考研數(shù)學(xué)歷年真題(1987-1997)年數(shù)學(xué)一

1997年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷

一'填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上)

3sinx+x2cos—

(1)lim--------------.

2。(1+cosx)ln(l+x)

(2)設(shè)事級數(shù)的收斂半徑為3,則基級數(shù)1)用的收斂區(qū)間為.

71=1〃=1

乃

(3)對數(shù)螺線°=e'在點3。)=⑧e)處切線的直角坐標(biāo)方程為.

12-2

(4)設(shè)4=4t3,1?為三階非零矩陣,且48=0,則/=.

_3-11

(5)袋中有50個乒乓球，其中20個是黃球,30個是白球，今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球，取后不放回，則第二個人取

得黃球的概率是.

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求，把所選項前的字

母填在題后的括號內(nèi))

⑴二元函數(shù)/(x,y)=1"，在點(0,0)處()

、0(x,y)=(0,0)

(A)連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在(B)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在

(C)不連續(xù)，偏導(dǎo)數(shù)存在(D)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在

(2)設(shè)在區(qū)間［a,句上/(%)>0,f'(x)<0J"(x)>0.令

f1

S\=\f(x)dx,S2=f(b)(b-a),S3=-[f(a)+f(b)](b-a1則()

(A)S,<S2<S3(B)S2<St<S3

(C)S3<S1<s2(D)S2<S3<S]

rx+2%..

⑶設(shè)F(x)=[e""sinm,則F(x)()

(A)為正常數(shù)(B)為負(fù)常數(shù)(C)恒為零(D)不為常數(shù)

qx+仇y+q=0,

(4)設(shè)四，則三條直線+4>+=0,(其中片+彳。0,i=1，2,3)交于一點的充要條

aix+b^y+c^-0

件是：()

(A)%,。2,CL,線性相關(guān)6)0,€12，&3線性無關(guān)

(C)秩r(ct1,a2,。3)=秩,a?)(D)a1,ct2，a3線性相關(guān),a”a2線性無關(guān)

(5)設(shè)兩個相互獨立的隨機(jī)變量X和y的方差分別為4和2,則隨機(jī)變量3X-2Y的方差是()

(A)8(B)16(C)28(D)44

三'(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

C2_Q

(1)計算I=0J(X2+丁)方,其中Q為平面曲線j-v=ZZ繞Z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面與平面Z=8所圍成的區(qū)域.

c[x=0

■?22-1

⑵計算曲線積分f(z-yMx+(x—z)6+(x—y)dz,其中c是曲線十)’=從z軸正向往z軸負(fù)向看c的方向

\x-y+z=2

是順時針的.

(3)在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的,設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N,在f=0時刻已掌握新技術(shù)

的人數(shù)為%,在任意時刻t已掌握新技術(shù)的人數(shù)為xQ)(將x(f)視為連續(xù)可微變量)，其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和

未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比例常數(shù)%>0,求x(r).

四、(本題共2小題，第(1)小題6分，第⑵小題7分，滿分13分)

(1)設(shè)直線/:<.八在平面乃上，而平面乃與曲面z=Y+y2相切于點(1,_2,5),求。涉之值.

[x+ay-z—3=0

22

dzdz2v

(2)設(shè)函數(shù)/(〃)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，而z=/(e'siny)滿足方程宏+歹=ez,求/(?).

五、(本題滿分6分)

設(shè)/(%)連續(xù),°(x)=1/(")力，且lim"?=A(A為常數(shù))，求“(X)并討論(p\x)在x=0處的連續(xù)性.

JOX->0Y

六、(本題滿分8分)

設(shè)q=0,4用=:(%+，)("=1,2,)，證明

2a?

⑴lima”存在.⑵級數(shù)￡(工一1)收斂.

x-x?〃=】an+\

七、（本題共2小題，第⑴小題5分，第⑵小題6分，滿分11分）

rr

⑴設(shè)B是秩為2的5x4矩陣，%=[l,l,2,3],a2=[5,-l,-8,9]是齊次線性方程組Bx=0的

解向量，求Bx=0的解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基.

-1]P2-12'

（2）已知自=1是矩陣A=5a3的一個特征向量.

-1-1b-2

1）試確定。/參數(shù)及特征向量1所對應(yīng)的特征值.

2）問A能否相似于對角陣?說明理由.

八、（本題滿分5分）

設(shè)A是〃階可逆方陣，將A的第i行和第j行對換后得到的矩陣記為B.

（1）證明8可逆.

⑵求AB」

九'（本題滿分7分）

2

從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)再各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的,并且概率都是

設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望.

十'（本題滿分5分）

設(shè)總體X的概率密度為

[的+1力.。<%<1

/⑴一to其它

其中e>-1是未知參數(shù)，,X2,,X”是來自總體X的一個容量為n的簡單隨機(jī)樣本,分別用矩估計法和極大似然

估計法求，的估計量.

1996年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷

一'填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上)

⑴設(shè)lim(小3),=8,則a=.

XXx-a

(2)設(shè)一平面經(jīng)過原點及點(6,-3,2),且與平面4x-y+2z=8垂直，則此平面方程為.

(3)微分方程/-2/+2y=e*的通解為,

(4)函數(shù)〃=ln(x+7/+z2)在點A(l,0,1)處沿點A指向點5(3,-2,2)方向的方向?qū)?shù)為.

102

⑸設(shè)A是4x3矩陣，且A的秩/?0)=2,而8=020，則r(AB)=.

-103

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求)

(1)已知"硬竺乃以為某函數(shù)的全微分,a則等于()

(x+y)

(A)-l(B)o(C)l(D)2

f"(x)

(2)設(shè)f\x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且r(0)=0,limT=i,則)

(A)/(0)是/(x)的極大值(B)/(O)是/(x)的極小值

(C)(0,/(0))是曲線y=/(x)的拐點

(D)/(0)不是/(x)的極值,(0,7(0))也不是曲線y=/(x)的拐點

),且收斂，常數(shù)2e(0,-),則級數(shù)￡(-1)"(〃tan-)a

(3)設(shè)4>0(〃=1,2,2n

“=i2n=\〃

(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)散斂性與；I有關(guān)

(4)設(shè)有/(x)連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，/(0)=0,r(0)聲O,F(x)=且當(dāng)x-0時，F(xiàn)(x)與/是同階無窮小,

J0

則子等于()

(A)l(B)2(C)3(D)4

a}004

0ab0

(5)四階行列式22的值等于(

0%40

“0。%

(A)aq2a3%-b1b2b力4(B)%a2a3a4+bQ2b3b4

?(《4-*2)(%“4-4》4)(D)(a2?3-b2b3)(ata4-btb4)

三'(本題共2小題,每小題5分，滿分10分)

⑴求心形線r=?(1+cos6>)的全長，其中a>0是常數(shù).

(2)設(shè)％,=10,x?+1=j6+x,,5=l,2,)，試證數(shù)列｛%｝極限存在,并求此極限.

四、(本題共2小題,每小題6分，滿分12分)

⑴計算曲面積分JJ(2x+zMydz+Mx內(nèi)，其中5為有向曲面2=/+>2(04》4］),其法向量與2軸正向的夾角為

S

銳角.

(2)設(shè)變換［"=A2)可把方程6三+，三一卷=0簡化為獸=0,求常數(shù)a

/=x+4］dxdxdydy^oudv

五、(本題滿分7分)

求級數(shù)之一一的和.

七(〃2-1)2"

六、(本題滿分7分)

設(shè)對任意x>0,曲線y=/(x)上點(x,/(x))處的切線在y軸上的截距等于⑺力，求/1)的一般表達(dá)式.

七'(本題滿分8分)

設(shè)f(x)在［0,1］上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足條件|/(x)|<a,/(x)|W其中a力都是非負(fù)常數(shù),c是(0,1)內(nèi)任意一

(1)寫出/(%)在點x=c處帶拉格朗日型余項的一階泰勒公式;

(2)證明夕(c)歸2a+*

八'(本題滿分6分)

設(shè)4=I-,其中I是〃階單位矩陣,g是n維非零列向量是自的轉(zhuǎn)置.證明

(1)A?=A的充分條件是，生=1.

(2)當(dāng)自先=1時，A是不可逆矩陣.

九'(本題滿分8分)

已知二次型/(%,工2，X3)=5x；+5%2+CX；-2玉々+6%工3—6X2%3的秩為2,

(1)求參數(shù)C及此二次型對應(yīng)矩陣的特征值.

(2)指出方程/(%,々,％)=1表示何種二次曲面.

十'填空題(本題共2小題,每小題3分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)工廠A和工廠B的產(chǎn)品的次品率分別為1%和2%,現(xiàn)從由A和8的產(chǎn)品分別占60%和40%的一批產(chǎn)品中隨

機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，則該次品屬A生產(chǎn)的概率是.

⑵設(shè)是兩個相互獨立且均服從正態(tài)分布N(0,(正產(chǎn))的隨機(jī)變量，則隨機(jī)變量看一司的數(shù)學(xué)期望

碗一止,

十一'(本題滿分6分)

設(shè),〃是兩個相互獨立且服從同一分布的兩個隨機(jī)變量，已知J的分布率為P?=i)=；,/?=1,2,3.

又設(shè)X=max(J,77),y=min(J,〃).

(1)寫出二維隨機(jī)變量的分布率:

X

123

Y

1

2

3

(2)求隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X).

1995年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試卷

一'填空題（本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上）

2

（1）lim（l+3x）sinx=.

x-＞0

⑵工-XCOSr力二.

dx^

（3）設(shè)（axb）c=2,則［（a+b）x（b+c）］（c+a）=.

（4）基級數(shù)￡〃二的收斂半徑R=_____________.

n=\2+（—3）

-00

3

⑸設(shè)三階方陣A,B滿足關(guān)系式4-比4=64+154,且人=0-0，則B=.

4

00-

_7_

二、選擇題（本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求）

x+3y+2z+1=0

⑴設(shè)有直線L:4c-….，及平面〃:41一2丁+2-2=0,則直線入（）

［2x-y-10z+3=

（A）平行于乃（B）在左上（C）垂直于乃（D）與左斜交

(2)設(shè)在[0,1]±f\x)>0,則r(0)，r(l),/(l)-/(0)或/(0)-/(I)的大小順序是

（A）r（i）＞r（o）＞/（i）-/（o）（B）r（i）＞/（i）-/（o）＞r（o）

（o/（i）-/（o）＞r（i）＞r（o）（D）ra）＞/（o）-/（i）＞r（o）

⑶設(shè)/（x）可導(dǎo)，尸（%）=/（》）（1+向他則/（0）=0是外幻在％=0處可導(dǎo)的（）

（A）充分必要條件（B）充分條件但非必要條件

（C）必要條件但非充分條件（D）既非充分條件又非必要條件

(4)設(shè)““=(-l)"ln(l+則級數(shù)（）

（A）》“與都收斂(B)X〃“與2u2都發(fā)散

n=l/:=!n=l?=1

（c）z〃“收斂，而Ed發(fā)散（D）\＞“收斂，而發(fā)散

n=ln=ln=l”=1

aaa'100'

\\\2\3“2a22生3010

。21。22。23'B—

(5)設(shè)4=Qua{2《3,P=100,P2=010，則必有（）

_a31a32a33_。31+1。32+。12。33+〃13001101_

(A)APR=B(B)AP2P1=B(C)PjP2A=B(D)P2PjA=B

三、(本題共2小題,每小題5分，滿分10分)

⑴設(shè)"=/(乂丁"),然/?」)=0,、=5皿匕其中九9都具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且絲H0.求也.

dzdx

(2)設(shè)函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，并設(shè)A求辦，/(x)/(y)dy.

四、(本題共2小題,每小題6分，滿分12分)

(1)計算曲面積分“MS其中E為錐面z=y/x2+y2在柱體d+>242x內(nèi)的部分.

(2)將函數(shù)/(x)=x—1(0<xV2)展開成周期為4的余弦函數(shù).

五、(本題滿分7分)

設(shè)曲線L位于平面xOy的第一象限內(nèi)，L上任一點M處的切線與y軸總相交，交點記為A已知。而卜|阿，且

L過點(？3,？3),求L的方程.

22

六、(本題滿分8分)

設(shè)函數(shù)Q(x,y)在平面xOy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分\lxydx+Q{x,y)dy與路徑無關(guān)，并且對任意f恒

有：2型Zx+Q(x,y)dy=12孫<Zx+Q(x,y)dy,求Q(x,y).

七、(本題滿分8分)

假設(shè)函數(shù)/(x)和g(x)在［a,h］上存在二階導(dǎo)數(shù)，并且g〃(x)*0J3)=/(b)=g(a)=gg)=0,試證:

⑴在開區(qū)間(a,b)內(nèi)g(x)#0.

(2)在開區(qū)間(“力)內(nèi)至少存在一點以使/也=上單.

ge)g?

八'(本題滿分7分)

設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值為4=-1，4=4=1,對應(yīng)于4的特征向量為&

九'(本題滿分6分)

設(shè)A為〃階矩陣，滿足AA'=1(1是〃階單位矩陣,A'是A的轉(zhuǎn)置矩陣),|A|<0,求|A+1|.

十、填空題(本題共2小題,每小題3分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)X表示10次獨立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.4,則Xz的數(shù)學(xué)期望

E(X2)=.

(2)設(shè)x和丫為兩個隨機(jī)變量，且

34

p{x>o,y>o}=-,P{x>o}=P{y>o}=-,

77

則P{max(X,y)>0}=.

十一、(本題滿分6分)

設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

x>0

fx(x)=J

[ox<0

求隨機(jī)變量y=e*的概率密度/-(y).

1994年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷

一'填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上)

11

(l)limcot4(z-------)=_____________.

xf°sinxx

⑵曲面Z-e、+2孫=3在點(1,2,0)處的切平面方程為.

xc^u

⑶設(shè)〃=e-xsin上，則”在點(2,1上)處的值為_____________.

ydxdyTC

(4)設(shè)區(qū)域。為Y+VWN,則"(I+/公力=-------------

Da"

(5)已知a=[1,2,3],。=[1,；,3,設(shè)A=a邛其中ar是a的轉(zhuǎn)置，則A"=.

二'選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求，把所選項前的字

母填在題后的括號內(nèi))

,軍sin無4c~34c~34

⑴設(shè)〃=-----cosxdx,N=J：(sinx+cosx)dxyP=sinx-cosx)dx,則有

21+X22

(A)N<尸<M(B)A/<P<N

(C)N<M<P(D)P<M<N

(2)二元函數(shù)/(x,y)在點(Xo，y0)處兩個偏導(dǎo)數(shù)/；(%,為)、4(/，乂))存在是/(x,y)在該點連續(xù)的()

(A)充分條件而非必要條件(B)必要條件而非充分條件

(C)充分必要條件(D)既非充分條件又非必要條件

⑶設(shè)常數(shù)九>0,且級數(shù)收斂,則級數(shù)￡(—1)"三二()

n=ln=l,ytl+A,

(A)發(fā)散(B)條件收斂

(C)絕對收斂(D)收斂性與A有關(guān)

八、九,.atanx+8(1-cosx)_,c皿、，*/、

(4)設(shè)hm-------------------=2,其中a-2+c2/0,則必有()

2°cln(l-2x)+d(l-eH)

(A)b=4d(B)b=^d(C)a=4c(D)a=-4c

⑸已知向量組aigqq線性無關(guān)，則向量組(

(A)a,+a2,a2+a,,a3+a4,a4+a,線性無關(guān)(B)a,-a2,a2-a3,a3-a4,a4-a,線性無關(guān)

(C)%+a2,a?+a?,a,+a4,-叫線性無關(guān)(D)a,+a2,a2+a3,a3-a4,a4-a,線性無關(guān)

三'(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

X=CO皿)

_p,dyd2y.斤.任

⑴設(shè)＜，求--、2在＜=J一的直

y=tco7擊cicdndxaxV2

(2)將函數(shù)/(%)=LlnH^+,arctan%-x展開成1的累級數(shù).

41x2

⑶求Jdx

sin2x+2sinx

四、(本題滿分6分)

計算曲面積分U型絲士尹竽，其中5是由曲面x2+y2=R2&z=R,z=—R(R>0)兩平面所圍成立體表

s.IIz

面的外側(cè).

五'(本題滿分9分)

2

設(shè)f(x)具有二階連續(xù)函數(shù)，/(0)=0,f(0)=1,且⑶(x+y)-f(x)y]dx+"'(x)+xy]dy=0為一全微分方

程，求/5)及此全微分方程的通解.

六、(本題滿分8分)

設(shè)f(x)在點x=0的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且lim/魚=0,證明級數(shù)y/(-)絕對收斂.

-1。xZi?

七'(本題滿分6分)

己知點A與點8的直角坐標(biāo)分別為(1,0,0)與(0,1,1).線段A8繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面為S.求由S及

兩平面z=0,z=1所圍成的立體體積.

八'(本題滿分8分)

X+X,=0

設(shè)四元線性齊次方程組(I)為J1一，

y2一%=0

又已知某線性齊次方程組(n)的通解為K(0,1,1,0)+總(—1,2,2,1).

(1)求線性方程組(I)的基礎(chǔ)解析.

(2)問線性方程組(1)和(II)是否有非零公共解?若有，則求出所有的非零公共解.若沒有,則說明理由.

九'(本題滿分6分)

設(shè)A為〃階非零方陣，A"是A的伴隨矩陣川是A的轉(zhuǎn)置矩陣，當(dāng)A*=N時，證明|A|H0.

十'填空題(本題共2小題,每小題3分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

(1)已知A、6兩個事件滿足條件P(AB)=尸(而)，且P(A)=p,則P(B)=.

(2)設(shè)相互獨立的兩個隨機(jī)變量X,Y具有同一分布率，且X的分布率為

X01

11

P——

22

則隨機(jī)變量Z=max{X,Y}的分布率為.

十一、(本題滿分6分)

已知隨機(jī)變量(x,y)服從二維正態(tài)分布，并且x和y分別服從正態(tài)分布N(I,32)和w(o,42),x與y的相關(guān)系

1Vy

數(shù)夕=_上,設(shè)Z=2+L,

232

(1)求Z的數(shù)學(xué)期望EZ和DZ方差.

⑵求X與Z的相關(guān)系數(shù)0廠

⑶問X與丫是否相互獨立?為什么?

1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷

一'填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上)

fX1

(1)函數(shù)/(X)=[(2—/)力(X>0)的單調(diào)減少區(qū)間為.

3x2+2y212繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點2處的指向外側(cè)的單位法向量為

⑵由曲線

z=0

⑶設(shè)函數(shù)/(工)=乃工+/(—乃的傅里葉級數(shù)展開式為&+￡(qcosAU+asin/tv),則其中系數(shù)4的值為

2n=l

(4)設(shè)數(shù)量場u=Inyjx2+y2+z2,則div(gradw)=

⑸設(shè)n階矩陣A的各行元素之和均為零，且A的秩為〃-1,則線性方程組AX=0的通解為

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求)

⑴設(shè)/(x)='sin(產(chǎn))力,g(x)=d+x一則當(dāng)X->0時,f(x)是8⑴的()

(A)等價無窮小(B)同價但非等價的無窮小

(C)高階無窮小(D)低價無窮小

(2)雙紐線(/+；/)2=》2一>;2所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為()

(A)2￡4cos20d0⑻4/4cos20d0

幾_______________1￡

(C)2,；Vcos20dO(D)—/(cos26)2時

2Jo

(3)設(shè)有直線4：3=二z+8

則4與4的夾角為()

1-21

71~兀

(A)-(D)-

0嗚2

(4)設(shè)曲線積分L"")-e']sinMc—/(x)cosWy與路徑無關(guān)，其中具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(0)=0,則f(x)

等于()

e-X-e~e-ee+e,.e'+e-v

(A)—⑻一(C)--——1(D)l———

123

(5)已知Q241為三階非零矩陣,且滿足「(2=0,則()

369

(A"=6時P的秩必為1(B)r=6時P的秩必為2

(0/二6時「的秩必為1(口"。6時「的秩必為2

三'(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

⑴求lim(sin—+cos—)A.

asxx

(3)求微分方程fy，+巧,=J,滿足初始條件y=1的特解.

四、(本題滿分6分)

計算f2xzd、dz+yzdzdx-z2dxdy,其中E是由曲面2=y]x2+y2與z=^2-x2-y2所圍立體的表面外側(cè).

五'(本題滿分7分)

求級數(shù)￡(T)"(〃2〃+1)的和

〃=0乙

六、(本題共2小題,每小題5分，滿分10分)

(1)設(shè)在[0,+Q0)上函數(shù)/(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/'(%)2左>0,/(0)<0,證明/(x)在(0,+8)內(nèi)有且僅有一個零點.

(2)設(shè)b>a>e,證明a">

七'(本題滿分8分)

已知二次型/(xpx2,x3)=2x：+3xf+3x；+2ax2x3(a>0)通過正交變換化成標(biāo)準(zhǔn)形f=yf+2y1+5y；,求參

數(shù)a及所用的正交變換矩陣.

八、(本題滿分6分)

設(shè)A是〃x加矩陣,B是/nx〃矩陣，其中〃(機(jī),1是〃階單位矩陣，若AB=I,證明B的列向量組線性無關(guān).

九'(本題滿分6分)

設(shè)物體A從點(0,1)出發(fā)，以速度大小為常數(shù)y沿y軸正向運動.物體B從點(-1,0)與A同時出發(fā),其速度大小為

2v,方向始終指向A試建立物體B的運動軌跡所滿足的微分方程，并寫出初始條件.

十、填空題(本題共2小題,每小題3分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

(1)一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品，任意抽取兩次，每次抽一個，抽出后不再放回，則第二次抽出的是次品的概率

為.

(2)設(shè)隨機(jī)變量X服從(0J上的均勻分布，則隨機(jī)變量y=x2在(0,4)內(nèi)的概率分布密度

A(y)=-

十一、(本題滿分6分)

設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布密度為/(x)=ge一叫-8<X<+8.

(1)求X的數(shù)學(xué)期望EX和方差DX.

⑵求X與的協(xié)方差，并問X與是否不相關(guān)?

(3)問X與是否相互獨立?為什么?

1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上)

z/v

(1)設(shè)函數(shù)y=y(x)由方程e+cos(孫)=0確定，則—=.

dx

22

(2)函數(shù)"=ln(x+/+z)在點"(1,2,-2)處的梯度gradw|M=.

⑶設(shè)f(x)=J，則其以2萬為周期的傅里葉級數(shù)在點工="處收斂于■

14-X20<X<7T

(4)微分方程y'+ytanx=cosx的通解為y=.

岫4b2地

ababa2bn

(5)設(shè)A=2i2},其中%H0,4H0,(i=1,2,,〃).則矩陣A的秩r(A)=

a“b“

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求)

X—

(1)當(dāng)Xf1時，函數(shù)-----e-的極限()

x-\

(A)等于2(B)等于0(C)為8(D)不存在但不為8

(2)級數(shù)V(-ir(l-cos-)(常數(shù)。>0)()

(A)發(fā)散(B)條件收斂(C)絕對收斂(D)收斂性與。有關(guān)

(3)在曲線x=t,y=T2,z=「的所有切線中，與平面x+2y+z=4平行的切線()

(A)只有1條(B)只有2條(C)至少有3條(D)不存在

(4)設(shè)/(%)=3/+/國，則使存在的最高階數(shù)〃為()

(A)0(B)l(C)2(D)3

(°、

⑸要使0,12=1都是線性方程組AX=0的解,只要系數(shù)矩陣慶為()

01-1

(A)[-212]

01-1

■-102~

(C)(D)4-2-2

_01-1

011

三、(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

ev-sinx-l

⑴求lim

x->01—一。

⑵設(shè)z=/(e'siny,%2+/),其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求上二

dxdy

(3)設(shè)/(x)=W求］"(x-2)人

|「x>0

四'(本題滿分6分)

求微分方程/+2y'-3y=e-3,的通解.

五、(本題滿分8分)

計算曲面積分/=jj(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy,其中2為上半球面z=｛，_%2_卜2的上

側(cè).

六'(本題滿分7分)

設(shè)f\x)<0,/(0)=0,證明對任何再>0,/>0,有/a+A)</(不)+f(x2).

七'(本題滿分8分)

222

在變力F=yzi+?的作用下，質(zhì)點由原點沿直線運動到橢球面三+/+亍二1上第一卦限的點

“(4月,？),問當(dāng)<、〃、，取何值時,力尸所做的功W最大?并求出W的最大值.

八、(本題滿分7分)

設(shè)向量組四,％,a?線性相關(guān)，向量組％,0i3,a&線性無關(guān)，問：

⑴火能否由a?,a,線性表出?證明你的結(jié)論.

⑵(I4能否由a,&2，€13線性表出?證明你的結(jié)論.

九、(本題滿分7分)

設(shè)3階矩陣A的特征值為4=1,4=2,4=3,對應(yīng)的特征向量依次為

⑴將B用4,自2,&3線性表出-

⑵求A"B(〃為自然數(shù)).

十'填空題(本題共2小題,每小題3分，滿分6分.把答案填在題中橫線上)

⑴已知P(A)=P(B)=P(C)=LP(A8)=O,P(AC)=P(BC)=-,則事件A、B、C全不發(fā)生的概率為

46

(2)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則數(shù)學(xué)期望E{X+e-2x}=.

十一'(本題滿分6分)

設(shè)隨機(jī)變量x與y獨立，x服從正態(tài)分布N(〃d),Y服從［-萬，萬］上的均勻分布，試求z=x+丫的概率分布

密度(計算結(jié)果用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)中表示,其中①。)=一=「e-5dt).

后J-8

1991年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷

一'填空題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.把答案填在題中橫線上)

E+,則”

⑴設(shè)一

y=coSdx~

⑵由方程xyz+yjx24-+z2=V2所確定的函數(shù)z=z(x,y)在點(1,0,-1)處的全微分dz=.

⑶已知兩條直線的方程是4：0=2二2==H：匕2=上月=2則過4且平行于乙的平面方程是

110-12211-

(4)已知當(dāng)x->0時，(1+以2>一1與cosx-1是等價無窮小，則常數(shù)a=.

5200

2100…

⑸設(shè)4階方陣A=0，則A的逆陣A-=

01-2

0011

二、選擇題(本題共5小題,每小題3分，滿分15分.每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求，把所選項前的字

母填在題后的括號內(nèi))

1+廠

(1)曲線y()

l-e*

(A)沒有漸近線(B)僅有水平漸近線

(C)僅有鉛直漸近線(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線

⑵若連續(xù)函數(shù)/(x)滿足關(guān)系式/(無)=1‘/(￡)%+In2,則/(x)等于()

J。2

(A)evIn2(B)e2vln2(C)eA+ln2(D)e2A+ln2

⑶己知級數(shù)￡(—1嚴(yán)%=2,￡為1=5,則級數(shù)￡>“等于()

n=ln=]M=1

(A)3(B)7(C)8(D)9

(4)設(shè)D是平面xOy上以(1,1).(-1,1)和(-1,-1)為頂點的三角形區(qū)域,A是。在第一象限的部分，則

(肛+cosxsinyMr辦等于()

D

(A)2||cosxsinydxdy(B)2jjxydxdy

A

(C)(xy+cosxsiny)dxdy(D)0

5

⑸設(shè)〃階方陣A、B、C滿足關(guān)系式ABC=E，其中E是〃階單位陣，則必有()

(A)ACB=E(B)CBA=E(C)BAC=E(D)BCA=E

三、(本題共3小題,每小題5分，滿分15分)

汽

⑴求lim(cos

A->0+

(2)設(shè)〃是曲面2/+3丁+z2=6在點P(l,1,1)處的指向外側(cè)的法向量，求函數(shù)〃=―-+如在點尸處沿方向

z

〃的方向?qū)?shù).

(3)JJJ(%2+/+z)d匕其中。是由曲線f,12z繞％軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面與平面z=4所圍城的立體.

四、(本題滿分6分)

過點0(0,0)和A(肛0)的曲線族y=?sinx(?>0)中，求一條曲線L,使沿該曲線。從到A的積分

工(1+_/)公+(2x+y)辦的值最小.

五、(本題滿分8分)

81

將函數(shù)/(%)=2+兇(一1<X<1)展開成以2為周期的傅里葉級數(shù)，并由此求級數(shù)￡3的和.

M=1〃

六、(本題滿分7分)

設(shè)函數(shù)/(x)在［0,1］上連續(xù),(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且3j；/(x)公=/(0),證明在(0,1)內(nèi)存在一點c,使/"(c)=0.

3

七、(本題滿分8分)

已知a1=(1,0,2,3),a?=(1,1,3,5),a?=(1,-1,a+2,1),a&=(1,2,4,a+8)及0=(1,11+3,5).

(l)a、。為何值時，0不能表示成的線性組合？

(2)a、b為何值時，。有四,。2,%,a」的唯一的線性表示式?寫出該表示式