2017學年山西大學附中高三（下）5月月考數(shù)學試卷（理科）

2016-2017學年山西大學附中高三(下)5月月考數(shù)學試卷(理

科)

一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)

1.(5分)已知集合A={x|(g)\,1},B={X|X2-2X-8,,0},則4B=()

A.{x|-德*0)B.{x|段長4}C.{x|嘴/4}D.{x\x,,-2}

2.(5分)若復數(shù)z-Z2在復平面內(nèi)對應的點關于y軸對稱，且乙=2-》,則復數(shù)芻■在復

z2

平面內(nèi)對應的點在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.(5分)已知a=(—2,1),b=(k,-3),c=(l,2),若(a-2b)_Lc,則|b|=()

A.3百B.3夜C.2后D.V10

4.(5分)下列關于命題的說法錯誤的是()

A.命題“若d—3x+2=0,則x=2”的逆否命題為“若xw2,則/一3工+2*0”

B.“a=2”是“函數(shù)/(x)=log,,x在區(qū)間(0,+00)上為增函數(shù)”的充分不必要條件

C.若命題p:最wN,2">1000,則2">1000

D.命題uHre(—oo,0)?2v<3'是假命題

5.(5分)“歐幾里得算法”是有記載的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如圖的

程序框圖的算法思路就是來源于“歐幾里得算法”.執(zhí)行改程序框圖(圖中“aMODb”

表示。除以6的余數(shù))，若輸入的“，。分別為675,125,則輸出的〃=()

A.0B.25C.50D.75

6.（5分）已知P是A4BC所在平面內(nèi)一點，尸B+PC+2PA=0,現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在

AABC內(nèi)，則黃豆落在APBC內(nèi)的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4323

7.（5分）三角函數(shù)f（x）=asinx-￡>cosx,若/g-x）=f（生+x）,則直線ar-by+c=0的

44

傾斜角為（）

A.-B.-C.—D.—

4334

8.（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，其體積為（）

帚祝3）

9.（5分）已知點4（1,2）示拋物線），2=4苫上一點，過點A作兩條直線4）,AE分別交拋物

線于點。，E,若">,AE的斜率分別為七。，KAE,B.kAD+kAl;=O,則直線DE的

斜率為（）

A.1B.--C.-1D.不確定

2

10.（5分）已知點P為雙曲線士一工=1（4>0力>0）右支上一點，K，尸，分別為雙曲線的

ab~

左右焦點，且|耳月|=2,/為三角形尸與K的內(nèi)心，若S萬=5所，+為桿，成立，則/I

a

的值為（）

C.V2+1D.V2-1

=a〃cos女工，記5“為數(shù)

11.(5分)數(shù)列｛《,｝滿足4=1,=5+1)%+〃(〃+1),且"

〃3

列｛2｝的前幾項和,則§24=（）

A.294B.174C.470D.304

12.（5分）已知函數(shù)/（x）=ax+e/nx與g（x）=---的圖象有三個不同的公共點，其中e為

x-elnx

自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為（）

A.a<-eB.a>\C.a>eD.av-3或Q>1

二、填空題：（本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分）

13.（5分）若。=J：（sinx+cosx）rfr,則二項式（。五一十展開式中V項的系數(shù)為.

X_y_2,022

14.（5分）設實數(shù)x,y滿足x+2y-5..O,則〃=±之匕的取值范圍是____.

b-2,,0個一

15.（5分）己知點尸為函數(shù)f（x）=e，的圖象上任意一點，點。為圓（x-e2-l>+y2=i上任

意一點（e為自然對數(shù)的底），則線段尸。的長度的最小值為.

16.（5分）在銳角三角形ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

(b2-tz2-c2)sinAcoaccos4-ua=\/2.則AABC面積的最大值

三、解答題：（本大題6個小題，共70分；解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（12分）已知數(shù)列｛七｝的前〃項和S“=2%-1.｛〃,｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前三

項和為3,且4是d，么的等比中項.

⑴求知,b?；

（2）若3+0^2+…也??（〃一2），+2,求實數(shù)f的取值范圍.

18.（12分）某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調查，在高三的全體1000

名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，并得到如圖直方圖：

（I）若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)；

（H）學習小組成員發(fā)現(xiàn)，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學

習成績是否有關系，對年級名次在1~50名和951~1000名的學生進行了調查，得到如下

數(shù)據(jù)：

是否近視1-50951-1000合計

年級名次

近視413273

不近視91827

合計5050100

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系？

（III）在（II）中調查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了9人，進一

步調查他們良好的護眼習慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1~50名的學生人數(shù)為

X,求X的分布列和數(shù)學期望.

P(K\.k)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

附:

_n(ad-be)1

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

n=a+b+c+d.

19.(12分)如圖，在梯形A8CD中，AB//CD,AD=/X：=CB=2,ZABC=60°,平面

ACEF_L平面ABC￡>,四邊形ACEF是菱形，ZCAF=60°.

(1)求證：8c，平面ACEF;

(2)求平面ABF與平面4)尸所成銳二面角的余弦值.

20.(12分)已知橢圓二+4=l(a>b>0)的離心率為漁，且過點(61).

。-b-3

(1)求橢圓的方程；

(2)若過點C(-l,0)且斜率為％的直線/與橢圓相交于不同的兩點A,B,試問在x軸上是

否存在點M,使MAM8+T—是與%無關的常數(shù)？若存在，求出點股的坐標；若不

3二+1

存在，請說明理由.

21.(12分)己知函數(shù)/(x)=二,g(x)=A(x-l).

Inx

(1)證明：FkqR,直線y=g(x)都不是曲線y=/(x)的切線；

(2)若e2],使得/(x),,g(x)+；成立，求實數(shù)k的取值范圍.

請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.[選修4-4：坐標

系與參數(shù)方程]

22.(10分)在平面直角坐標系X。)，中，直線/的參數(shù)方程為F=3+，cos0?為參數(shù))，在以

[y=1+fsine

坐標原點為極點，X軸的正半軸為極軸的極坐標中，圓C的方程為0=4cos。.

(I)求/的普通方程和C的直角坐標方程；

(II)當夕€(0,%)時，/與C相交于P,Q兩點，求|PQ|的最小值.

[選修4-5：不等式選講]

23.設函數(shù)f(x)=|2x+3|+|x-l|.

(1)解不等式/(x)>4；

(2)若存在與€[-],1],使不等式〃+1>/(不)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

2016.2017學年山西大學附中高三（下）5月月考數(shù)學試

卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）

1.（5分）已知集合A={x|（；），,,1},B={X|X2-2X-8?0},則AB=（）

A.{x|-德作0}B.{x|2B-4}C.{x|啜默4}D.{x\x?-2）

【考點】IE：交集及其運算

【專題】37：集合思想；40：定義法；59：不等式的解法及應用；5J：集合

【分析】解不等式求出集合A、B,根據(jù)交集的定義寫出AB.

【解答】解：集合A={x|（；）'京!J}={x|x0},

B={x|f-2x-8強!!）}={x|-2*4},

則AB={x|噴34}.

故選：C.

【點評】本題考查了解不等式與求交集的運算問題，是基礎題.

2.（5分）若復數(shù)z一4在復平面內(nèi)對應的點關于y軸對稱，且4=2-"則復數(shù)芻■在復

z2

平面內(nèi)對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考點】A4：復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義

【專題】11：計算題；35：轉化思想；4A：數(shù)學模型法；5N；數(shù)系的擴充和復數(shù)

【分析】由4=2-1,復數(shù)z「z,在復平面內(nèi)對應的點關于y軸對稱，求出z2,然后代入幺，

Z2

利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，求出復數(shù)五在復平面內(nèi)對應的點的坐標，則答案可

Z2

求.

【解答］解：Z1=2-i,復數(shù)z-z?在復平面內(nèi)對應的點關于y軸對稱，

z2=-2—i.

z.2-i（2-z）（-2+0—3+4i34.

—=---------------------------------------=---------------1—i，

z2-2-i（-2-0（-2+0555

則復數(shù)幺在復平面內(nèi)對應的點的坐標為：(-2,-),位于第二象限.

z255

故選：B.

【點評】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是

基礎題.

3.(5分)己知4=(-2,1),b=(k,-3),c=(l,2),若(a-2卜)_Lc,則聞=()

A.375B.3夜C.2>/5D.>/10

【考點】9T：數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關系

【專題】11：計算題；34：方程思想；40：定義法；5A：平面向量及應用

【分析】利用平面向量坐標運算法則求出“-2%,再由向量垂直的性質求出人由此能求出

結果.

【解答】解：a=(-2,l),b=(k,-3),c=(l,2),

a-2b=(-2-2k,l),

(a-2h)-Lc,

c=-2-22+14=0,解得2=6,

b=(6,-3),

Ib|=J36+9=3N/5.

故選：A.

【點評】本題考查等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實際應用，是基礎題，解題時要認真審題，注意

等比數(shù)列的性質的合理運用.

4.(5分)下列關于命題的說法錯誤的是()

A.命題“若Y_3X+2=0,則X=2”的逆否命題為“若XH2,則Y-3X+2H0”

B.“。=2”是“函數(shù)/(x)=k>g“x在區(qū)間(0,內(nèi))上為增函數(shù)”的充分不必要條件

C.若命題2”>1000,則2">1000

D.命題“3xw(—8,0),2'<3r"是假命題

【考點】2K：命題的真假判斷與應用

【專題】38：對應思想；48：分析法；5L：簡易邏輯

【分析】A,命題“若f-3x+2=0,則x=2”的逆否命題為“若沖2,貝吐-3xR封”；

B,只要。>1時，函數(shù)/（x）=log?x在區(qū)間（0,E）上為增函數(shù)；

C,”>“的否定是”，，“；

D,根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象可判定；

【解答】解：對于A,命題“若Y-3x+2=0,則x=2”的逆否命題為“若xw2,則

x2-3x+2^0"正確；

對于8,只要時，函數(shù)/。）=1。8“工在區(qū)間（0,口）上為增函數(shù)，故正確；

對于C,若命題p：m〃wN,2">1000,則［p:V〃eN,2"?1000,故錯；

對于3,根據(jù)基函數(shù)圖象得"X€（YO,0）時，2，>3*”，故正確；

故選：C.

【點評】本題考查了命題真假的判定，屬于基礎題.

5.（5分）“歐幾里得算法”是有記載的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如圖的

程序框圖的算法思路就是來源于“歐幾里得算法”.執(zhí)行改程序框圖（圖中“aMODb”

表示。除以6的余數(shù)），若輸入的a,。分別為675,125,則輸出的。=（）

A.0B.25C.50D.75

【考點】EF-.程序框圖

【專題】38：對應思想；4R：轉化法；5K：算法和程序框圖

【分析】模擬程序框圖的運行過程，該程序執(zhí)行的是歐幾里得輾轉相除法，求出運算結果即

可.

【解答】解：輸入a=675,6=125,c=50,

a=125>b=50>c=25,

a=25,b=0,c=0,

輸出a=25,

故選：B.

【點評】本題考查了程序框圖的應用問題，解題時應模擬程序框圖的運行過程，以便得出正

確的答案，是基礎題.

6.（5分）已知P是AABC所在平面內(nèi)一點，PB+PC+2PA=0,現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在

AABC內(nèi)，則黃豆落在APBC內(nèi)的概率是（）

A.-B.-C.-D.-

4323

【考點】9￡：向量數(shù)乘和線性運算；CF-.幾何概型

【專題】11：計算題；51：概率與統(tǒng)計

【分析】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結合共線向量充要條件，得點P是AABC邊

上的中線AO的中點.再根據(jù)幾何概型公式，將AP8C的面積與AA8C的面積相除可得本

題的答案.

【解答】解：以PB、PC為鄰邊作平行四邊形P8ZX7,則PB+PC=P。

PB+PC+2PA=0,

PB+PC=-2PA,得PD=-2PA

由此可得，P是AABC邊3c上的中線AO的中點，

點P到BC的距離等于A到BC的距離的！.

2

S騁BC=2S&ABC,

將一粒黃豆隨機撒在MBC內(nèi)，黃豆落在"BC內(nèi)的概率為P=&&=1

q?

故選：c.

B

D

【點評】本題給出點P滿足的條件，求P點落在AP8C內(nèi)的概率，著重考查了平面向量加

法法則、向量共線的充要條件和幾何概型等知識，屬于基礎題.

7.（5分）三角函數(shù)f（x）=4sinx-bcosx,若/（工一幻=/（工+九），則直線or-by+c=0的

44

傾斜角為（）

A.-B.-C.—D.—

4334

【考點】GL：三角函數(shù)中的恒等變換應用；H2：正弦函數(shù)的圖象；/2：直線的傾斜角

【專題】57：三角函數(shù)的圖象與性質；58：直線與圓

【分析】由/（x）=asinx-Z>cosx,且/（工-）=（/—得至lla=-〃，再由直線ox-by+c=0

44

求得直線的斜率，根據(jù)傾斜角的正切值等于斜率得答案.

【解答】解：由八四-幻=/（出+幻，知三角函數(shù)f（x）的圖象關于》=生對稱，

444

?**/（0）=/（y），/.67sinO-Z?cosO=6Zsin^-/?cosJ|-,即。二一〃，

二.直線方-分+C=的斜率A=0=-1,其傾斜角為子.

故選：D.

【點評】本題考查了三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查了直線的傾斜角，是基礎題.

8.（5分）一個幾何體的三視圖如圖所示，其體積為（）

1

D.

c12

【考點】L!：由三視圖求面積、體積

【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；31：數(shù)形結合；5F：空間位置關系與距離；5Q：立

體幾何

【分析】畫出三視圖對應的幾何體的圖形，判斷凡何體的形狀，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解幾何

體的體積即可.

【解答】解：該幾何體是一個直三棱柱截去一個小三棱錐，如圖所示，則其體積為：

V=—x2xlx2—X—x1x1x1=—.

2326

11

【點評】本題考查三視圖與幾何體的關系，幾何體的體積的求法，考查轉化思想以及計算能

力.

9.（5分）已知點A（l,2）示拋物線y?=4x上一點，過點A作兩條直線AD,AE分別交拋物

線于點。，￡,若4）,AE的斜率分別為砥〃，KAE,且砥0+心=0,則直線。E的

斜率為（）

A.1B.--C.-1D.不確定

2

【考點】K8：拋物線的性質

【專題】15：綜合題；35：轉化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程

【分析】設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，求出O,E的縱坐標，利用斜率公式，即可得

出結論.

【解答】解：設4）的斜率為則AE的斜率為。（為，%）,E（X2,%），

設用）的方程為y-2=k（x-l）,

聯(lián)立卜=消去x、整理得：02_分_必+8=0,

=4%

。4

％=-2+：，

k

4

同理y2=-2-—,

弘+%=T，

直線DE的斜率為三二顯=’一=-l.

x+12

故選：C.

【點評】本題是一道直線與拋物線的綜合題，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬

于中檔題.

22

10.（5分）已知點P為雙曲線二-二=l（a>0/>0）右支上一點，E，居分別為雙曲線的

a~h~

.2

左右焦點，且|"居1=2,/為三角形尸耳人的內(nèi)心，若S""S"A+/IS成立，則兀

a

的值為（）

【考點】KC：雙曲線的性質

【專題】5￡>：圓錐曲線的定義、性質與方程

【分析】設△尸耳鳥的內(nèi)切圓半徑為r,由|P用-|PR|=2〃，|￡E|=2c,用的邊

長和「表示出等式中的

三角形的面積，解此等式求出心

【解答】解：設△尸石鳥的內(nèi)切圓半徑為r,

由雙曲線的定義得|尸耳|-|尸鳥|=2°,|耳心|=2°,

S&PF\=2?0片?廠'S^pF2=~?PF?I廠'S[FIFZ=/2cr

由題意得：；|/Y；"=g|尸鳥|r+4”,

」「用一1啊,,

2c

I小一，

-7

c

故選：D.

【點評】本題考查雙曲線的定義和簡單性質，考查三角形面積的計算，考查利用待定系數(shù)法

求出參數(shù)的值.

11.(5分)數(shù)列｛“"｝滿足q=l,nan+t=(?+l)a?+n(n+1),且〃=a“cos^^,記S“為數(shù)

列電｝的前〃項和,則"=()

A.294B.174C.470D.304

【考點】8￡：數(shù)列的求和

【專題】34：方程思想；35：轉化思想；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列；57：三角函數(shù)的圖象與

性質

【分析】，叼用=5+1)%+”5+1),可得烏以一%=1,利用等差數(shù)列的定義通項公式可得

n+\n

222

an=n,h?=Icos等，可得k=(3%-2)cos2c功=_10k-2),同理可得

1

砥7=-5制-1)92，

%=(3左涔kwN.即可得出.

［解答］解：nan+l=(n+Y)an+n(n+1),

...-4-+-i----為-=_ii,

n+1n

數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，公差與首項都為1.

n

,可得q=〃2.

n

,2n九

"a"cos干,

,2〃乃

/.b=n~2cos---，

"3

2

九2=(3&-2)cos2(3"-2)"=_1(3Z._2)2,

32

同理可得%T=-g(3A-l)2，

b3k=(3k)2,ksN*.

.,也-2+%T+%=-融-2)T(3I)2+(34=%-1'

則S24=9x(l+2+...+8)--x8=304.

故選：D.

【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關系、三角函數(shù)的周期性,

考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

12.(5分)已知函數(shù)/(x)=or+e/"與g(x)=--的圖象有三個不同的公共點，其中e為

x-elnx

自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為()

A.a<-eB.a>\C.a>eD.a<-3或a>l

【考點】53：函數(shù)的零點與方程根的關系；6D：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

【專題】35：轉化思想；44：數(shù)形結合法；53：導數(shù)的綜合應用

【分析】由題意可知：令/(x)=g(x)，化簡求得/+(4-1"-〃+1=0,根據(jù)力(x)的單調性

求得方程根所在的區(qū)間，根據(jù)二次函數(shù)的性質，即可求得。的取值范圍.

【解答】解：由+=—廠一?，整理得：a+—=—^―,

x-elnxxtelnx

x

令h(x)=回竺，且，=h(x)9

x

貝|Jr+(4z-l)r-a+l=O,=f

求導〃(1)=里二"，令”(幻=0,解得：x=e,

x~

/.h(x)在(0,e)上單調遞增，在(e,+oo)單調遞減，

則當xf+8時，h(x)—>0,如圖所示，

由題意可知方程有一個根4在（0,1）內(nèi)，另一個根弓=1或弓=0或G€（7,0），

當「2=1方程無意義，當弓=0時，4=1，4=0不滿足題意;

..,?/..H__,[H(0)<0口rt]―〃+1<0

則，2€(7,0)，由二次函數(shù)的性質可r知：\，即《、，

[W(l)>0[1+(a-l)-“+1>0

解得：a>\,

故選：B.

【點評】本題考查函數(shù)零點與函數(shù)方程的關系，考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的極值，考查二次函

數(shù)的性質，考查數(shù)形結合思想，屬于難題.

二、填空題：（本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分）

13.（5分）若a=「（sinx+cosxMr,則二項式（小/7-9p展開式中x2項的系數(shù)為_-192_.

【考點】67：定積分、微積分基本定理；DA：二項式定理

【專題】11：計算題

【分析】根據(jù)定積分的性質可以求出。的值，然后根據(jù)二項式展開的公式將二項式

（隊后一+）6展開，令x的幕級數(shù)為2,求出r,從而求解.

【解答】解：〃=（）（sinx+cosx世=2,

J=（-1）'螳［26）6-"2）=（-1）禺26-廿，

y/x

令3-r=2,得r=l,因此，展開式中含丁項的系數(shù)是-192.

故答案為-192.

【點評】本題考查了簡單定積分的計算以及求二項式展開式的指定項的基本方法.

X—y—2,,0

則”看主片的取值范圍是」2乃］_.

14.(5分)設實數(shù)x,y滿足<x+2y-5..O

xy3

y-2,,0

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃

【專題】11:計算題

【分析】先根據(jù)約束條件畫出區(qū)域圖形，然后求出）的取值范圍，最后根據(jù)〃的性質

Xt

解題即可.

X—y—2,,0

【解答】解：由約束條件x+2y-5..O得如圖所示的陰影區(qū)域，

“2,0

由圖可知，上的取值范圍為七，2]

x3

當2=1時，〃取最小值2,當2=工時，〃取最大值更

xx33

故〃=《1￡=上+土的取值范圍是[2,3],

xyxy3

【點評】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃，同時考查了函數(shù)的值域和數(shù)形結合的方法，屬于基

礎題.

15.（5分）已知點P為函數(shù)/。）=，的圖象上任意一點，點。為圓（x-1y+>2=|上任

意一點（e為自然對數(shù)的底），則線段PQ的長度的最小值為-1

【考點】KE：曲線與方程

【專題】15：綜合題；35：轉化思想；4G：演繹法；52：導數(shù)的概念及應用

【分析】由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q（/+l,0）到函數(shù)〃x）=e■'圖象上一點的距離的

最小值.設/（x）圖象上一點（現(xiàn)葉），求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件：斜率之積

為-1,可得e?'"—"+相—1=0,gM=e2x-e2+x-l,求出導數(shù)，判斷單調性，可得零

點e,運用兩點的距離公式計算即可得到所求值.

【解答】解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心Q(e2+1,0)到函數(shù)/(x)=e"圖象上一點的距

離的最小值.

設/(%)圖象上一點(%,一"),

由/(X)的導數(shù)為r(x)=e*,

即有切線的斜率為％=d",

可得一二一=-e-m,

in-e"

即有/，“—〃十機―1=0,

g(x)=e2x-e2+x-l,可得g'(x)=2e"+l>0,g(x)遞增.

又g(1)=0,

可得x=1處點(l,e)到點。的距離最小，且為e5m,

則線段PQ的長度的最小值為e，e2+l-1,

故答案為eVTIl-l.

【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調性，考查圓的對稱性和兩點的距離公式，

考查運算能力，屬于中檔題.

16.(5分)在銳角三角形A8C中，角4,B,C的對邊分別為。，b,c,且

222

(b-a-c)sinAcost：accos^1,a=^2.則AABC面積的最大值叵士?.

~2~

【考點】HR：余弦定理

【專題】11：計算題；56：三角函數(shù)的求值；58：解三角形

【分析】利用余弦定理列出關系式，代入已知等式并利用誘導公式化簡，求出sin2A的值,

進而確定出A的度數(shù)，再利用余弦定理列出關系式，根據(jù)不等式的基本性質求出租的最

大值，即可確定出三角形面積的最大值.

【解答】解：由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB,B|Jb2-a2-c2=-2accosB,

代入已知等式得：-2〃ccosBsinAcosA=-accosB,

整理得：2sinAcosA=l,即sin2A=1,

/.A=45°,

a=\/2,

/.2=a2=b2+c2-2/?ccosA=b2+c2-.2bc一42bc，即be,,——^-j==2+&,

2-V2

iiR立土L即A4BC面積的最大值為克里

則%BC=Q%csinA,-x—x(2+>/2)=

22

故答案為：墾L

2

【點評】此題考查了余弦定理的應用，誘導公式，二倍角的三角函數(shù)值，以及基本不等式的

運用，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵.

三、解答題：（本大題6個小題，共70分；解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17.（12分）已知數(shù)列｛凡｝的前"項和S,=2q,-1.｛4｝是公差不為0的等差數(shù)列，其前三

項和為3,且以是打，用的等比中項.

⑴求明，"；

（2）若3+%&+…++也..（”-2），+2,求實數(shù)f的取值范圍.

【考點】84：等差數(shù)列的通項公式；88：等比數(shù)列的通項公式；8K：數(shù)列與不等式的綜合

【專題】15：綜合題；35：轉化思想；4G：演繹法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列

【分析】（1）由題意結合遞推關系求得數(shù)列的通項公式即可：

（2）首先錯位相減求得7；,然后結合恒成立的條件分類討論即可求得最終結果.

【解答】解：（1）因為S,,=24-1①，

當”=1時，q=S[=2q—1,解得，4=1,

當時”..2時，5,i=2a,i—l,②

①-②,得見=2q,-2a,i，即4=2%,所以％=21,

由數(shù)列｛或｝的前三項和為3,得34=3,所以力2=1，

設數(shù)列｛￡｝的公差為d，則4=l+d，b5=\+3d,

又因為考=她5,所以（l+d）2=1+3",

解得d=l或d=O（舍去），所以包=〃-1；

（2）由（1）,可知,%=2"T,b?=n-\,從而“也=（〃-l）x2"-‘，

令仿+…+"也，

貝ij：7；=lx2'+2x22+...+(〃-2)X2"2+(〃-1)X2"T,

2(=1X22+2X23+...+(〃-2)X2"T+5_1)X2",

兩式做差可得：

-7；=2+22+23+...+2"-'-(/7-l)x2n

2-2"

-(/2-1)X2"

~1-2

=-(n-2)x2"-2

貝ij7；=(〃-2)2"+2,

故題設不等式可化為(“-2)x2"..(”-2)r,(*)

當”=1時，不等式(*)可化為-2..T,解得；A.2；

當”=2時，不等式(*)可化為0..0,此時feR；

當〃..3時，不等式(*)可化為r,,2",因為數(shù)列｛2"｝是遞增數(shù)列，所以1,8,

綜上，f的取值范圍是[2,8].

【點評】本題考查數(shù)列通項公式的求解，恒成立問題，錯位相減求和等，重點考查學生對基

礎概念的理解和計算能力，屬于中等題.

18.(12分)某學校研究性學習小組對該校高三學生視力情況進行調查，在高三的全體1000

名學生中隨機抽取了100名學生的體檢表，并得到如圖直方圖：

(I)若直方圖中后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計全年級視力在5.0以下的人數(shù)；

(H)學習小組成員發(fā)現(xiàn)，學習成績突出的學生，近視的比較多，為了研究學生的視力與學

習成績是否有關系，對年級名次在1~50名和951~1000名的學生進行了調查，得到如下

數(shù)據(jù)：

是否近視1-50951-1000合計

年級名次

近視413273

不近視91827

合計5050100

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系？

(HI)在(II)中調查的100名學生中，按照分層抽樣在不近視的學生中抽取了9人，進一

步調查他們良好的護眼習慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1~50名的學生人數(shù)為

X,求X的分布列和數(shù)學期望.

P(K2..k)0.100.050.0250.0100.005

k2.7063.8415.0246.6357.879

附:

K?_n(ad-be)'

(a+b){c+d)(a+c){b+d)

n=a+b+c+d.

【考點】BL：獨立性檢驗

【專題】31：數(shù)形結合；49：綜合法；5/：概率與統(tǒng)計

【分析】(I)由頻率分布直方圖可知：分布求得第一到第六組的頻數(shù)，求得視力在5.0以

的頻率為1_().08=0.82,全年級5.0以上的人數(shù)為1000x0.82=820；

(II)求出(2,與臨界值比較，K2?4.110>3.841.由此能求出在犯錯誤的概率不超過0.05

的前提下認為視力與學習成績有關系.

(IH)依題意9人中年級名次在1~50名和951~1000名分別有3人和6人，X可取0、1、

2、3,分別求出相應在的概率，由此能求出X的分布列和X的數(shù)學期望.

【解答】解：(I)由圖可得：前三組的頻率分別為：0.03,0.07,0.27,

.?.第一組有3人，第二組7人，第三組有27人，

后四組頻數(shù)成等差數(shù)列，

后四組的頻數(shù)27,24,21,18,

所以視力在5.0以的頻率為1-0.08=0.82,

所以全年級5.0以上的人數(shù)為1000x0.82=820；

(II)片=-〃(八了______=100X(41X18-32X9)^4110>3841

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)50x50x73x27

因此，在犯錯的概率不超過0.05的前提下認為視力與學習成績有關系;

(III)由題意可知9人中年級名次在1-50名和951-1000名的人數(shù)分別為3人和6人,

；.X的取值為0,1,2,3,

C35

P(X=0)=—Y=—,

C；21

C2cl15

P(X=I)=9=R

C；28

P(X=2)=^-=3

14

"'=3)念=上

X的分布列為:

X0123

P51531

2?281484

.■.E(X)=0XA+1X—+2x—+3x—=1,

21281484

E(X)=1.

【點評】本題考查直方圖，考查獨立性檢驗的應用，考查求X的分布列和數(shù)學期望，考查

學生的計算能力，屬于中檔題.

19.(12分)如圖，在梯形至。中，AB//CD,AD=DC=CB=2,Z4BC=60。，平面

AC￡F_L平面A8C￡>,四邊形ACE尸是菱形，ZC4F=60°.

(1)求證：8C_L平面ACEF；

(2)求平面與平面4)尸所成銳二面角的余弦值.

E

【考點】LW：直線與平面垂直；MJ■.二面角的平面角及求法

【專題】35：轉化思想；49：綜合法；5G：空間角

【分析】（1）證明8C_LAC,由平面ACEF_L平面ABCD,平面ACEFC平面ABCD=AC,

得BC_L平面ACEF

（2）以C為坐標原點建立空間直角坐標系，求出法向量即可.

【解答】解：（1）證法一：在梯形ABC。中，AB//CD,

AD=DC=CB=2,ZA8C=60°,ZADC=IX：B=\2OP,ZDCA=ZDAC=30P,...（2

分）

/.ZACB=90°.即3CLAC,...（3分）

又平面AC￡F_L平面ASCD,平面ACErC平面/WCD=AC,

，8C_L平面ACEF...（5分）

（2）取G為中點.連CG

四邊形ACE尸是菱形，NC4產(chǎn)=60。，.?.。6_1所即。61.4。

與（1）同理可知CG平面A8C。

如圖所示，以C為坐標原點建立空間直角坐標系，…（6分）

則有AQ&0,0）,5（0,2,0）,￡＞（",-1,0）,尸（百,0,3）,

AB=（-2石,2,0）,4尸=（-石,0,3）,。尸=（0,1,3）…（7分）

設〃?=（%，X，zJ是平面AB/7的一個法向量,

「]AB=0r—yfix.+V,=0_/廠A<、,八、

則1，即1rt1>17,,取m二（有3,1）.…（9分）

AFm=0—V3x,+3Z[=0

設行區(qū)通口）是平面AOF的一個法向量，則r，"=。，即卜色#3Z2=0,取

（DFn=0[y2+3z2=0

n=（V3r3,.分）

設平面ABF與平面ADF所成銳二面角為0,則cos。=上皿=1,

即平面A3尸與平面4陰所成銳二面角的余弦值為工.…（12分）

13

【點評】本題考查了空間線面垂直的判定，及向量法求二面角，屬于中檔題.

20.（12分）已知橢圓;+與=13>6>0）的離心率為逅，且過點（五,1）.

ab'3

（1）求橢圓的方程；

（2）若過點C（-l,0）且斜率為左的直線/與橢圓相交于不同的兩點A,8,試問在x軸上是

否存在點"，使K4M3+—1-是與k無關的常數(shù)？若存在，求出點M的坐標；若不

3二+1

存在，請說明理由.

【考點】K4：橢圓的性質；KH：直線與圓錐曲線的綜合

【專題】15：綜合題；5D：圓錐曲線的定義、性質與方程

【分析】（1）利用橢圓的離心率為"，且過點（五,1）,求得橢圓的幾何量，即可求橢圓的

3

方程；

（2〃）假設存在點M符合題意，設為y=k（x+l）,代入橢圓方程可得關于x的一元二次

方程，設4(%,y),B(X2,y2),M(m,O),由利用韋達定理，及MAM8+—-是與