高等數(shù)學(xué)教程　下冊　第4版 課件 7.2 一階微分方程_第1頁
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文檔簡介

的微分方程,稱為可分離變量的微分方程.2.解法1.定義分離變量7.2.1可分離變量的微分方程7.2一階微分方程或可化為形如求得積分后,即得原微分方程的通解兩端積分注意:如果

則常函數(shù)也是方程的一個特解.

這種求解方法稱為分離變量法解分離變量得兩端積分得從而故原方程的通解為

是方程的一個解.

例1求微分方程的通解.例2求微分方程的通解.解分離變量兩端積分原方程的通解為整理得從而化簡得解先求其通解,分離變量,得兩端積分,得例3

求解定解問題:整理得原方程的通解為注意:是兩個特解.但是不滿足定解條件得于是所求定解問題的特解為的一階微分方程,稱為齊次方程.1.定義7.2.2齊次微分方程例如,方程可化成是齊次方程.可化為形如分離變量,得兩端積分2.解法作變量代換代入原方程,得求得積分后再將代入,即得原方程的通解.化為可分離變量的方程.得例4解方程解將方程改寫成令于是上述方程化為即分離變量,得積分得原方程的通解為

則有解原方程可化為是齊次方程.代入原方程得兩端積分,得例5

求微分方程的通解.得原方程的通解為即將代入,準齊次方程的一般形式為其中均為常數(shù).對這類方程進行適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q可化為齊次方程.例6解方程解解方程組得令代入原方程,得再令分離變量可得解得則原方程化為整理并做任意常數(shù)的代換再將替換代回,可得其中為任意常數(shù).得原方程的通解為稱為一階線性非齊次微分方程.稱為一階線性齊次微分方程.7.2.3一階線性微分方程1.定義未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)都是一次的微分方程通常稱方程(7-4)是方程(7-3)所對應(yīng)的齊次方程．

齊次方程的通解為(1)先解線性齊次方程使用分離變量法2.解法積分,得(2)再解線性非齊次方程設(shè)非齊次方程通解形式為

把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的待定函數(shù)方法,稱為常數(shù)變易法.積分得一階線性非齊次微分方程的通解為對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程的特解或一階線性非齊次微分方程的通解是由萊布尼茨在1673年給出的解此方程為一階線性方程(1)先求對應(yīng)的齊次方程變形方程為

積分,得對應(yīng)的齊次方程通解為例7求微分方程

的通解.設(shè)原非齊次方程通解為代入原方程,得積分,得故,原方程通解為解原方程可化為設(shè)原方程通解為即例8求微分方程的通解.的微分方程,稱為伯努利方程.*7.2.4伯努利方程1.定義形如方程的兩邊除

得則代入原方程整理得即得伯努利方程的通解.它是一階線性方程,求出其通解,再將代入,2.解法通過變量代換化為線性微分方程.解此方程是伯努利方程,其中

原方程化

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