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第七章常微分方程7.1常微分方程的基本概念常微分方程是指含有一元未知函數(shù)的導數(shù)(或微分)微分方程中出現(xiàn)的最高階導數(shù)的階數(shù)n稱為該微分例如,是二階常微分方程.n階常微分方程的一般形式為

的方程.的階,此時也稱該方程為n階常微分方程.使微分方程成為恒等式的函數(shù)稱為微分方程的解.

即如果

則是方程

的解.解的圖形叫做微分方程的積分曲線.以后我們討論的微分方程都是可以把最高階導數(shù)解出來的,即例1

人口增長的微分方程模型

2004年初,世界人口總量約為64億.據(jù)說,到2020年世界總人口將達到79億.這個結果是怎么預測出來的?在數(shù)學上是這樣處理這個問題的:

是一個未知函數(shù),取值是整數(shù),當有人出生用表示世界人口在2004年后時刻的總量(時間單位是年).或死亡時,的值是跳躍的.然而,相對于巨大的人口總量,這種跳躍幅度如此之小,以至于我們可以把看作一個可導函數(shù).其中時人口總量增加,時人口總量減少.假設:在一個很小的時間段內,即，當時，的變化率與人口總量y成比例,

人口總量容易驗證,滿足微分方程這個微分方程模型被稱作指數(shù)模型.自然界中的許多量的變化都與本身的大小成一定的比率,如細菌的繁殖、放射性物質的質量、按復利計算的投資收益等,這些問題都適合于指數(shù)模型.即是該微分方程的解,其中C為任意常數(shù).由條件

得

世界人口的歷史數(shù)據(jù)表明

即

解因例2

驗證是任意常

數(shù))是二階微分方程的解.故,

是原方程的解.如果微分方程的解中包含有獨立的任意常數(shù),且獨立的任意常數(shù)的個數(shù)等于該微分方程的階數(shù),則稱這種解是微分方程的通解.解將例3

驗證是任意常數(shù))是微分方程的通解.代入方程,得恒等式

所以,

是原方程的解.又因中含有一個任意常數(shù),原方程是一階微分方程,因此是原方程的通解.注:微分方程的通解不一定能包含所有的解.許多情況下,我們關心微分方程滿足一定條件的解,例如,

是方程的解,但它并不在通解當中.微分方程不含任意常數(shù)的解稱為方程的特解.例如,

都是方程的特解.這樣的條件稱為初始條件.

帶有初始條件的微分方程問題稱為初值問題或定解問題.例1的微分方程模型可以改寫為:

常微分方程分為線性微分方程和非線性微分方程.

在n階微分方程中形如

的微分方程稱為線性微分方程;為已知函數(shù),

其中其它的都是非線性微分方程.都是線性微分方程,都是非線性微分方程.例如,

而

例4試指出下列微分方程的階數(shù),并說明它們是線性的還是非線性的?

解(1),(4),(6)為一階微分方程;(2),(5)為二階微分方程;(3)為三階微分方程;其中(2),(3

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