高等數(shù)學(xué)教程　下冊(cè)　第4版 課件 11.2 二重積分的計(jì)算

11.2二重積分的計(jì)算11.2.1直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算

二重積分的計(jì)算方法是:將二重積分化為二次1.矩形區(qū)域上的二重積分積分區(qū)域D為矩形在D上連續(xù).設(shè)積分(累次積分)來計(jì)算.

的值等于以區(qū)域D為底,曲面z=f(x,y)把柱體切割成平行于xOz平面的薄片,對(duì)應(yīng)薄片又有于是

為頂?shù)那斨w的體積,現(xiàn)用定積分計(jì)算這個(gè)體積.

如果先把柱體做平行于yOz平面的切割,則得到另一個(gè)次序相反的二次積分習(xí)慣上,通常把記成

即表示先對(duì)

x積分,再對(duì)y積分.

同理例1計(jì)算其中D為矩形區(qū)域解先對(duì)x積分

即等于兩個(gè)定積分的乘積.注:如在矩形區(qū)域D上,則2.橫向區(qū)域:這樣的區(qū)域上通常可以先對(duì)x積分,再對(duì)y積分

則例2計(jì)算其中D是由直線

先對(duì)x積分

所圍平面閉區(qū)域.解3.縱向區(qū)域這樣的區(qū)域上通?？梢韵葘?duì)y積分,再對(duì)x積分

則例3計(jì)算其中D如圖所示.

解先對(duì)y積分

D2D14.復(fù)雜區(qū)域

對(duì)于一般的平面區(qū)域,可以用平行于坐標(biāo)軸的例4計(jì)算其中D如圖所示.

解積分區(qū)域D可以劃分成

直線將其分成若干個(gè)橫向區(qū)域或縱向區(qū)域,然后利用二重積分對(duì)積分區(qū)域的可加性進(jìn)行計(jì)算.于是D1D2例5交換積分次序:解積分區(qū)域:原式=解先交換積分次序例6計(jì)算二次積分而且又是能否進(jìn)行計(jì)算的問題.計(jì)算二重積分時(shí),恰當(dāng)?shù)倪x取積分次序十分重要,它不僅涉及到計(jì)算繁簡(jiǎn)問題,凡遇如下形式積分:等,一定要放在后面積分.例7

求證證對(duì)于左邊的累次積分,先交換積分次序.積分區(qū)域:可表為:11.2.2在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分二重積分在極坐標(biāo)下的表達(dá)式為極坐標(biāo)系中的面積元素θθ在極坐標(biāo)系下,一般化成1.極點(diǎn)在區(qū)域D的外面2.極點(diǎn)在區(qū)域D的邊界上

(曲邊扇形)極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積θ3.極點(diǎn)在區(qū)域D的內(nèi)部

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系為2.積分區(qū)域D是由圓弧、或圓弧與直線所圍成.

常用極坐標(biāo)計(jì)算因此

在極坐標(biāo)下1.若被積函數(shù)形如解先畫出區(qū)域的圖形

例8將積分化為極坐標(biāo)形式的二次積分.

在極坐標(biāo)系下,圓的方程為直線的方程為解a例9計(jì)算其中D是由中心在原點(diǎn),半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.在極坐標(biāo)系下注例10計(jì)算解(1)在極坐標(biāo)系下

其中(2)因被積函數(shù)是偶函數(shù),所以

又

所以解練習(xí)交換積分次序:(1)設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于x軸對(duì)稱,如果函數(shù)

f(x,y)關(guān)于變量

y為偶函數(shù).oxyD1則D1為D在x軸上方的部分,則如果

f(x,y)關(guān)于變量y為奇函數(shù),

利用被積函數(shù)的奇、偶性和積分區(qū)域的對(duì)稱性即11.2.3對(duì)稱性與二重積分可簡(jiǎn)化二重積分的計(jì)算.如果函數(shù)

f(x,y)關(guān)于變量x為奇函數(shù)oxyD1如果函數(shù)

f(x,y)關(guān)于變量x為偶函數(shù),

則即則(2)設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于y軸對(duì)稱,D1為D在

y軸的右側(cè)部分,即00D1為上半圓域D2為右半圓域例如,設(shè)D為圓域(如圖)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,D1是D在第一象限的部分,(A)(B)(C)(D)0A則練習(xí)設(shè)D1D2D3D4記

則I=I1+

I2,其中而

I1=D1與D2關(guān)于y軸對(duì)稱D3與D4關(guān)于x軸對(duì)稱xy關(guān)于x和關(guān)于y都是奇函數(shù)而

是關(guān)于x的偶函數(shù),關(guān)于y的奇函數(shù).

所以

D1D2D3D4(3)設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于直線對(duì)稱,則D1為D在(4)設(shè)積分區(qū)域D關(guān)于直線對(duì)稱,直線的上方部分,D1為上方部分且則證所以,例如,設(shè)為[0,1]上的正值連續(xù)函數(shù),證明其中a,b為常數(shù),由區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱,得故,﹡11.2.4二重積分的變量替換

變換且滿足:具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(2)且雅可比行列式定理

設(shè)f(x,y)在xOy平面上的閉區(qū)域上連續(xù),則基本要求:變換后定限簡(jiǎn)便,求積分容易.注意2.J的性質(zhì):1.作什么變換主要取決于積分區(qū)域D的形狀,同時(shí)與要兼顧被積函數(shù)

f(x,y)

的形式.解作廣義極坐標(biāo)變換所圍成的閉區(qū)域.在這變換下例11計(jì)算