高等數學教程　下冊　第4版 習題詳解 綜合習題12

綜合習題12(A)組1．計算下列各題：(1)設為曲線，求。解：，其中為曲線。(2)設為曲線，求。解：。(3)設，其中為第一象限圓弧自點A（1，0）到B（0，1），求的值。解：令則，即積分與路徑無關。因此原式其中為直線段。(4)設:，求解：(5)設:，求。解：由高斯公式得由對稱性得。(6)求向量場在點處的散度。解：。2.計算下列各題：(1)設是橢圓周順時針方向的曲線,在內具有二階連續(xù)偏導數，求。解：由格林公式得。(2)設是半球面,求.解：由于關于平面對稱，被積函數關于為奇函數，則。(3)設是半球面的外側,求解：將補上的平面后，利用高斯公式有。(4)設可導，為光滑曲線，若曲線積分與路徑無關，求應滿足關系式。解：由題意得即即應滿足，解得（若），解得（為任意常數）。(5)若，求。解：令則是全微分。由解得又，則則，解得因此。(6)若是圓周求。解：由由對稱性得。(7)設為錐面的外側，求。解：補充面，與構成封閉曲面后，利用高斯公式有原式。(8)設為曲面，其面積為A，求。解：由對稱性得3.計算下列各題：(1),其中是自沿至點的弧。解：令則則的積分在任意不含0點的單連通區(qū)域內與路徑無關，選擇折線代替后有原式。(2),其中為下半球面的上側。解：補充的平面，方向向下，與圍城一單連通區(qū)域，則由高斯公式得原式(3)，其中為橢圓，周長為。解：由對稱性得到。(4)設函數使得積分與路徑無關，且，試確定函數。當是自沿任意曲線至點的弧時，求的值。解：與路徑無關，得知即。直線的方程為，則。(5),其中為拋物面被所截下的有限部分的下側。解：。4.在過原點和點的曲線族中,求一條曲線,使沿該曲線從原點和點的積分的值最小。解：令，令解得，當，取最小值，則的方程為。5.求向量穿過圓柱的側表面的流量。解：補充兩個面，然后用高斯公式法向量法向量流量6.設為及所圍成的區(qū)域,是的邊界曲線,是一元可微函數,,證明.證明：換元，由格林公式得其中則左式。7.設在半平面內,存在力場,其中為常數,。證明此力場中,場力所做的功與所經過的路徑無關。解：場力所做的功，令即場力所做的功與所經過的路徑無關。(B)組1.在變力的作用下，一質點由原點沿直線運動到橢球面上第一卦限的點則當取何值時，力做的功最大，并求出最大值。解：功L方程：令由題意知一定存在最大值點，因此當時，力做的功最大，。2.函數在某一區(qū)域內具有直到二階的連續(xù)偏導數,若則稱為該區(qū)域內的調和函數.證明若是光滑曲面所包圍的有界閉區(qū)域的調和函數,則下列公式成立:(1)證明：設為的外法線的方向余弦成立。(2)其中為沿曲面的外法線的方向導數。證明：。3.(1)設函數具有二階連續(xù)偏導數,求。解：。(2)設向量場為,且具有二階連續(xù)偏導數,求。解：因為有二階連續(xù)偏導數，所以。4.設函數u(x,y),v(x,y)在閉區(qū)域D:x2+y2￡1上有一階連續(xù)偏導數,又f(x,y)=v(x,y)i+