高等數(shù)學(xué)教程　下冊(cè)　第4版 課件 12.6 高斯公式 通量與散度

一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).12.6高斯公式通量與散度定理12.5高斯(Gauss)公式12.6.1高斯(Gauss)公式

只需分別證明以下三式,即可完成定理證明.現(xiàn)只證第三式,其它兩式可完全類似地證明.證母線平行于z軸的柱面.(取下側(cè))(取上側(cè))(取外側(cè))邊界面三部分組成:由三重積分的計(jì)算,有再由曲面積分的計(jì)算法取下側(cè),取上側(cè),取外側(cè)于是故同理可證合并以上三式,即得高斯公式.說(shuō)明:若區(qū)域Ω的邊界曲面與任一平行于坐標(biāo)軸的直線的交點(diǎn)多于兩點(diǎn)時(shí),可以引進(jìn)幾張輔助的曲面把Ω分為有限個(gè)閉區(qū)域,使得每個(gè)閉區(qū)域滿足假設(shè)條件,并注意到沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩個(gè)曲面積分的絕對(duì)值相等而符號(hào)相反,相加時(shí)正好抵消.因此,高斯公式對(duì)這樣的閉區(qū)域仍是正確的.高斯公式常用形式其中

向量的方向余弦.處的外法解

例1計(jì)算其中Σ為三個(gè)坐標(biāo)面與平面圍成的四面體的外表面?zhèn)?例2計(jì)算其中Σ為解

的外側(cè).不能直接用高斯公式.點(diǎn)(x,y,z)在曲面上,然后再用高斯公式.可先用曲面方程將被積因被積函數(shù)中的函數(shù)化簡(jiǎn),例3

計(jì)算曲面積分其中Σ為錐面介于平面及之間的部分的下側(cè).解曲面不是封閉曲面,為利用高斯公式,取上側(cè),因故故又Σ是錐面和球面及練習(xí)設(shè)f(u)是有連續(xù)的導(dǎo)數(shù),計(jì)算所圍立體的表面外側(cè).解設(shè)由高斯公式12.6.2通量與散度現(xiàn)進(jìn)一步解釋高斯公式的物理意義

可以理解為穩(wěn)恒流動(dòng)的不可壓縮流體(假定密度為1)的速度場(chǎng).設(shè)是Σ在點(diǎn)(x,y,z)處的單位法向量,指向Σ的外側(cè).則可以理解為單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)Σ流向指定側(cè)的流量,記為Ф.

說(shuō)明流出Σ的流體的質(zhì)量多于流入的,表明Σ內(nèi)有“源”;說(shuō)明流出Σ的流體的質(zhì)量少于流入的,表明Σ內(nèi)有“漏”;說(shuō)明流出與流入的流體的質(zhì)量相等.用Ω的體積V去除上式兩端,得此式表示單位時(shí)間內(nèi),單位體積所流出的流體由積分中值定理,當(dāng)Ω向內(nèi)不斷收縮逐漸成一點(diǎn)M時(shí),取極限得質(zhì)量的積分平均值.即點(diǎn)M的源頭強(qiáng)度.

體積的變化率,反映了流速場(chǎng)在點(diǎn)M流量對(duì)定義12.6為向量場(chǎng),設(shè)其中P、Q、R具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),其指向外側(cè)的單位Σ是場(chǎng)內(nèi)的一有向封閉曲面,法向量即向曲面Σ的通量.

稱為向量場(chǎng)通過(guò)有記為在點(diǎn)M的散度,稱為向量場(chǎng)

散度是通量對(duì)體積的變化率,體現(xiàn)了流速場(chǎng)在點(diǎn)向外散發(fā)流體的能力.表明點(diǎn)M有正源,即流體的確是離開點(diǎn)M表明點(diǎn)M有負(fù)源,即流體是由點(diǎn)M周圍向周圍擴(kuò)散;表明點(diǎn)M無(wú)源.向點(diǎn)M匯集;高斯公式可寫成下面由散度的