed6

1支

(C)2fVcos2^(D)-F(cos26)2布

⑶設(shè)有直線=W=半與匕-x-y=6

.。則4與L的夾角為

一2y+z=3

(A)-(B)-

64

(0-(D)-

32

(4)設(shè)曲線積分[[/(/)-6'園”公-/(幻85必，與路徑無關(guān),其中f(x)具有一階連續(xù)導數(shù)，且/(0)=0,則

/(X)等于

e-ee-e

(A)(B)

2

e￥+e-xe'+e-x

(0(D